Гашков С.Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях
Подождите немного. Документ загружается.
Приложение 321
Образцы экзаменационных задач
1. Вычислите двумя способами (1 + i)
n
и напишите соответствующие тождества с би
-
номиальными коэффициентами.
2. Найдите число всех первообразных корней группе корней 1999
-
й степени из еди
-
ницы.
3. Нарисуйте на комплексной плоскости множество точек z таких, что
˛
˛
˛
z − a
1 −az
˛
˛
˛
< 1.
4. Найдите коэффициент при x
10
у многочлена (1 + x + x
2
)
10
.
5. Найдите сумму коэффициентов многочлена (1 −x + x
2
)
10
.
6. Найдите сумму всех натуральных делителей числа 1999
n
.
7. Решите уравнение (x
2
+ x + 4)
2
+ 8x(x
2
+ x + 4)
2
+ 15x = 0.
8. Решите уравнение 4(x + 5)(x + 6) (x + 10) (x + 12) − 3x
2
= 0.
9. Докажите, что
cos x + cos 3x + . . . + cos(2n −1)x =
sin 2nx
2 sin x
.
10. Разложите на множители многочлен над полем действительных чисел: 2x
4
−x
3
−
−9x
2
+ 13x − 5.
11. Разложите на множители многочлен над полем действительных чисел: x
3
+
+ 9x
2
+ 11x − 21.
12. Докажите, что
sin x + sin 3x + . . . + sin(2n −1)x =
sin
2
nx
sin nx
.
13. Нарисуйте на комплексной плоскости множество точек z таких, что
˛
˛
˛
z − a
z − b
˛
˛
˛
< 2.
14. Разложите на множители многочлен над полем действительных чисел: x
4
+ 2x
3
−
−16x
2
−2x + 15.
15. Решите уравнение (x
2
+ x)
4
= 1 в поле комплексных чисел.
16. Найдите max |z| при |z + 1
/
z| = a.
17. Решите уравнение x
6
+ 1 = 0.
18. Если окружность построена на отрезке [i, −b
/
a + ic
/
a] как на диаметре, то она
пересекает действительную ось в корнях уравнения ax
2
+ bx + c = 0 и не пересекает ее,
если это уравнение не имеет действительных корней.
19. Извлеките алгебраически корень пятой степени из единицы и постройте правиль
-
ный пятиугольник циркулем и линейкой.
20. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно выбирать в течение
трех дней по 6 участников хора так, чтобы каждый день были разные составы?
21. Школьник имеет 6 друзей и в течение 20 дней приглашает к себе трех из них так,
что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами он может это сделать?
22. В турпоход отправились 92 ученика. Бутерброды с колбасой взяли 47 учеников,
с сыром
––
38, с ветчиной
––
42, и с сыром, и с колбасой
––
28, и с колбасой, и с ветчиной
––
26, и с сыром, и с ветчиной
––
17. Все три вида бутербродов взяли 26 учеников, а несколько
учеников взяли с собой пирожки. Сколько было последних?
23. Сколькими способами можно разделить 10 книг на 5 бандеролей по 2 в каждой?
24. Сколькими способами можно выбрать нечетное число предметов из данных 20?
25. Найдите средний член разложения (1 −x
2
/
2)
14
.
26. Найдите коэффициент при x
8
в разложении (2 + x − x
2
)
5
.
21 Гашков
322 Приложение
27. Докажите, что
C
0
n
+ C
3
n
+ C
6
n
+ . . . =
1
3
„
2
n
+ 2 cos
πn
3
«
.
28. Докажите, что
C
0
n
+ C
4
n
+ C
8
n
+ . . . =
1
2
“
2
n−1
+ 2
n
/
2
cos
πn
4
”
.
29. Найдите числа, сопряженные своему кубу.
30. Вычислите
4
p
2 −i
√
12.
31. Вычислите
6
s
1 −i
1 + i
√
3
.
32. Выразите tg 6ϕ через tg ϕ.
33. Выразите
sin 6ϕ
sin ϕ
через cos ϕ.
34. Представьте cos
6
x в виде линейной комбинации косинусов кратных дуг.
35. Докажите, что если z + 1
/
z = 2 cos x, то z
n
+ z
−n
= 2 cos nx.
36. Решите уравнение (x
3
−3qx + p
3
−3pq)
2
−4(px + q)
3
= 0.
37. Решите уравнение x
3
−3abx + a
3
+ b
3
= 0.
38. Составьте уравнение, корни которого равны кубам корней уравнения x
3
+ px+ q=0.
39. Решите уравнение ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0, если его коэффициенты удовлетворяют
условию ad = bc.
40. Решите уравнение ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0, если его коэффициенты составляют гео
-
метрическую прогрессию с данным знаменателем q.
41. Решите уравнение x
3
+ ax
2
+ bx + c = 0, если его коэффициенты удовлетворяют
условию ab = c.
