Georgi, Howard. Physics 16 - Mechanics and Special Relativity (англ.)
Подождите немного. Документ загружается.
We have talked about this relation before, but it is so important that I want to give you several ways
of remembering it. This can be seen in various ways. One of the nicest is to differentiate both sides
of the equation r
2
= ~r ·~r,
∂
∂ ~r
r
2
= 2r
∂r
∂ ~r
=
∂
∂~r
~r ·~r = 2~r (17)
from which (16) follows immediately. Another way of seeing this handy fact is to think about
what r looks like considered as a function of the components of ~r. This is easier to visualize in
two dimensions, where we can plot r =
√
x
2
+ y
2
versus x and y, and the result is a cone standing
on its tip:
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with the y axis going into the paper. Now
∂
∂~r
is the gradiant operator
~
∇ that points in the direction
in which the function it acts on is increasing, and has magnitude equal to the rate of increase. But
the r function described by the cone increases linearly as one goes away from the origin in every
direction, which is another way of seeing (16).
Energy and angular momentum
One of the most important consequences of angular momentum conservation for motion in a central
force is that the motion is confined to a plane. This follows because
~
L = ~r × ~p = m ~r × ~v, it is
perpendicular to both ~r and ~v:
~r ·
~
L = ~v ·
~
L = 0 (19)
Therefore both the position vector and the velocity are always in the plane through the origin
perpendicular to
~
L.
8
It is therefore very convenient to analyze the motion in polar coordinates in the plane of the
motion. Let us rotate our coordinate system until the motion is in the x-y plane. The angular
momentum is then in the z direction, and we can define our polar coordinates by
x = r cos θ y = r sin θ (20)
In this coordinate system, the problem of finding the motion reduces to an equivalent problem
in two dimensions. Because we know from the outset that z is going to be zero throughout the
motion, we can ignore z completely and describe the system in terms of r and θ.
The square of the speed looks simple in both cartesian and in polar coordinates because
˙x
2
+ ˙y
2
= ˙r
2
+ r
2
˙
θ
2
(21)
which you can see either directly by differentiating (20) or by staring at the picture below and
noting that the component of the velocity in the radial direction is perpendicular to the component
of the velocity in the angular direction.
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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˙r
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˙
θ
θ
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The Lagrangian for this equivalent two dimensional problem is
L( ˙r,
˙
θ, r, θ) =
1
2
m ˙r
2
+
1
2
m r
2
˙
θ
2
− V (r) (22)
The Lagrange equation for ¨r is
d
dt
∂L
∂ ˙r
=
∂L
∂r
(23)
or
m ¨r = m r
˙
θ
2
− V
0
(r) (24)
The Lagrange equation for
¨
θ is
d
dt
∂L
∂
˙
θ
=
∂L
∂θ
(25)
9
or
d
dt
m r
2
˙
θ = 0 (26)
This expresses conservation of angular momentum in polar coordinates, because
m r
2
˙
θ = m r v
θ
= [m ~r ×~v]
z
(27)
Thus
m r
2
˙
θ = L
˙
θ =
L
m r
2
(28)
where L is the nonzero z component of
~
L = L ˆz.
So far, everything we have done is valid even if V (r) depends on time explicitly. But usually,
we are interested in a V (r) that is time independent, in which case there is a conserved energy,
E =
1
2
m ˙r
2
+
1
2
m r
2
˙
θ
2
+ V (r) (29)
Because the angular momentum, L, is constant, we know
˙
θ if we know r and L. Thus we can now
eliminate
˙
θ from the energy and write
E =
1
2
m ˙r
2
+
1
2
L
2
m r
2
+ V (r) (30)
This is a very important equation. As with most important equations, I hope that you will not so
much memorize it as understand the logic so well that you can reproduce it instantly whenever you
need it. In this case, the logic is conservation of energy and angular momentum. Among other
things, (30) implies that a particle with nonzero angular momentum can never get to the origin,
unless the potential goes to minus infinity as fast as 1/r
2
. The
1
2
L
2
m r
2
acts as a barrier (sometimes
called the “angular momentum barrier” — clever, no?) that keeps it away. Thus for reasonable
potentials, there is some radius of closest approach to the origin for any motion with nonzero L.
