Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
Решение
а) На первый взгляд может показаться, что в развернутой форме записи
данного числа отсутствуют коэффициенты перед 8
5
и 9, отсутствует слагаемое с
8
2
, в слагаемом 2 • 8 нет показателя степени 8, и нет степени у 9. Но это не
является ошибкой, а говорит лишь о том, что коэффициенты перед 8
5
и 9 равны
1, коэффициент перед 8
2
равен 0, в слагаемом 2 • 8 показатель степени 8 равен 1
(2 • 8
1
), степень у 9 равна 8
0
=1. То есть, если привести данное число к
стандартной развернутой форме, получим: 8
5
+ 3 • 8
4
+ 4 • 8
3
+ 2 • 8 + + 9 = 1 • 8
5
+ 3 • 8
4
+ 4 • 8
3
+ 0 • 8
2
+ 2 • 8
1
+ 9• 8
0
. Ошибка заключается в том, что число
записано в восьмеричной с. с., в которой отсутствует цифра 9 (базис {0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7}).
Ответ: 8
5
+ 3 • 8
4
+ 4 • 8
3
+ 2 • 8 + 9.
б) Число составлено из цифр четверичной с.с., в базисе которой
отсутствует цифра 4 (базис {0, 1, 2, 3}).
Ответ: 2
431032
4
Задача. Перевести дробное число 34,4214
5
в десятичную систему
счисления.
Решение
Используем правило перевода из q-ичной в десятичную систему
счисления, то есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что q = 5, и
выполним последовательно соответствующие арифметические операции.
34,4214
5
= 3 • 5
1
+ 4 • 5
0
+ 4 • 5
-1
+ 2 • 5
-2
+ 1 • 5
-3
+ 4 • 5
-4
= 15 + 4 + 4 •
5
1
+ 2 • •
25
1
+ 1
•
125
1
+ 4
•
625
1
= 19 +
5
4
+
25
2
+
125
1
+
625
4
= 19 + 0,8 + 0,08 + 0,008 +
0,0064 = 19 + 0,8944 = 19,8944
10
.
Ответ: 19,8944
10
.
II тип. Перевод из десятичной системы счисления в любую q-ичную
Задача. Перевести целое число 3886
10
в восьмеричную систему счисления.
Решение
Согласно правилу перевода из десятичной в q-ичную систему счисления
целых чисел, разделим 3886 на 8 и получим частное 485 и остаток 6.
Следовательно, в восьмеричной записи числа 3886 последняя цифра равна 4.
Для нахождения второй цифры разделим найденное 485 снова на 8. Получим
частное 60, а остаток при этом равен 5. Следовательно, предпоследняя цифра в
восьмеричной записи числа 3886 есть 5. Далее, разделив 60 на 8, получим 7 и 4
в остатке. 4 –
третья с конца цифра в восьмеричной записи числа 3886. Частное
равное 7 на 8 уже не делится, значит 7 – первая цифра в восьмеричной записи
числа 3886. Итак, 3886
10
= 7456
8
.
Проведенные выкладки удобно представить следующим образом:
Ответ: 3886
10
= 7456
8
.
Задача. Перевести дробное число 0,8944
10
в пятеричную систему
счисления.
Решение
Воспользуемся правилом перевода из десятичной в q-ичную систему
счисления дробных чисел:
3886
32
68
64
46
40
6
8
485
48
5
8
60
56
4
8
7
Согласно пункту 4 правила запись дробного числа начинается с целой
части первого произведения, следовательно, 0,8944
10
= 0,4214
5
. И
действительно, когда переводили число 34,4214
5
в десятичную систему (см.
выше), мы получили 19,8944
10
, то есть дробные части этих чисел совпадают
0,8944
10
= 0,4214
5
.
Ответ: 0,8944
10
= 0,4214
5
.
Задача. Перевести смешанное число 19,8944
10
в пятеричную систему
счисления.
Решение
Согласно правилу перевода смешанных чисел из десятичной системы,
нужно отдельно перевести в пятеричную с. с. целую часть числа и отдельно –
дробную. Дробную часть нашли в предыдущем примере 0,4214
5
. Переведем
19
10
в пятеричную систему:
Получаем, что 19
10
= 34
5
. Итак, 19,8944
10
= 34,4214
5
. Проведенный в
предыдущем типе задач перевод числа 34,4214
5
в десятичную систему дал
аналогичный результат, что подтверждает полученный результат.
Ответ: 19,8944
10
= 34,4214
5
.
0, 8944
• 5
4, 4720
• 5
2, 3600
• 5
1, 8000
• 5
4, 0000
19
15
4
5
3
III тип. Перевод из p-ичной системы счисления в q-ичную
Задача. Перевести 3201
4
в восьмеричную систему счисления.
Решение
Переведем число вначале в десятичную систему счисления, затем
полученное число из десятичной системы переведем в восьмеричную:
3201
4
→ y
10
→ z
8
.
