Гашков С.Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях
Подождите немного. Документ загружается.
§ 1.5. Квадратные уравнения 31
13*. Докажите, что разложение числа F
n−3
/
F
n
в цепную дробь име
-
ет вид
1
4 +
.
.
.
+
1
4 + a
k
,
где k = 1 + m, a
k
= 0 при n = 3m, a
k
= 1
/
3 при n = 3m + 1, a
k
= 1
/
5 при
n = 3m + 2.
14*. Подмножество множества чисел от 1 до n назовем эгоистичным,
если оно содержит число, равное своей мощности. Чему равно число эго
-
истичных подмножеств?
§ 1.5. Квадратные уравнения
Первое нетривиальное алгебраическое уравнение
––
квадратное, т. е.
уравнение вида x
2
+ px + q = 0,
––
было решено в глубокой древности.
Это уравнение легко свести к уравнению вида x
2
= c, которое для неотри
-
цательных c решается с помощью арифметического квадратного корня:
x
1
=
√
c, x
2
= −
√
c
––
два его решения. Для этого достаточно выделить полный квадрат:
x
2
+ px + q = x
2
+ 2
p
2
x +
p
2
2
−
p
2
2
+ q =
x +
p
2
2
+ q −
p
2
2
.
Получаем формулу для корней исходного уравнения:
x
1
= −
p
2
+
r
p
2
2
−q, x
2
= −
p
2
−
r
p
2
2
−q
в случае, если
p
2
2
−q > 0.
Заметим, что квадрат разности корней легко выражается через коэф
-
фициенты
(x
1
−x
2
)
2
= p
2
−4q = D.
Это выражение называется дискриминантом уравнения; оно содержит
значительную информацию о корнях. В самом деле, по определению
D = 0 тогда и только тогда, когда корни уравнения совпадают (в этом
случае говорят, что уравнение имеет кратный корень). Если D > 0,
то у уравнения есть действительные корни. В противном случае их нет.
Для квадратного уравнения x
2
+ px + q = 0 справедлива теорема
Виета: сумма корней уравнения равна −p, а произведение равно q.
32 Глава I. Числа и комбинаторика
Далее она будет сформулирована в общем виде, а сейчас предлагается
в качестве упражнения.
Упражнение 6. Выведите эту теорему из формулы для корней квад
-
ратного уравнения.
Квадратные уравнения изучают уже в восьмом классе, поэтому мы на
-
писали о них бегло. Однако огромное количество ошибок, допускаемых
школьниками и абитуриентами, появляется именно в решении квадратных
уравнений. Основная причина, конечно, невнимательность. Часто, напри
-
мер, при решении их
«
в уме
»
путаются две разные формулы для корней
уравнения, которые даются в школьном учебнике, и из них составляется
одна неверная.
Речь идет, конечно, о формуле для решения квадратного уравнения
в виде ax
2
+ bx + c = 0.
Упражнение 7. Выведите эту формулу из старой формулы.
Иногда забывают, что и теорема Виета для уравнения в виде ax
2
+
+ bx + c = 0 выглядит чуть по
-
другому.
Упражнение 8. Запишите теорему Виета для уравнения ax
2
+ bx +
+ c = 0.
Дадим несколько советов, как избегать таких ошибок. Первый из них:
не переоценивайте свои способности к устному счету, лучше напиши
-
те формулу на бумаге, проверьте, что это та формула, которая нужна,
подставьте в нее численные значения коэффициентов, не перепутав их
друг с другом. Если коэффициенты большие, то увеличивается вероят
-
ность арифметической ошибки при вычислении дискриминанта. Так как
из него потом надо извлекать корень, иногда полезно сразу его разлагать
на множители, если коэффициенты имеют общие делители, или применять
формулу разности квадратов и найденные множители выносить за знак
корня, извлекая из них при этом корень.
