Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
Таблица 15
Таблица умножения для пятеричной системы счисления
• 0 1 2 3 4
0
0 0 0 0 0
1
0 1 2 3 4
2
0 2 4 11 13
3
03111422
4
04132231
б) Найдем произведение 4302
5
• 324
5
, используя правила умножения
аналогичные правилам, принятым в десятичной с. с., и таблицу 15.
Запишем второй множитель под первым так, чтобы разряды совпадали:
Используя таблицу 15, умножим 4302
5
на 4
5
.
Рассуждали так: четыре на два 13 (по таблице); 3 пишем, 1 – в уме.
Четыре на нуль дает 0, да плюс один, – пишем 1. Четыре на три 22 (по таблице);
2 пишем, 2 – в уме. Четыре на четыре 31 (по таблице), да плюс два, – пишем 3,
3 – в уме. Тройку сносим в пятый разряд.
Рассуждая аналогично, умножим 4302
5
на 2
5
, полученное произведение
запишем под первым результатом, смещая на разряд влево:
Умножим 4302
5
на 3
5
, полученное произведение запишем под вторым
результатом, смещая на разряд влево:
4302
5
324
5
33213
5
4302
5
324
5
4302
5
324
5
33213
5
14104
5
Сложим полученные произведения, используя правило сложения в
q-ной
системе счисления для пятеричной с. с.:
Итак, 4302
5
• 324
5
= 3120403
5
.
Ответ: 3120403
5
.
Задача. Записать наибольшее и наименьшее n-разрядные числа,
представимые в системе счисления с основанием q и перевести эти числа в
десятичную систему: n = 5, q = 4.
Решение
Наибольшее пятиразрядное число, состоящее из 3 как максимальной
цифры четверичной системы счисления
33333
4
= 3 • 4
4
+ 3 • 4
3
+ 3 • 4
2
+ 3 • 4
1
+ 3 • 4
0
= 975
10
.
Наименьшее пятиразрядное число 10000
4
= 1 • 4
4
+ 0 • 4
3
+ 0 • 4
2
+ 0 • 4
1
+ 0 • 4
0
= 256
10
.
Ответ: 975
10
и 256
10
.
Задача. Какое максимальное десятичное положительное и минимальное
отрицательное числа можно представить в двух байтах информации?
Решение
Два байта – это 16 бит (т. е. 2 по 8 бит), то есть это 16-разрядное число в
двоичной системе счисления. Положительное число начинается (слева) нулем,
так как мы ищем максимальное число, то остальные цифры будут единицы.
Итак, двоичное представление максимального положительного числа в двух
4302
5
324
5
33213
5
14104
5
23411
5
4302
5
324
5
33213
5
14104
5
23411
5
3120403
5
байтах информации: 0111 1111 1111 1111
2
. Это число проще перевести в 16-
ную систему по таблице 12, а затем из 16-ой с. с. в десятичную:
0111 1111 1111 1111
2
= 7FFF
16
= 7 • 16
3
+ 15 • 16
2
+ 15 • 16
1
+ 15 • 16
0
=
= 7 • 4096 + 15 • 256 + 15 • 16 + 15 = 28672 + 3840 + 240 + 15 = 32767
10
.
Отрицательное число начинается (слева) единицей, так как мы ищем
минимальное число, то остальные цифры будут нули. Итак, двоичное
представление минимального отрицательного числа в двух байтах информации:
1000 0000 0000 0000
2
. Это число проще перевести в 16-ную систему по таблице
13, а затем из 16-ой с. с. в десятичную:
1000 0000 0000 0000
2
= 8000
16
= 8 • 16
3
+ 0 • 16
2
+ 0 • 16
1
+ 0 • 16
0
=
= 8 • 4096 + 0 + 0 + 0 = – 28672
10
.
Ответ: 32767
10
и – 28672
10
.
Задача. Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего
представления чисел в двухбайтовой ячейке:
1608
10
и –1608
10
.
Решение
Воспользуемся правилами получения внутреннего представления в ЭВМ
целого положительного и целого отрицательного числа
N, хранящегося в k-
разрядном машинном слове. В нашем случае машинным словом является
двухбайтное число, то есть 16-разрядное.
Переведем
N = 1608
10
в двоичную систему счисления, получим
11001001000
2
. Внутренне представление этого положительного числа в
двухбайтовой ячейке памяти будет следующим: 0000 0110 0100 1000.
Для нахождения шестнадцатеричной формы представления числа
воспользуемся таблицей 13 и получим 0648.
Для нахождения двоичной формы представления отрицательного числа –
1608
10
найдем обратный код положительного числа 1608
10
, для этого:
заменим 1 на 0 в его двоичном представлении (0000 0110 0100 1000):
1111 1001 1011 0111.
