Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике

Подождите немного. Документ загружается.

Таблица 7.1

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы

с к з

б) Из условия следует, что у Синельниковой нет синей и зеленой ручки, у

Красновой нет красной, у Зелениной отсутствует зеленая ручка. Поставим в

соответствующих ячейках таблицы знаки «–» (табл. 7.2.).

Таблица 7.2

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)

с к з

– –

–

в) У Синельниковой нет ни зеленой, ни синей ручки, следовательно, у нее

может быть только красная ручка. Поэтому у других подружек уже не может

быть красной ручки. Отобразим это в таблице 7.3.

Таблица 7.3

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)

с к з

–+–

–

––

г) Из таблицы 7.3 очевидно, что синяя ручка может быть только у

Зелениной, а зеленая ручка может быть только у Красновой. Получим итоговую

таблицу (табл. 7.4.).

Таблица 7.4

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (итог)

с к з

–+–

––+

+––

Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая, у

Зелениной – синяя.

Примечание 1. Задачу можно решить и простым перебором вариантов, но

фиксирование результатов рассуждений в таблице делает решение более

наглядным и позволяет не упустить ни одну версию.

Примечание 2. Задача решается и с помощью графов. Рассмотрим подобное

решение при тех же условиях задачи.

Графом на плоскости называется конечное множество точек плоскости,

где некоторые из них соединены линиями. Точки –

вершины графа;

соединяющие их линии –

ребра. Степень вершины графа – количество ребер,

исходящих из этой вершины.

Решение

Таблица 8

Решение задачи с помощью графа

Граф Пояснение

а)

а) В задаче идет речь о двух

множествах: множество фамилий (С –

Синельникова, К – Краснова, З –

Зеленина) и множество цветов (с –

синий, з – зеленый, к – красный).

Построим граф с соответствующими

вершинами

б) Соответствующие элементы двух множеств будем соединять сплошным

ребром (линией), а несоответствующие – пунктирной.

Граф Пояснение

в)

в) Прочитаем условие.

Так как у каждой подружки ручка

цветом, не соответствующим

фамилии, то соединим С и с, К и к, З

и з пунктирной линией, как не

соответствующие элементы

г)

г) Так как у Синельниковой нет

зеленой ручки, то соединим С и з

пунктирной линией, как не

соответствующие элементы.

Единственным вариантом остается,

что у Синельниковой ручка красного

цвета. Соединим С и к сплошной

линией как соответствующие

элементы

д)

д) З и к соединим пунктирной

линией, как не соответствующие

элементы. Так как у Зелениной нет

ни красной, ни зеленой ручки, то у

нее синяя ручка. Соединим З и с

сплошной линией как

соответствующие элементы, и К и с –

пунктирной, как не соответствующие

элементы

е)

е) По графу видно, что у Красновой

нет ни синей, ни красной ручки,

следовательно, у нее может быть

лишь зеленая ручка. Соединим К и з

сплошной линией как

соответствующие элементы

Ответ:

у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая, у

Зелениной – синяя.

Примечание 3. Подобные задачи логического характера рационально

решать с помощью таблиц, когда в условии фигурируют два множества с

числом элементов более 2. Если в задаче участвуют три и более множества с

несколькими элементами, то она решается с помощью графов.

Задачи для самостоятельного решения

I тип

Задача 1*. Определить, является ли предложение высказыванием.

Высказывания обозначить и определить их истинность:

а) Сегодня воскресенье.

б) Дисплей – это устройство ввода информации.

а) Проверь домашнее задание.

в) Математика – это наука о количественных отношениях

и пространственных формах действительного мира.

г) День был дождливым?

д)

19 делится на 5 без остатка.

е) Какой красивый дом!

ж) Александр Сергеевич Пушкин – великий поэт серебряного века.

Задача 2*.

Определить, из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую

связку:

а) Купаясь в неположенном месте, человек может утонуть.

б) В повествовательном предложении ставится точка, а может быть

многоточие.

в) Ленивому студенту трудно учиться.

г) Студента переводят на следующий курс, когда он не имеет

задолженностей.

д)

Чапаев – герой Гражданской войны, а также современных анекдотов.

е) Вода при температуре менее 0 градусов – лед.

ж) Проигравший теннисист выходит из соревнований.

Задача 3*. Для высказываний, сформулированных в задании 2, подчеркнуть

простые высказывания, обвести кружком логическую связку.

Задача 4**. Определить, из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую

связку:

а) Лампочка горит, когда есть электричество.

б) На яблоне растут яблоки.

в) У блондина белый цвет волос.

г) Спортсмен – олимпийский чемпион, следовательно, он победитель

Олимпийских игр.

д) Студент, не сдавший всех зачетов, не допускается

до экзаменов.

