Гаспарян Л.Г. Общая физика (Конспекты для студентов ФМИФ)
Подождите немного. Документ загружается.
51
(W
1p
) невелика, то они не могут выходить из потенциальной ямы. При значе-
нии W
2p
связь между ними нарушается, и они расходятся на бесконечность.
0
x
III II I
B
A
Е
W
p
(x)
а
)
r
r
0
0
W
1p
W
2p
W
p
(r)
б
)
52
Приложение 2
Сложение гармонических колебаний
(одного направления и одинаковых частот)
x
1
=A
1
cos(ω
0
t+φ
1
) x
2
=A
2
cos(ω
0
t+φ
2
)
т.к. ω
0
=const, то φ
2
−φ
1
=const
x=x
1
+x
2
=Acos(ω
0
t+φ),
где A
2
=A
1
2
+A
2
2
+2A
1
A
2
cos(φ
2
−φ
1
)
2211
2211
coscos
sinsin
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
AA
AA
tg
+
+
=
использована формула
−cos(180−(φ
2
−φ
1
))=cos(φ
2
−φ
1
)
A=f(φ
2
−φ
1
)
1) когда φ
2
−φ
1
=±2mπ, (m=0,1,2,…),
A=A
1
+A
2
2)когда φ
2
−φ
1
=±(2m+1)π, (m=0,1,2..),
A=|A
1
−A
2
|
Биение получается когда
ω
2
=ω
1
+∆ω и ∆ω<<ω
1
тогда x
1
=Acosωt x
2
=Acos(ω+∆ω)t
для простаты принято φ
1
=φ
2
=0.
в итоге x=x
1
+x
2
=(2Acos
2
ω
∆
t)cosωt, т.к.
2
ω
∆
<<ω.
A
биений
=|2Acos
2
ω
∆
t|, T
биений
=
ω
π
∆
2
Любые сложные периодиче-
ские колебания S=f(t) можно
представить в виде суперпо-
зиции гармонических коле-
баний с различными A, φ
0
, и
частотами, кратными ω
0
(Ряды Фурье, 1768−1830).
x=(2
А
cos
2
ω
∆
t)cosωt
T
биений
=
ω
π
∆
2
x, Ã=|2Acos
2
ω
∆
|t
t
2
А
2
А
биение
T=
ω
π
2
φ
φ
2
φ
1
φ
2
−
φ
1
А
А
1
А
2
0
х
х
1
х
2
53
Приложение 3
Затухающие колебания
Затухающие колебания − это колебания, амплитуды которых из-за потерь
энергии в реальном процесс с течением времени уменьшается.
Линейные колебательные системы − идеализированные реальные
системы, в которых параметры, определяющие физические свойств системы,
в течение времени не меняются (например, пружинный маятник (когда спра-
ведлив закон Гука F=−kx), колебательный контур (L,C.R=const), математиче-
ский маятник (ℓ,m=const)).
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
линейной системы
02
2
0
2
2
=++
s
dt
ds
dt
sd
ωδ
,
где s(t) − колеблющаяся величина, δ=const − коэффициент затухания,
ω
0
− циклическая частота свободных, незатухающих колебании при δ=0,
(собственная частота колебательной системы).
Решение уравнения ищем в виде s=e
−
δ
t
u, где u=u(t)
Уравнение похож на
0
2
0
=+
ss
ω
ɺ
ɺ
с решением s=A
0
cos(ω
0
t+φ)
Определяя
s
ɺ
и
s
ɺ
ɺ
, и поставляя в основное уравнение, получим
0)(
22
0
=−+
uu
δω
ɺ
ɺ
Если
0
22
0
>−
δω
, то можно брать
222
0
ωδω
=−
и решение будет
)cos(
0
ϕ
ω
+
⋅
=
tAu
Тогда при
2
0
2
ωδ
<<
,
s(t)=A
0
e
−
δ
t
cos(ωt+φ),
где A=A
0
e
−
δ
t
− амплитуда затухающих
колебаний,
A
0
− начальная амплитуда.
δ
τ
1
=
− время, в течение которого
амплитуда колебания уменьшается
е
раз
(время релаксации).
Строго говоря, затухающие колебания не
являются периодическими, однако если
затухание мало, то можно пользоваться
периодом между двумя последующими
максимумами
22
0
22
δω
π
ω
π
−
==
T
.