V (∞) = 0
We can learn a certain amount about what goes on for a particular central force law just from (30).
Here I will briefly discuss this, referring to a DOS program (central-force.exe) on the web
site.
Consider an attractive potential that goes to zero as r → ∞. For definiteness, lets consider a
class of potentials
V (r) = −α r
−β
(31)
for positive α and β. This is nice because it includes the gravitational potential. For potentials of
10
this form, (30) looks more of less like this:
0
0
r →
↑
V (r)
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............
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(32)
The nature of the orbit depends on the energy. If E is positive, there is a point of closest
approach, but the particle then goes out to infinity with nonzero kinetic energy.
0
0
r →
↑
V (r)
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............
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E
(33)
Basically, orbits with positive energy look pretty much the same so long as the potential is not
really weird. But if E is negative, then things get more interesting. The particle cannot get out to
11
r = ∞ so the orbiting mass must move back and forth between a minimum and maximum radius.
0
0
r →
↑
V (r)
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............
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E
(34)
But the details of what the orbit looks likes in two dimensions is very complicated in general.
For the −1/r potential, the orbit closes. But that is not true for β 6= 1. We can look at these
numerically in central-force.exe.
Note that except for β = 1, the point of closest approach to the origin (called the “perihelion”
— the point farthest away is called the “aphelion”, though this term is almost never used) moves
or “precesses” as the mass orbits. If β > 1, the perihelion precesses in the same direction
in which the mass is orbiting. In this case, we say that the perihelion “advances” as the
mass orbits. One way to think about this is that the force increases faster than 1/r
2
as
the mass approaches the origin, and therefore the particle gets pulled in closer. But then
its angular velocity is higher because of conservation of angular momentum and it swings
around further. For β < 1, the reverse is true. The advance of the perihelion of mercury is a
famous test of Einstein’s theory of general relativity. The fact that it is an advance means that
including the effect of general relativity makes gravity more like β > 1, at least for orbits.
One way to think about this qualitatively is to say that gravity pulls not just on the mass of
the planet, but on the energy, so the effect of gravity increases faster than you expect as
the planet gets close to the sun and moves pulls the planet farther around the sun, so the
perihelion advances.
For the minimum possible energy, things get simple again. The minimum possible orbit for a
12
given angular momentum corresponds to a circular orbit.
0
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r →
↑
V (r)
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............
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E
Derivation of fictitious forces
The crucial input to the study of fictitious forces is that the motion of an arbitrary accelerating
frame, like an arbitrarily moving rigid body, can be described at any time by the motion of its
origin,
˙
~
R, and by its angular velocity of rotation about the origin, ~ω. Many of the same ideas that
go into thinking about the physics of rotating rigid bodies can be taken over directly to the study
of rotating reference frames. The frame of reference in which the rigid body is at rest is obviously
a good one to think about when discussing a rigid body, and if the body is rotating, then of course
this frame is rotating too.
The basic idea of fictitious forces is this. If I insist on using an accelerating and/or rotating
reference frame, then particles that are moving at constant velocity in free space will appear to be
accelerating. In order to make
~
F = m~a work in such an non-inertial frame, we simply interpret
this acceleration as being due to a force, called the fictitious force. More specifically, we break m a
up into a piece associated with the frame and all the rest and move the “frame” part to the other
side of the equation, treating it as a force:
~
F
on bo dy
wrto
inertial
frame
= m~a
of bo dy
wrto
inertial
frame
= m~a
of body
wrto
accel.
frame
+ m~a
accel.
frame
(35)
“
~
F
on bo dy
wrto
accel.
frame
” =
~
F
on body
wrto
inertial
frame
−m~a
accel.
frame
| {z }
fictitious
force
= m~a
of bo dy
wrto
accel.
frame
(36)
The fictitious force is always proportional to the mass of the particle, because of the m in
~
F = m~a.
