Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

168

Глава 3. Теория Кернера трех фаз

в транспортном потоке – новый теоретический

базис для интеллектуальных транспортных

технологий

3.1. Три фазы транспортного потока............................................ 171

3.2. Свободный транспортный поток – фаза F ............................. 172

3.3. Плотный транспортный поток............................................... 172

3.4. Определение фаз J и S в плотном транспортном потоке ...... 173

3.5. Возникновение плотного потока (traffic breakdown) – F→S

фазовый переход .......................................................................... 175

3.6. Бесконечное число пропускных способностей скоростной

автомагистрали ............................................................................. 180

3.7. Широкие движущиеся кластеры (локальные движущиеся

заторы) – фаза J ............................................................................ 182

3.8. Синхронизованный транспортный поток – фаза S ............... 184

3.9. S→J фазовый переход ........................................................... 185

3.10. Неоднородные пространственно-временные структуры

транспортного потока, состоящие из фаз S и J ............................ 186

3.11. Стохастическая модель в рамках теории трех фаз Кернера 188

3.12. Применение теории трех фаз Кернера для

интеллектуальных транспортных технологий ............................. 197

Литература.................................................................................... 199

Эта глава написана С. Л. Клѐновым. Автор выражает благодарность Б. С. Кернеру за

предоставление оригинальных рисунков из его книг.

169

В 1996–2002 годах Б. С. Кернер с сотрудниками концерна Дайм-

лер провели детальные исследования эмпирических данных, измерен-

ных с помощью датчиков на многочисленных скоростных автомагист-

ралях мира (в Германии, Голландии, Англии, США). Главный результат

этих исследований был сформулирован в предисловии к книге [1]:

«Теории транспортного потока и математические модели, ко-

торые доминируют в настоящее время в научных журналах и учебных

курсах большинства университетов, не могут объяснить ни сам пере-

ход от свободного к плотному потоку (traffic breakdown), ни основные

свойства возникающих в результате этого перехода структур транс-

портного потока».

По этой причине Б. С. Кернер предложил и разработал альтерна-

тивную теорию транспортных потоков, названную теорией трех фаз,

которая может предсказать и объяснить эмпирические свойства перехо-

да к плотному потоку (traffic breakdown) и результирующих простран-

ственно-временных структур в транспортном потоке. Как достижения,

так и критика предшествующих классических подходов к теории транс-

портных потоков представлены в главе 10 книги [1]. В настоящей главе

кратко излагаются основные положения теории трех фаз Кернера в со-

ответствии с [1, 2].

Цель этой главы состоит в том, чтобы дать читателю определен-

ное представление об эмпирическом базисе и основных идеях теории

трех фаз. Тем не менее эта глава не может заменить книг Б. С. Кернера,

чтение которых необходимо тем, кто хочет разобраться в данной тео-

рии. По этой причине основное внимание уделяется не математическо-

му обоснованию тех или иных положений теории трех фаз, а в основном

качественному описанию. Единственное исключение составляет п. 3.11,

в котором кратко описана стохастическая трехфазная модель в рамках

теории трех фаз и некоторые ее решения. Для более подробного озна-

комления с математическими результатами теории трех фаз Кернера ре-

комендуется прочитать главу 11 книги [1] и часть III книги [2].

Прежде чем перейти к изложению некоторых положений теории

трех фаз Кернера, важно отметить имевшиеся на тот момент фундамен-

тальные достижения (см. пп. 2.1–2.3) по математической формулировке

моделей транспортного потока, а также многочисленных эффектов

взаимодействия между водителями [3–25]. К ним относится, в первую

очередь, введенная в моделях ДМ-класса задержка водителей [10–13],

приводящая к переторможению как реакции на замедление АТС впере-

ди [13, 19, 20]; формулировка задержки водителей через модельные

флуктуации, введенные в моделях Нагеля–Шрекенберга и А. Шашнай-

170

дера (см. обзоры [19–22]); микроскопическое описание slow-to-start rule

в работах группы М. Шрекенберга (см. обзоры [19–22]). Эти и другие

математические формулировки в поведения водителя являются также

важными элементами математических моделей трех фаз (см. главу 11

книги [1]).