Например, если при решении уравнения 45x
2
+ 42x + 5 = 0 получи
-
лась формула для корней
x
1,2
=
−42 ±
p
42
2
−4 ·45 ·5
2 · 45
,
то так как
42
2
−4 ·45 ·5 = 4 ·9 (7
2
−5
2
) = 4 ·9 ·2 ·12 = 4 ·9 ·4 ·6 = (4 ·3)
2
·6 = 12
2
·6,
ответом будет
x
1,2
=
−42 ± 12
√
6
2 · 45
=
−7 ± 2
√
6
15
.
§ 1.5. Квадратные уравнения 33
В тех случаях, когда уравнение имеет целые корни, их проще угадать
с помощью теоремы Виета, чем находить по формуле.
Упражнение 9. Угадайте корни квадратного уравнения
1
12
x
2
+
7
12
x =
= 19 из книги Аль Хорезми.
При применении этого приема к уравнению x
2
+ 2001x + 2000 = 0 мо
-
гут возникнуть затруднения из
-
за большого числа возможных вариантов.
Но легко заметить и без теоремы Виета, что один из корней равен −1.
Второй корень находится уже с помощью этой теоремы: x
2
= −2000. За
-
метьте, что использование формулы приводит к довольно громоздким
вычислениям.
Но бездумное использование теоремы Виета может привести к ошиб
-
ке, например, в следующей задаче.
Упражнение 10. Числа p и q
––
корни уравнения x
2
+ px + q = 0.
Чему могут быть равны эти числа?
Действительно, применяя теорему Виета, получаем систему уравнений
(
p + q = −p;
pq = q,
откуда имеем p = 1, q = −2p = −2; q = p = 0.
Но это не все решения! Дело в том, что если p = q 6= 0, из усло
-
вия ясно только, что p
––
корень уравнения, а про второй корень ничего
не сказано. Поэтому проще теорему Виета не применять, а подставить
x = p, q в уравнение и получить систему
(
2p
2
+ q = 0;
q
2
+ pq + q = 0,
откуда q
1
= p
1
= 0 и при q 6= 0 имеем q = −p −1, 2p
2
− p −1 = 0, значит,
p
2,3
= 1, −1
/
2, q
2,3
= −2, −1
/
2.
Чтобы читатель не подумал, что он уже знает о квадратных уравнениях
все, приведем несколько примеров любопытных задач, связанных с ними.
Упражнение 11. Проверьте справедливость следующей, правда, со
-
вершенно бесполезной с практической точки зрения, формулы для корней
квадратного уравнения x
2
+ px + q = 0, именно
x
1,2
=
p ±c
p
p
2
−4q + 2q
2c + p ∓
p
p
2
−4q
.
В ней c
––
произвольный параметр, удовлетворяющий лишь условию
2c + p ∓
p
p
2
−4q 6= 0,
3 Гашков
34 Глава I. Числа и комбинаторика
т. е. это фактически бесконечное семейство разных формул для решения
уравнения x
2
+ px + q = 0. Обычная формула является предельным слу
-
чаем указанной формулы.
Следующая задача является частным случаем одной из теорем Чебы
-
шёва.
Упражнение 12. Среди всех квадратных трехчленов x
2
+ px + q = 0
найдите тот, у которого максимальное по модулю значение на отрезке
[−1, 1] минимально (т. е. тот, который наименее отклоняется от нуля
на этом отрезке).
В таких задачах труднее всего найти ответ, но если он найден, то до
-
казать его правильность уже проще. Поэтому ответ мы сразу подскажем:
искомый экстремальный трехчлен есть x
2
−1
/
2, а его уклонение от нуля,
т. е. максимум на отрезке [−1, 1], равно 1
/
2.
Если же взять любой трехчлен f(x) = x
2
+ px + q, то, заметив, что
f(−1) −2f(0) + f(1) = 2
независимо от p, q, выводим отсюда неравенство
4m > |f(−1)| + 2|f(0)| + |f(1)| > |f(−1) −2f(0) + f(1)|= 2,
где m
––
упомянутый максимум.