Прибавим к обратному коду 1:
1111 1001 1011 1000 – это внутреннее двоичное представление
отрицательного числа –1608
10
. Его шестнадцатеричная форма: F9B8.
Ответ: 0000 0110 0100 1000 и 0648;
1111 1001 1011 1000 и F9B8.
Задачи для самостоятельного решения
I тип
Задача 50*.
Число, записанное в развернутой форме, представить в
сокращенной форме:
а)
1•2
4
+0•2
3
+0•2
2
+1•2
1
+1•2
0
;
б)
F•16
3
+D•16
2
+8•16
1
+0•16
0
;
в)
7•8
5
+7•8
4
+5•8
3
+0•8
2
+2•8
1
+0•8
0
;
г)
4•10
8
+9•10
7
+7•10
6
+0•10
5
+2•10
4
+1•10
3
+0•10
2
+3•10
1
+4•10
0
;
д)
2•7
2
+6•7
1
+6•7
0
;
е)
5•9
4
+4•9
3
+3•9
2
+0•9
1
+7•9
0
.
Задача 51*. Число, записанное в сокращенной форме, представить в
развернутом виде:
а)
2101
3
;
б)
BF2D
16
;
в)
544
6
;
г)
97875
10
;
д)
A3B
12
;
е) 1010011
2
.
Задача 52**. Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную
систему счисления:
а)
1100010
2
;
б)
CD5
16
;
в)
3312
4
;
1111 1001 1011 0111
2
1
2
1 1 1
1111 1001 1011 1000
2
г) 4774
8
;
д)
3221
5
;
е)
10947
10
.
Задача 53***. Найти ошибку в сокращенной или развернутой записи числа:
а)
104006
5
;
б)
7655
7
;
в)
1011201
2
;
г)
2052212
3
;
д)
F789G03
16
;
е)
4
6
+ 5 • 4
5
+ 3 • 4
4
+ 2 • 4
3
+ 2 • 4
2
;
ж)
5 • 6
4
+ 2 • 3
3
+ 2 • 6
2
+ 4 • 6 + 5;
з)
2 • 3
3
+ 3
2
+ 3 + 3;
и)
5
5
+ 3 • 5
4
+ 4 • 5
3
+ 2 • 5
2
+ 5 + 6;
к)
B • 16
6
+ F • 16
4
+ 9 • 16
3
+ E • 16
2
+ H • 16 + C.
Задача 54***. Перевести дробное число в десятичную систему счисления:
а) 0,101
2
;
б)
0,0011
2
;
в)
0,467
8
;
г)
0,064
5
;
д)
0,32
4
;
е)
0,123
9
.
II тип
Задача 55*.
Перевести дробное число из десятичной системы в q-ичную:
а)
q = 4; число 0,986
10
;
б)
q=2; число 0,56
10
;
в)
q=3; число 0,128
10
;
г)
q=5; число 0,14
10
;
д)
q=6; число 0,648
10
;
е)
q=8; число 0,791
10
.
Задача 56**. Перевести целое число из десятичной системы в q-ичную:
а)
q = 8; число 5987
10
;
б)
q=2; число 256
10
;
в)
q=4; число 448
10
;
г)
q=7; число 5671
10
;
д)
q=9; число 79112
10
;
е)
q=16; число 89942
10
.
Задача 57***. Перевести смешанное число из десятичной
системы в q-ичную:
а)
q = 6; число 365,845
10
;
б)
q=5; число 12,486
10
;
в)
q=4; число 101,256
10
;
г)
q=7; число 25,577
10
;
д)
q=3; число 133,78
10
;
е)
q=9; число 16,1245
10
.
III тип
Задача 58*.
Составить таблицу, пользуясь переводом чисел:
а)
двоично-четверичную;
б)
двоично-восьмеричную;
в)
двоично-32-ричную;
г)
четверично-восьмеричную;
д)
четверично-шестнадцатеричную;
е) восьмерично-шестнадцатеричную.
Задача 59**.
Перевести из p-ичной системы счисления в q-ичную через
десятичную:
а)
999
16
→ x
8
;
б)
566
7
→ x
4
;
в)
75
8
→ x
2
;
г)
186
9
→ x
5
;
д)
10011
2
→ x
6
;
Задача 60***. Осуществить перевод числа из системы счисления с основанием
2
n
в другую систему с основанием 2
k
, используя соответствующие таблицы:
а)
D12
16
→ x
2
;
б)
751
8
→ x
2
;
в)
1223
4
→ x
2
;
г)
HFD
32
→ x
2
;
д)
11000011
2
→ x
4
;
е)
11010100
2
→ x
8
;
ж)
1011110010
2
→ x
16
;
з)
111101100111
2
→ x
432
.
