Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

188

го потока, тогда она называется ЕСП (единая структура синхронизован-

ного потока). Однако обычно широкие движущиеся кластеры возника-

ют в синхронизованном потоке. В этом случае ЕП называется ЕОП

(единая общая структура плотного потока) (см. рис. 11).

В данной главе были рассмотрены основные качественные поло-

жения теории трех фаз Кернера. Эти качественные положения, начиная

с 2002 года, были использованы как теоретический базис при создании

целого ряда микроскопических и макроскопических трехфазных моде-

лей транспортного потока (см. ссылки на оригинальные работы в главе

11 книги [1]). В следующем пункте этой главы дается краткий обзор

стохастической микроскопической модели в рамках теории трех фаз и

приведены некоторые результаты численных расчетов.

Рис. 11. ЕОП измеренная на магистрали с тремя

узкими местами

. Взято из [1]

3.11. Стохастическая модель в рамках теории трех фаз Кер-

нера

Теория трех фаз Кернера является качественной теорией. Различ-

ные математические трехфазные модели транспортных потоков были

разработаны в последние годы в рамках теории трех фаз. Впервые мик-

роскопическая трехфазная модель, которая может воспроизводить эм-

189

пирические свойства перехода к плотному потоку (traffic breakdown) и

результирующих пространственно-временных структур, была разрабо-

тана Б. С. Кернером и С. Л. Кленовым в 2002 году [28]. Несколькими

месяцами позже Б. С. Кернер, С. Л. Кленов и Д. Вольф предложили

трехфазную модель на основе клеточных автоматов (ККВ-модель) [29].

Позднее были также разработаны другие модели транспортного потока

в рамках теории трех фаз: Л. Дэвис [30], а также Б. С. Кернер и С. Л.

Кленов [31] предложили детерминистические микроскопические моде-

ли трех фаз; Х. Ли и М. Шрекенберг с соавторами [32], Р. Янг и К. Ву

[33] и К. Гао с соавторами [34] разработали различные трехфазные мо-

дели клеточных автоматов (КА); Дж. Лаваль [35] и С. Хугендорн с соав-

торами [36] разработали макроскопические модели трех фаз. Последние

результаты моделирования транспортного потока, проведенные различ-

ными научными группами в США, Германии, Голландии, Китае, Юж-

ной Кореи и Японии в рамках теории трех фаз, можно найти в [37–60].

В данном пункте кратко рассматривается стохастическая микро-

скопическая трехфазная модель транспортного потока, предложенная

Б. С. Кернером и С. Л. Кленовым в [28, 61]. В этой модели [61] исполь-

зовалось дискретное время с шагом



, в то время как перемещение в

пространстве предполагалось непрерывным. Ниже будет рассмотрена

дискретная версия модели [61], сформулированная в [58], в которой ис-

пользуется достаточно мелкая дискретизация пространства с шагом



(см. также формулировку дискретной версии модели в [59]). При этом в

приведенных ниже формулах координата измеряется в единицах



, в

то время как скорость АТС и ее ускорение измеряются соответственно в

единицах

/vx

  



/av

  



, где временной шаг





1 с.

Уравнения движения АТС в дискретной версии [58, 59] стохасти-

ческой трехфазной модели [61] транспортного потока на скоростной 2-

полосной автодороге в приближении идентичных АТС задаются сле-

дующими формулами:

1 1 , 1 1

max(0, min( , , , )), ,

n free n n n s n n n n

v v v v a v x x v

  

   

    



(1)

1 , ,

max(0, min( , , )),

n free s n c n

v v v v







(2)

, если ,

n n n n

v g G

v a g G



  











(3)

max( , min( , )),

n n n n n

b a v v



   



(4)

где индекс

отвечает дискретному времени





0,1, 2,...;n 

– координата и скорость АТС на временном шаге

;

free

– макси-

190

мальная скорость АТС в свободном потоке;

,n n n

g x x d  



– расстоя-

ние до АТС впереди, индекс



относится ко всем переменным и функ-

циям, описывающим АТС впереди,

– длина АТС, которая предпола-

гается одинаковой и включает в себя также среднее расстояние между

АТС, когда они стоят внутри широкого движущегося кластера;



– ве-

личина скорости АТС без шумовой компоненты



;

