Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
Петром. Отчества юношей не соответствуют ни их фамилиям, ни именам. Но
их отчества: Петрович, Максимович и Иванович. У кого какое имя и отчество,
если Максимова точно зовут не Иваном?
Задача 33***. У трех одноклассниц, зеленоглазой, кареглазой, синеглазой,
сумочки и кофты зеленого, коричневого и синего цветов. Причем у каждой
девушки цвет сумочки не совпадает с цветом глаз, а цвет кофты не совпадает
ни с цветом сумочки, ни с цветом глаз. Кому, какого цвета принадлежит
сумочка и кофта, если у зеленоглазой подружки не
коричневая сумка?
Домашнее задание
Вариант 1
1.
Определить, из скольких высказываний состоит предложение.
Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую
связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые
высказывания, обвести кружком логическую связку: «Сегодня солнечный
летний день, значит, на улице жарко, а также нет грозы».
2.
Представить в виде логической формулы высказывание: «Если ты не
заплатил за проезд, то неверно, что тебя оштрафуют или высадят из автобуса».
3.
Представить логическую формулу в виде высказывания на русском
языке:
X
Y
Y
X ∨
⇔
∨ ; C
B
A
∨
⇒
.
4.
Доказать с помощью таблиц истинности логический закон
Дунса Скотта
В
А
А
⇒
∧ .
5.
Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр.
Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно
Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге
выяснилось, что Владимир пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с
Владимиром.
6.
Из трех друзей-меломанов один любит рок-музыку, другой – тяжелый
рок, третий – поп-музыку. Их девушки также предпочитают одно из этих
направлений, но они не любят слушать то, что слушает их друг. Чья девушка,
какую музыку предпочитает, если подруга рокера не слушает поп-музыку?
Вариант 2
1.
Определить, из скольких высказываний состоит предложение.
Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую
связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые
высказывания, обвести кружком логическую связку: «Студент допущен к
экзаменам, следовательно, он сдал все зачеты, а также у него не было много
пропущенных занятий».
2.
Представить в виде логической формулы высказывание: «Будешь
здоровым тогда и только тогда, когда будешь заниматься спортом».
3.
Представить логическую формулу в виде высказывания на русском
языке:
A
B
B
A
∧
⇔
∧ ;
Z
Y
X
⇒
∨ .
4.
Доказать закон косвенного доказательства
(
)
АВВА ⇒∧⇒ )(
.
5.
Преподаватель должен выбрать из трех студентов участников для
олимпиады. Известно, что если он выберет Иванова или Васильеву, то
Синицын тоже будет участвовать. Иванова он возьмет в команду тогда и только
тогда, когда он не возьмет Васильеву. В итоге выяснилось, что Васильева
участвовала в олимпиаде. Участвовали ли другие претенденты? Кто?
6.
Отличник, хорошист, троечник написали контрольную работу на
оценку, не соответствующую их статусу. Кто какую оценку получил, если
известно, что троечник не получил пятерку?
Вариант 3
1.
Определить, из скольких высказываний состоит предложение.
Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую
связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые
высказывания, обвести кружком логическую связку: «В случае, когда
спортсмен не пройдет допинг-контроль или квалификацию, он не будет
допущен к соревнованиям».
2. Представить в виде логической формулы высказывание: «Можно будет
кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето».
3.
Представить логическую формулу в виде высказывания на русском
языке:
C
B
A
C
B
A
∨∨
⇔
∨∨ )()(; QT ∧ .
4.
Доказать условно-разделительное умозаключение
(деструктивная дилемма).
5.
В поход собрались три друга Смирнов, Козлов, Доронин. Руководитель
сказал, что если Смирнов пойдет или Доронин не пойдет, то пойдет Козлов.
Козлов решил, что он пойдет в поход в том и только том случае, когда не
пойдет Доронин. Смирнов отправится в поход в любом случае. Кто из трех
друзей пойдет в
поход?
6.
Бегун, прыгун, метатель молота вытянули жребий для участия в
«Веселых стартах». Одному из них выпало участие в беге, другому в прыжках,
третьему – метание молота, но ни у одного жребий не совпал с их ведущим
видом спорта. Какой спортсмен в каком виде соревнований примет участие,
если известно, что бегун не будет
прыгать?
Вариант 4
1.
Определить, из скольких высказываний состоит предложение.
Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую
связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые
высказывания, обвести кружком логическую связку: «Когда я не выполнил
домашнее задание и пропустил лекцию, мне стыдно идти на занятие».
2.
Представить в виде логической формулы высказывание: «Неверно, что
на Земле нет атмосферы или отсутствует жизнь».
3.
Представить логическую формулу в виде высказывания на русском
языке:
C
B
A
C
B
A
∧∧≡∧∧ )()(; XY
⇔
.