Но этого недостаточно, нужно доказать строгое неравенство при
f(x) 6= x
2
−
1
2
. Для этого найдем условие, когда доказанное неравенство
превращается в равенство. Необходимое условие есть
f(−1) = f(1) = −f(0) = 1
/
2.
Ясно, что этому условию удовлетворяет только трехчлен x
2
−1
/
2, так как
система уравнений
1 + q − p = 1
/
2;
1 + q + p = 1
/
2;
q = −1
/
2
имеет единственное решение p = 0, q = −1
/
2.
Упражнение 13. Пусть x
i
––
корни уравнения x
2
+ px + q = 0. Вы
-
числите x
10
1
+ x
10
2
.
Попытка решить эту задачу с помощью формул для корней квадрат
-
ного уравнения приводит к громоздким вычислениям. Укажем подход,
который позволяет решать любые задачи подобного вида, не используя
формул для корней квадратного уравнения.
Для этого заметим, что последовательность a
n
= x
n
1
+ x
n
2
, так же как
и произвольная последовательность вида a
n
= bx
n
1
+ cx
n
2
, удовлетворяет
§ 1.5. Квадратные уравнения 35
следующему соотношению (такие соотношения называют рекуррент-
ными)
a
n+2
+ pa
n+1
+ qa
n
= 0.
Действительно,
a
n+2
+ pa
n+1
+ qa
n
= x
n+2
1
+ x
n+2
2
+ p(x
n+1
1
+ x
n+1
2
) + q(x
n
1
+ x
n
2
) =
= x
n
1
(x
2
1
+ px
1
+ q) + x
n
2
(x
2
2
+ px
2
+ q) = 0.
С помощью этого соотношения можно последовательно вычислять по
формуле a
n+2
= −pa
n+1
−qa
n
, нужно только знать первые два значе
-
ния a
0
и a
1
. Но a
0
= x
0
1
+ x
0
2
= 2, а a
1
= x
1
1
+ x
1
2
= −p по теореме Виета.
Если вам не нравится формула a
0
= x
0
1
+ x
0
2
, можно вместо нее взять
a
2
= x
2
1
+ x
2
2
, результат будет тот же, но придется выразить a
2
= x
2
1
+ x
2
2
=
= (x
1
+ x
2
)
2
−2x
1
x −2 = p
2
−2q.
Теперь уже легко найти a
10
и вообще любое значение a
n
, причем ясно,
что это значение будет всегда целым числом, если p, q сами целые.
Но еще больший интерес представляет обратная задача. Пусть дана
последовательность a
n
, удовлетворяющая линейному рекуррентному
соотношению второго порядка
a
n+2
+ pa
n+1
+ qa
n
= 0
и начальным условиям a
0
= a, a
1
= b. Надо найти явную формулу для
этой последовательности. Частный случай (последовательность Фибо
-
наччи) уже рассматривался нами ранее.
В общем случае действуем следующим образом. Заметим, что как уже
было проверено выше, любая последовательность вида a
n
= cx
n
1
+ dx
n
2
,
где x
i
––
корни уравнения x
2
+ px + q = 0, а c и d
––
константы, удовле
-
творяет соотношению a
n+2
= −pa
n+1
−qa
n
. Если корни x
i
различны,
то для любых начальных условий a
0
= a, a
1
= b можно однозначно найти
коэффициенты c, d, решив систему уравнений
(
c + d = a;
cx
1
+ dx
2
= b.
Тогда последовательность a
n
= cx
n
1
+ dx
n
2
совпадает с заданной, так как
удовлетворяет тому же соотношению и тем же начальным условиям.
Упражнение 14. Проверьте, что в случае x
1
= x
2
последователь
-
ность a
n
можно искать в виде cx
n
1
+ dnx
n
1
, где c и d
––
константы.
3*
36 Глава I. Числа и комбинаторика
Задачи и упражнения к § 1.5
1. Решите уравнение Иоганна Мюллера *
x
10 −x
+
10 − x
x
= 25.
