Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

гополосного движения в рамках процессов с запретами. Одной из

возможностей здесь является изменение условия о том, что не более

одной частицы может находиться в одной позиции на решетке, на

условие о максимальном числе M > 1 частиц. В случае M = 2 эта

модель в точности соответствует двухполосному движению, а при

M > 2 представляет собой некоторое упрощение. Математический

анализ детерминированной постановки данной задачи провед ен в [2].

До сих пор мы обсуждали только модели, при которых оказы-

вается справедливой точная зависимость между средней скоростью

движения частиц и их плотностью. Как известно, эксперименталь-

ные данные показывают, что в общем случае одной плотности частиц

может соответствовать целый набор средних скоростей или послед-

нее понятие может не быть корректно определено. Оказывается, что

простые модификации рассматриваемых нами моделей демонстри-

руют подобное поведение (см. [3–5; 8, 9, 15]). С точки зрения фа-

зовых переходов описанное поведение соответствует возникновению

новой «гистерезисной» фазы.

Дадим теперь математическое описание наблюдения о движе-

нии пассивной быстрой частицы (имитирующей поведение спешаще-

го прохожего) в медленном транспортном потоке, который мы сфор-

мулировали в начале данного раздела. Упрощая ситуацию, мы будем

полагать (как обычно делают в гидродинамике), что движение н а-

шей быстрой частицы не влияет на транспортный поток и описывает-

ся следующим образом. Положим τ

(y) := min(i : y < i и x(i) = 1),

−

(y) := max(i : y > i и x(i) = 1). Тогда совместная динамика T

конфигурации частиц x ∈ X и положения быстрой частицы y ∈ Z

определяется косым произведением отображения T и одного из отоб-

ражений τ

(знак соответствует движению по/против потока), т.е.

(x, y) := (T x, τ

(y)).

Под скоростью в момент t пассивной частицы будем понимать

суммарное расстояние (со знаком), пройденное ею к этому моменту

времени, де ленное на t. Опираясь на полученное полное описание

предельных множеств модели медленных частиц, мы получаем сле-

дующий результат.

Теорема 2.3. Для любой регулярной начальной конфигурации с

плотностью ρ(X) 6∈ {0, 1/2, 1} в случае неограниченной решетки

средняя скорость быстрой частицы стремится (по t) к 1 при

ρ ≤ 1/2 и движении вперед (по потоку), и к −max(1, 1/ρ(x) − 1)

при движении назад (против потока).

208









i+1

∆

Рис. 1. Процесс с запретами в непрерывном пространстве

3. Процессы с запретами в непрерывном

пространстве

Перейдем теперь к изучению более общего класса процессов с запре-

тами в непрерывном пространстве с синхронными взаимодействиями

(т.е. все частицы пытаются двигаться одновременно).

В непрерывном пространстве координатное представление кон-

фигураций (принятое в предыдущем разделе) неудобно, и вместо

этого предлагается следующее. Под конфигурацией частиц

x := {x

}

i∈Z

будем понимать бесконечную (в обе стороны) последова-

тельность действительных чисел x

∈ R, которые можно интерп рети-

ровать как центры шаров заданного радиуса r ≥ 0 (см. рис. 1). Пред-

полагается, что упорядочивание по индексу соответствует естествен-

ному порядку позиций центров шаров, т.е. . . . ≤ x

−1

≤ x

≤ . . .

Чтобы отметить зависимость от радиуса шара r ≥ 0, мы используем

обозначение x(r) и только в предельном случае r = 0 не отмечаем

этой зависимости, т.е. x ≡ x(0). Будем говорить, что конфигурация

x(r) допустима, если

(r) + r ≤ x

i+1

(r) − r ∀i ∈ Z

(соответствующие шары не пересекаются и могут только касаться),

и обозначим через X(r) пространство допустимых конфигураций.

Динамика в пространстве конфигураций определяется следую-

щим образом. Начнем с тривиальной конфигурации, состоящей из

единственной частицы, находящейся в момент времени t ≥ 0 в точке

∈ R (т.е. x

≡ {x

}). В этом случае полагаем

t+1

:= x

+ v

где {v

} – заданная последовательность (случайных) величин. Зна-

чения v

естественно рассматривать как локальные скорости части-

цы в момент времени t. Таким образом, полученный процесс – это

209

простое случайное блуждание в R. Обобщая эту тривиальную по-

становку на случай бесконечной конфигурации x(r) ∈ X и вновь

интерпретируя (бесконечную в обе стороны по i ∈ Z) последователь-

ность {v

}

i,t

как локальные скорости частиц в конфигурации x

(r) в

момент t, получаем бесконечный набор случайных блужданий, огра-

ниченных условиями сохранения порядка и законом исключенного

объема (hard core exclusion rule).

