Гриффитс Дж. Научные методы исследования осадочных пород

Подождите немного. Документ загружается.

Таблица 5.7

Сводная таблица статистических характеристик, используемых

при изучении распределений размеров зерен

Название

статистики

Символ

Способ получения Примечание и литературная ссылка

Характеристики центра распределения

Медиана, мм

Медиана, φ

ма

Графический—диаметр, от-

вечающий 50% кумулятив-

ной кривой

ijl

= —Iog

Характеризуется лишь среднее

местоположение. Для математи-

ческих манипуляций не исполь-

зуется

Мода, мм

Мода, Φ

Мо

Графический—самая высо-

кая точка кривой распреде-

ления

Для математических манипуляций

не используется. Характеризует

господствующий размер в данном

распределении

Среднее ариф-

метическое, MM

Для несгруппированных

значений:

Для сгруппированных зна-

чений

2 (/—середины класса)

Используется для математических

манипуляций. Представляет центр

тяжести площади фигуры распре-

деления, т. е. «вес X расстояние»

середины класса

Среднее гео-

метрическое,

X1X2X3

···

X-N

2 (/-Iogio середины клас-

са) = антилогарифм

Путем прямого 2 / пересче-

та среднего арифметическо-

го ф-распределения

Используется для математических

манипуляций. Среднее арифмети-

ческое логарифмов соответствует

среднему геометрическому анти-

логарифмов

Среднее ариф-

метическое или

среднее лога-

рифмов (Крам-

бейн)

2 (/—Ф-середины класса)

Σ'

Получается как первый мо-

мент (см. таблицу расчета

моментов)

Употребляется наиболее часто,

наиболее важное выражение центра

тяжести площади фигуры распре-

деления. Используется при мате-

матических манипуляциях

Среднее φ Ин-

мана

Ie+ -

Inman, 1952

Среднее Фолка

-^16 + -^50 + -^84

Folk, 1957

Меры дисперсии

Квартильное

отклонение, мм

Q3-Q1

Мера половины 50% распределе-

ния; только линейная мера, для

математических манипуляций не

используется

Квартильное

отклонение, φ

QD^

= Iog

So (S

—коэффициент

сортированности Траска)

Мера половины 50% распределе-

ния; только линейная мера, для

математических манипуляций не

используется

Продолжение табл. 5.7

Название

статистики

Символ Способ получения

Примечание и литературная ссылка

Меры дисперсии

Квантильное

отклонение, φ

PD,

^90Ф ^ЮФ

Мера половины основной (средней)

части распределения, состав-

ляющей 80%; только линейная

мера, для математических мани-

пуляций не используется

Коэффициент

сортирован-

ное™ Траска

-yf |з = антилогарифм с ос-

нованием 2 от QDψ

Трудно определимое относительно

его размаха значение, так как

измеряется по геометрической

шкале

Арифметиче-

ское стандарт-

ное отклоне-

ние, MM

(серединакласса—Χ)

]

Σ/

Мера среднего размаха кривой от-

носительно Μ

·, в случае откры-

тых усеченных кривых не исполь-

зуется

Арифметиче-

ское стандарт-

ное отклонение

или логариф-

мическое стан-

дартное откло-

нение, Φ

Вычисляется по второму мо-

менту (см. таблицу расчетов

моментов) На логарифмиче-

ской вероятностной бумаге

определяется по формуле

P84,2— P 15,8

Мера среднего размаха кривой

относительно M,; наиболее широ-

ко используемая и наиболее важ-

ная мера дисперсии (в ф-единицах)

Геометрическое

стандартное от-

клонение, MM

Превращение в миллиметры

из σ

ф- отклонение

Инмена

PM-Pie

Inman, 1952

Графическое

стандартное от-

клонение

^84—Pie ι Р95—Р&

6,6

Folk, Ward, 1957

Меры асимметрии

Квартальная

асимметрия,

мм (арифмети-

ческая)

