Georgi, Howard. Physics 16 - Mechanics and Special Relativity (англ.)
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Acting on the ~r in the numerator, the gradient operator in (62) gives
− G M m
"
~r
|~ρ |
3
#
(63)
while acting on the denominator it gives
G M m
"
3~ρ (~r · ~ρ )
|~ρ |
5
#
(64)
Thus
~
F
tidal
=
G M m
ρ
5
h
3(~r · ~ρ ) ~ρ −ρ
2
~r
i
=
G M m
ρ
3
h
3(~r · ˆρ) ˆρ −~r
i
(65)
What does this mean? Remember that we are using a coordinate system with the center of the
earth as the origin. Thus ~r is a vector from the center of the earth — that is it is straight up out of
the ground. And ~ρ is a vector from the earth to the body producing the tidal force. Notice that the
sign ~ρ in (65) doesn’t matter. This slightly unintuitive result is one of the more amusing features
of the tidal force. It is the same on the side closest to the body producing it as on the other side.
We will come back to this and try to understand it qualitatively in a moment.
If ~r and ~ρ are parallel, the force is in the positive ˆr direction — which means outward. If ~r and
~ρ are perpendicular, it is in the negative ˆr — which means inward. Elsewhere, it is not parallel to
ˆr. For
3(~r · ~ρ)
2
= ρ
2
r
2
(66)
when the cosine of the angle between ~r and ~ρ is 1/
√
3, it is perpendicular to ˆr (the angle is about
55
◦
).
To get a more quantitative description, let us take ~ρ in the ˆz direction and look in the x-z plane
through the center of the earth. Then we can write
ˆr = cos θ ˆz + sin θ ˆx (67)
and
~
F
tidal
∝ 3(ˆρ · ˆr) ˆρ − ˆr = 3(ˆz · ˆr) ˆz − ˆr = 2 cos θ ˆz − sin θ ˆx (68)
It looks something like this:
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You can see how this produces the tides, pulling the ocean towards and directly away from the sun
or moon.
Let’s see if we can understand in our bones why it is that the tidal force is outward, away
from the center of the earth, both on the side of the earth closest to the sun, and on the side farthest
away.
3
The point is that there are two effects — the gravitational force of the sun, and the “fictitious
force”, that is the effect of the accelerating coordinate system. At the center of the earth, the two
effects cancel, the 1/r
2
nature of the gravitational force implies that on the side close to the sun,
the gravitational attraction wins and the net tidal force is towards the sun, while on the other side,
because the gravitational force is weaker, the fictitious force wins, and the tidal force is away from
the sun.
This rather odd looking tidal force is characteristic of gravity in free space. It depends crucially
on the remarkable feature of gravity that the same quantity — mass — appears in the strength of
the force and in the inertial term in Newton’s law. It is this that causes us to subtract the force on
the center of the earth, to produce what we see in (69). It was this bit of magic that gave Einstein
the clue to construct gravity as a geometric theory.
Extra Dimensions
Extra dimensions are fun. We probably won’t have too much time to discuss this in lecture today,
so I thought I would refer you to an amusing journalistic description of what is called the brane
world picture.
4
A braneworld is a modern version of flatland. There are two ideas. The first is this.
Suppose that there are space dimensions beyond the usual three. It doesn’t make any sense that
they are just like the usual three because we would know about them, so suppose that while these
extra dimensions are there, we are stuck on the usual three. All the matter that we are made of, and
the electric (and strong and weak) forces that make us work the way we do, everything is confined
to the usual three dimensions. Now you should object that we have done nothing at all by positing
the existence of the extra dimensions, and you would be right. Such extra dimensions would be
uninteresting, because we would never see them. But let’s try to make something interesting about
the fact that we have mentioned before that gravity is much weaker than the other forces. Perhaps
matter and the non-gravitational forces - electromagnetism, the strong force and so on, are confined
to the usual three dimensions, but gravity gets out into the extra dimensions. This is potentially
interesting.
What we mean precisely by saying that gravity gets out into the extra dimensions is that the
field lines of gravity are not confined to our three dimensional space, but spread out into the extra
dimensions as well.
This is the basic picture of a “brane-world.” The term “brane” is sort of a generalization of
“membrane” and it refers to the usual three space dimensions living in a higher dimensional space.
Gravity lives in the full higher dimensional space because it is somehow related to the geometry
(this is a bit vague, I know).
3
The argument is a little easier to give for the sun, so we will do that, though the moon works the same way.
4
If the link doesn’t work for you, I have included the file on the web page as braneworlds.pdf.
19
But now you should object for another reason. If the field lines of gravity spread out into the
extra dimensions, you would expect the force to fall off faster than 1/r
2
as the distance increases.
But we know that gravity is a 1/r
2
force, don’t we?