3201
4
= 3 • 4
3
+ 2 • 4
2
+ 0 • 4
1
+ 1• 4
0
= 3 • 64 + 2 • 16 + 0 + 1 = 225
10
.
Итак, 3201
4
= 341
8
.
Ответ: 3201
4
= 341
8
.
Задача. Составить двоично-шестнадцатеричную таблицу.
Решение
0
16
= 0
2
;
1
16
= 1
2
;
2
16
= 2
10
; переведем 2
10
в двоичную систему:
2
16
= 2
10
= 10
2
.
Аналогично, получаем 3
16
= 3
10
= 11
2
; 4
16
= 4
10
= 100
2
; 5
16
= 5
10
= 101
2
; 6
16
=
6
10
= 110
2
; 7
16
= 7
10
= 111
2
; 8
16
= 8
10
= 1000
2
; 9
16
= 9
10
= 1001
2
; A
16
= 10
10
= 1010
2
;
B
16
= 11
10
= 1011
2
; C
16
= 12
10
= 1100
2
; D
16
= 13
10
= 1101
2
; E
16
= 14
10
= 1110
2
; E
16
=
15
10
= 1111
2
.
Сведем полученные данные в таблицу 13.
2
2
0
2
1
225
16
65
64
1
8
28
24
4
8
3
Таблица 13
Двоично-шестнадцатеричная таблица
16 2 16 2
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
Задача. Перевести 11001010011101
2
из двоичной системы счисления в
шестнадцатеричную.
Решение
Согласно правилу перевода целого двоичного числа в систему счисления
с основанием
q = 2
n
, (в данном случае q = 16, n = 4) разделим число на группы
по четыре цифры, начиная справа: 11 0010 1001 1101. В крайней слева группе
оказалось 2 цифры, поэтому дополним ее нулями: 0011 0010 1001 1101.
Используя данные из таблицы 13, заменим двоичную группу на
соответствующую шестнадцатеричную цифру: 3 2 9 D.
Итак, 11001010011101
2
= = 329D
16
.
Ответ: 11001010011101
2
= 329D
16
.
Задача. Перевести 8BFD
16
в двоичную систему счисления.
Решение
Согласно правилу перевода числа, записанного в системе счисления с
основанием
q = 2
n
в двоичную системы счисления, и используя данные
таблицы 13, 8 заменим ее двоичным эквивалентом 1000, B – 1011, F – 1111, D –
1101. Итак, получаем 8BFD
16
= 1000101111111101
2
.
Ответ: 8BFD
16
= 1000101111111101
2
.
IV тип. Арифметические операции в различных системах счисления
Задача. Выполнить действие в четверичной системе счисления:
13023
4
+ 3323
4
.
Решение
Воспользуемся правилом сложения чисел в
q-ой системе счисления.
То есть запишем второе слагаемое под первым, так чтобы разряды чисел
находились друг под другом:
Сложим цифры первого разряда справа по правилам десятичной системы:
3+3 = 6, т. е. имеем случай, когда сумма больше основания системы счисления
(4). Представим 6 в четверичной с. с.: 6
10
= 1 • 4 + 2 = 12
4
. Таким образом, в
первый разряд ответа запишем 2, а 1 перенесем в следующий разряд (2 пишем,
1 в уме).
Сложим цифры второго разряда справа по правилам десятичной системы:
2 + 2 + 1 = 5. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 5 в
четверичной с. с.: 5
10
= 1 • 4 + 1 = 11
4
. Таким образом, во второй разряд ответа
запишем 1, а 1 перенесем в следующий разряд (1 пишем, 1 в уме).
Сложим цифры третьего разряда справа по правилам десятичной системы: 0
+ 3 + 1 = 4. Сумма равна основанию системы счисления (4). Представим 4 в
четверичной с. с.: 4
10
= 1 • 4 + 0 = 10
4
. Таким образом, в третий разряд ответа
запишем 0, а 1 перенесем в следующий разряд (0 пишем, 1 в уме).
13023
4
13323
4
12
4
1
13023
4
13323
4
2
4
13023
4
13323
4
1
Сложим цифры четвертого разряда справа по правилам десятичной
системы: 1 + 3 + 3 = 7. Сумма больше основания системы счисления (4).
Представим 7 в четверичной с. с.: 7
10
= 1 • 4 + 3 = 13
4
. Таким образом, в
четвертый разряд ответа запишем 3, а 1 перенесем в следующий разряд (3
пишем, 1 в уме).
Сложим цифры пятого разряда справа по правилам десятичной системы:
1 + 1 + 1 = 3. Сумма меньше основания системы счисления (4). Таким образом,
в пятый разряд ответа запишем 3, а в следующий разряд переносить ничего не
нужно.