+ Q3—2Md

Арифметическое линейное изме-

рение расстояния между арифме-

тическими средними двух квар-

тилей и медианой

Геометриче-

ская кварталь-

ная асиммет-

рия, MM

·,/' QiIQz

У Md

IogSk

IogQ

-I-IogQ

-2 log Md

Геометрическая форма Sk

. Соот-

ношения с Sk

аналогичны соот-

ношению коэффициента Траска

к квартальному отклонению

Продолжение табл. 5.7

Название

статистики

Символ

Способ получения

Примечание и литературная ссылка

Меры асимметрии

Логарифм

асимметрии

Траска, мм

log Sk

log ^

Это логарифм квадрата Sk

, Q

Qs и Md в миллиметрах

ф-квартильная

асимметрия

8к

я*

—log Sk (Траска)

0,602

Арифметическая мера лограсстоя-

ния

ф-асимметрия

. Sk

Рассчитывается по третьему

моменту

В случае открытых усеченных

кривых не используется

ф-асимметрия

Вторая ф-асим-

метрия

«Ф

«2Ф

М.~ Md

% ·

или

M+

M-

P 84 Pie

(Р5+Р

5)/2-т

ИЛИ ^5+^95-2^50

Psi~ Pie

Inman, 1952

Статистики,

отражающие

графическую

асимметрию

-Ρΐβ + Ρ84 — 2Ρδ0 .

2 (P

-P

) '

I Р5 + Р95—2Рso

S(P

-P

)

Folk, Ward, 1957

Меры эксцесса

Квартильная

мера эксцесса,

Р90—P ίο

Ga-Gi.

(Р

о. Ρίο. <?з, Qi в миллиметрах).

По Крамбейну

ф-квартильная

мера эксцесса

ЯФ

Р90—Pio

-Qi

То же в ф-единицах

Ф-эксцесс

Вычисляется по четвертому

моменту

Крайне чувствителен на концах

кривой распределения

ф-мера эксцес-

са

βφ

(Р 95—P—

или

(Р

—Р5 —Рв4 —P 1б)

Psi-Pu

или

-P

-Pie-I

Inman, 1952

Графический

эксцесс

Р95-Р5

2,44 (P

-P

)

Folk, Ward, 1957

—

25-процентный квантиль в миллиметрах, соответствующий 75-процентномуквантилювФ-единицах.

— 7

5-процентный квантиль в миллиметрах, соответствующий 25-процентному квантилю Φ-единицах .

—

диаметр в Ф-единицах, соответствующий 5-процентному квантилю.

Р25 — диаметр в Ф-единицах, соответствующий 25-процентному квантилю.

Pso — диаметр в Ф-единицах, соответствующий

0-процентному квантилю. -

Р75 — диаметр в Ф-единицах, соответствующий 75-процентному квантилю.

Литературный источник. М. A. Rosenfeld, Handbook of Laboratory Instructions.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

статочным для интерпретации, что можно объяснить неадекватной процеду-

рой самих определений, ошибками опробования (и, следовательно, смещен-

ными оценками), а также отсутствием строгого подхода к решению постав-

ленных задач. Для выхода из создавшегося положения рекомендуются раз-

личные альтернативы, правомочность которых необходимо проверять эмпи-

рически до их применения. На сегодняшний же день получаемые данные

по распределению размеров используются как описательные. Это скорее

атрибут петрографии, чем петрологии.

Попытки выяснить условия осадконакопления посредством данных

о распределении размеров зерен являются довольно обычными. Петтиджон

наряду с обзором этих попыток предъявил некоторые требования, которым

должны отвечать результаты определений. В то же время для некоторых

специфических конкретных исследований результаты определения разме-

ров оказывают весьма ценную услугу. Например, они вполне пригодны для

качественной характеристики условий осадконакопления [15, 99, 133, 137,

152, 246]. Взаимоотношения между размерами зерен и сортировкой рас-

сматриваются в гл. 15. Данные определений размеров зерен также весьма

существенны при решении специфических инженерных вопросов [152].

Можно показать, что размеры зерен нефтеносных пластов во многих

случаях обусловливают их коллекторские свойства [73, 211, 254] и что

изменение размеров зерен является критическим фактором при определении

сферы влияния нефтеносных пластов [152, 167, 172, 180, 309, 404, 410].

