Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

178

Действительно, в течение всего времени существования плотного пото-

ка на этом узком месте задний фронт плотного потока, на котором АТС

ускоряются из плотного потока до свободного потока, фиксирован на

этом узком месте. Поэтому по определению фаз в теории Б. С. Кернера

в результате перехода к плотному потоку образуется фаза синхронизо-

ванного потока. Другими словами, плотный поток образуется в резуль-

тате F→S перехода. Напротив, широкие движущиеся кластеры возни-

кают позднее уже внутри фазы синхронизованного потока. Этот S→J

фазовый переход будет рассмотрен ниже в п. 3.9.

Таким образом, переход от свободного к плотному потоку в эм-

пирических данных есть F→S переход первого рода. Это эмпирическое

свойство есть общее свойство реальных транспортных потоков на ско-

ростных магистралях. Напротив, в моделях ДМ-класса, как было объяс-

нено в п. 2.4, переход от свободного к плотному потоку связан с воз-

никновением широких движущихся кластеров.

Исходя из эмпирических данных, был сделан вывод, что синхро-

низованный поток может возникать в свободном потоке спонтанно

(спонтанный F→S переход) или индуцированным образом (индуциро-

ванный F→S переход). Спонтанный F→S переход означает, что переход

к синхронизованному потоку происходит в случае, когда до момента

перехода в окрестности узкого места существует свободный поток, а

сам фазовый переход происходит в результате роста внутреннего воз-

мущения транспортного потока. В противоположность этому индуциро-

ванный F→S переход происходит из-за возмущения транспортного по-

тока, которое первоначально возникает на некотором удалении от по-

ложения узкого места, и затем по мере распространения достигает окре-

стности узкого места. Обычно индуцированный F→S переход связан с

распространением в направлении против потока области синхронизо-

ванного потока или же широкого движущегося кластера, которые пер-

воначально возникли вблизи следующего в направлении потока узкого

места. Эмпирический пример индуцированного фазового перехода,

приводящего к возникновению синхронизованного потока, показан на

рис. 3: синхронизованный поток возникает благодаря распространению

против потока широкого движущегося кластера.

Природу F→S фазового перехода можно объяснить с помощью

«соревнования» во времени и пространстве двух противоположных

процессов: ускорения АТС при обгоне более медленного АТС впереди,

названном «переускорением», и в случае, когда обгон невозможен, тор-

можения АТС до скорости более медленного АТС, названном «адапта-

ция скорости». «Переускорение» поддерживает дальнейшее существо-

179

вание свободного потока. Напротив, «адаптация скорости» ведет к син-

хронизованного потоку. Было постулировано, что вероятность обгона,

которая совпадает с вероятностью «переускорения», является разрыв-

ной функцией плотности (рис. 6): при данной плотности АТС вероят-

ность обгона в свободном потоке много больше, чем в синхронизован-

ном потоке.

Рис. 6. Объяснение фазового перехода к плотному потоку (traffic breakdown) на

основе Z-образной нелинейной функции вероятности обгона (вероятности

«переускорения») в теории Б. С. Кернера. Пунктирная линия описывает

критическое значение вероятности обгона как функцию плотности АТС (из [1])

Разрывная функция вероятности обгона является одной и той же

как для спонтанного, так и для индуцированного F→S фазового перехо-

да: термины спонтанный и индуцированный отличаются только источ-

ником возмущения, приводящего к F→S фазовому переходу. F→S пе-

реход происходит при условии, что вероятность обгона внутри возму-

щения в свободном потоке меньше, чем критическая вероятность. Эта

критическая вероятность показана пунктирной линией на рис. 6. Други-

ми словами, не имеет значения, будет ли это критическое значение ве-

роятности обгона достигнуто благодаря возмущению в свободном пото-

ке (спонтанный переход) или благодаря распространению до узкого

места некоторого возмущения, возникшего ранее в другой области до-

роги (индуцированный переход).

Отметим, что F→S фазовый переход и обратный S→F фазовый

переход сопровождаются гистерезисом. Этот гистерезис не имеет ника-

кого отношения к хорошо известному гистерезису в математических

моделях ДМ-класса, по-видимому, впервые найденному в теории Кер-

180

нера–Конхойзера. Этот известный гистерезис, описанный в огромном

количестве математических работ (смотри работы [19–22; 26, 27] и

ссылки в них), описывает F→J и обратный J→F фазовый переход. Как

уже несколько раз отмечалось, спонтанный F→J переход не наблюдает-

ся в реальном транспортном потоке.

