Гаспарян Л.Г. Общая физика (Конспекты для студентов ФМИФ)

Подождите немного. Документ загружается.

Теплоемкость

Удельная теплоемкость вещества c − Это количество теплоты δQ, не-

обходимое для нагревания 1кг вещества на 1 градус Кельвина.

⋅

[ Дж/(кг·К)]

Молярная теплоемкость C

− Количество теплоты δQ, необходимое

для нагревания 1 моль вещества на 1 градус Кельвина.

⋅

[ Дж/(моль·К)],

где n=m/M − количество вещества, а М – молярная масса вещества.

=c·M

Различают теплоемкость при постоянном объеме − C

, и при постоянном

давлении − C

Из первого начала термодинамики имеем δQ=dU+δA.

Используя δA=pdV C

=δQ/(ndT), для 1 моль газа получаем

dT=dU

+pdV

Если V=const,δA=0, то

. Используя

RdT

, получим

т.е. молярная теплоемкость газа при постоянном объеме C

равна изме-

нению внутренней энергии 1 моль газа при повышении его температуры на

1К.

При p=const, из C

dT=dU

+pdV

получим

pdV

Т.к.

и при p=const из pV

=RT, имеем pdV

=RdT

+R (Уравнение Майера)

Всегда C

> C

т.к. нагревание при p=const требует дополнительное

количество теплоты для расширения газа, т.к. p=const обеспечивается увели-

чением V.

Из C

=iR/2 →

RCC

=+=+=

Параметр

− показатель адиабата или

коэффициент Пуассона

(подробнее см. приложение 5).

Видно, что C

и C

не зависят от Т и определяются лишь числом свобо-

ды.

Но это справедливо только у одноатомного газа.

Уже у двухатомных газов i=i(T). Например, у водорода при комнатной

температуре по теории

i=i

поступ

вращ

+2i

колеб

=3+2+2

1=7, а

Между тем эксперимент дает;

при низких температурах T≈50K, C

=(3/2)R,

при комнатных − T≈300K, C

=(5/2)R (вместе теоретических (7/2)R),

при очень высоких − T≈6000K, C

=(7/2)R.

При низких Т наблюдаются

только поступательное движение

молекул (i=3), а энергии теплового

движения недостаточно, чтобы

«включить» вращательные или

колебательные движения, для

которых необходимы определенные

«квантованные» энергии. Поэтому

соответствующая степень свободы

«замораживается» – к ней

неприменим закон равнорас-

пределения энергии.

При комнатных температурах к поступательным движениям добавляют-

ся вращение молекул и i=5, а при высоких, к этим двум видам движения до-

бавляются еще колебания молекул и i=7.

Второе начало термодинамики

I начало термодинамики не указывает направление протекания термоди-

намических процессов. Можно представить множество процессов, не проти-

воречащих первому началу, в которых энергия сохраняется, но в природе они

не осуществляются. Чтобы определить направление протекания термодина-

мических процессов и ответить на вопрос, какие процессы в природе воз-

можны, а какие нет, вводится понятие энтропии (S) как функции состояния

термодинамической системы. Для определения энтропии рассматривают

приведенное количество теплоты

как отношение теплоты Q, получен-

ной телом в изотермическом процессе, к температуре T теплоотдающего те-

ла.

Термодинамический процесс обратимый, если он может происходить

как в прямом, так и в обратном направлении. Любой равновесный процесс

является обратимым, но реальные процессы − необратимые. Обратимый

процесс − это идеализация реальных процессов (физическая модель).

Строгий термодинамический анализ показывает, что в любом обрати-

мом круговом процессе

∫

= 0

. (3)

Т. к. если интеграл по замкнутому контуру равняется нулю, то подынте-

гральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции, которая

определяется только состоянием системы и не зависит от пути, пройденного

системой. Эта функция

состояния, дифференциал которой является δQ/T, на-

зывается энтропией и обозначается S (термин энтропия, от греч. слов «эн» –

6000

300

в, «тропе» – превращение – обращенная внутрь, недоступная для дальнейших

превращений, ввел Клаузиус 1865г.). Таким образом,

Из формулы (3) вытекает, что для обратимых процессов ∆S=0.

В термодинамике доказывается, что энтропия замкнутой системы, со-

вершающей необратимый цикл, возрастает: ∆S>0.

Таким образом, энтропия замкнутой системы может либо возрастать

(в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае

обратимых процессов):

∆S≥0 (неравенство Клаузиуса).

Так как реальные процессы необратимы, то все процессы в замкнутой

системе ведут к увеличению ее энтропии [Второе начало термодинамики

(принципа возрастания энтропии)].

Энтропия может рассматриваться как мера вероятности состояния тер-

модинамической системы.

Все естественные процессы в изолированной термодинамической

системе протекают так, что система переходит от состояний менее веро-

ятных к состояниям более вероятным (которые являются также более бес-

порядочными). Это иное определение второго начала термодинамики.

В процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает.

В незамкнутых системах энтропия может вести себя любым образом

(убывать, возрастать, оставаться постоянной).