Here is a brief derivation of the fictitious forces. It is equivalent to what you will read about
in Morin’s book, but it breaks the transformation to the accelerating coordinate system up into two
13
steps, for me at least, this makes it a little simpler to understand. For a coordinate system that
is rotating with angular velocity ~ω about its origin and whose origin is translated by a vector
~
R
(where ~ω and
~
R have arbitrary time dependence) with respect to some fixed point in an inertial
frame, the fictitious force is the sum of four terms:
Centrifugal −m ~ω × (~ω ×~r )
Coriolis −2m ~ω ×~v
Azimuthal −m
˙
~ω ×~r
Translational −m
d
2
~
R
dt
2
(37)
As I said, I think it is easiest to demonstrate (37) in two steps. To go from a coordinate
system fixed in space to one undergoing arbitrary acceleration and rotation, first go from the fixed
coordinate system to a translating coordinate system that is not rotating with respect to the fixed
system, but with its origin accelerating along with the moving coordinate system. We want to
know what happens to
~
F = m~a when we do this. Let’s call the original space frame force and
coordinates
~
F
s
and ~r
s
, and the translating frame force and coordinates
~
F
t
and ~r, so that we begin
with
~
F
s
= m
d
2
dt
2
~r
s
(38)
Then the new coordinates are
~r = ~r
s
−
~
R (39)
and we can write
m
d
2
dt
2
~r = m
d
2
dt
2
³
~r
s
−
~
R
´
=
~
F
s
− m
d
2
dt
2
~r
s
(40)
So that
~
F
t
≡
~
F
s
− m
d
2
dt
2
~
R = m
d
2
dt
2
~r (41)
Thus the equation of motion in the translating coordinate system is the same as in the space frame,
except that the force has a new piece – the fictitious translational force.
It may help to see the relation (39) represented pictorially. In the diagram below the solid axes
and arrow represent the coordinates of a point in the space frame, ~r
s
. The dashed axes and arrow
represent the coordinates of a point in the translating frame, ~r. The dotted arrow is
~
R, which as
14
you can see describes the coordinates of the origin of the translating frame in the space frame.
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............
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~r
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..
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~
R
~
R=~r
s
−~r
~r=~r
s
−
~
R
~r
s
is
space
frame
coord
~r is
moving
frame
coord
~
R is
moving
frame origin
in space
frame coord
(42)
We can now do the rest of the job, and go from a coordinate system (that we will call the
translating frame) to another with the same origin, but that is rotating arbitrarily. We will continue
to call
d
dt
(43)
the derivative that describes how vectors change with respect to translating frame and will indicate
the rate of change of a vector in the arbitrary frame by δ/δt as we did in our study of rigid bodies.
Now we can use the relation that is familiar from our study of rigid bodies,
d
~
A
dt
=
δ
~
A
δt
+ ~ω ×
~
A . (44)
Let
~
A = ~r and (44) becomes
d~r
dt
=
δ~r
δt
+ ~ω ×~r . (45)
Now we can differentiate again in the translating frame and repeatedly make use of (45) —
d
2
~r
dt
2
=
d
dt
δ~r
δt
+
d
dt
(~ω ×~r ) . (46)
=
δ
2
~r
δt
2
+ ~ω ×
δ~r
δt
+
Ã
d
dt
~ω
!
×~r + ~ω ×
d
dt
~r . (47)
=
δ
2
~r
δt
2
+ ~ω ×
δ~r
δt
+
δ~ω
δt
×~r + ~ω ×
δ~r
δt
+ ~ω × (~ω ×~r) . (48)
15
so finally
d
2
~r
dt
2
=
δ
2
~r
δt
2
+ 2~ω ×~v +
δ~ω
δt
×~r + ~ω × (~ω ×~r) . (49)
Now we will replace the δ/δts by dots just to make it look simpler.
d
2
~r
dt
2
=
¨
~r + 2~ω ×~v +
˙
~ω ×~r + ~ω × (~ω ×~r) . (50)
where we have used the fact that ~v =
˙
~r – the velocity with respect to the arbitrary frame.
Finally we just have to put (50) into (41) and move the “fictitious” terms to the other side to
get the equation of motion in the arbitrary frame,
~
F
a
= m
¨
~r (51)
where
~
F
a
=
~
F
s
− m ~ω × (~ω ×~r) −2m ω ×~v − m
˙
~ω ×~r − m
d
2
dt
2
~
R , (52)
which is what we mean by (37). We we spend a lot of time next week discussing the physics of
each of the terms in (52).