This is where the second part of the brane-world idea comes in. The extra dimensions are
curled up. A useful picture of this space is a soda straw with a line on it, as shown below
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The thick black line is intended to represent the brane on which we live - that is ordinary three
dimensional space. Of course, the line is only one dimensional, but if we had more dimensions to
draw in, we could include the other two. The important thing is that these dimensions are flat and
infinite. We have only shown a segment of the infinitely long straw. The other dimension - around
the straw - represents the extra dimensions. Again, there might be more of them. But the important
thing is that these extra dimensions are curled up and finite. You have to remember when you stare
at this that we have shown just one real and one extra dimension, to make it easy to visualize. But
otherwise, it is a really helpful picture.
Now suppose we put two masses on the brane - representing two masses in our three dimen-
sional world. The situation is very different depending on whether the distance r between the
masses is large or small compared to D, the diameter of the extra dimensions.
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• •
r
D
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For r ¿ D, the field lines spread out into the extra dimensions. On this small scale, the multi-
dimensional surface of the soda straw looks approximately flat, and gravity looks n dimensional.
The force falls off like 1/r
n−1
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r
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field lines uniformly spread
over extra dimensions
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For r À D, the field lines spread out uniformly over extra the extra dimensions once you
get a distance much greater than D from the masses. Then the force looks three dimensional,
proportional to 1/r
2
.
One of the reasons that this may be interesting is that it provides an explanation for the weak-
ness of gravity. Gravity is week for masses on our brane world not because it is weak at short
distances, but because it is diluted by being spread over the “large” extra dimensions. What “large”
might mean is anybody’s guess. But it could certainly show up at the LHC if we are lucky.
If this seems interesting to you may want to check out
20
Wed., Dec. 14 - ”Warped Passages: Unraveling the Mysteries of the Universe’s Hidden
Dimensions.” (Research Lectures for Non-Specialists) Lisa Randall, Harvard Univer-
sity. Science Center D, 8 p.m. Free and open to the public. The talks are designed for
the interested public.
21
lecture 23
Topics:
Where are we now?
The physics of fictitious forces
Precession of the equinoxes
Where are we now?
Today, we continue our discussion of “fictitious forces” and gravity. As you have read about in
Morin’s book,
The physics of fictitious forces
Now, I want to try to give you a physical picture of the various fictitious forces. For a coordinate
system whose origin is moving with velocity
~
R and whose axes are rotating with angular velocity
~ω, the fictitious forces are given by
Centrifugal −m ~ω × (~ω × ~r )
Coriolis −2m ~ω × ~v
Azimuthal −m
˙
~ω × ~r
Translational −m
d
2
~
R
dt
2
(1)
Of these, I think that the Coriolis force is the most confusing, but each one is pretty simple when
you think about it in isolation. If we have time, we will go through them one by one. We will be
able to understand some of the physics of each of them by thinking about two dimensional motion,
in a plane on a rotating turntable. In this case, the angular velocity is always perpendicular to the
plane, so all the cross products are very simple. Three dimensions makes things more difficult to
visualize, but the physics is essentially the same, and we will also talk about the vector structure
when it is interesting.
The other thing that is useful in understanding the various forces is to understand how to isolate
each one — that is to find a configuration such that only one of the forces is non-zero. The table
1
below summarizes the possibilities:
force form how to isolate
Centrifugal −m ~ω × (~ω × ~r ) ~v =
˙
~ω =
d
2
~
R
dt
2
= 0
Coriolis −2m ~ω × ~v ~r =
d
2
~
R
dt
2
= 0
Azimuthal −m
˙
~ω × ~r ~ω =
d
2
~
R
dt
2
= 0
~v = ~r = 0 or
Translational −m
d
2
~
R
dt
2
~ω =
˙
~ω = 0 or
~ω = ~r = 0
(2)
The translational force
This is the familiar fictitious force of the moving elevator that we have already discussed in connec-
tion with the tidal force. This is simply the statement that if your coordinate system is accelerating,
you see a particle that is moving with constant velocity in an inertial frame accelerating in the op-
posite direction. Suppose, for example, that initially, the accelerating frame and the fixed frame
coincide, and that at t = 0, the accelerating frame starts accelerating. A particle sitting still in the
fixed frame at t = 0 looks as if it has started to accelerate in the opposite direction. The required
fictitious force is therefore just −m times the acceleration of your frame.
The other forces are all more interesting because they depend either on the position or the
velocity of the particle.
The azimuthal force
This is really the same thing as the translational force, except that the acceleration is angular accel-
eration. Now, let us consider a turntable. If this is initially at rest and begins angular acceleration
at t = 0, the acceleration of a point on the turntable at t = 0 is
˙
~ω × ~r. The acceleration of a fixed
particle relative to the turntable is minus that.