,sn

– безопасная

скорость, определенная ниже;

a 

b 

;

– максимальное уско-

рение;

– максимальное расстояние, на котором водитель синхрони-

зует свою скорость со скоростью АТС впереди (так называемая дистан-

ция «синхронизации скорости»);

( , ),

n n n

G G v v



(5)

где функция (5):

 

( , ) max 0,G u w k u u w ua







  



, (6)

константа

1k 





– означает целую часть действительного числа

Рис. 12. Стационарные однородные состояния и линия J Кернера в стохастиче-

ской трехфазной модели: (а, б) свободный поток (F) и синхронизованный поток

(заштрихованная двумерная область, обозначенная буквой S) на плоскости

расстояние между АТС–скорость (а) и на плоскости поток–плотность (б).

На (в) показано соответствие между линией J и однородными стационарными

состояниями модели на плоскости поток–плотность, взятыми из (б)

191

Решения модели (1) – (6) при стационарном и однородном движе-

нии АТС (которое отвечает потоку, где АТС находятся на одинаковом

расстоянии друг от друга и движутся с постоянной скоростью) показаны

на рис. 12 (а) и (б). В соответствии с фундаментальной гипотезой тео-

рии трех фаз (рис. 9) фаза синхронизованного потока (буква S) как на

плоскости расстояние–скорость (рис. 12 (а)), так и на плоскости поток–

плотность (рис. 12 (б)) покрывает двумерную область (заштрихованная

область на рис. 12). Для того чтобы пояснить смысл этой двумерной об-

ласти для стационарных состояний синхронизованного потока, рас-

смотрим более подробно рисунок 12 (а). Видно, что при некоторой за-

данной величине скорости

free

vv

в стационарном состоянии сущест-

вует бесконечное количество расстояний между АТС в диапазоне

safe

g g G

, где

– расстояние между АТС,

 

,G G v v

– дистанция

синхронизации скорости (5), взятая при одинаковых скоростях АТС,

safe

– безопасное расстояние между АТС, которое является решением

уравнения

 

safe safe

v v g

, где безопасная скорость

в стационарном

однородном состоянии определяется как

 

v g g





. Таким образом,

стационарные однородные состояния стохастической трехфазной моде-

ли (рис. 12) принципиально отличаются от таких же состояний боль-

шинства предшествующих моделей, в которых заданной скорости отве-

чает одно единственное расстояние между АТС, соответствующее точке

на фундаментальной диаграмме.

Из рис. 12 (в) также можно видеть, что линия J Кернера не имеет

никакого отношения к фундаментальной диаграмме стационарного од-

нородного плотного потока в моделях, основанных на фундаментальной

диаграмме. Действительно, в трехфазной стохастической модели линия

J, которая находится из стационарного движения широкого кластера в

этой модели, разделяет двумерную область стационарных однородных

состояний синхронизованного потока на две части. Оказывается, что в

соответствии с теорией трех фаз стационарные однородные состояния

выше линии J являются метастабильными к образованию широких дви-

жущихся кластеров, а состояния ниже линии J являются устойчивыми к

образованию широких кластеров.

Чтобы моделировать случайное время задержки водителя как при

ускорении, так и при замедлении в различных транспортных ситуациях

величины

в (4) и (5) задаются как случайные функции:

()

a a P r





()

b a P r





192

, если 1,

1, если 1,













, если 1,













где величины

1 P

представляют собой вероятности для вре-

мени задержки водителя соответственно при ускорении и при замедле-

нии АТС;

()pv

являются функциями скорости АТС,

– кон-

станта;

(0,1)r rand

представляет собой случайную величину, равно-

мерно распределенную в интервале от 0 до 1.