2. Решите уравнение x
2
+ 1999x + 1998 = 0.
3. Решите уравнение 1999x
2
+ 1000x −2999 = 0.
4. Если уравнение a + bx + cx
2
= 0 имеет только действительные кор
-
ни, то это же верно для уравнения a + bx + cx
2
/
2 = 0.
5. Пусть x
1
, x
2
––
корни уравнения 1 + kx + x
2
= 0. Найдите все k, при
которых справедливо неравенство (x
1
/
x
2
) + (x
2
/
x
1
) > 1.
6. Найдите все a, для которых корни уравнения 4x
2
−2x + a = 0 за
-
ключены между −1 и 1.
7. Для каких a уравнение (3a + 2)x
2
+ (a −1)x + 4a + 3 = 0 имеет
один корень больше 3, а другой
––
меньше 2?
8. Если a, b, c
––
стороны треугольника, то уравнение
b
2
x
2
+ (b
2
+ c
2
−a
2
)x + c
2
= 0
не имеет действительных корней.
9. Сколько существует уравнений вида x
2
− px −q = 0, где p и q
––
натуральные числа, положительный корень которых меньше заданного
натурального числа r?
10*. Докажите, что если
(q
2
−q
1
)
2
+ p
2
1
q
2
+ p
2
2
q
1
− p
1
p
2
(q
2
+ q
1
) < 0,
то корень одного из уравнений x
2
+ p
i
x + q
i
= 0 лежит между корнями
другого.
11. Если все корни уравнений x
2
+ p
i
x + q
i
= 0 по модулю меньше 1,
то все корни уравнения x
2
+ (p
1
+ p
2
)x
/
2 + (q
1
+ q
2
)
/
2 = 0 по модулю
меньше 1.
12. Если x
i
––
корни уравнения x
2
−6x + 1 = 0, то x
n
1
+ x
n
2
––
целое
число при натуральном n, не кратное 5.
13. Пусть x
i
––
корни уравнения x
2
+ px + q = 0. Найдите квадратное
уравнение с корнями x
2
n
1
, x
2
n
2
.
14. Пусть x
i
––
корни уравнения x
2
+ px + 1 = 0, p
––
нечетное. Дока
-
жите, что x
n
1
+ x
n
2
––
целое число при любом натуральном n и (x
n
1
+ x
n
2
,
x
n+1
1
+ x
n+1
2
) = 1.
* И. Мюллер (Johannes Müller, Regiomontanus, 1436
–
1476), по прозвищу Региомон
-
тан
––
немецкий математик.
§ 1.6. Комбинаторика отображений 37
15. Пусть x
i
––
корни уравнения ax
2
+ bx + c = 0. Найдите x
−3
1
+ x
−3
2
.
16. Найдите формулу для последовательности
a
n+1
= 3a
n
−2a
n−1
, a
1
= 1, a
0
= 0.
17. Найдите формулу для последовательности
a
n+1
= 4a
n
−4a
n−1
, a
1
= 1, a
0
= 0.
18*. Квадратный трехчлен ax
2
+ bx + c на отрезке [0, 1] принимает
значения, не большие по модулю 1. Какое максимальное значение может
иметь при этом сумма |a|+ |b| + |c|?
19. Квадратный трехчлен при любом целом x принимает значения,
равные четвертой степени натурального числа. Докажите, что он равен
константе.
20*. Квадратный трехчлен при любом целом x принимает значения,
равные квадрату натурального числа. Докажите, что он равен квадрату
многочлена первой степени.
§ 1.6. Комбинаторика отображений
Далее с целью краткости будем использовать следующие общеприня
-
тые обозначения * (которыми постараемся не злоупотреблять).
Конечные множества будем задавать, перечисляя их элементы в фи
-
гурных скобках, например, {1, 3, 5}.