Очевидно также, что размер зерен является одним из основных свойств,

характеризующих какой-либо агрегат. Но если нужно определить качество

или уровень информации, почти совершенно необходимо проанализировать

полученные данные с помощью некоторых приемов многомерного ана-

лиза [181, 186, 190, 309].

Г Л А В А 6

Измерение формы зерен

Тем не менее существуют многообразия, в которых фиксированной

точке ставится в соответствие не конечное множество, а бесконечная

последовательность или непрерывное многообразие определения данной

переменной. Такие многообразия порождаются, например, множеством

возможных определений функции данного аргумента, множеством воз-

можных форм фигуры в пространстве и т. п.

С. F. В. R i е m a η η, in D.E.Smith (ed.), A Source Book

in Mathematics, Harvard Univ. Press., p. 415, 1929

6.1. ВВЕДЕНИЕ

Общий план рассмотрения каждого основного свойства обычно сводится

к следующему. Сначала дают формулировку понятию, которое затем будет

преобразовано в операционное определение; после этого переходят к раз-

работке и испытанию различных методов получения информации, и, нако-

нец, предпринимается попытка собрать необходимые данные. Далее следует

изучение распределения полученных значений и плана выборок, а также

возможная интерпретация этих значений вновь приведет нас к осмыслива-

нию данного понятия. Следует, однако, помнить, что измерение свойств

представляет собой лишь метод для достижения некоторой цели, так что

успех измерений в конечном счете оценивается на основании объема полу-

ченной информации, приближающей нас к этой цели.

Форма является, вероятно, главнейшим свойством любой частицы,

и, безусловно, это свойство из всех наиболее трудноопределимое в любых

случаях, кроме простейших; тем не менее, поскольку в силу привычки

форма признается важнейшим диагностическим критерием многих мине-

ральных компонентов и вполне сознательно считается, что форма зерен

отражает происхождение и процесс формирования осадочных пород, постоль-

ку она остается одним из важнейших свойств обломочных частиц.

Понятие «форма» тавтологически можно определить как внешний облик

или как выражение внешней морфологии. Теоретически форма, безусловно,

может рассматриваться как свойство, не зависящее от величины тела, и поня-

тие формы в топологии иллюстрирует эту независимость; фактически же

отделить свойство формы от размера почти невозможно или, во всяком

случае, это не реально, и сомнительно, чтобы их можно было определять

раздельно при изучении свойств частиц осадочных пород. Один из способов

измерения формы состоит в определении кривизны поверхности путем изме-

рения радиуса (см., например, работы [277]); это наиболее общий метод,

в котором предусмотрена возможность измерения как положительной, так

и отрицательной кривизны. Он напоминает методику измерения округлости,

предложенную У оде лл ом [437—439]. Такая методика требует выполнения

комплекса измерений и при усложнении этого комплекса увеличиваются

ИЗМЕРЕНИЕ ФОРМЫ ЗЕРЕН

105-

трудности ее применения; неясным оказывается также и смысл выраженной

этим методом «средней формы». Тем не менее в отличие от многих других

методик преобразования понятия «формы» в операционное определение

способы Уоделла н их последующие модификации являются, вероятно, наи-

более приемлемыми.

В общем методика измерения формы частиц должна следовать путем

рассмотрения формы правильных твердых тел; так, форма сферы может

быть выражена через длину одного диаметра, куба — через длину любой

заданной оси, прямоугольного блока — через длину трех осей (трех любых

перпендикулярных ребер); итак, по мере усложнения формы тела или (если

форма не была определена заранее) для ее полного определения необходимо

проводить все большее и большее число измерений.

Фактически, если мы выберем произвольный центр

внутри частицы, скажем центр наибольшего описан-

ного круга, согласно рекомендации Уоделла [437], и

измерим длину нескольких радиусов, соединяющих

центр с краями, как показано на фиг. 6.1, процесс

определения формы можно свести к простейшей задаче.

Для гладкой выпуклой поверхности количество осей,

необходимых для полного определения формы, было

бы небольшим (наименьшее, например, — две оси для

сферы), но количество необходимых осей увеличивается

по мере того, как частица становится менее сферичной.