Случайная компонента



в формуле (1) описывает случайное

замедление или ускорение и применяется в зависимости от того, тормо-

зит ли АТС, или ускоряется, или не меняет свою скорость:

 

, если 1,

, если 0,

n a n











  













где

– это состояние движения АТС в отсутствие случайной компо-

ненты



1, если ,

0, если ,

n n n

S v v



























являются случайными источниками соответственно для ускоре-

ния и замедления АТС:

()

a p r

 



()

a p r

 



а случайный источник

   

 

   

0 0 0 0

1, если ,

1, если 2 и 0,

0 в остальных случаях

a p r p v









   











применяется в отсутствие ускорения или замедления и связан с невоз-

можностью точно поддерживать заданную скорость. Величины

являются вероятностями соответственно случайного ускорения или

торможения АТС,

(0)

– константы,

(0,1)r rand

, ступенчатая

функция (Хевисайда)

()z



определяется как

( ) 0z





при

0z 

( ) 1z





при

0z 

193

Безопасная скорость

,sn

определяется следующим образом:

( ) ( )

min ,

safe a

s n n

v v v













, где

   

 

, , ,

max 0,min , ,

a safe

n n n

v v v g a





   

– это так называемая «ожидаемая» (прогнозируемая) скорость АТС впе-

реди, функция

( ) ( )

( , )

safe safe

n n n

v v g v









задается безопасной скоростью

()

( , )

safe

v g v



, которая была предложена в модели С. Краусса с соавто-

рами [62] в 1997 году и которая в свою очередь является решением

уравнения П. Гиппса [63]:

( ) ( )

( ) ( ),

safe safe

d n d n

v X v g X v



  



где

()

– тормозной путь, проходимый АТС, движущимся с перво-

начальной скоростью

и тормозящим с постоянным ускорением

вплоть до полной остановки. В модели с дискретным временем этот

путь дается формулой

 

( ) 0.5 1

X u b

   

  





– соот-

ветственно целая и дробная части величины

/ub



В рассматриваемой модели автодороги с двумя полосами смена

полосы АТС происходит независимо от того, находятся ли эти АТС

вдали или вблизи неоднородностей дороги, связанной с въездом–

выездом. АТС меняет полосу, если некоторые необходимые условия для

перехода с правой полосы на левую (

RL

) или с левой полосы на

правую (

LR

) выполняются совместно с условиями безопасности

при смене полосы. Необходимые для смены полосы условия имеют вид

, 1 ,

: и,

n n n n

R L v v v v





   



, 1 1

: или

n n n n

L R v v v v





    



Условия безопасности при смене полосы имеют вид

min( , ),

n n n

g v G







min( , ),

n n n

g v G



  



где (7)

( , ), ( , )

n n n n n n

G G v v G G v v

   



верхние индексы "+" и "–" относятся соответственно к АТС впереди и

позади на соседней полосе.

Если условия (7) не выполняются, то используются более жесткие

условия для «вдавливания» АТС на соседнюю полосу:

 

min

targetnn

x x d g



  

, где

 

min

target n

g v d











. (8)

194

В дополнение к (8) используется условие, что АТС проходит среднюю

точку

 

n n n

x x x









между двумя соседними АТС на соседней

полосе, т.е. следующие условия выполняются:

( ) ( )

n n n n

x x x x





или

( ) ( )

n n n n

x x x x





Если условия для смены полосы выполняются, АТС меняет поло-

су с вероятностью

p 

на текущем шаге.

После смены полосы скорость

устанавливается равной

 

min ,

n n n

v v v v



  

, что описывает изменение скорости после манев-

ра по смене полосы. После смены полосы координата АТС не меняется,

если выполнены условия (7), и она устанавливается равной

 

xx

если выполнены условия (8). Величины

(1)

v





являются

константами. Более подробно об использованных параметрах модели,

условиях смены полос, и модели поведения водителя на въезде/выезде

со скоростной автодороги можно прочитать в главе 11 книги [1].

На рис. 13 приведены результаты расчета пространственно-

временных структур, возникающих вблизи въезда на автодорогу и об-

ластей их существования (диаграммы) на плоскости с координатами по-

ток по основной дороге

, приведенный на одну из двух полос дороги,

и поток со стороны въезда на дорогу

оn

. На рис. 13 (а) показана диа-

грамма этих пространственно-временных структур. По оси абсцисс этой

диаграммы откладывается поток АТС

оn

, по оси ординат указан поток

АТС по основной дороге

. Граница

 

на этой диаграмме разделяет

свободный поток влево от границы от структур плотного потока, возни-

кающих вблизи въезда АТС. На границе

 

пространственно-

временные структуры плотного потока возникают спонтанно. Граница

 

разделяет структуры синхронизованного потока (СП) от общей

структуры плотного потока (ОП). Это означает, что между границами

 

возникают различного типа СП. При больших

и малень-

ких

оn

возникает мигрирующая структура синхронизованного потока

– МСП (рис. 13 (г)). При увеличении

оn

МСП превращается в расши-

ряющуюся структуру синхронизованного потока – РСП (рис. 13 (б)).