The Coriolis force
In general, if a particle is moving with fixed velocity in the fixed frame, it will appear to have both
~r and ~v not equal to zero, so there will be both centrifugal and coriolis forces. To isolate the effect
of the Coriolis force, we can look at it when it is at the origin of the rotating coordinate system. In
particular, suppose that the particle in the fixed frame is moving with velocity v in the +y direction
2
along the line x = 0, with the initial conditions set so that it gets to y = 0 at t = 0. In the fixed
frame, the coordinates of the particle at time t are
x
F
(t) = 0 y
F
(t) = v t (3)
Let us see what this looks like in the rotating frame. The coordinates in the rotating frame are
related to those in the fixed frame as follows:
x
B
(t) = x
F
(t) cos ωt + y
F
(t) sin ωt y
B
(t) = −x
F
(t) sin ωt + y
F
(t) cos ωt (4)
Putting (3) into (4) gives
x
B
(t) = v t sin ωt y
B
(t) = v t cos ωt (5)
The path of the particle in the moving frame looks like this:
t < 0
t > 0
−20 v/ω −10 v/ω
0
10 v/ω 20 v/ω
−20 v/ω
−10 v/ω
0
10 v/ω
20 v/ω
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What is going on here is as follows. Because the frame is rotating in the counterclockwise
direction, the particle is rotating in the clockwise direction. At large negative t, it is far away, and
gradually spirals in towards the origin. After t = 0, it spirals out again. We are actually interested
3
only in t = 0, so let us blow up this picture a bit:
t < 0
t > 0
t = 0
0
v/ω 2 v/ω
−v/ω
0
v/ω
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Now what is going on at t = 0, where there is only a Coriolis force? As the particle moves through
the origin, the turntable is turning counterclockwise underneath it, so as seen from the frame of
reference of the turntable, the particle appears to be turning to the right. This is exactly what the
Coriolis force is like at the North Pole of the earth. This is animated in CORIOLIS.EXE.
The centrifugal force
To isolate the effect of the centrifugal force, let us consider a moving particle that at time t = 0 has
zero velocity with respect to a rotating turntable frame. In particular, suppose that the particle in
the fixed frame is moving with velocity v in the +y direction along the line x = r, with the initial
conditions set so that it gets to y = 0 at t = 0. Then if v = r ω, where ω is the angular velocity of
the rotating frame at t = 0, then the particle will be instantaneously at rest in the rotating frame at
t = 0. It should therefore be subject only to a centrifugal force.
In the fixed frame, the motion of the particle is described by
x
F
(t) = r y
F
(t) = r ω t (6)
In the rotating frame, this becomes
x
B
(t) = r cos ωt + r ω t sin ωt y
B
(t) = −r sin ωt + rω t cos ω t (7)
4
On the large scale, the path of this particle in the rotating frame looks very similar to that of the
particle moving along the line x = 0 that we used to discuss the Coriolis force. But close to the
origin, it looks different — like this (in comparing with the corresponding picture for the Coriolis
force, remember that here r = v/ω)
t < 0
t > 0
t = 0
0
r
2 r
−r
0
r
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This graph has a cusp at t = 0. This is easy to understand if you look at (7) for very small t
x
B
(t) = r cos ωt + rω t sin ωt ≈ r +
1
2
r ω
2
t
2
y
B
(t) = −r sin ωt + rω t cos ω t ≈ −
1
3
ω
3
t
3
(8)
y
B
(t) goes to zero faster than x
B
(t) goes to r, and both velocities go to zero as t → 0. The
particle is instantaneously accelerating horizontally, as we expect from the centrifugal force. This
is animated in CENTRIF.EXE.
Precession of the equinoxes
Newton’s theorem works only for a perfect sphere. For any other shape, the situation is more
complicated. An important example of this is the precession of the axis of the earth’s rotation. The
earth is not a perfect sphere, but is slightly oblate — bulging around the equator. Because of this,
and the fact that the earth’s rotation axis is not perpendicular to the plane of its orbit around the
5
sun (indicated by the dotted line in the diagram below), both the sun and moon do produce torques
on the earth. The situation is illustrated below, with the oblateness exaggerated.
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sun
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moon
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(9)
If the planet were in a uniform gravitational field, there would be no torque because the gravita-
tional forces would act on the average on the center of mass. But because the gravitational fields of
the sun and the moon fall off with distance, the force is stronger on the closer bulge. This implies
that the center of force is not at the center of mass, but is slightly shifted towards the bulge closer
to the sun or moon, as illustrated above. This depends on the orientation of the earth. When the
earth’s axis is perpendicular to the line from the sun or moon to the earth, there is no effect because
the average force acts on the center of mass. When the sun or moon in on the other side, the center
of force is shifted towards the upper bulge, as shown below.
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moon →
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Thus on the average, as the earth goes around the sun, or the moon goes around the earth, there
is a torque that tend to twists the earth’s axis towards the perpendicular. The sign is such that the
precession of the earth’s axis is always in the same direction. The axis rotates in the direction
opposite to the earth’s rotation — but more slowly — the period of the rotation of the axis is about
26,000 years.
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