Для упрощения изложения мы ограничимся только случаем неот-

рицательных локальных скоростей, собственно только эта ситуация

осмысленна в задачах транспортного моделирования. В общем слу-

чае при анализе локальных скоростей обоих знаков определения ста-

новятся существенно сложнее, но как результаты, так и доказатель-

ства почти не изменяются (см. [5]).

Для неотрицательных локальных скоростей рассматриваемые на-

ми запреты означают, что условие допустимости нарушается для i-й

частицы в момент t ∈ Z

тогда и только тогда, когда неравенство

(r) + v

+ r ≤ x

i+1

(r) − r

перестает выполняться. В после днем случае мы будем говорить о

конфликте между частицами i и i + 1, для разрешения которого

применяется конструкция нормализации:

→ N (v

, x

(r)).

Позиции частиц в момент времени t + 1 вычисляются по правилу:

t+1

(r) := x

(r) + N (v

, x

(r)) ∀i.

Нормализация может быть проведена различными способами (ч то

приводит к существенно разным статистическим свойствам). В на-

стоящей работе мы рассмотрим только слабую нормализацию (дру-

гие возможности изучены в [5]), при которой в случае конфликта

локальная скорость меняется так, чтобы соотвествующая частица

могла продвинуться вперед на максимально возможное расстояние.

В терминах зазоров

∆

) ≡ ∆

:= x

i+1

− x

− 2r

между частицами в конфигурации x

нормализация записывается

следующим образом:

N (v

, x

) :=



, если v

≤ ∆

;

∆

— в противном случае.

210

Здесь важно отметить, что между любыми двумя конфигурация-

ми частиц x(r), ´x(´r) с общей последовательностью зазоров

∆ := {∆

} имеется взаимно однозначное соответствие ϕ:

´x

(´r) = ϕ(x

(r)) := x

(r) − 2i(r − ´r) ∀i ∈ Z.

Поскольку нормализация зависит только от зазоров между части-

цами, достаточно провести анализ случая частиц нулевого ради-

уса (r = 0). Статистика в общем случае r > 0 пересчитывается

при помощи замены переменных ϕ. С другой стороны, полагая r =

= 1/2, x

(r) ∈ Z ∀i ∈ Z и v

∈ Z ∀i ∈ Z, t ≥ 0, мы получаем, что

(r) ∈ Z ∀i ∈ Z, t ≥ 0. Последнее означает, что системы на цело-

численной решетке инвариантны относительно веденной динамики.

Поэтому наши результаты приводят к принципиально новому под-

ходу дл я анализа решеточных систем. Заметим все же, что в слу-

чае r = 0 условие допустимости разрешает наличие произвольного

(и даже бесконечного) числа частиц в одной точке пространства, что

запрещено для решеточной системы.

Естественно, без специальных предположений о структуре ло-

кальных скоростей {v

}

i,t

никакие содержательные результаты о ди-

намике подобных систем невозможны. Будем полагать, что

∈ [0, v] ∀i ∈ Z, t ∈ Z

:= Z

∪ {0} и выполнено одно из сле-

дующих (на первый взгляд противоположных) предположений:

(a) v

≡ v

∀i ∈ Z, t ∈ Z

и ∃ ¯v(γ) := lim

t→∞

t−1

s=0

min(v

, γ) ∀γ > 0

почти наверное (п.н.);

(b) {v

} являются независимыми одинаково распределенными (н.о.р.),

как по i, так и по t, случайными величинами (с.в.).

Пересечение между множествами локальных скоростей, удовле-

творяющих предположениям (a) или (b), не пусто и содержит прин-

ципиально важный случай чисто детерминированных скоростей:

≡ v ∀i ∈ Z, t ∈ Z

. Как мы покажем, свойства всех систем,

удовлетворяющих условию (a), близки к чисто детерминированному

случаю. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о постановке (a)

как о детерминированной,

а о постановке (b) как о стохастиче-

ской.