Если поверхность частицы становится волнистой, отдель-

ные неровности поверхности могут быть определены

с любой требуемой степенью точности путем рацио-

нальной группировки радиусов в пучки. Анализ вариан-

тов систем радиусов привел бы к определению количе-

ства необходимых измерений и тех направлений, по

которым надо произвести эти измерения для определе-

ния формы с любой требуемой степенью точности. Чем неправильнее форма,

тем больше требуется измерений в целях повышения точности измерения

этой формы. Так, Уоделл рекомендовал измерение сферичности и степени

округлости для определения формы сферичных или несколько менее пра-

вильных частиц, и лишь позднее он ввел в измерения показатель структуры

поверхности [248, стр. 303 и далее]. Если, однако, следовать этому прин-

ципу, окажется, что увеличение степени детальности не имеет предела,

т. е. для измерения сферы требуется небольшое количество измерений, для

эллипсоида — больше, может быть три, неправильного эллипсоида — больше

трех. Всегда можно выбрать две частицы равной сферичности и округлости

(окатанности) с одинаковой структурой поверхности и все же различной

формы. Представляется, что, следуя такими путями, невозможно прибли-

зиться к окончательному решению проблемы.

Концепции формы частиц осадочных пород ведут свое начало от пред-

ставлений о генезисе обломочных зерен; авторы этих концепций, сознательно

или нет, считали, что общая форма частиц зависит от их первоначального

габитуса, окатанность — от условий переноса, а структура поверхности —

от определенных особенностей окружающей среды и т. д. На основании

такого рода предположений редко удается получить равноприемлемые

решения проблем измерения, поскольку обычно эти предположения нечетко

сформулированы и чрезвычайно упрощены. Более обещающей представ-

ляется попытка, которая заключается в более точном определении цели

с последующим развитием методики измерений, направленной на достиже-

ние этой цели. Так, путем определения объема кварцевых галек может быть

показано, что три любые ортогональные оси будут определять объем с точ-

ностью около 98% [194]. Дополнительные измерения по любым другим

7—429

Фиг. 6.1. Измерение

формы неправильных

частиц.

Сравните дисперсии X

(окатанность) и X (сфе-

ричность).

ГЛАВА 6

осям прибавят очень мало информации. В самом общем виде мы вынуждены

признать, что для определения формы неправильных частиц требуется

η измерений. Поэтому представляется необходимым каким-то образом

выбрать из этих измерений некий минимум, и решение о том, какой именно,

становится в этом случае функцией точности, требуемой для достижения

намеченной цели. В конечном счете, так же как и в методике определения

размеров частиц, измерения формы выразятся в виде каких-то чисел на некоей

шкале, и объем шкалы, зависящий от характера требуемой информации,

будет определять, имеют ли смысл данные числа. Если этот смысл ясен, сбор

информации таким методом автоматически станет широко распространен-

ным; если же он не ясен и собранные данные не увеличивают наших знаний

об исследуемом агрегате частиц, будь то осадочная порода или галактические

туманности, методика измерений в целом не будет применяться.

6.1.1. Последовательность операций

Многочисленные методы измерения тех или иных характеристик формы

можно разделить на прямые и косвенные. Косвенные методы измерения

размера частиц обычно требуют допущения о существовании фактора формы;

аналогично, любые попытки косвенного определения формы — сортировка

в воде или в воздухе, скатывание по наклонной поверхности и т. п.— будут

требовать определенных ограничений размера или допущений относительно

размеров частиц. Может показаться странным, что в противоположность

методу измерения размера зерен, так мало методов косвенного измерения

формы частиц и что несомненное большинство методов было разработано

для рассмотрения формы отдельно взятых частиц. Однако благодаря этому

обстоятельству мы можем упростить основное уравнение для разбора мето-

дики измерения формы и рассмотреть два обычно используемых способа.

Первый из них употребляется при использовании шлифов, когда выбирают

один какой-нибудь минерал, например кварц, и измеряют его форму. При

втором способе требуется дезинтеграция минерального агрегата и выделение

отдельных зерен. Для производства самих измерений может быть исполь-

зовано несколько различных способов, однако почти все они требуют одной

из двух подготовительных операций. Для рассмотрения этих способов

мы прежде всего обратимся к простейшим и наиболее широко применяемым

методам, например к методу визуальной оценки различных характеристик

формы путем сравнения с наборами стандартов.