Несмотря на эти достижения, как было сказано выше, предшест-

вующие модели не могут объяснить ни сам переход от свободного к

плотному потоку, ни основные свойства возникающих пространствен-

но-временных структур, наблюдаемых в эмпирических данных. Деталь-

ное объяснение этого «парадокса» дано в главе 10 книги [1]. Этот пара-

докс объясняется очень просто: анализ эмпирических данных, который

позволил выявить фундаментальные эмпирические свойства перехода

от свободного к плотному и основные свойства результирующих про-

странственно-временных структур, стал возможным только в конце 90-х

годов, когда стало доступным огромное количество данных измерений

со скоростных магистралей Германии и Голландии. Иными словами,

выдающиеся ученые, которые создали многочисленные модели транс-

портного потока, перечисленные выше и многие другие, просто не мог-

ли знать, какими же реальными свойства обладает переход от свободно-

го к плотному транспортному потоку.

Эти фундаментальные эмпирические пространственно-времен-

ные свойства перехода от свободного к плотному потоку, а также дру-

гие фундаментальные эмпирические свойства фазовых переходов в

транспортном потоке детально описаны в п. 2.4 и части II книги [2]. В

рамках данной главы нет возможности остановиться на рассмотрении

всех этих эмпирических свойств транспортного потока. Тем не менее

повторим здесь еще раз фундаментальные эмпирические свойства пере-

хода к плотному транспортному потоку и эмпирические свойства фазо-

вых переходов в транспортном потоке (см. п. 2.4).

Фундаментальные эмпирические свойства перехода к плотному

транспортному потоку следующие:

1. Переход к плотному транспортному потоку (traffic breakdown)

является F→S переходом (буква F соответствует free flow, т.е. свобод-

ному потоку, буква S обозначает фазу синхронизованного потока, в анг-

лийской литературе synchronized flow).

2. Вероятность спонтанного F→S перехода является растущей

функцией величины потока АТС.

3. Может быть как спонтанный, так и индуцированный F→S пе-

реход около одного и того же узкого места на дороге (bottleneck).

171

LWR-модель кинематических и ударных волн в транспортном по-

токе, дискретной версией которой является CTM-модель Даганзо [9], не

могут описывать пункты 2 и 3, а модели, относящиеся к ДМ-классу, не

могут описывать пункты 1–3 (см. главу 2).

Фундаментальные эмпирические свойства фазовых переходов в

транспортном потоке следующие:

а) В соответствии со свойствами 1–3, указанными выше, переход

от свободного к плотному транспортному потоку (traffic breakdown) яв-

ляется F→S фазовым переходом I рода.

б) Широкие движущиеся кластеры (wide moving jams, обознача-

ется ниже буквой J) возникают спонтанно только в синхронизованном

потоке, т.е. в результате последовательности F→S→J фазовых перехо-

дов.

в) S→J фазовый переход происходит позднее и часто совсем в

другом месте, чем F→S фазовый переход.

LWR-теория кинематических волн не может описывать пункты б)

и в), а теория, основанная на моделях ДМ-класса, не может описывать

пункты а)–в).

3.1. Три фазы транспортного потока

Теория трех фаз фокусируется главным образом на физике

плотного транспортного потока на скоростных автомагистралях. И

описывает три фазы транспортного потока, в то время как классические

теории, базирующиеся на фундаментальной диаграмме транспортного

потока, рассматривают две фазы: свободный поток и так называемый

плотный поток (congested traffic в английской терминологии). В

плотном потоке выделяются две фазы, соответственно существуют три

фазы транспортного потока:

1. Свободный поток – фаза F.

2. Синхронизованный поток – фаза S.

3. Широкий движущийся кластер (локальный движущийся затор, в

английской литературе wide moving jam) – фаза J.

Фаза определяется как некоторое состояние транспортного по-

тока, рассматриваемое в пространстве и времени.

Следует подчеркнуть, что в теории трех фаз разделение на

свободный и плотный поток точно такое же, как и в классических

теориях Лайтхилла–Уизема и Дженерал Моторс (см. п. 3.3 ниже).