Предметный указатель
p
-
группа 97
Абеля
––
Руффини теорема 313
аксиома группы 71
алгоритм перевода из двоичной системы
в десятичную и обратно 157
аргумент комплексного числа 214
ассоциативность 71
Безу коэффициенты 15
––
теорема 142, 276
Бине теорема 28
Брауэра А. теорема 162
Виета теорема 184, 249
вложение 41
вычет n
-
й степени 110
––
квадратичный 110
вычитание многочленов 135
Гаусса лемма 174
––
теорема 13, 103, 106
гипербола 276
гомоморфизм 77, 88
граф 70
––
полный 71
график отображения 40
группа 71
––
абелева 77
––
аддитивная кольца 101
––
коммутативная 75, 77, 88, 283
––
мультипликативная 284
––
циклическая 76
группы изоморфные 76
гудерманиан 286
Данделена теорема 168
действительная часть 210
декартова степень 38
декремент перестановки 65
делимость многочленов 141
делитель 12
––
многочленов наибольший общий
(НОД) 141
––
наибольший общий (НОД) 13
––
нуля 89
дерево степеней 163
детерминант 267
директриса 276
дискриминант 31
––
кубического уравнения 239
––
уравнения n
-
й степени 240
Диффи
––
Хеллмана система 131
дроби символические по модулю m 92
дробь непрерывная 20
––
цепная 20
Дюпре теорема 29
Евклида алгоритм 20
–– ––
обобщенный 23
–– ––
расширенный 15
––
алгоритм, обобщенный вариант 24
––
теорема 12
Закон сокращения 91
знак перестановки 68
золотое сечение 27
Изоморфизм 76, 88
инверсия 66
индекс подгруппы 83
индекс элемента 109
Класс смежный левый 82
–– ––
правый 82
––
эквивалентности числа 282
ключ 119
кольцо 88
––
без делителей нуля 90
––
вычетов по модулю m 88
––
гауссовых целых чисел 306
––
целостное 90
корень 163
––
из комплексного числа n
-
й степени
232
––
кратный 31
––
многочлена 142
–– ––
кратности n 152
–– ––
простой 152
––
первообразный 103
––
Энке 187
21*
324 Предметный указатель
косинус гиперболический 225
коэффициент биномиальный 47
––
полиномиальный 47
кратное наименьшее общее 14
криптоанализ 121
криптография 119
Кронекера алгоритм 176
куб n
-
мерный k
-
ичный 38
–– ––
двоичный 38
Лагранжа теорема 83
логарифм дискретный 109
логарифмирование дискретное 131
Метод вилки 165
––
вычисления
«
цифра за цифрой
»
165
––
Горнера 166
––
итерационный 166
––
Ньютона 166
мнимая часть 210
многочлен 134
––
антисимметрический 191
––
возвратный 180
––
интерполяционный Лагранжа 145
––
кососимметрический 191
––
круговой 230
––
неприводимый над полем 300
––
неприводимый над кольцом 173
––
нечетный 181
––
симметрический 183
–– ––
элементарный 183
––
тригонометрический 286
––
фундаментальный Лагранжа 144
––
Чебышёва 170
––
четный 181
многочлены взаимные 180
множество всех подмножеств 42
––
классов эквивалентности 282
модуль комплексного числа 211
мощность множества 39
Муавра теорема 181
––
формула 216
мультипликативность 118
––
функции Эйлера 96
Набор упорядоченный 38
наложение 41
норма 294
––
алгебраического числа 302
Область целостности 136
образ множества 41
объединение семейства множеств 40
одночлен 135, 138
––
старший 138
операция обращения 61
определитель 267
остаток от деления 11
––
от деления многочленов 136
Остроградского теорема 198
отображение 40
––
взаимно однозначное 41
––
зашифрования 119
––
изоморфное 76
––
расшифрования 119
отрезок фокальный 276
Парабола 276
Паскаля тождество 47
––
треугольник 48
перестановка маршрутная 120
––
обратная 61
––
с повторениями 46
период 75
––
группы 84
–– ––
наименьший положительный 84
––
элемента наименьший
положительный 75
подграф 63
подгруппа 70, 74
––
нормальная 84
––
собственная 74
поле 90
––
деления круга 299
––
числовое 298
полугруппа коммутативная 88
порядок перестановки 67
––
элемента 75
последовательность, обратная
к последовательности Фибоначчи
29
построение циркулем и линейкой 311
признаки неприводимости достаточные
175
принцип сложения 39
произведение многочленов 135, 138
––
множеств декартово 38
––
перестановок 60
––
прямое групп 94
–– ––
операций 94
––
скалярное комплексных чисел 212
производная многочлена 150
пространство n
-
мерное арифметическое
39
––
ключей 119
Предметный указатель 325
процесс итерационный 169
Разложение многочлена по степеням
152
разность множеств симметрическая 86
расширение пифагорово 308
––
поля 299
–– ––
квадратичное 299
–– ––
простое 300
––
радикальное 313
ребро графа 63, 71
резольвента Феррари 236, 242
результант 269
Самосовмещение графа 71
символ Золотарёва 114
––
Якоби 115
символ Лежандра 110
синус гиперболический 225
система RSA 130
––
вычетов полная 228
––
симметрическая 186
––
трапециевидная 265
––
треугольная 265
слово 38
сложение комплексных чисел 210
сложность алгоритма 155
сочетание элементов 51
сочетания с повторениями 52
сравнение 84
сравнимость левая 84
––
правая 84
степень многочлена 134, 138
––
одночлена 138
сумма многочленов 134, 138
––
множеств 96
суммой классов эквивалентности 283
сцитала 120
Таблица Энея 120
Тейлора теорема 153
теорема Виета 31
––
Гаусса 174
тип перестановки циклический 65
тождество дистрибутивное 88
транспозиция 64
трансцендентные 271
Умножение комплексных чисел 210
Факторгруппа 87
факториал 45
––
возрастающий 45
––
убывающий 45
факторизация 178
––
бесквадратная 196
Ферма теорема малая 90, 104
–– –– ––
для конечных полей 104
––
теорема для групп малая 84
Фибоначчи числа 26
фокус гиперболы 276
––
параболы 276
––
эллипса 276
форма квадратичная 277
формула 72
––
интерполяционная Ньютона 147
формулы Крамера 267
функция 40
––
k
-
значной логики 43
––
алгебры логики 43
––
булева 43
––
двузначной логики 43
––
от n действительных переменных 43
––
от n переменных 43