6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ ПУТЕМ ВИЗУАЛЬНОГО СРАВНЕНИЯ

С НАБОРОМ СТАНДАРТОВ

Метод визуального сравнения со стандартами привлекает своей про-

стотой. Он весьма широко распространен в обычной практике как полевых,

так и лабораторных исследований, но его простота обманчива. У него есть

весьма коварные недостатки. Прежде всего этот метод является психофизиче-

ским способом субъективной оценки, так что здесь почти всегда имеет боль-

шое значение субъективное восприятие исследователя, в силу чего разные

наблюдатели приходят к различным результатам. Более того, даже резуль-

таты измерений, произведенных одним и тем же наблюдателем, изменяются

от случая к случаю. Таким образом, при этом методе необходимо соблюдать

крайнюю осторожность для обеспечения рациональной воспроизводимости

результатов. Определение минералов, остатков фауны и типов пород в образ-

цах непосредственно в поле или под микроскопом в очень большой степени

субъективно и самым непосредственным образом является функцией опыт-

ности наблюдателя. Методы оценки цвета и других качеств горных пород

были предметом продолжительных исследований, в результате чего по этим

ИЗМЕРЕНИЕ ФОРМЫ ЗЕРЕН

вопросам накопилась обширная литература. Примерами такого рода иссле-

дований могут служить ранние работы Юля [463] об интенсивности темных

окрасок, работы Пирсона о различных признаках животных [324, 325, 327]

οβ7 оОООо

0,95 QOOOO

0,93 О ООО О

0,91 ООООО

О,В9

оОООО

I 0,87 Q О OO О

I 0,85 DOOOO

° Q83 ОС)όοV

0.81 900 OO

AW DQOOO

w00000

о,

OJ'

о0000

0,69 0 0<300 0,5/

^OC

OQO

MODOO °-

°·

OOODO

той O^

0,55

тп

оо

ς 45

Фиг. 6.2. Контуры зерен для визуальной оценки сферичности [357].

и совсем недавние исследования признаков, зависящих от чувствительности

восприятия [79, 80, 414, 415, 422]. Следующий ниже обзор попыток усовер-

шенствования методов визуального сравнения для оценки формы может

<КО (

3®

ф|§0 дфф

Окатанность = 0,1

0,2 0,3 0,4

0,6

QOO

0,7

I©

0,8

0,3 0,4 0,4

Ш £

0,5 0,5 0,4

Расколотые

гальки

Фиг. 6.3. Контуры зерен для визуальной оценки округленности [252].

служить примером, показывающим некоторые скрытые опасности этих

методов.

Задача состоит в определении сферичности и окатанности 21 зерна квар-

ца, выбранного из пляжного песка, путем сравнения с набором стандарт-

ных изображений, показанных на фиг. 6.2 и 6.3. Начнем со следующего

100

ГЛАВА 6

уравнения:

P = f(m, s, sh, о, ρ),

где т — постоянно; коль скоро зерна свободно лежат на предметном стекле,

влияние о и ρ устранено. Различия в размерах зерен невелики и ими можно

пренебречь для настоящей цели

. Таким образом, предполагается, что

величина P есть некая мера формы.

Величина сферичности этих 21 зерен изменяется в пределах от 0,71

до 0,93, а величина окатанности — от 0,10 до 0,80. Семь наблюдателей

производили измерения каждого из этих 21 зерен в течение трех дней, что

позволило получить 3 X 7 X 21 = 441 оценку сферичности и столько же —

окатанности. Сводка соответствующих статистик этого распределения при-

ведена в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Сводка статистик сферичности и округлости

по 21 зерну из пляжных песков

Статистики

Сферичность

Округлость

0,817

0,424

0,045

0,131

„ „

Число степеней свободы

0,203*

2,656*

441

87,07

<0,001

—0,329***

2,766

441

41,84

<0,001

Распределение явно отклоняется от нормального и заметно асимметрич-

но; среднее значение сферичности не зависит от дисперсии, а средняя ока-

танность оказывается зависимой (г = —9,4272, а при η = 21 получаем

0,10 > P > 0,05, что не превышает 5% уровня значимости). Такая зависи-

мость позволяет предполагать большую дисперсию при низких значениях

окатанности, что и было использовано для преобразования исходных данных

по способам Бартлетта [22] для получения шкалы, на которой средние вели-

чины не зависят от дисперсии [364, стр. 565].