е) Зимой на улице холодно.

ж) Спортсмен вышел в полуфинал вследствие того, что выиграл четверть

финала.

з) Встречаясь, люди приветствуют друг друга.

Задача 5**. В высказываниях, сформулированных в задании 4, подчеркнуть

простые высказывания и обвести кружком логическую связку.

Задача 6***. Определить, из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее

подходящую логическую

связку:

а) Чтобы сдать зачет, студенту необходимо: решить все домашние

задания, написать контрольную работу на положительную оценку, посещать

все лекции.

б) Порядочный человек извинится, а также постарается загладить вину в

случае, когда он кого-то сильно обидел.

в) Спортсмен будет дисквалифицирован в случае, когда он нарушает

правила

либо некорректно ведет себя по отношению к сопернику.

Задача 7**. В высказываниях, сформулированных в задании 6, подчеркнуть

простые высказывания и обвести кружком логическую связку.

II тип

Задача 8*. Представить высказывания в виде логических формул:

а) Если пойдешь гулять, то возьмешь с собой зонт или наденешь плащ.

б) Человек голоден тогда и только тогда, когда он не умеет готовить.

Задача 9**. Представить высказывания в виде логических формул:

а) Студент не сдал сессию, следовательно, он будет

отчислен.

б) Я буду отдыхать, если начнутся каникулы.

в) Неверно, что Земля плоская и вращается вокруг Солнца.

г) Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда

наступит лето.

Задача 10***. Представить предложения в виде логических формул, если это

возможно:

а) Прочитай книгу и сходи в кино.

б) Выучил уроки

, если помыл посуду.

в) Если сдал экзамен или зачет, можешь отдохнуть с друзьями.

III тип

Задача 11*. Представить логическую формулу в виде высказывания на

русском языке:

а)

∨

б)

⇔

в)

⇒

г)

∧

д)

⇒

е)

⇔

Задача 12**. Представить логическую формулу в виде высказывания на

русском языке:

а)

TQP ∧⇒

б)

⇒

∧

в)

HGD ∨

⇒

г) C

∨

⇒

)(

д)

∨

⇔

е)

⇔

∨ )(

Задача 13***.

Представить логический закон в виде высказывания на русском

языке:

а)

чисто условное умозаключение )())()(( C

⇒

∧

⇒

б)

закон де Моргана ВАВА ∧⇒∨ )(

в)

закон Дунса Скотта

⇒

∧

г)

закон косвенного доказательства

(

)

АВВА ⇒∧⇒ )(

д) modus ponens (модус утвердительный)

⇒

∧

⇒

))((

е)

modus tollens (модус отрицательный) АВВА ⇒∧⇒ )(

ж)

Разделительно-категорическое умозаключение ВАВА

⇒

∧∨ ))((

з)

Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма)

)())()()((

DС

∨

⇒

∧∧

⇒

∧

⇒

и)

Условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма)

)())()()(( CADВDСВА ∨⇒∨∧⇒∧⇒

IV тип

Задача 14*.

Построить таблицы истинности для формул:

а)

BAC

⇒

∧

б)

CACA ∧∨∧

в)

YZX

⇒

∨

г)

CABA ∧

⇔

∨

д)

(

)

ZYX ∧⇒

е)

ZYZX ∨

⇒

∧

Задача 15**. Определить, являются ли формулы тождественно истинными:

а)

CBCACBA ∧∨∧

⇔

∧∨ )(

б)

BABA ∧

⇔

⇒

в)

ABA ∧

⇒

г) BABA ∨

⇔

⇒

д)

()()()

CABACBA ∨∧∨

⇔

∧∨

е)

BABA ∧

⇔

⇒

Задача 16***.

Доказать с помощью таблиц истинности логические законы:

а)

BABA ∨

⇔

⇒

б)

BABA ∧

⇔

∨

в)

чисто условное умозаключение

г) modus ponens (модус утвердительный)

д)

modus tollens (модус отрицательный)

е)

Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма)

V тип

Задача 17*.

Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в

кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут

одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В

итоге выяснилось, что Андрей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с

Андреем?

Задача 18*. У сороки было трое птенцов: А, В, С. Кого сорока угостила кашей,

если известно, что если она угостит

А и С, то и В получит свою порцию. Также

известно, что

А не угостит тогда и только тогда, когда не угостит С.

Задача 19**. В кабинете работают начальник, секретарь и заместитель

начальника. Вечером был сломан калькулятор. В кабинете установлена

видеокамера, охранник выдал заведомо ложную информацию о том, что если в

кабинете в момент поломки был заместитель и не было начальника, то в

кабинете присутствовал секретарь. Кто сломал калькулятор?