Фундаментальное отличие теории Б. С. Кернера состоит в том, что он

172

выделяет две фазы в плотном потоке на основе общих эмпирических

пространственно-временных свойств транспортного потока, которые за

все годы измерений остаются одни и те же на разных автодорогах мира.

Другими словами, как определение фаз транспортного потока, так и

остальные положения теории, приведенные в пп. 3.1–3.10, основаны ис-

ключительно на эмпирических данных.

3.2. Свободный транспортный поток – фаза F

В свободном транспортном потоке достаточно малой плотности

водители могут практически свободно установить желаемую для них

скорость. Эмпирические данные, относящиеся к свободному потоку,

показывают положительную корреляцию между величиной потока q,

измеряемой в количестве АТС в единицу времени (проходящих через

данное сечение дороги), и плотностью



, измеряемой в количестве

АТС на единицу длины дороги [14, 15]. Зависимость потока q от плот-

ности



для свободного потока ограничена максимальным значением

величины потока

max

qq

и соответствующим критическим значением

плотности

crit





(рис. 1), которые могут быть достигнуты в свобод-

ном потоке.

Рис. 1. Зависимость потока q от плотности АТС



в свободном потоке [14, 20]

3.3. Плотный транспортный поток

В плотном транспортном потоке, который определяется так же,

как и в классических теориях Лайтхилла–Уизема и Дженерал Моторс

(см. главу 2), скорость АТС меньше, чем минимально возможная ско-

173

рость АТС в свободном потоке. Это означает, что прямая с наклоном,

равным минимальной скорости в транспортом потоке (штриховая линия

на рис. 2), разделяет все эмпирические данные (точки) на плоскости по-

ток–плотность на две области: слева от этой прямой находятся данные,

относящиеся к свободному потоку, а справа – данные, относящиеся к

плотному потоку.

Рис. 2. Зависимость потока от плотности АТС

в свободном и плотном потоке [14, 20]

Как следует из данных измерений, возникновение плотного пото-

ка обычно происходит вблизи неоднородности на автомагистрали, вы-

званной въездом на автомагистраль, съездом с нее, изменением числа

полос, сужением дороги, подъемом и т.п. Такого типа неоднородность,

вблизи которой может происходить переход к плотному транспортному

потоку, в дальнейшем будем называть узким местом или «бутылочным

горлом» [14, 20].

3.4. Определение фаз J и S в плотном транспортном потоке

Б. С. Кернер показал, что фундаментальная диаграмма и ее при-

менения в том виде, как они используются в классических теориях

транспортного потока, неадекватным образом описывают сложную ди-

намику в плотном транспортном потоке. Он выделяет, таким образом, в

плотном транспортном потоке фазу S синхронизованного потока, в анг-

лоязычной литературе «synchronized flow», и фазу J широкого движу-

щегося кластера (локальный движущийся затор, «wide moving jam»).

Определение фаз [J] и [S] в плотном потоке является результатом общих

пространственно-временных свойств реальных данных, полученных в

результате ежедневных измерений параметров транспортного потока во

многих странах на различных скоростных автодорогах в течение многих

лет. Б. С. Кернер определил фазы J и S следующим образом.

174

Рис. 3. Данные измерений скорости АТС в пространстве и времени (а) и их

представление на координатно-временной плоскости (б). Взято из [1]

Определение фазы [J] широкого движущегося кластера:

Задний по направлению движения фронт широкого движущегося

кластера (локального движущегося затора), где АТС, выезжающие из

кластера, ускоряются вплоть до свободного или до синхронизованного

потока, движется против потока с постоянной средней скоростью

проходя через все узкие места на скоростной автомагистрали. Это ха-

рактеристическое свойство широкого движущегося кластера.

Определение фазы [S] синхронизованного потока:

Задний по направлению движения фронт области синхронизиро-

ванного потока, где АТС ускоряются вплоть до свободного потока, НЕ

обладает характеристическим свойством широкого движущегося кла-

175

стера. В частности, задний фронт синхронизированного потока часто

фиксирован вблизи узкого места на скоростной автомагистрали.