Заметим, что {v

} может быть траекторией детерминированного хаотиче-

ского отображения f : [0, 1] → [0, 1], т.е. v

t+1

:= vf

/v), как и (несмотря на

название) реализацией настоящей стохастической цепи Маркова.

211

Заметим, что кажущаяся простейшей чисто детермини рованная

постановка v

≡ v ∀i ∈ Z, t ∈ Z

приводит к чрезвычайно сложной

динамике частиц. Это видно например из того, что детерминирован-

ная динамическая система, описывающая динамику конфигураций

частиц, в этом случае оказывается хаотической, и, более того, топо-

логическая энтропия этой системы бесконечна (теорема 5.3).

Обычно математический анализ систем взаимодействующих ча-

стиц начинают с изучения инвариантных распределений на них и ,

выбрав удачное инвариантное распределение, переходят к анали-

зу его статистических характеристик. В нашем случае этот подход

не работает. Дело в том, что у рассматриваемых нами систем мо-

жет быть как бесконечно много инвариантных распре делений , так

и ни одного (напомним тривиальный пример одной частицы, совер-

шающей асимметричное случайное блуждание). Несмотря на отсут-

ствие инвариантного распределения, последний пример демонстри-

рует, что здесь имеется другая важная статистическая характери-

стика – средняя скорость движения частиц, легко вычисляемая в

этом примере.

4. Элементарные свойства

В этом разделе мы изучим вопросы, связанные с определениями по-

нятий плотности и средней скорости частиц для процессов в непре-

рывном пространстве.

Под плотностью ρ(x , I) конфигурации x ∈ X в ограниченном

сегменте I = [a, b] ∈ R будем понимать число частиц из x, центры

которых x

находятся в I, деленное на длину |I| > 0 сегмента I. Если

для любой последовательности вложенных ограниченных сегментов

} с |I

n→∞

−→ ∞ предел

ρ(x) := lim

n→∞

ρ(x, I

)

корректно определен, то этот предел назовем плотностью конфи-

гурации x ∈ X. В противном случае рассматриваются верхняя и

нижняя (по отношению ко всем возможным коллекциям вложенных

ограниченных сегментов {I

}) плотности частиц ρ

(x).

Замечание 4.1. (a) Если ρ(x) < ∞, то |x

−x

|n−m|→∞

−→ 1/ρ(x).

212

(b) Пусть конфигурации x(r) ∈ X(r), r > 0 и x ∈ X им еют общую

последовательность зазоров {∆

}. Тогда ρ

(x(r)) =

(x)

1+2rρ

(x)

Лемма 4.2. Верхняя/нижняя плотности ρ

) инвариантны

относительно динамики, т.е. ρ

) = ρ

t+1

) ∀t.

Под (средней по времени) скоростью i-й частицы в конфигурации

x ∈ X в момент t > 0 будем понимать

V (x, i, t) :=

t−1

s=0

N (v

, x

) ≡ (x

− x

)/t.

Если предел

V (x, i) := lim

t→∞

V (x, i, t)

корректно определен, назовем его (средней по времени) скоростью

i-й частицы. В противном случае рассматриваются нижняя и верх-

няя скорости частицы V

(x, i).

Лемма 4.3. Для любой конфигурации x ∈ X выполнено

|V (x, j, t) − V (x, i, t)|

t→∞

−→ 0 п.н. ∀i, j ∈ Z.

Следствие 4.4. Нижняя и верхняя скорости i-й частицы V

(x, i)

не зависят от индекса i.

Доказательство этого результата кроме всего прочего демонстри-

рует тот факт, что в детерминированной постановке зазоры между

последовательными частицами не могут существенно увеличивать-

ся. Следующее утверждение показывает, что при некоторых слабых

технических предположениях (заведомо выполняемых при высокой

плотности частиц) большие зазоры со временем исчезают.

Лемма 4.5. Пусть x ∈ X и рассматривается только чисто де-

терминированная постановка (т.е. v

≡ v). Предположим, что

∀t ∃j > t : ∆

) < v. Тогда ∀i ∃t

< ∞ : ∆

) < 2v ∀t ≥ t

5. Эргодические свойства

Сформулируем теперь основные результаты для процессов с запре-

тами в непрерывном пространстве.