4.
Доказать с помощью таблиц истинности разделительно-категорическое
умозаключение
ВАВА ⇒∧∨ ))(( .
5. В спортивную секцию решили записаться три одноклассника:
Синельников, Абрамов, Воронин. Отношения между одноклассниками
складываются таким образом, что, если Воронин не пойдет, то Синельников и
Абрамов будут заниматься вместе. Синельников не запишется в секцию тогда и
только тогда, когда не запишется Воронин. Тренер сообщил, что Абрамов не
подходит по медицинской справке. Кто
из одноклассников записался в секцию?
6.
Переводчики с французского, английского, немецкого языков поехали в
командировку: один во Францию, другой в Германию, третий – в Англию. Ни
один из переводчиков не попадает в страну, где говорят на языке, с которого он
переводит. Какой переводчик, в какую страну поедет, если известно, что в
Германию не попадает переводчик с английского языка
?
Контрольные вопросы
1. Что изучает математическая логика?
2.
Как определить, что предложение является высказыванием?
3.
Каким союзам русского языка соответствуют операции отрицания,
конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции?
4.
Какие обозначения соответствуют союзам русского языка: … тогда и
только тогда, когда …; и; или; если …, то…; не?
5.
Какие значения истинности принимают операции отрицания,
конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции в зависимости от
значений переменных?
6.
Как формулируется алгоритм перевода с естественного языка на
формальный?
7.
Каким образом осуществить перевод с формального языка на
естественный?
8.
Как доказать логический закон?
9.
Какого типа задачи и каким образом решаются с помощью таблиц
истинности?
10.
Какие задачи логического характера удобно решать с помощью
таблиц, а какие с помощью графов?
Библиографический список
1. Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В.Грес. –
М.: Логос, 2003. – С. 53–60.
2.
Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.:
Питер, 2004. – С. 34.
3.
Турецкий В. Я. Математика и информатика / В.Я. Турецкий. – 3-е
изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – (Серия «Высшее
образование»). – С. 60–75.
4.
Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.:
И.И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во
Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – С. 4–11.
Тема 2. Множества и операции над ними
Цель:
овладеть навыками теоретико-множественного представления объектов
реальной и абстрактной действительности.
Задачи:
1) научиться находить множества и их элементы в окружающей
действительности и в абстрактных структурах;
2)
осуществлять переход от одного способа задания множества к другому и
распознавать возможность такого перехода;
3)
определять мощность множеств;
4)
определять отношения между множествами;
5)
выполнять и определять операции над множествами;
6)
доказывать свойства операций над множествами;
7)
решать практические задачи с применением операций над
множествами.
Общие теоретические сведения
Понятие «множество» является одним из основных понятий математики,
не определяемых через другие. Это понятие можно рассмотреть на примерах.
Пример 1
множество яблок, растущих на яблоне;
множество студентов, обучающихся в ЧГПУ;
множество денежных знаков, находящихся в обороте у населения
Российской Федерации;
множество прямоугольников;
множество двусложных слов в русском языке;
множество букв в английском алфавите, или множество согласных
букв в русском алфавите;
множество натуральных чисел; множество иррациональных чисел.
Определяющие признаки множества:
1)
рассматривается некоторое собрание реально существующих или
абстрактных объектов или явлений;
2)
это собрание объектов или явлений может быть представлено как одно
целое;
3)
природа объектов или явлений, входящих в множество, может быть любая,
но объекты или явления одного множества должны быть одной природы;
4)
все объекты множества должны отличаться друг от друга.
5)
Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A,
B, C, …, Z. Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.
Элементы множества обозначаются строчными буквами латинского алфавита:
a,
b, c, …, z.
Принадлежность элемента к какому-либо множеству записывается с
помощью символа
∈. Математическое выражение a ∈ A означает, что объект а
принадлежит множеству
А, а выражение a ∉ A означает, что объект а не
принадлежит множеству
А.
Способы задания множества:
1) через характеристическое свойство: D =
{
}
)(| y
P
y , где P(y) –
характеристическое свойство множества
D;
2)
перечислением всех элементов множества.
Элементы конечного множества можно перечислить, а элементы
бесконечного множества даже теоретически нельзя собрать в законченную
совокупность. Конечные множества можно задать как перечислением, так и с
помощью характеристического свойства. Бесконечные множества задаются
только с помощью характеристического свойства.
Мощность конечного множества – это количество элементов, которые
принадлежат данному множеству, обозначается как
m (A), что означает
мощность множества
А.
Пустое множество – это множество, не содержащее элементов.
Мощность пустого равна 0
.
Отношения между множествами представлены в таблице 9.
Таблица 9
Отношения между множествами
Отношение.