Необходимо подчеркнуть, что определение фаз [J] и [S] вытекает

из эмпирических пространственно-временных свойств плотного потока,

т.е. исходно не имеет никакого отношения к какой-либо математике.

Теоретический смысл этих определений можно понять, прочтя раздел

6.1 книги [1].

Данные измерений средней скорости АТС (рис. 3 (а)) иллюстри-

руют определения [J] и [S]. На рис. 3 (а) имеются две пространственно-

временные структуры плотного потока с низкой скоростью АТС. Одна

из них распространяется против потока с почти постоянной скоростью

заднего фронта через все узкие места на скоростной автомагистрали.

Согласно определению [J], эта область плотного потока относится к фа-

зе «широкого движущегося кластера». Напротив, задний фронт другой

области плотного потока фиксирован вблизи места съезда с автомагист-

рали. Согласно определению [S], эта область плотного потока относится

к фазе «синхронизированного потока» (рис. 3 (а) и (б)).

3.5. Возникновение плотного потока (traffic breakdown) – F→S

фазовый переход

Переход от свободного к плотному потоку в англоязычной лите-

ратуре известен как traffic breakdown. В теории трех фаз такой переход

объясняется возникновением фазы синхронизованного потока, т.е. F→S

фазовым переходом. Такое объяснение основывается на имеющихся

данных измерений, которые показывают, что после возникновения

плотного потока вблизи узкого места на автомагистрали задний фронт

возникшего плотного потока фиксирован вблизи этого узкого места. Та-

ким образом, возникший плотный поток удовлетворяет определению [S]

фазы синхронизованного потока. В самом деле, типичный пример пере-

хода из свободного в синхронизованный поток вблизи въезда показан на

рис. 4. Из рисунка видно, что в то время как скорость АТС резко

уменьшается в процессе перехода (рис 4 (а)), поток меняется мало

(рис. 4 (б)). Скачок скорости при мало меняющемся потоке особенно

наглядно виден на рис. 4 (в). В течение всего времени после перехода

задний фронт между плотным и свободным потоками фиксирован на

въезде дороге. По этой причине плотный поток соответствует определе-

нию фазы синхронизованного потока, поэтому весь плотный поток от-

носится к фазе синхронизованного потока.

176

Рис. 4. Эмпирический пример возникновения плотного потока и эффект гисте-

резиса у бутылочного горла из-за въезда на автодорогу. (а, б) Средняя скорость

(а) и поток (б) на автодороге в пространстве и времени (увеличение потока по-

сле въезда на (б) связано с потоком въезжающих на дорогу АТС). (в) Эффект

гистерезиса в плоскости поток-плотность, обозначенный двумя стрелками, по-

казывающими переход к плотному потоку и обратный переход

к свободному потоку. 1-минутные данные. Взято из [1]

Образование плотного потока примерно в 6:30 (показанное стрелкой

слева направо на рис. 4 (в)) и его исчезновение примерно в 7:45 (пока-

занное стрелкой справа налево на рис. 4 (в)) сопровождается гистерези-

сом, хорошо известным в теории фазовых переходов 1 рода, наблюдае-

мых в широком классе неравновесных физических, химических и био-

логических систем. Это свойство F→S фазового перехода является об-

щим свойством реального (эмпирического) транспортного потока, кото-

рый также представляет собой сложную сильно неравновесную систе-

му.

Второй эмпирический пример перехода к плотному потоку пока-

зан на рис. 5. На этом примере можно видеть, как в реальном транс-

177

портном потоке образуются широкие движущиеся кластеры (рис. 5 (б),

координата дороги

0x 

км). Как можно видеть, в результате перехода к

плотному потоку на узком месте, связанным с въездом на скоростную

магистраль, сначала образуется фаза S синхронизованного потока.

Рис. 5. Эмпирический пример возникновения широких движущихся кластеров в

синхронизованном потоке: (а) Скорость АТС в пространстве и времени.

(б) Скорость (слева) и поток (справа) на трех полосах дороги в области

синхронизованного потока (

5.2x 

км) и в области

широких движущихся кластеров (

0x 

км). Взято из [1]