––
полиномиальная 142
––
Эйлера 79
Фурье теорема 167
Характеристика целостного кольца 101
Целая часть числа 28
цепочка аддитивная 160
цепь 54
цикл длины k 63
––
порядка k 63
Частное комплексных чисел 211
––
неполное 11
––
от деления многочленов 136
Чебышёва многочлены первого
и второго рода 290
числа взаимно простые 13
––
эквивалентные по модулю 282
число алгебраическое 173, 300, 302
–– ––
над полем 300
–– ––
целое 302
––
иррациональное 28
––
комплексное 210
–– ––
сопряженное 211
––
пифагорово 308
––
простое 12
–– ––
гауссово 306
––
сопряженное алгебраическому 302
––
составное 12
––
целое 28
326 Предметный указатель
Шифр 119
––
аффинный 120
––
замены 119
––
перестановки 119
Шифр Плейфера
—
Уитстона 127
шифр
-
система 119
шифрование 119
шифртекст 119
Эйлера критерий 110
––
теорема 90, 96
Эйлера
––
Гаусса теорема 109
Эйнштейна признак 175
элемент единичный 71
––
нейтральный 71
––
обратимый 88
––
обратный 71
–– ––
многочлена 135
––
примитивный 103
––
простой 306
эллипс 276
Ядро Дирихле 294
––
Фейера 295
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава I. Числа и комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§ 1.1. Позиционные системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§ 1.2. Натуральные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 1.3. Алгоритм Евклида и цепные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§ 1.4. Числа Фибоначчи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§ 1.5. Квадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
§ 1.6. Комбинаторика отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§ 1.7. Полиномиальная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 1.8. Сочетания и разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§ 1.9. Перестановки и подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
§ 1.10. Циклы и транспозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Глава II. Числа и группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§ 2.1. Группа подстановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§ 2.2. Группы и подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 2.3. Циклические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
§ 2.4. Теорема Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§ 2.5. Кольца и поля вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 2.6. Прямое произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§ 2.7. Конечные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
§ 2.8. Первообразные корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
§ 2.9. Алгебра и криптология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Глава III. Многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§ 3.1. Кольцо многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§ 3.2. Алгоритм Евклида и теорема Безу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
§ 3.3. Интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 3.4. Производные и кратные корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
§ 3.5. Схема Горнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§ 3.6. Аддитивные цепочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
§ 3.7. Приближенное вычисление корней многочленов . . . . . . . . . . . 166
§ 3.8. Разложение на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
§ 3.9. Взаимные многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
§ 3.10. Симметрические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
§ 3.11. Быстрое умножение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
§ 3.12. Разложение на бесквадратные множители . . . . . . . . . . . . . . . . 197
328 Оглавление
Глава IV. Алгебраические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
§ 4.1. Решение кубических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
§ 4.2. Неприводимый случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
§ 4.3. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
§ 4.4. Вычисления на калькуляторе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
§ 4.5. Корни из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
§ 4.6. Кубические уравнения над полемкомплексных чисел . . . . . . . 233
§ 4.7. Уравнения четвертой степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
§ 4.8. Решение кубического уравнения методом Лагранжа . . . . . . . . 237
§ 4.9. Решение методом Лагранжа уравнений четвертой степени . . 241
§ 4.10. Решение методом Эйлера уравнений четвертой степени . . . . . 245
§ 4.11. Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
§ 4.12. Как решать уравнения на экзаменах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
§ 4.13. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
§ 4.14. Почему уравнения могут быть неограниченно трудными . . . . 272
§ 4.15. Алгебра и геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
§ 4.16. Комплексная тригонометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 4.17. Тригонометрические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
§ 4.18. Расширения полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
§ 4.19. Построения циркулем и линейкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
§ 4.20. Теорема Абеля
––
Руффини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Приложение. Образцы контрольных работ разных лет, экза
-
менационных вопросов и задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324