Энтропия (как внутренняя энергия, масса, объем) обладает свойством

аддитивности, т.е. энтропия системы равна сумме энтропий тел, входящих

в систему (в отличие, например, от температуры).

Еще две формулировки второго начала термодинамики

1. Невозможен круговой процесс, единственным результатом ко-

торого является превращение теплоты, полученной от нагре-

вателя, в эквивалентную ей работу (Кельвин

≤

Менее вероятное

состояние.

Вероятность

Более вероятное

cостояние.

Вероятность

8,0

≈

где N − число молекул

2. Невозможен круговой процесс, единственным результатом ко-

торого является передача теплоты от менее нагретого тела к

более нагретому (Клаузиус).

Первая формулировка указывает, что вечный двигатель второго рода –

периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаж-

дения одного источника теплоты – невозможен

Цикл Карно

Круговым процессом или циклом называется процесс, в результате ко-

торого система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное со-

стояние.

На графике круговой процесс изобразится замкнутой кривой, площадь

которой соответствует работе, совершаемой при круговом процессе.

Карно (1796-1832) доказал первую формулировку второго начала термо-

динамики (формулировку Кельвина) и показал, что в результате цикла (цик-

ла Карно, состоящий из двух изотерм {1→2 и 3→4} и двух адиабат {2→3 и

4→1}) газ, получив количество теплоты Q

от нагревателя и передав часть

этого количества теплоты Q

холодильнику, совершает внешнюю работу,

равную A=Q

−Q

Чтобы совершаемая

работа А не равнялась ну-

лю, необходимо присутст-

вие холодильника, иначе

площадь замкнутого цикла

равна нулю. Действительно,

при отсутствии холодиль-

ника процесс 1→2→3 мож-

но было бы замкнуть (т.е.

получить цикл) только по-

средством процесса

3→2→1. Площадь такого

цикла, а следовательно, и

совершаемая работа будут равны нулю. Таким образом, отдачи части тепло-

ты Q

холодильнику является необходимым условием совершения работы.

Иными словами, тепловая машина не может все полученное количество теп-

лоты целиком переводить в работу.

Коэффициент полезного действия (к.п.д.) η такого цикла

−

, (4)

где Т

– температура нагревателя, Т

− температура холодильника.

Например, в океанских водах содержится колоссальное количество энергии в виде

теплоты. Охлаждение воды океанов на 1

дало бы ~10

Дж теплоты, что эквивалентно

полному сжиганию 10

т угля. Такое количество угля имел бы состав длиной 10

км, т.е.

с размером Солнечной системы. Притом за первые 1700 лет такой «перекачки» теплоты

температура воды в океане понизилась бы в среднем на одну сотую долю кельвина.

Третье начало термодинамики

Или теорема Нернста − Планка.

Энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по ме-

ре приближения температуры к нулю Кельвина.

0lim

→

Так как энтропия определяется с точностью до аддативной постоянной,

то удобно эту постоянную взять равной нулю. Тем более, обычно важ-

ную роль играет разность энтропии.

Приложение 1

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

(ОУМКТИГ)

Давление p=F

/∆S, а



, где



импульс частицы.

Чтобы получить ОУМКТИГ, помня свойства идеальных газов, рассмот-

рим движение молекул в цилиндре с высотой Vdt. При

При каждом соударении молекула,

движущаяся перпендикулярно к плоско-

сти ∆S передает ей импульс m

υ−(−m

υ)=2m

υ (соударение о стенки сосуда аб-

солютно упругое и молекула отскочит с

такой же скоростью υ). За dt время к ∆S

достигнут только молекулы из объема

υdt∆S. Их число n∆Sυdt, где n − концен-

трация молекул.

Реальные молекулы достигают стенки не

только перпендикулярно. Для упрощения расчетов хаотическое движе-

ние молекул заменяем движением вдоль трех взаимно перпендикуляр-

ных направлений, так что вдоль каждого из них в любой момент дви-

жутся 1/3 молекул, из которых половина молекул движутся к ∆S, а поло-

вина, т.е. 1/6 от ∆S. Тогда при столкновении с площадкой эти молекулы

передадут ей импульс

dtSnmdP

υυ

∆⋅=

, a давление газа будет

p =

⋅∆

Если газ в объеме

V содержит N молекул, движущихся со скоростью υ

,…, υ

, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную ско-

рость

Vdt

∆S

∑

кв

υυ

, характеризующую всю совокупность молекул газа.

Тогда

кв0

nmp =

− Основное уравнение молекулярно-

кинетической теории идеальных газов

(Уравнение Клаузиуса).

Более точный расчет дает такую же формулу.

Из

кв

nmp =

, учитывая, что концентрация молекул n=N/V, получим:

NNmpV

кв0

===

где E − суммарная кинетическая энергия поступательного движения

всех молекул.

Т.к. Nm

, то

кв

mpV =

, а для одного моля газа

кв

MpV

где V

− молярный объем, а M −молярная масса.