213

Теорема 5.1. Пусть плотность ρ(x) конфигурации x ∈ X к ор-

ректно определена. Тогда множество предельных точек при t → ∞

последовательности {V (x, t)}

t∈Z

зависит только от ρ(x).

Теорема 5.2 (фундаментальная диаграмма). В детерминиро-

ванной постановке

V (x) = lim

t→∞

t−1

s=0

min(1/ρ, v

) =



v, если ρ(x) ≤ 1/v,

1/ρ(x) — в противном случае,

если v

≡ v.

Следствие 5.1. Пусть для конфигурации x(r) ∈ X(r), r > 0

плотность ρ(x(r)) корректно определена и пусть ∀i, t v

≡ v.

Тогда

V (x(r)) =



v, если ρ(x) ≤

v+2r

1/ρ(x(r)) − 2r — в противном случае.

В частности, для версии процесса на целочисленной решетке полу-

чаем

V (x(1/2)) =



v, если ρ(x) ≤

v+1

1/ρ(x(1/2)) − 1 — в противном случае.

Замечание 5.2. Последний результат совпадает с соответствую-

щим утверждением о процессе на решетке, описанном в теореме 2.1

(см. также [2, 16]). Несмотря на это сходство, в решеточном случае

имеется важное качественное отличие динамики: при высокой плот-

ности частицы н еминуемо образуют плотные кластеры (статические

транспортные пробки). Доказательство же теоремы 5 в действитель-

ности показывает, что «типичное» поведение конфигураций высокой

плотности качественно отлично: они также образуют кл астеры ча-

стиц (т.е. наборы последовательных частиц, расстояния между кото-

рыми строго меньше v), но эти кластеры не стоят на месте, а передви-

гаются с постоянной скоростью как «эшелон». Интересно отметить,

что ранее был разработан целый ряд весьма сложных решеточных

моделей для имитации подобного поведения.

В чисто детерминированной постановке (т.е. v

≡ v ∀ i, t) рас-

сматриваемая система описывается детерминированным отображе-

нием T

: X → X из пространства допустимых конфигураций в

214

себя. Покажем, что это отображение сильно хаотическое в том смыс-

ле, что его топологическая энтропия бесконечна.

Читатель может

найти детальное описание конструкций, связанных с энтропией ди-

намической системы и ее свойств, например, в [13]. Чтобы обойти

сложности, связанные с некомпактностью фазового пространства,

мы определим топологическую энтропию отображения T

(обозна-

чение h

top

)) как супремум по всем метрическим энтропиям этого

отображения относительно его вероятностных инвариантных мер.

Теорема 5.3. Топологическая энтропия чисто детерминирован-

ного процесса с запретами в непрерывном пространстве бесконечна.

Доказательство этого результата основано на аналогичном

утверждении для действия отображения сдвига σ

: X → X в непре-

рывном пространстве:

(σ

:= x

+ v i ∈ Z, x ∈ X.

Лемма 5.3. Топологическая энтропия отображ ения сдвига σ

непрерывном пространстве бесконечна.

Идея здесь состоит в том, чтобы построить инвариантное под-

множество пространства конфигураций X, на котором отображение

изоморфно полному отображению сдвига в пространстве после-

довательностей со счетным алфавитом. Замечая теперь, что тополо-

гическая энтропия полного отображения сдвига в пространстве по-

следовательностей с алфавитом из n элементов равна ln n, получаем

наше утверждение.

6. Каплинг

Одной из основных технических новаций в доказательстве результа-

тов, сформулированных в предыдущем разделе, является конструк-

ция «динамического» каплинга.

Напомним, что под каплингом двух марковских процессов x

, действующих на пространстве X, понимается представление этой

Обычно говорят, что отображение хаотическое, если его топологическая эн-

тропия п оложительна, п оэтому бесконечное значение энтропии говорит об очень

высоком уровне хаотичности.

215

пары процессов на общем вероятностном пространстве. Иными сло-

вами, каплинг — это процесс пар (x

, y

), определенный на простран-

стве прямого произведения X × X, удовлетворяющий следующим

условиям:

P ((x

, y

) ∈ A × X) = P (x

∈ A), P ((x

, y

) ∈ X × A) = P (y

∈ A),

т.е. проекции нового процесса пар ведут себя точно так же, как ис-

ходные процессы.