195

Рис. 13. Диаграмма пространственно-временных структур транспортного потока

вблизи изолированного въезда (а) и соответствующие типы

пространственно-временных структур (б–ж), относящиеся

к диаграмме (а): СП (б–г) и ОП (д–ж). Взято из [2]

196

Если уменьшать

и увеличивать

оn

, то на границе, обозначенной бу-

квой W, РСП превращается в локализованную структуру синхронизо-

ванного потока – ЛСП (рис. 13 (в)).

Укажем еще некоторые особенности общей структуры плотного

потока – ОП, которая возникает выше границы

 

на диаграмме

(рис. 13 (а)). Существует граница, обозначенная буквой G внутри облас-

ти структур ОП. Слева от этой границы, после того как широкий кла-

стер возникает в синхронизованном потоке, новые широкие кластеры

больше не формируются (рис. 13 (ж)), и возникает рассасывающаяся

общая структура плотного потока (РОП). Правее от границы G возни-

кает общая структура, в которой непрерывно рождаются новые класте-

ры внутри синхронизованного потока (рис. 13 (д)). Однако если умень-

шать поток по дороге

, оставаясь в области ОП, и перейти к значени-

ям

меньше, чем

out

(смысл потока

out

объяснен в п. 2.4.3), то ши-

рокие движущиеся кластеры, спонтанно возникающие в синхронизо-

ванном потоке ОП, постепенно рассасываются, распространяясь против

течения. В результате возникает ОП, показанная на рис. 13 (е). Другая

особенность общей структуры состоит в том, что если поток из въезда

оn

дальше увеличивать, то возникает некоторый эффект насыщения,

связанный с возникновением плотного потока на дороге, ведущей к

въезду АТС. Этот эффект насыщения связан с тем, что поток внутри об-

ласти синхронизованного потока в ОП достигает своего предельного

минимального значения, обозначенного на рис. 13 (а) как

 

lim

pinch

Распределение скорости и потока внутри ОП структуры на

рис. 13 (д) как функция времени при разных координатах вдоль дороги

показано на рис. 14. Можно видеть, что сначала на 16.5 км возникает

F→S фазовый переход из свободного в синхронизованный поток. Через

2 км против течения (

14.5x 

км) можно видеть развивающиеся узкие

кластеры внутри синхронизованного потока. По мере распространения

этих кластеров против течения амплитуда кластеров увеличивается и их

ширина возрастает. В результате нарастания кластеров возникает по-

следовательность широких движущихся кластеров (

8x 

км), которые

обладают характеристическими параметрами, описанными в п. 2.4.2.

В частности, распространение заднего фронта этих кластеров соответ-

ствует линии J Кернера, описанной в п. 2.4.3.

Более подробно свойства пространственно-временных структур,

полученные в результате моделирования, рассматриваются в [1] и [2].

197

Рис. 14. Одноминутные данные виртуальных детекторов, отвечающие ОП на

рис. 13 (д). Въезд на скоростную дорогу отвечает координате 16 км. Взято из [2]

3.12. Применение теории трех фаз Кернера для интеллекту-

альных транспортных технологий

Б. С. Кернер с сотрудниками предложил и частично внедрил в

эксплуатацию целый ряд новых методов интеллектуальных транспорт-

ных технологий. Одним из внедренных и уже установленных на скоро-

стных автодорогах применений теории трех фаз является метод

ASDA/FOTO. Метод ASDA/FOTO функционирует в работающей он-

лайн системе регулирования транспортных потоков, где на основе из-

мерений выделяются фазы S и J в плотном транспортном потоке. Распо-

знавание, отслеживание и прогнозирование положений фаз S и J осуще-

ствляется на основе методов теории трех фаз. Метод ASDA/FOTO реа-

лизован в компьютерной системе, способной быстро и эффективно об-

рабатывать большие объемы данных, измеренных датчиками в сети

скоростных автомагистралей (см. примеры из трех стран на рис. 15).