3.6. Бесконечное число пропускных способностей скоростной

автомагистрали

Спонтанное образование плотного потока, т.е. спонтанный F→S

фазовый переход может произойти в широком диапазоне значений

величины потока q в свободном транспортном потоке. Основываясь на

эмпирических данных измерений, был сделан вывод, что существует

бесконечное число значений пропускной способности автомагистрали в

свободном потоке. Это бесконечное число значений пропускной спо-

собности находится в диапазоне между минимальным

и максималь-

ным

max

значениями пропускной способности (см. рис. 7). Если

величина потока близка к максимальному значению пропускной

способности

max

, то уже достаточно малое возмущение в свободном

потоке вблизи узкого места приведет к спонтанному F→S фазовому

переходу. С другой стороны, если величина потока близка к

минимальному значению пропускной способности

, то только

возмущение очень большой амплитуды способно привести к

спонтанному F→S фазовому переходу.

Рис. 7. Максимум и минимум пропускной способности скоростной

автомагистрали в теории трех фаз. Взято из [1]

181

Вероятность возникновения малых возмущений в свободном

транспортном потоке много выше, чем вероятность возникновения

возмущений большой амплитуды. По этой причине, чем выше величина

потока q в свободном потоке вблизи узкого места, тем выше

вероятность спонтанного F→S фазового перехода.

Если величина потока q меньше, чем минимальная пропускная

способность

, то возникновение плотного потока (F→S переход)

невозможно.

Бесконечное число значений пропускной способности автомаги-

страли вблизи узкого места может быть объяснено тем, что свободный

поток при значениях величины потока q в диапазоне

maxth

q q q

является метастабильным. Это означает, что при возникновении малых

возмущений свободный поток сохраняется, т.е. является устойчивым

относительно малых возмущений. Однако для больших возмущений

свободный поток оказывается неустойчивым и происходит F→S

фазовый переход к синхронизованному потоку.

Рис. 8. Пояснение соревнования между переускорением и адаптацией

скорости, которое объясняет бесконечное число значений

пропускной способности автомагистрали. Взято из [1]

182

Как уже упоминалось в п. 3.5, природу F→S фазового перехода

можно объяснить с помощью «соревнования» во времени и пространст-

ве двух противоположных процессов: ускорения АТС при обгоне более

медленного АТС впереди, названный «переускорением», и в случае, ко-

гда обгон невозможен, торможения АТС до скорости более медленного

АТС, названном «адаптация скорости». На рис. 8 поясняется это сорев-

нование более детально. На рис. 8 (а), который соответствует рис. 6,

стрелочка вниз означает, что если в свободном потоке вблизи узкого

места возникает локальное уменьшение скорости АТС, то вероятность

обгона внутри этого возмущения падает. Если это уменьшение вероят-

ности обгона становится меньше, чем критическая величина вероятно-

сти обгона, показанная пунктирной линией на рис. 8 (а), то F→S фазо-

вый переход происходит внутри этого возмущения; в противоположном

случае возмущение затухает и свободный поток остается на узком мес-

те. Стрелочка вверх на рис. 8 (а) означает, что если исходное состояние

отвечает фазе синхронизованного потока и в этом состоянии возникает

случай локального увеличения скорости АТС, то внутри данного воз-

мущения вероятность обгона возрастает. Если это возрастание вероят-

ности обгона превышает критическое значение (как выше отмечалось,

эта критическая вероятность обгона отвечает пунктирной кривой на

рис. 8 (а)), то в области возмущения происходит S→F переход; в проти-

воположном случае возмущение затухает и остается синхронизованный

поток.

Бесконечное число значений пропускной способности автомаги-

страли вблизи узкого места в теории трех фаз фундаментально противо-

речит классическим теориям транспортного потока (а также методам

управления и автоматического регулирования транспортными потока-

ми), которые предполагают существование в любой момент времени

некоторой (фиксированной или случайной) пропускной способности.

3.7. Широкие движущиеся кластеры (локальные движущиеся

заторы) – фаза J

Широкий движущийся кластер может быть назван широким

только при условии, что его ширина (вдоль дороги) заметно превышает

ширину фронтов кластера. Средняя скорость движения АТС внутри

широкого движущегося кластера много меньше, чем скорость АТС в

свободном потоке. На заднем (в направлении потока) фронте кластера

АТС могут ускоряться вплоть до свободного потока. На переднем

183

фронте кластера АТС, подъезжающие к фронту, должны сильно умень-

шать свою скорость. Согласно определению [J], широкий движущийся

кластер обычно сохраняет среднюю скорость заднего фронта

, даже

если кластер проходит через другие фазы транспортного потока и узкие

места. Величина потока сильно падает внутри широкого движущегося

кластера.