Произвольное множество A будем иногда задавать в виде {x : A(x)},
где A(x)
––
некоторое утверждение, которое является истинным тогда
и только тогда, когда x принадлежит множеству A, например, конечное
множество натуральных чисел {n, n + 1, . .., m} можно определить и так:
{x : n 6 x 6 m}. Используем также обозначения:
e ∈E
––
e является элементом множества E;
A ⊂E
––
множество A является подмножеством множества E;
A ∪B
––
объединение множеств A и B;
A ∩B
––
пересечение множеств A и B;
A \B
––
разность множеств A и B, т. е. множество всех элементов
из A, не принадлежащих множеству B.
В качестве упражнения пусть читатель проверит, что
A \B = A \ (A ∩B), A \ (A \B) = A ∩B, A ∪B = A ∪ (B \ A).
Запись P ⇒ Q будет означать, что из утверждения P следует утвер
-
ждение Q (читается:
«
если P, то Q
»
). Сразу предупредим читателя,
* Теоретико
-
множественные обозначения и терминология, используемая далее, стали
общепринятыми после работ Г. Кантора.
38 Глава I. Числа и комбинаторика
что если утверждение P ложно, то утверждение P ⇒ Q в математике
(но не всегда в философии) считается истинным независимо от ис
-
тинности или ложности утверждения Q. (Действительно, из ложного
утверждения можно логически безупречно вывести как истинные, так
и ложные утверждения.)
Запись P ⇔ Q будет означать, что утверждение P равносильно
утверждению Q. Заметим, что P ⇔ Q имеет место тогда и только тогда,
когда P ⇒ Q и Q ⇒ P. Многие теоремы имеют вид равносильности
двух утверждений (например,
«
P справедливо тогда и только тогда, ко
-
гда справедливо Q
»
). Для их доказательства мы и будем пользоваться
этим простым замечанием (а именно, предполагая верным P, выводить
из него Q, а потом, предполагая верным Q, выводить из него P). На
-
пример, для доказательства равенства множеств A и B будем вначале
доказывать, что A ⊂B (A содержится в B), а потом
––
что B ⊂ A (B
содержится в A).
Остальные обозначения будут вводится по ходу изложения.
Пусть A
1
, ..., A
n
––
конечные непустые множества.
Определение 11. Упорядоченный набор (a
1
, ..., a
n
), компоненты
которого a
i
принадлежат множествам A
i
, i = 1, ..., n, назовем словом.
Множество всех таких слов обозначим A
1
×... ×A
n
и назовем декар-
товым * произведением множеств A
1
, ..., A
n
.
8
7
6
5
4
3
2
1
a b c d e f g h
Рис. 1
П р и м е р ы. 1. Если A
1
= {a, b, c, d, e, f, g, h},
A
2
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, то A
1
×A
2
––
шахматная
доска (рис. 1).
2. Если A
––
алфавит русского языка, то среди
префиксов (т. е. начал) всевозможных слов мно
-
жества A × . .. ×A
|
{z }
30
встречаются все слова русско
-
го языка.
Далее вместо A ×. .. ×A
|
{z }
n раз
используем краткое
обозначение A
n
, называемое декартовой степе-
нью множества A.
П р и м е р ы. 1. Если множество A = E
2
= {0, 1}, то его декартова
степень A
n
= E
n
2
состоит из всех слов длины n, составленных из 0 и 1.
Это множество называют n-мерным двоичным кубом.
2. Если множество A = E
k
= {0, 1, . .., k −1}, то его декартова степень
A
n
= E
n
k
состоит из всех слов длины n, составленных из 0, 1 . . ., k −1.
Это множество называют n-мерным k-ичным кубом.
* Р. Декарт (René Descartes, 1596
–
1650)
––
великий французский философ и математик.
§ 1.6. Комбинаторика отображений 39
3. Если множество A = R
––
множество всех действительных чисел,
то его декартова степень A
n
= R
n
состоит из всех n
-
мерных векторов
с действительными координатами и называется n-мерным арифмети-
ческим пространством.