Декремент затухания A(t)/A(t+T)=e
δ
T
Логарифмический декремент затухания θ=ln{A(t)/A(t+T)}=δT=T/τ=1/N
e
,
где N
e
− число колебания, совершаемых за время уменьшения амплитуды в
e
раз. Для данной системы θ=const
Добротность
Q=π/θ=πN
e
=π/δT
0
=ω
0
/2δ (при малых значениях Q, т.к. при
δ
2
<<ω
0
2
, T≈T
0
).
s, A
T
t
A
1
A
2
A
0
A=A
0
e
−
δt
s=A
0
e
−
δt
cos(
ω
t+
φ
)
54
Приложение 4
Волновое уравнение − описывает распространение волн в однородной
изотропной среде
2
2
22
2
2
2
2
2
1
tzyx ∂
∂
⋅=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ξ
υ
ξξξ
или
2
2
2
1
t
∂
∂
⋅=∆
ξ
υ
ξ
, где ξ=ξ(x,y,z,t) − (кси) функция от координат и времени,
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
− оператор Лапласа.
Это уравнение справедливо для любой волны, в частности и для плоской
и для сферической волны. Например, для плоской волны имеем
2
2
22
2
1
t
x
∂
∂
⋅=
∂
∂
ξ
υ
ξ
Принцип суперпозиции (наложения) волн в линейной среде (т.е. в
среде, свойства которой не изменяется под воздействием волны): каждая из
волн распространяется так, как будто другие волны не существуют, а ре-
зультатирующее смещение определяется геометрической суммой.
Любая волна можно представить в виде волнового пакета (разложение
Фурье) т.е. суперпозицией гармонических волн, мало отличающихся друг от
друга по частоте. Например, две волны ξ
1
и ξ
2
, (для простаты, приняты, что
амплитуды равны A
1
=A
2
=A
0
, ω
1
=ω, ω
2
=ω+dω и dω<<ω, dk<<k):
ξ
1
=A
0
cos(ωt−kx)
ξ
2
=A
0
cos[(ω+dω)t−(k+dk)x], ξ=ξ
1
+ξ
2
=
( )
kxt
xdktd
A
−
−
ω
ω
cos
2
2
0
A(x,t)=2A
0
(tdω−xdk)/2 − новая амплитуда, которая отличается от гармо-
нической тем, что она есть медленно изменяющая функция координаты х и
времени t.
Как скорость распространения этого волнового пакета принимают ско-
рость перемещения максимума аплитуды A.
При условии, что tdω−xdk=const,
u
dk
d
dt
dx
==
ω
− групповая скорость.
Это справедливо и для множеств суперпозирующих волн.
Связь между
dk
d
u
ω
=
и
k
ω
υ
=
, учитывая, что k=2π/λ
λ
υ
π
λ
υ
λ
π
λλ
υ
υ
λλ
υ
υ
υ
υ
υω
d
d
k
d
d
d
d
k
d
dk
d
d
k
dk
d
k
dk
kd
dk
d
u
−+=
+=+=+===
2
2
::
)(
2
λ
υ
λυ
d
d
u
−=
u может быть больше или меньше υ, в зависимости от знака dυ/dλ/.
В недиспергирующей среде υ≠υ(λ) dυ/dλ=0
u=υ
.
При измерении дальности в радиолокации, в системах управления кос-
мическими объектами фигурирует именно u.
В теории относительности доказывается, что групповая скорость u ≤ c,
в то время как для фазовой скорости υ ограничений не существует.
55
(Детлаф А.А., Яворский Б.М. − Курс физики, М. «Высшая школа» 2000г.)
§ 29.2
Уравнение плоской волны по → +x, s=f(t−x/υ)
Уравнение плоской синусоидальной волны по →+x
s=Asin[ω(t−x/υ)+φ
0
] или
+−=
0
22
sin
ϕ
υ
ππ
T
x
T
t
As
Учитывая λ=υ·T и волновое число
υ
ω
υ
π
λ
π
===
T
k
22
,
s=Asin(ωt−kx+φ
0
)
Уравнение сферической волны s=φ(r)f(t−r/υ)
Уравнение синусоидальной сферической волны s=A(r)sin(ωt−kx+φ
0
)
Волновое уравнение в линейной, однородной, изотропной, непогло-
щающей среде:
0
1
2
2
2
2
=
∂
∂
−∇
t
s
s
υ
где
∆=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
2
2
2
2
2
2
2
zyx
Оператор Лапласа
Для синусоидальной волны
0
22
=+∇
sks
υ − фазовая скорость, скорость распространения точек с фиксированной
фазой, т.е. ωt−kx+φ=const →
υ
ω
==
k
dt
dx
,
групповая скорость
dk
d
dt
dx
u
ω
==
т.к. ω=υk, k=2π/λ, dk=−2πdλ/λ
2
λ
υ
λυ
υ
υ
ω
d
d
dk
d
k
dk
d
u
−=+==
§ 29.6
Стоящая волна при наложении двух когерентных бегущих плоских волн
(навстречу друг другу) s
1
=Asin(ωt−kx); s
2
=Asin(ωt+kx+α);
где α−разность фаз в точках x=0
s=s
1
+s
2
=2A·cos(kx+α/2)·sin(ωt+α/2)
А
стоящ
=2A·cos(kx+α/2)·зависит от х,
sin(ωt+α/2) не зависит от x.