Как отмечалось в п. 2.4, эмпирические результаты показывают,

что характеристические параметры широких движущихся кластеров не

зависят от величины потока на дороге и особенностей узкого места (где

и когда кластер возник). Однако эти характеристические параметры за-

висят от погоды, дорожных условий, конструктивных характеристик

АТС, процента длинных машин и т.п. Скорость заднего фронта широко-

го движущегося кластера

в противоположном потоку направлении

является характеристическим параметром, так же как и величина вы-

ходного потока

out

из кластера в случае, когда свободный поток фор-

мируется после кластера (рис. 9).

Рис. 9. Три фазы транспортного потока в плоскости поток-плотность

в теории трех фаз Кернера. Взято из [1]

Это означает, что разные широкие движущиеся кластеры имеют одина-

ковые параметры при одинаковых условиях. Благодаря этому эти пара-

метры могут быть предсказаны. Движение заднего фронта широкого

184

движущегося кластера может быть показано на плоскости поток–

плотность с помощью прямой, называемой линия J Кернера (рис. 9).

Наклон линии J Кернера равен скорости заднего фронта

, в то время

как координата пересечения линии J Кернера с осью абсцисс (при нуле-

вом потоке) отвечает плотности АТС

max



в широком движущемся кла-

стере (о линии J Кернера более подробно смотри в п. 2.4.3).

Подчеркнем, что минимум пропускной способности

и вели-

чина выходного потока из широкого движущегося кластера

out

описы-

вают два качественно различных свойства свободного транспортного

потока. Минимум пропускной способности

характеризует F→S фа-

зовый переход вблизи узкого места, т.е. возникновение плотного потока

(traffic breakdown). В свою очередь величина выходного потока из ши-

рокого движущегося кластера

out

характеризует условия существова-

ния таких кластеров, т.е. фазы J. В зависимости от внешних условий,

таких как погода, процент длинных машин в потоке и т.п., а также от

характеристик узкого места, вблизи которого может произойти F→S

фазовый переход, минимум пропускной способности

может быть

как меньше (рис. 9), так и больше, чем величина выходного потока

out

Важно, что величина выходного потока из широкого движущегося кла-

стера

out

оказывается меньше, чем максимально возможный поток

max

в свободном потоке перед кластером. Это означает, что в свободном по-

токе водители могут выбирать более короткую временную дистанцию

до АТС впереди, чем та дистанция, которую они принимают, ускоряясь

на заднем фронте широкого движущегося кластера.

3.8. Синхронизованный транспортный поток – фаза S

В отличие от широких движущихся кластеров в синхронизован-

ном потоке как величина потока q, так и скорость АТС могут меняться

заметным образом. Задний по направлению потока фронт синхронизо-

ванного потока часто фиксирован в пространстве (см. определение [S]),

обычно вблизи расположения узкого места. Величина потока q в фазе

синхронизованного потока может оставаться почти такой же, как и в

свободном потоке, даже если скорость АТС сильно уменьшается.

Поскольку синхронизованный поток не имеет характеристиче-

ского свойства [J] фазы широкого движущегося кластера J, в теории

185

трех фаз предполагается, что гипотетические однородные состояния

синхронизованного потока покрывают двумерную область в плоскости

поток–плотность (см. заштрихованную область на рис. 9).

3.9. S→J фазовый переход

Широкие движущиеся кластеры не возникают в свободном пото-

ке, но они могут возникать в области синхронизованного потока. Этот

фазовый переход называется S→J фазовый переход. Эмпирический

пример S→J перехода показан на рис. 10. Таким образом, образование

широких движущихся кластеров в свободном потоке наблюдается в ре-

зультате каскада F→S→J фазовых переходов: сначала, область синхро-

низованного потока возникает внутри свободного потока.

Рис. 10. Двойная Z-характеристика в теории трех фаз, поясняющая каскад

F→S→J фазовых переходов. Взято из [1]

Как было объяснено выше, такой F→S фазовый переход проис-

ходит в большинстве случаев вблизи узкого места. Далее внутри син-

хронизованного потока происходит «сжатие» потока, т.е. плотность

АТС возрастает, в то время как их скорость падает. Это сжатие называ-

ется «пинч» эффект. В области синхронизованного потока, где проис-

ходит пинч эффект, возникают узкие движущиеся кластеры. Было пока-

186

зано, что частота возникновения узких движущихся кластеров тем вы-

ше, чем выше плотность в синхронизованном потоке. По мере того как

эти узкие движущиеся кластеры нарастают, некоторые из них транс-

формируются в широкие движущиеся кластеры, другие же исчезают.