Tidal forces
The phenomenon of tidal forces is rather special to gravitation. It is also both physically important
and a nice example of the Taylor expansion with several variables, so I can’t resist talking about
it (though I might skip it or put it off til next week if we get behind). The idea is to ask what the
gravity of a distant object does to a mass on the surface of an approximately spherical planet like
the earth (here we ignore the oblateness, which has only a tiny effect on this physics). Suppose
the center of the sphere is at a point ~r
0
. Now by Newton’s theorem, we know that the gravitational
force from a distant body on a mass m at ~r is given by
− G M m
~r − ~ρ
|~r − ~ρ |
3
(53)
where ~ρ and M are the position and mass of the distant body, so you might think that all we have
to do is to evaluate (53) for ~r on the surface of a sphere, given by |~r − ~r
0
| = R, where R is the
radius of the sphere. But that is not quite what we are interested in for the gravitational force. The
gravitational force acts not only on the mass m, but also on the planet, where the forces acts on
the center. What we are actually interested in is the accelerated coordinate system that is moving
along with the planet, with the center ~r
0
fixed. Thus we must add to (53), the fictitious translational
force associated with the acceleration of the planet due to gravity. The acceleration is
− G M
~r
0
− ~ρ
|~r
0
− ~ρ |
3
(54)
and the fictitious translational force is
G M m
~r
0
− ~ρ
|~r
0
− ~ρ |
3
(55)
16
The interesting thing is that this is trying to cancel the effect of (53) and we are only interested in
the difference, which is very small.
~
F
tidal
= −G M m
~r − ~ρ
|~r − ~ρ |
3
+ G M m
~r
0
− ~ρ
|~r
0
− ~ρ |
3
(56)
Since in this accelerating coordinate system, ~r
0
is fixed, we might as well take it to be the
origin of our coordinate system, so we take ~r
0
= 0. This makes the formulas simpler. For this
more convenient choice, (56) becomes (moving some signs around to make things look simpler)
~
F
tidal
= G M m
~ρ −~r
|~ρ −~r |
3
− G M m
~ρ
|~ρ |
3
(57)
Now we can use the fact that |~r | ¿ |~ρ| and get an even simpler expression by Taylor expanding
the first term in powers of ~r. This is easier if we first have some fun with vector calculus. We can
write
~
F
tidal
= −G M m
~
∇
ρ
Ã
1
|~ρ −~r |
−
1
|~ρ |
!
(58)
Where
~
∇
ρ
is the gradient operator for the vector variable ~ρ ,
~
∇
ρ
=
Ã
∂
∂ρ
x
,
∂
∂ρ
y
,
∂
∂ρ
z
!
(59)
Equation (58) may look scary, but actually it is the usual connection between a 1/r
2
force and a
1/r potential. We get the force by taking minus the gradient of the potential. In this case, we are
interested the difference between two forces - the real one from gravity and the fictitious one from
the earth’s acceleration, and that is minus the gradient of the difference between two potential. In
fact, this is a nice example of how a little bit of knowledge of vector calculus can simplify your
life a lot. If you had to apply the Taylor expansion separately to each component of (57), it would
be at least three times as much of work and the result would be more cumbersome to write down.
Now we can Taylor expand the term in parentheses in (58), before we take the gradient - and
this is a lot easier
Ã
1
|~ρ −~r |
−
1
|~ρ |
!
=
Ã
h
1 −~r ·
~
∇
ρ
+ ···
i
1
|~ρ |
−
1
|~ρ |
!
(60)
The lowest order term in the Taylor expansion of (60) cancels. That is the point — a constant
gravitational force does nothing if one is falling along with it. The first order term is
Ã
1
|~ρ −~r |
−
1
|~ρ |
!
≈ −~r ·
~
∇
ρ
1
|~ρ |
=
~r · ~ρ
|~ρ |
3
(61)
Putting this back into (58) gives
~
F
tidal
= −G M m
~
∇
ρ
"
~r · ~ρ
|~ρ |
3
#
(62)
17