В стоящей волне все точки между двумя узлами колеблются с различ-
ными А
стоящ
, но с одинаковыми фазами (синфазн).
56
Приложение 5
Опыты Альберта Майкельсона (1881г) и
Майкельсона − Эдварда Морли (1887г.)
Свет, проходя через плоскопараллельную стеклянную пластинку с по-
лупрозрачным слоем серебра, раздваивается на взаимно перпендикулярные
лучи, которые, отражаясь от двух зеркал (С
1
и С
2
), в зрительной трубе созда-
ют интерференционные полосы. Вторая плоскопараллельная, но не посереб-
ренная, пластина служит для компенсации разности хода лучей, возникаю-
щей из-за того, что один луч проходит сквозь толщу первой пластинки дваж-
ды, а торой луч − ни разу. Очевидно, что перемещение зеркала С
2
вызовет
смещение интерференционных полос. Если это перемещение составляет nλ/2
(где n =1.2.3….; λ−длина волны используемого света), то полосы сместятся
на расстояние, равное n − кратному расстоянию между двумя соседними
максимумами (минимумами) интерференционной картины. Это позволяет
очень точно измерять длину световой волны. Именно таким методом была
впервые измерена длина волны (в вакууме) излучения, соответствующего пе-
реходу между уровнями 2p
10
и 5d
5
атома криптона-86. Эта длина волны бы-
ла принята за эталон (в данный момент устаревший) единицы длины − метра.
Посредством интерферометра Майкельсона был осуществлен опыт
Майкельсона, сыгравший исключительно важную роль в истории развития
науки.
Источник
света
ℓ
1
s
1
s
2
ℓ
2
C
2
C
1
0
Интерферометр
Майкельсона
Интерференционные
полосы
Зрительная
труба
Плоскопараллельная
стеклянная
пластинка
Плоскопараллельная
стеклянная
пластинка
с
полупрозрачным
слоем
серебра
υ
57
Майкельсон поставил свой опыт в 1881г. с целью обнаружить движение
Земли относительно мирового эфира и измерить скорость этого движения.
Напомним, что по представлениям того времени мировой эфир являлся осо-
бой абсолютно неподвижной материальной средой − носительницей свето-
вых волн, скорость света в которой с=3·10
8
м/с.
Очевидно, что интерференционные полосы, наблюдаемые в зрительной
трубе интерферометра Майкельсона, покоящегося относительно мирового
эфира, не будут смещаться при повороте интерферометра вокруг вертикаль-
ной оси, проходящей через середину О пластинки с полупрозрачным слоем
серебра, поскольку его поворот не изменит разности хода лучей.
Но интерферометр не покоится, а движется относительно мирового
эфира вместе с Землей по ее орбите со скоростью υ. В этих условиях ско-
рость света с должна векторно складываться со скоростью υ Земли. Поэтому
скорость (и время) распространения света вдоль лучей ОС
2
и ОС
1
будет те-
перь различной, зависящей от направления этих лучей. Следовательно, при
повороте интерферометра разность хода этих лучей и должна изменяться.
При этом в зрительной трубе наблюдается смещение интерференционных
полос, по которому можно определить υ.
Пусть интерферометр ориентирован так, что он движется относительно
эфира в направлении ОС
2
, а плечи интерферометра равны соответственно
|OC
2
|=ℓ
1
и |OC
1
|=ℓ
2
. Вычислим время t
1
прохождения светом пути OC
2
O.
Очевидно, что скорость распространения света относительно интерферомет-
ра на участке OC
2
равна (c−υ), а на участке |OC
2
| − (c+υ), так как в первом
случае направления υ и c совпадают, а во втором − взаимно противоположны.
Тогда
( )
22
111
1
/1
2
cccc
t
υυυ
−
=
+
+
−
=
ℓ
ℓ
ℓ
,
а путь, пройденный светом относительно эфира,
22
1
11
/
1
2
c
cts
υ
−
==
ℓ
.