Широкие движущиеся кластеры в дальнейшем распространяются про-

тив потока, проходя через все области синхронизованного потока и че-

рез все узкие места.

Чтобы детальнее проиллюстрировать S→J фазовый переход, сле-

дует заметить, что в теории трех фаз линия J делит все однородные со-

стояния синхронизованного потока на две области (рис. 9). Состояния

выше линии J Кернера являются метастабильными относительно обра-

зования широких движущихся кластеров, в то время как состояния ниже

линии J Кернера являются устойчивыми. Метастабильные состояния

синхронизованного потока означают, что относительно малых возни-

кающих возмущений состояние потока остается устойчивым, однако

при больших возмущениях в синхронизованном потоке происходит

S→J фазовый переход.

Каскад F→S→J фазовых переходов можно пояснить на основе

двойной Z характеристики в теории трех фаз (рис. 10). Пунктирная ли-

ния между фазой F и фазой S качественно соответствует критической

скорости внутри локального возмущения свободного потока, при кото-

рой происходит F→S фазовый переход. Другими словами, F→S фазо-

вый переход происходит внутри локального возмущения свободного

потока, в котором скорость меньше, чем критическая скорость (симво-

лически этот фазовый переход показан стрелкой между фазой F и S на

рис. 10). Пунктирная линия между фазой S и фазой J качественно соот-

ветствует критической скорости внутри локального возмущения син-

хронизованного потока, при которой происходит S→J фазовый переход.

Другими словами, S→J фазовый переход происходит внутри локального

возмущения синхронизованного потока, в котором скорость меньше,

чем критическая скорость (символически этот фазовый переход показан

стрелкой между фазой S и J на рис. 10).

3.10. Неоднородные пространственно-временные структуры

транспортного потока, состоящие из фаз S и J

В эмпирических данных можно наблюдать очень сложные про-

странственно-временные структуры в плотном транспортном потоке,

образовавшиеся в результате F→S и S→J фазовых переходов.

187

Неоднородная пространственно-временная структура, которая

состоит только из синхронизованного потока, называется структурой

синхронизованного потока (СП). Когда задний фронт СП фиксирован

вблизи узкого места на дороге, а передний фронт не распространяется

против потока, такая СП называется локализованной структурой син-

хронизованного потока (ЛСП). Однако во многих случаях передний

фронт структуры синхронизованного потока распространяется в на-

правлении против потока. Если при этом задний фронт по-прежнему ос-

тается фиксированным вблизи узкого места, то ширина области синхро-

низованного потока увеличивается. Такая структура называется расши-

ряющейся структурой синхронизованного потока (РСП). Возможна так-

же ситуация, когда задний фронт синхронизованного потока уже не фи-

ксирован вблизи узкого места, а оба фронта синхронизованного потока

движутся в направлении против потока. Такая структура называется бе-

гущей, или мигрирующей структурой синхронизованного потока (МСП).

Разница между пространственно-временными структурами, со-

стоящими из только синхронизованного потока, и широкими движущи-

мися кластерами становится особенно ясной, когда РСП или МСП дос-

тигают следующего узкого места, расположенного вверх по течению

транспортного потока. В этом случае структура синхронизованного по-

тока «захватывается» на этом узком месте (так называемый «catch-

effect» в английской терминологии), и возникает новая пространствен-

но-временная структура в транспортном потоке. Напротив, широкий

движущийся кластер не захватывается вблизи узкого места, а распро-

страняется дальше против потока, т.е. пробегая через узкое место на до-

роге. Кроме того, в отличие от широкого движущегося кластера струк-

тура синхронизованного потока, даже если она распространяется в виде

МСП, не имеет характеристических параметров. В результате скорость

заднего фронта МСП может заметно меняться в процессе распростране-

ния, и эта скорость может быть разной у разных МСП. Данные особен-

ности структур синхронизованного потока и широких движущихся кла-

стеров вытекают из определения фаз [S] и [J]. Наиболее типичная про-

странственно-временная структура плотного транспортного потока со-

стоит из обеих фаз S и J. Такая структура называется общей структурой

плотного потока (ОП).

На многих скоростных автомагистралях узкие места, связанные с

въездами/выездами, располагаются очень близко друг к другу. Про-

странственно-временная структура, в которой синхронизованный поток

охватывает два и более узких места, называется единой структурой

плотного потока (ЕП). ЕП может состоять только из синхронизованно-