6.2.1. Анализ эксперимента

Результаты эксперимента содержат три источника изменчивости: раз-

личия между зернами, различия между наблюдателями и различия между

днями наблюдений; схема их распределения по этим трем источникам при-

ведена в табл. 6.2.

Зерна в количестве 21 представляют собой небольшую выборку из бес-

конечной совокупности, отвечающей пляжному песку, 7 наблюдателей —

столь же малую выборку из бесконечной совокупности наблюдателей

и 3 дня — выборку из бесконечной совокупности дней, так что мы можем

использовать модель бесконечной совокупности ([27, стр. 348; 109, стр. 15];

гл. 20).

Для такого рода экспериментов эта схема выборки неблагоприятна,

так как смешанные эффекты первого порядка не равны нулю и мы теряем

возможность проверить главный эффект (гл. 20); более того, непроверяе-

Влияние размера зерен на измерение их формы может быть очень существенным,

когда разница в размерах большая.

ИЗМЕРЕНИЕ ФОРМЫ ЗЕРЕН 105-

Таблица 6.2

Cxe^ia эксперимента для трех источников изменчивости

Источник изменчивости

Число степеней

свободы

Ожидаемые средние квадраты

Между средними по зернам

а —

-1 = 20

σ| + da

pg2

+ po

dg2

+ pda

Между средними по наблюда-

телям

р-

-1 = 6

Между средними по дням

-1 =

1 + P

ClgZ + SO

dpi

+ PgO

Зерна X наблюдатели

-Wp-

1) =

120

I+

Pgi

Зерна χ дни

(*·

-1 )(d~

1) =

ο\ +PO

Наблюдатели χ дни

(Р -ι )(D-

1) =

I +S

Pdi

Зерна χ наблюдатели X дни

плюс (g— 1) все неучтенные

источники

(*-1)(р

-I )(<*-

1) =

240

Сумма gpd-

-1

= 440

ι См. раздел 20.2.

мыми будут и смешанные эффекты второго порядка, которые почти навер-

няка имеют большое значение (табл. 6.3).

Таблица 6.3

Результаты дисперсионного анализа сферичности кварцевых зерен

из пляжных песков

(364]

Источник изменчивости

Число степеней

свободы

Средний квадрат

Отношение

дисперсий

Зерна

Наблюдатели

Дни

Зерна χ наблюдатели

Наблюдатели X дни

Зерна χ дни

Ошибка

120

240

>-160,2198

88,795

12,992 <—

Ч 5,904

I 13,504

3,4532

3,308

27,137***

6,575**

3,88*

1,7735***

4,056***

41,04

Сумма

440 12,6492

ι Данные преобразованы в арксинусы.

Около 25% изменчивости обусловлено «ошибками», или неучитываемой

изменчивостью, что представляет весьма серьезный неучтенный фактор.

Повторение эксперимента могло бы помочь выяснить, обусловлено ли это

влиянием смешанных эффектов второго порядка или просто недостаточным

контролем условий эксперимента. Прежде чем приступить к анализу метода,

необходимо указать, что источник изменчивости, в данном случае «дни»,

фактически представляет собой отражение последовательности измерения

формы зерен. В первый день наблюдатели измеряли зерна, начиная с 1 и кон-

чая 21, во второй — с 21 по 1 и в третий — с 1 по 21. Трудно представить

физический смысл такого источника, как изменение формы зерна от одного

дня до другого, однако оценка формы может очень сильно измениться при

изменении порядка измерения. Было установлено, что у наблюдателей наме-

чается тенденция к определению формы первого зерна путем сравнения