Для определения пути
s
2
=|OC
1
′O′′|=2ℓ, проходимого светом
вдоль луча OC
1
относительно эфира,
найдем положения точки O и зеркала
C
1
для трех моментов времени (рису-
нок налево): когда свет проходит O
(положения O и C
1
), когда он отража-
ется от зеркала C
1
(положения O′ и C′
1
) и когда он возвращается в O (поло-
жения O′′ и C
1
′′ ).
Из рисунка следует, что
2
2
2
ОО
′
+= ℓℓ
Но свет проходит путь ℓ со ско-
ростью c за то же время, за которое интерферометр проходит путь OO′ со
скоростью υ. Поэтому
|OO′|/ℓ=υ/c, откуда |OO′|=υℓ/c. Подставляя это выраже-
ние ℓ, получим, что
C
1
′
C
1
′′
ℓ
ℓ
C
1
ℓ
2
O
′′
O
′
υ
O
58
22
2
/1
c
υ
−
=
ℓ
ℓ
и
22
2
2
/1
2
c
s
υ
−
=
ℓ
Обусловленная движением интерферометра разность хода лучей ОС
2
и ОС
1
−
−
−
=−=
′
∆
22
2
22
1
21
/1
/1
2
c
c
sss
υ
υ
ℓℓ
Если повернуть интерферометр на 90
0
, то его плечи ℓ
1
и ℓ
2
поменяются
местами и разность хода лучей станет уже другой, равной
−
−
−
=
′′
∆
2
2
2
22
1
/1
/1
2
c
c
s
υ
υ
ℓℓ
Таким образом, при повороте интерферометра на 90
0
разность хода лу-
чей должна измениться на значение
( )
22
22
21
/
1
/11
2
c
c
sss
υ
υ
−
−−
+=
′′
∆−
′
∆=∆ ℓℓ
,
которое вполне можно измерить по сопровождающему поворот смещению
интерференционных полос, после чего легко рассчитать значение скорости υ
Земли.
(υ/c)
2
для движения Земли
110
300000
30
8
2
<<≈
−
У Майкельсона ℓ
1
=ℓ
2
=11м, λ
0
=590нм и число полос, на которое сме-
стится интерференционная картина
4,02
2
2
2
00
≈⋅=
∆
=∆
c
S
N
υ
λλ
ℓ
(использовано приближение для малых х,
2
11
x
x
−≈−
и
x
x
+≈
−
1
1
1
.
Точность прибора в опытах Майкельсона позволял обнаружить смеще-
ние 0,01 полосы, а ∆c < 8км/с т.е. <0,0003%
(В 1959г. − ∆c<23мм/с, а ∆c/c≈10
−10
, в 1979г. − ∆c<10
−3
мм/с, ∆c≈3·10
−15
)
Однако опыты Майкельсона, проведенные и днем, и ночью, в разные
время года, неожиданно дали отрицательный результат: никакого смещения
интерференционных полос при повороте интерферометра не происходило!
Отрицательный результат опыта Майкельсона можно было бы объяс-
нить зависимостью скорости света от скорости движения его источника. Но
опыты по наблюдению за двойными звездами отвергли такую возможность.
Отметим, что гипотезы об увлечении мирового эфира движущимся телом,
которые могли бы объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона,
тоже не получили экспериментального подтверждения. Поэтому результат
опыта Майкельсона допускает только одно истолкование:
скорость распространения в вакууме электромагнитных волн, в том
числе света, одинакова во всех инерциальных системах отсчета независимо
от их относительных скоростей движения.
Вместе с тем из этого опыта следует, что мирового эфира не существует.
59
М О Л Е К У Л Я Р Н А Я Ф И З И К А И Т Е Р М О Д И Н А М И К А
Молекулярная физика – раздел физики, изучающий строение и свой-
ства вещества, исходя из молекулярно-кинетических представлений, ос-
новывающихся на том, что все тела состоят из атомов и молекул, нахо-
дящихся в непрерывном хаотическом движении.
В молекулярной физике применяют статистический (молекулярно –
кинематический) метод исследования, который основан на том, что свойст-
ва макроскопической системы в конечном счете являются усредненными
значениями динамических характеристик молекул, из которых состоят эти
макроскопические тела.
Например, температура тела определяется скоростью хаотического дви-
жения его молекул и выражается через среднее значение скорости движения
всех молекул (нельзя говорить о температуре одной молекулы).