4. При n = 2 в предыдущем примере получается плоскость, а при
n = 3
––
трехмерное арифметическое пространство. Именно этот пример
по существу имел в виду Декарт, когда вводил в геометрию координаты.
Число элементов конечного множества A называют его мощностью
и обозначают |A|.
Теорема 8 (принцип умножения). Справедливо равенство
|A
1
×... ×A
n
|= |A
1
|·... ·|A
n
|
(словесная формулировка: число элементов в декартовом произве-
дении множеств равно произведению мощностей этих множеств).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Индукция по n. База: n = 2. Если A
2
=
= {a
21
, ..., a
2n
2
}, то
A
1
×A
2
= (A
1
×{a
21
}) ∪... ∪ (A
1
×{a
2n
2
}),
и
|A
1
×A
2
|= |A
1
|+ ... + |A
1
|
|
{z }
n
2
раз
= |A
1
|·n
2
= |A
1
|·|A
2
|.
Шаг индукции. Пусть уже доказано, что |A
1
×... ×A
n−1
|= |A
1
| ...
... |A
n−1
|. Соответствие ((a
1
, ..., a
n−1
), a
n
) 7→ (a
1
, ..., a
n
) устанавливает
взаимно однозначное отображение между множествами (A
1
×...×A
n−1
) ×
×A
n
и A
1
×... ×A
n
. Применяя базу индукции, получаем:
|A
1
×... ×A
n
|= |A
1
×... ×A
n−1
|×|A
n
|= |A
1
|·... · |A
n
|.
Принципом сложения в комбинаторике называется следующее почти
очевидное, хотя и довольно абстрактно формулируемое утверждение.
Теорема 9 (принцип сложения). Если конечные множества
A
i
, 1 6 i 6 n, попарно не пересекаются (другими словами, не имеют
общих элементов), то справедливо равенство
|A
1
∪... ∪A
n
|= |A
1
|+ ... + |A
n
|
(словесная формулировка: мощность объединения попарно не пере-
секающихся множеств равна сумме мощностей этих множеств).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Здесь тоже формально можно провести ин
-
дукцию по n, но кажется, и так все ясно.
40 Глава I. Числа и комбинаторика
Для краткости объединение семейства множеств A
i
, 1 6 i 6 n,
обозначают еще и так:
n
[
i=1
A
i
.
Следующее определение по существу совпадает с определениями,
данными Дирихле * и Лобачевским **.
Определение 12. Отображением (или функцией) f : A →B назо
-
вем соответствие, при котором каждому элементу множества A сопостав
-
ляется ровно один элемент множества B.
Это определение тесно связано со следующим определением.
Определение 13. Подмножество F множества A ×B назовем гра-
фиком отображения f : A →B (обозначение: F = Γ
f
), если для любого
элемента a, принадлежащего A, найдется единственный элемент b из B
такой, что упорядоченная пара (a, b) принадлежит множеству F.
Этот элемент обозначим f(a) (чтобы подчеркнуть его возможную за
-
висимость от элемента a) и назовем образом элемента a при отображе
-
нии f.
П р и м е р ы. 1. Если A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {a, b, c, d, e, f, g, h},
то соответствие
f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = d,
f(5) = e, f(6) = f, f(7) = g, f(8) = h
является отображением.
2. Для тех же A, B отображением является соответствие
f(1) = a, f(2) = a, f(3) = c, f(4) = c,
f(5) = e, f(6) = e, f(7) = g, f(8) = g.
Их графики изображаются расстановкой ладей на шахматной доске
на рис. 2
–
3.
А расстановка ладей на рис. 4 не является графиком отображения
f : A →B.
3. Отображение из N в произвольное множество называется после-
довательностью элементов этого множества.
* П. Лежён Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805
–
1859)
––
знаменитый
немецкий математик. Родился во Франции.
** Лобачевский Николай Иванович (1792
–
1856)
––
знаменитый русский математик, пер
-
вооткрыватель неевклидовой геометрии. Ректор Казанского университета в 1827
–
1846 гг.