Задача 61***. Осуществить перевод числа из системы счисления с основанием
2
n
в другую систему с основанием 2
k
через двоичную:
а)
CB4
16
→ x
8
;
б)
446
8
→ x
16
;
в)
221
4
→ x
8
;
г)
6233
8
→ x
4
;
д)
AF9
16
→ x
4
;
е)
2133
4
→ x
16
.
IV тип
Задача 62*.
Описать процесс получения результата действия и найти ошибку:
ж)
B21
16
9D0
16
15F1
16
1
е)
6713
8
5447
8
14352
8
1 1
д)
4315
7
2114
7
6433
7
1
г)
5125
6
423
6
10552
6
1 1
в)
3421
5
2442
5
11403
5
1 1
б)
3201
4
331
4
3132
4
1 1 1 1 1
а)
101001
2
11001
2
1101000
2
1
з)
111101
2
110111
2
1110000
2
1 1 1 1 1
Задача 63*. Описать процесс получения результата действия и найти ошибку:
Задача 64**. Выполнить действие:
а) A0BC93
16
+ 69FE45
16
;
б)
1100101
2
+ 10011
2
;
в)
332
4
+ 31
4
;
г)
4571
8
+ 477
8
;
д)
5662
7
+ 1246
7
;
е)
21121
3
+ 1221
3
.
Задача 65**. Выполнить действие:
а) A0BC93
16
– 9FE45
16
;
б)
111011011
2
– 100111
2
;
в)
233
4
– 131
4
;
г)
675
8
– 57
8
;
д)
561
7
– 325
7
;
е)
4534
6
– 2555
6
.
Задача 66***. Пользуясь сложением, составить таблицу:
а) двоично-четверичную;
б)
двоично-восьмеричную;
в)
двоично-32-ричную;
г)
четверично-восьмеричную;
д)
четверично-шестнадцатеричную;
е)
восьмерично-шестнадцатеричную.
д)
8 9В4 7
16
4АD9A
16
3ED9D
16
••• •
е)
1001101
2
11011
2
110000
2
••
ж)
21000
4
312
4
10022
4
••
з)
2BA00
16
3 F39
16
27AC7
16
••• •
в)
65642
7
21365
7
43244
7
••
б)
2102
3
121
3
1211
3
••
а)
520002
10
32455
10
487647
10
•••••
г)
3024
5
2134
5
340
5
•
V тип
Задача 67*.
Записать наибольшее и наименьшее n-разрядные числа,
представимые в системе счисления с основанием
q и перевести эти числа в
десятичную систему:
a) n = 4; q = 2;
b)
n = 3; q = 16;
c)
n = 4; q = 4;
d)
n = 5; q = 6;
e)
n = 12; q = 7;
f) n = 4; q = 8.
Задача 68**.
Какое максимальное десятичное положительное и минимальное
отрицательное числа можно представить в байте информации?
Задача 69**. Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего
представления чисел в двухбайтовой ячейке:
a)
1451
10
и –1451
10
;
b)
1867
10
и –1867
10
;
c)
2337
10
и –2337
10
;
d)
1997
10
и –1997
10
;
e)
1986
10
и –1986
10
;
f) 2300
10
и –2300
10
.
Задача 70***.
По шестнадцатеричной форме внутреннего представления
целого числа в двухбайтовой ячейке восстановить само число:
a)
F89A;
b)
FA7B;
c)
F8D0;
d)
F9AA;
e)
F8D4;
f) F7BB.
Задача 71***. Выяснить, в какой системе счисления произведено сложение, и
заменить звездочки цифрами:
Задача 72***. Составить соответствующие таблицы умножения и выполнить
умножение:
а)
101101
2
• 101
2
;
б)
56
8
• 12
8
;
в)
120
4
• 31
4
;
г)
1201
3
• 110
3
;
д)
А5
16
• 9С
16
;
е)
561
7
• 33
7
.
Домашнее задание
Вариант 1
1.
Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную
систему счисления: 1100110101
2
2.
Перевести целое число 746 из десятичной в троичную систему счисления.
3.
Перевести число 124
7
в пятеричную систему счисления через
десятичную.
4.
Выполнить действие: 527
8
+ 601
8
; 325
6
– 241
6
.
5.
Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего
представления чисел в двухбайтовой ячейке 2350
10
и –2350
10
.
а)
23*5*
?
1*642
?
42423
?
ж)
з)
24**1
?
*235*
?
116678
?
г)
1021
?
***0
?
3121
?
в)
54**
?
*723
?
10135
?
д)
1**31
?
*31*3
?
34344
?
б)
*54*
?
*44
?
7305
?
е)
60*4
?
**52
?
13446
?
*1*44
?
33*0
?
20044
?