Ответ: 33012
4
Задача. Выполнить действие в 6-ой системе счисления:
530002
6
– 42455
6
Решение
Запишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие
разряды находились друг под другом:
Цифра вычитаемого в первом разряде меньше соответствующей цифры
уменьшаемого, цифры следующих четырех разрядов равны нулю, поэтому
цифру 3 из пятого (справа) разряда уменьшаемого уменьшим на единицу
13023
4
13323
4
012
4
1
13023
4
13323
4
3012
4
1
13023
4
13323
4
33012
4
530002
6
42455
6
(«займем единицу»), а нули увеличим до q-1, т. е. до 5 (6-1). В первом разряде
уменьшаемого к 2 добавим
q = 6 и из полученных восьми отнимем 5, получим 3
– первую (с конца) цифру результата., по правилам десятичной с.с.:
Точки будут напоминать о том, что из 3 произвели заем одной единицы, а
нули заменили 5. Цифра, стоящая во втором разряде уменьшаемого, стала 5, 5 –
5 = 0. Цифра, стоящая в третьем разряде уменьшаемого, стала 5, 5 – 4 = 1.
Цифра, стоящая в четвертом разряде уменьшаемого, стала 5, 5 –
2 = 3.
В пятом разряде уменьшаемого вместо цифры 3 уже 2, в шестом разряде
вычитаемого 4. 2 < 4, следовательно, из шестого
разряда уменьшаемого займем
единицу (5-1 = 4), а в пятом разряде уменьшаемого к 2 добавляем
q = 6,
получим 8, и теперь из 8 вычтем 4, получим 4.
Точка над 5 означает, что из нее заняли единицу, теперь в шестом разряде
уменьшаемого стоит 4. В шестом разряде вычитаемого ничего нет, что
подразумевает 0. Итак, 4 – 0 = 4.
Ответ: 443103
6
.
530002
6
42455
6
443103
6
•
530002
6
42455
6
3103
6
• • • •
530002
6
42455
6
3
6
• • • •
530002
6
42455
6
43103
6
•
Задача. Пользуясь сложением, составить двоично-шестнадцатеричную
таблицу.
Решение
0
16
= 0
2
; 1
16
= 1
2
, 2 в шестнадцатиричной получается увеличением
единицы на 1. 2
16
= 1
16
+ 1
16
= 1
2
+ 1
2
= 2
10
= 1 • 2 + 0 = 10
2
. 3
16
= 2
16
+ 1
16
= 10
2
+
1
2
= 11
2
. Далее аналогично. Процесс сложения в двоичной системе счисления
представлен в таблице 14.
Таблица 14
Процесс получения двоично-шестнадцатеричной таблицы
16-я Действие
в двоичной
Результат
в двоичной
16-я Действие в
двоичной
Результат
в двоичной
0
16
0
2
0
2
8
16
1000
2
1
16
1
2
1
2
9
16
1001
2
2
16
10
2
A
16
1010
2
3
16
11
2
B
16
1011
2
4
16
100
2
C
16
1100
2
1 1
1011
2
1
2
1100
2
1010
2
1
2
1011
2
1
1001
2
1
2
1010
2
1000
2
1
2
1001
2
1 1 1
111
2
1
2
1000
2
1
11
2
1
2
100
2
1
1
2
1
2
10
2
10
2
1
2
11
2
16-я
Действие
в двоичной
Результат
в двоичной
16-я
Действие
в двоичной
Результат
в двоичной
5
16
101
2
D
16
1101
2
6
16
110
2
E
16
1110
2
7
16
111
2
F
16
1111
2
Как видим, результаты, полученные увеличением каждого последующего
двоичного числа на 1, совпадают с результатами, полученными при
непосредственном переводе (таблица 13).
V тип. Дополнительные задачи по системам счисления
Задача. Составить таблицу умножения для пятеричной системы,
используя ее, найти
4302
5
• 324
5
.
Решение
а) Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления:
0 • 0 = 0 • 1 = 0 • 2 = 0 • 3 = 0 • 4 = 0.
1 •
а = а, поэтому 1 • 1 = 1, 1 • 2 = 2; 1 • 3 = 3; 1 • 4 = 4.
2
5
• 2
5
= 2
10
• 2
10
= 4
10
= 4
5
.
2
5
• 3
5
= 2
10
• 3
10
= 6
10
= 1 • 5 + 1 = 11
5
.
2
5
• 4
5
= 2
10
• 4
10
= 8
10
= 1 • 5 + 3 = 13
5
.
3
5
• 3
5
= 3
10
• 3
10
= 9
10
= 1 • 5 + 4 = 14
5
.
3
5
• 4
5
= 3
10
• 4
10
= 12
10
= 2 • 5 + 2 = 22
5
.
4
5
• 4
5
= 4
10
• 4
10
= 16
10
= 3 • 5 + 1 = 31
5
.
Итак, получили таблицу 15.
1110
2
1
2
1111
2
1
1101
2
1
2
1110
2
1100
2
1
2
1101
2
110
2
1
2
111
2
1
101
2
1
2
110
2
100
2
1
2
101
2