Но из уравнения Клапейрона-Менделеева pV

=RT, значит

кв

MTR =

RT3

кв

т.к. M=m

, k=R/N

Например, при комнатной температуре для молекул кислорода

кв

≈480м/с, а для водорода −

кв

≈1900м/с. [(m

)

=16(m

)

]

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной моле-

кулы идеального газа

кв0

При T=0,

Т.е. при абсолютном нуле прекращается поступательное движение мо-

лекул газа, а следовательно его давление равно нулю. Таким образом,

Термодинамическая температура является мерой средней кинети-

ческой энергии поступательного движения молекул идеального газа.

Приложение 2

Распределение Максвелла

По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости

молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой

в газе, находящемся в состоянии равновесия при T=const, остается посто-

янной и равной

кв

Это объясняется

тем, что в газе, находя-

щемся в состоянии рав-

новесия, устанавливает-

ся некоторое стационар-

ное, не меняющееся со

временем распределение

молекул по скоростям,

которое подчиняется

вполне определенному

статистическому закону.

Этот закон выведен

Максвеллом.

Функция распределения молекул по скоростям f(υ) определяет отно-

сительное число молекул

dN )(

, скорость которых лежит в интервале

υ+dυ, т.е.

)(

υυ

)(

)( =

4)(

πυ

−













)(

зависит от рода газа (m

) и температуры T. Здесь главное, что

~)(

υυ

−

. Площадь

∫

∞

1)(

υυ

и есть условия нормировки.

f(ν)~ν

f(ν)~

-A

)dN(

υ dυ

<υ>

<υ

кв

> υ

f(ν)

f(υ)

Скорости, характеризующие состояния газа:

1. Наиболее вероятная (максимальная)

Из условия

0/)(

ddf

определяется

2. Средняя <υ> (средняя арифметическая скорость)

<υ>=

≈===⋅

∫∫

∞∞

dfdN

ππ

υυυυυ

)()(

1,13υ

3. средняя квадратичная <υ

кв

≈

RT3

1,22υ

При повышении температуры кривая f(υ)

растягивается и понижается S

Среднее число столкновений и

средняя длина свободного пробега молекул. Вакуум

Среднее число столкновений <z> за 1 с; <z>=

υπ

где n – концентрация молекул,

d – диаметр молекул,

<υ> – средняя скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега

>=< ℓ

Вакуумом называется состояние газа, при котором средняя длина сво-

бодного пробега <ℓ> сравнима или больше характерного линейного размера

r сосуда, в котором газ находится (или размера пространства r ).

Различают:

<ℓ> << r − Низкий вакуум

<ℓ> ≤ r − Средний вакуум

<ℓ> > r − Высокий вакуум (ультраразреженный газ)

<ℓ> >> r − Сверхвысокий вакуум

В лабораториях можно достичь Вакуума.

В космосе нет вакуума, хотя n

косм

<<n

лабор

, но там линейные размеры r ог-

ромные

Приложение 3

Барометрическая формула (распределение Больцмана)

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и

Максвелловского распределения предполагалось, что внешние силы отсутст-

вуют. Но газы, находясь на Земле, из-за действия гравитационного поля Зем-

ли, имеют другое распределение.

Закон изменения давления с высотой (барометрическая формула) выво-

диться с предположением, что;

– поле тяготения однородно;

– температура атмосферы не меняется с высотой;

–

масса всех молекул воздуха одинакова.

Разность давления p и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме ци-

линдра высотой dh с основанием площадью 1м

p−(p+dp)=ρgdh, ρ=const плотность газа на высоте h.

Из

pV =

тогда

pdh

dp −=

или

−=

→

∫∫

−=

→

)(ln

−−=

)(

epp

−−

− Барометрическая формула.

Когда

=0, h

=h, p

=p(0) и p(h)=p

−

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется

высотометром (или альтиметром).

Используя p=nkT, из барометрической формулы

enhn

−

)(

или

enhn

)(

−

Т.к. M=m

, R=kN

, mgh=W

− потенциальная энергия молекулы в поле

тяготения.

enhn

−

⋅=

)(

− Распределение Больцмана

Главное – что внешнее поле было потенциальным, а молекулы имели

одинаковую массу и двигались хаотично.

p+dp

Концентрация

частиц

, n (

см

−3

)

Термопауза

Экзосфера

Высота

Стратосфера

Тропосфера

n≈2,7·10

Т,К

250−320 К

150−250 К

500−2500 К

300 К

Согревается от Зем-

ли

Поглощение солнечного

излучения незнач

и-

Поглощение солнечного

коротковолнового излуче-

ния

Источник тепла поглоще-

ние

УФ озоном и

ИК

Охлаждение за счет

собственного излучения

В Космосе

-3

см

1~n

; около Солнца

(Галактике)

-3

см

−

180−220

500−1000

Термосфера

Мезопауза

Мезосфера

Мезопик

или

Стратопауза

Тропопауза

−

80−90

200−300

Масштаб

не

соблюдается

Изменение температуры атмосферы Земли (T) с высотой h