Диаграмма Эйлера-
Венна
Определение Условная
запись
Условия
проверки
В строго включается в
А
В подмножество А
Если каждый
элемент множества
B является
элементом
множества
А, и в
множестве
А есть
хотя бы один
элемент, не
принадлежащий
В,
то говорят, что
множество
В строго
включается в
множество
А
А
В
⊂
1) (
В
х
∈
∀
)
А
х
∈
2)
()
В
у
А
у ∉∈∃
В нестрого
включается в
А
В
Если каждый
элемент множества
B является
элементом
А
В
⊆
(
В
х
∈
∀
)
А
х
∈
В
А
х
В
А
подмножество А множества А, то
говорят, что
множество
В
нестрого
включается в
множество
А
А равно В
Если
А
В
⊆ и
В
А
⊆ , то
множества
А и В
называются
равными.
Обозначаются как
А
=
В
А = В
1) (
В
х
∈
∀
)
А
х
∈
2) (
А
y ∈
∀
)
В
y ∈
А и В пересекаются
Если множества А и
В имеют общие
элементы, то такие
множества
называются
пересекающимися
≠∩ А
В
ø
()
В
х
А
х
∈∈∃
А и В не пересекаются
Если два множества
не имеют общих
элементов, то они
называются
непересекающимися
А
В
∩ =
ø
1)
В
х
А
х
∉∈
∀
)(
2)
A
у
В
у ∉∈
∀
)(
Из элементов нескольких множеств можно образовывать новые
множества, такие преобразования называются
операциями над множествами.
Основные операции над множествами представлены в таблице 10.
Таблица 10
Операции над множествами
Операция.
Диаграмма Эйлера-
Венна
Обозначение и
характеристическо
е свойство
Определение
Пересечение
А
∩
В = Пересечением множеств А и В
А
=
В
А
x
y
z
А
х
В
у
= {x | x ∈ A ∧ x ∈
B}
называется множество,
состоящее из тех и только тех
элементов, которые
принадлежат множеству
А и
множеству
В
Объединение
А
∪
В =
=
{
}
В
х
А
х
х
∈∨∈|
Объединением множеств А и В
называется такое множество,
все элементы которого
принадлежат множеству
А или
множеству
В
Разность
А\В =
=
{
}
В
х
А
х
х
∉∧∈|
Разностью множеств А и В
называется множество,
содержащее все элементы,
которые принадлежат
множеству
А и не принадлежат
В
В случае, когда В – подмножество А (В
⊂ А), разность А\В называют
дополнением множества В до множества А и обозначают
С
А
В.
Множество, объединяющее несколько множеств, называется
универсальным для данных множеств. Универсальное множество –
неоднозначно. Например, рассматриваемые множества А – множество кошек, В
– множество собак, С – множество коров. Для множеств А, В, С универсальным
являются множества U
1
– множество домашних животных, U
2
– множество
млекопитающих, U
3
– множество четвероногих.
Основные свойства операций над множествами
B
A
В
А
В
А
/
В
А
∪
А
В
В
А
∩
А
В
С
А
В
1.
А
В
В
А
∩=∩ 1’.
А
В
В
А
∪
=
∪
Коммутативное свойство операций пересечения и объединения
соответственно.
2. )()( С
В
А
С
В
А
∩∩=∩∩ 2’. )()( С
В
А
С
В
А
∪
∪
=
∪
∪
Ассоциативное свойство операций пересечения и объединения
соответственно.
3. )()()( С
А
В
А
С
В
А
∩
∪
∩=
∪
∩ 3’. )()()( С
А
В
А
С
В
А
∪
∩
∪
=∩
∪
Дистрибутивное свойство операции пересечения относительно
объединения и операции объединения относительно пересечения
соответственно.
4.
А
В
А
А
=
∪
∩ )( 4’.
А
В
А
А
=∩
∪
)(
Закон поглощения.
5.
А
А
А
=∩ 5’.
А
А
А
=
∪
Законы идемпотентности.
6. (А\В)\С = (А\С)\В.
7. (
В
А
∪
)\С = )
\
()
\
( С
В
С
А
∪
.
8. )(
\
)()
\
( С
В
С
А
С
В
А
∩∩=∩ .
9. )
\
()
\
()(
\
С
А
В
А
С
В
А
∩=
∪
.
10. )
\
()
\
()(
\
С
А
В
А
С
В
А
∪
=∩ .
Типы практических задач, для решения которых используется
теория множеств
Разбиение множеств. Классификация
Классификация – действие распределения объектов по классам.
Любая классификация связана с разбиением некоторого множества
объектов на подмножества. При этом считают, что множество разбито на
классы Х
1
, Х
2, …,
Х
n, …,
если:
1)
подмножества Х
1
, Х
2, …,
Х
n, …
попарно не пересекаются;
2)
объединение подмножеств Х
1
, Х
2, …,
Х
n, …
совпадает с множеством Х.