Термодинамика - раздел физики, изучающий общие свойства макро-
скопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равно-
весия и процессы перехода между этими состояниями. Система находится в
состоянии термодинамического равновесия, если ее термодинамические
параметры (параметры состояния) не меняются с течением времени при не-
изменности внешних условий. Термодинамика изучает количественные зако-
номерности превращения энергии в различных процессах (тепловых, меха-
нических, электрических, магнитных и др.), обусловленного тепловым (бес-
порядочным) движением молекул, но не рассматривая микропроцессы, и
этим отличается от молекулярной физики. Термодинамика базируется на
двух началах – фундаментальных законах, установленных в результате
обобщения опытных данных.
Изучая одну и ту же систему, молекулярно-кинетическая теория и тер-
модинамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, отличаясь
лишь различными методами исследования.
§ 1. Параметры термодинамических систем (параметры состояния)
Термодинамической системой называется макроскопическое тело (или
группа тел), которому свойственны процессы, сопровождающиеся пере-
ходом теплоты в другие виды энергии, и обратные процессы.
Параметрами термодинамических систем называется совокупность фи-
зических величин, которые характеризуют те или иные свойства термо-
динамической системы. Обычно в качестве таких параметров состояния
выбирают температуру (Т), давление (р) и объем (V).
Температура – физическая величина, количественно описывающая ин-
тенсивность хаотического движения атомов и молекул (или вообще частиц)
термодинамической системы.
Сейчас широко применяются две температурные шкалы:
• Термодинамическая абсолютная температура, или температура
Кельвина (К) (в формулах обозначается T).
60
• Международная практическая температура, или температура
Цельсия (
0
С) (в формулах обозначается t ).
Реперные, или опорные, точки для шкалы Цельсия
−
это температуры
замерзания (0
0
) и кипения (100
0
) воды (при нормальном давлении). Для шка-
лы Кельвина реперная точка
−
это тройная точка воды (температура, при
которой лед, вода и насыщенный пар находятся в термодинамическом равно-
весии), температура которой равна 273,15
К. Так как 1
K=1
0
C, то
T=273,15+t
Температура T=0 К называется нулем Кельвина или абсолютным ну-
лем, который недостижим (в 1993г. в лабораториях была достигнута самая
низкая температура Т=280 пК=2,8
.
10
-10
К).
Давление р
−
физическая величина, определяемая нормальной силой на
единицу площади. Единица давления – паскаль (Па): 1 Па равен давлению,
создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней
поверхности площадью 1м
2
(1 Па = 1 Н/м
2
).
Так как в молекулярной физике мы имеем дело с огромным количеством
молекул, размеры и массы которых очень малы
10
, то целесообразно примене-
ние более удобных единиц измерения для масс и количества молекул.
Масса молекул (атомов) измеряется относительной атомной (молеку-
лярной) массой A
r
(М
r
) (или просто атомной (молекулярной) массой или
весом) - безразмерной величиной, равная отношению средней массы атома
(молекулы) природной смеси изотопов элемента к 1/12 массе атома углерода
12
С.
А
томная единица массы - 1а.е.м.= 1/12 массы
12
С.
A
r
или (М
r
)=
( )
Cm
m
12
0
0
12
1
, где m
0
и m
0
(
С
12
) − масса атома или молекулы и
масса атома углерода
С
12
соответственно.
Но масса атомов или молекул не являются мерой количества вещества
(как, например, плотность вещества не является мерой количества вещества).
Единица количества вещества – моль (n, иногда ν)– одна из основных
единиц измерения в СИ (см. табл. 1 во введении). В одном моле различных
веществ содержится одно и то же число молекул (атомов и т.д.), называемое
числом или постоянной Авогадро :N
A
=6,022
.
10
23
моль
-1
.
Если количество вещества n моль, то число молекул в теле N=nN
A
.
Употребляют также такие понятия, как:
• Молярный объем (V
m
) – объем одного моля
ρ
ν
M
MV
m
=⋅=
.
• Удельный объем (
ν
) − объем единицы массы.
• Молярная масса (M) − масса одного моля (киломоля) или раз-
мерная физическая величина, равная отношению массы вещества
10
Размеры
(
диаметры
)
атомов
и
молекул
~10
-10
-10
-9
м,
размеры
ядер
атомов
~10
-14
м.
Цепочка
из
10 миллионов
молекул
имел
бы
длину
1-10 мм (
до
1 см).
Например
,
масса
ато
-
ма
водорода
≈1,7·10
−27
кг,
масса
молекулы
воды
≈30·10
−27
кг,
диаметр
молекулы
воды
~
3
.
10
-10
м,
а
их
количество
в
капле
воды
~3
.
10
19
;
цепочка
из
такого
количества
молекул
име
-
ла
бы
длину
3
.
10
6
км,
что
8 раз
больше
расстояния
Земля
−
Луна
.