Обсудим теперь конструкцию динамического каплинга между дву-

мя копиями x

, ´x

рассматриваемого нами марковского процесса.

Обычно при анализе систем взаимодействующих частиц на решет-

ке с асинхронными взаимодействиями используется так называемый

«равный» каплинг (см., например, [14]). В этом случае каплинг со-

стоит в спаривании частиц процессов x

, ´x

, занимающих одинако-

вые позиции. После спаривавания все выборы случайных скоростей

для элементов одной пары предполагаются одинаковыми. В рас-

сматриваемом нами случае систем с синхронными взаимодействи-

ями этот подход не работает. Д ействительно, произвольное число

частиц может сдвинуться одновременно, что приводит к ситуации,

когда частицы, принадлежащие процессам x

, ´x

, обгоняют друг дру-

га, но при этом ни в какой момент времени не занимают одина-

ковые позиции. Кроме того, имеется и более важное препятствие:

может оказаться, что движение только одной частицы из пары за-

блокировано в момент t неспаренной частицей. В результате одно-

временного движения всех этих частиц получаем следующую диа-

грамму:

•◦

•

−→

◦ ◦

◦

. Как видим, старая пара уничтожается, но при

равном каплинге новая пара не образуется. Здесь и далее мы исполь-

зуем диаграммное представление для конфигураций при каплинге:

спаренные частицы обозначаются черными кружками, а неспарен-

ные — белыми, при этом верхняя строка диаграммы показывает

x-частицы (т.е. частицы x-процесса), а нижняя строка соответствует

´x-частицам.

Чтобы обойти это препятствие, мы и вводим динамический

кап-

линг, описанный в [5, 6]. Отметим для сравнения идейно близкую

конструкцию каплинга в [1, 11], предложенную для случая решеточ-

ных систем с асинхронными взаимодействиями. Важным преимущ е-

Слово «динамический» используется для того, чтобы подчеркнуть то, что

взаимное положение частиц в одной паре меняется со временем, в отличие от

равного каплинга.

216

ством динамического каплинга по отношению к этим конструкциям

является ограниченность расстояний между элементами одной пары

(в конструкциях [1, 11] эти расстояния могут становиться бе сконечно

большими).

Под динамическим каплингом процессов x

, ´x

понимается п осле-

довательное спаривание достаточно близко расположенных частиц в

разных процессах, удовлетворяющее следующим условиям.

(A1) В момент t = 0 все частицы предполагаются неспаренными.

Локальные скорости взаимно спаренных частиц всегда одина-

ковы.

(A2) Однажды созданная пара частиц никогда не исчезает; при этом

частицы, образующие данную пару, могут меняться.

(A3) Частица, обгоняющая под действием динамики за один шаг

времени некоторые неспаренные частицы, становится спарен-

ной с одной из них.

Согласно (A1) – (A3) частицы, принадлежащие одной паре, дви-

гаются синхронно до тех пор, пока либо нарушается условие допу-

стимости для одной из них (т.е. ее движение заблокировано другой

частицей), л ибо одна из частиц в паре заменяется неспаренно й ча-

стицей, принадлежащей тому же процессу (см. рис. 2). Удобно пред-

ставлять результат каплинга наших процесов как «газ», состоящий

из ординарных (неспаренных) частиц и «гантелей» (пар). Спарен-

ная прежде частица (элемент гантели) может наследовать роль ор-

динарной от одного из своих соседей. Для того чтобы уд обнее от-

слеживать позиции неспаренных частиц, мы будем называть их x- и

´x-дефектами в зависимости от процесса, к которому они принадле-

жат.

Практически динамический каплинг может быть реализован са-

мыми разными способами (в частности, используя только идею об-

гона частиц). Чтобы продемонстрировать гибкость конструк ц ии, мы

опишем другой подход. Отметим, что в дальнейшем только свойства

(A1) – (A3) используются в доказательствах.

Под x-тройкой (

◦ •

•

или

• ◦

•

) в процессе пар (x

, ´x

) понимает-

ся две взаимно спаренные частицы и x-дефект, находящийся между

ними, индекс которого отличается на единицу от индекса спаренной

x-частицы. ´x-тройка (

•

◦ •

или

•

• ◦

) определяется аналогично.

217