Задача 20**. В картинной галерее украдено полотно. В момент кражи в галерее

могли находиться три человека: охранник, смотритель и уборщица. В ходе

допроса смотритель сказал: «Если в момент кражи в помещении был я, то не

было уборщицы или был охранник». Затем следствие выяснило, что смотритель

солгал. Кто украл полотно?

Задача 21**. С урока сбежали три ученицы Аня, Вика и Соня. Кто был

инициатором, если Вика, желая защитить подруг, сказала заведомую ложь:

«Если я инициировала прогул, то Аня или Соня не были инициаторами»?

Задача 22***. Трех учеников учитель заподозрил в том, что они списали

домашнее задание. Сидоров сказал: «Анохин списал, а Викторов нет». Анохин

сказал: «Викторов не списывал и Синицын не списывал». Викторов заметил:

«Списал Анохин или Сидоров». Потом все три ученика признались, что сказали

неправду. Кто списал на самом деле?

Задача 23***. Позвал отец трех сыновей и спросил, чью стрелу поймала

царевна-лягушка. Младший молвил: «Стрелы старшего и среднего братьев

попали в болото». Средний вторил: «Стрелы младшего или старшего оказались

в болоте». Старший произнес: «Стрела среднего не очутилась в болоте или

стрела младшего угодила туда». Кто женится на царевне-лягушке, если из

братьев только один сказал правду?

Задача 24***. На рождество три подруги гадали на женихов. В результате они

получили три предсказания. Первое: «Если Лена выйдет замуж, то Таня тоже

выйдет». Второе: «Если Лена выйдет замуж, то Оля не выйдет». Третье: «Таня

выйдет замуж в том и только том случае, когда выйдет Оля». Жизнь показала,

что ни одно предсказание не

сбылось. Кто вышел замуж?

Задача 25***. Куратор группы спросил у трех студентов о задолженностях за

сессию. Татьяна сказала, что у Димы нет задолженностей и у Бориса нет. Дима

сказал, что Борис имеет задолженности, а Татьяна нет. Борис сказал, что у него

нет задолженностей, а у Татьяны есть. Потом студенты признались, что один из

них сказал неправду.

Кто на самом деле имеет долги за сессию?

VI тип

Задача 26*.

После угона четыре машины: «Жигули», «Волга», «Запорожец» и

«Москвич» были перекрашены в один цвет. Известно, что до угона машины

были разных цветов: желтого, зеленого, синего, красного. Показания

свидетелей позволили выявить следующее. Во-первых, водитель «Жигулей»

возил владельца машины желтого цвета, и это был не водитель «Волги». Во-

вторых, пассажирами на синей машине видели водителей «Волги» и

«Запорожца». В-третьих, водитель «Жигулей» не любит синий цвет, так же

сильно, как водитель «Волги» не любит красный цвет. Какой цвет

соответствовал каждой марке машины до угона?

Задача 27*. Один из друзей – Андрей, Борис, Владимир, Григорий – археолог,

другой юрист, третий физик, четвертый художник. Определить, у кого какая

профессия, если известно, что Владимир учился с археологом и юристом в

одном вузе. Археолог с Андреем и Григорием ходили в экспедицию. Художник

написал портреты Владимира и Григория.

Задача 28*. Сестры Лена, Настя, Даша поссорились с тремя подругами Викой,

Машей, Олей. Когда родители попытались выяснить, кто с кем поссорился,

Лена сказала: «Я не ссорилась с Викой». Настя призналась: «Я поругалась с

Викой». Даша ответила: «Однозначно, что я до сих пор дружу с Машей». Кто с

кем поссорился?

Задача 29**. Три брата: старший, средний, младший женились на трех сестрах

другой семьи. Младший брат женился не на младшей сестре, средний не на

средней, старший не на старшей. Какой брат на какой сестре женился, если

известно, что старшая сестра вышла замуж не за младшего брата?

Задача 30***. Один из друзей-писателей пишет детективы, другой – комедии,

третий – фантастику. Их жены не любят читать книги жанров, в которых пишут

их мужья. Дети писателей не читают то, что пишут отцы, и то, что читают их

матери. Какой жанр из этих трех жанров предпочитают жены и дети писателей,

если жена фантаста

не любит детективы?

Задача 31***. У трех подружек Черновой, Рыжовой, Беловой цвет волос не

соответствует фамилии. Одна из них блондинка, другая рыжая, третья

брюнетка. Девушки носят костюмы цвета, не соответствующего цвету волос и

фамилии. У кого какой цвет волос, и какого цвета костюмы носят девушки,

если Чернова не блондинка?

Задача 32***. У Петрова, Иванова, Максимова имена не соответствуют

фамилиям, но при этом одного зовут Максимом, другого Иваном, третьего