Гашков С.Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях
Подождите немного. Документ загружается.
§ 4.14. Почему уравнения могут быть неограниченно трудными 271
3. (Кархи, XI в..)
xy = 10;
xz = y
2
;
x
2
+ y
2
= z
2
.
4.
2x
2
1 + x
2
= y;
2y
2
1 + y
2
= z;
2z
2
1 + z
2
= x.
5.
x
1
+ 2x
2
+ ... + 2x
n
= 1;
x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
+ ... + 4x
n
= 2;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
1
+ 3x
2
+ ... + (2k −1)x
k
+ 2kx
k+1
+ ... + 2kx
n
= k;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
+ ... + (2n −3)x
n−1
+ (2n −1)x
n
= n.
6.
x
1
−3x
2
+ 2x
3
> 0;
x
2
−3x
3
+ 2x
4
> 0;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
99
−3x
100
+ 2x
1
> 0;
x
100
−3x
1
+ 2x
2
> 0.
7.
yz
/
(y + z) = a;
xz
/
(x + z) = b;
yx
/
(y + x) = c.
8.
x
2
... x
n
/
x
1
= a
1
;
x
1
x
3
... x
n
/
x
2
= a
2
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
1
... x
n−1
/
x
n
= a
n
.
9.
x + y + z = 2a;
x
2
+ y
2
−z
2
= a
2
;
3xyz −x
3
−y
3
−z
3
= b
3
.
§ 4.14. Почему уравнения могут быть неограниченно
трудными
Как уже читатель знает, алгебраические и иррациональные уравне
-
ния, неравенства и системы представляют не принципиальные, а только
технические трудности, так как они могут быть сведены к алгебраиче
-
ским уравнениям, которые если и не всегда можно решить в радикалах,
то по крайней мере можно решить численно сколь угодно точно.
Уравнения трансцендентные довольно редко удается свести к ал
-
гебраическим, и тогда прибегают к численному решению, например, ме
-
тодом итераций или методом Ньютона.
Покажем, что, вообще говоря, решение трансцендентных уравнений
может вызывать принципиальные затруднения. Вначале для простоты
272 Глава IV. Алгебраические уравнения
разрешим использовать в уравнениях целую часть ⌊x⌋ и получающую
-
ся из нее дробную часть {x} = x −⌊x⌋. Рассмотрим систему
x
y
−z
t
= 1;
x = 4 + x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ x
2
4
;
y = y
2
1
+ y
2
2
+ y
2
3
+ y
2
4
;
z = 2 + z
2
1
+ z
2
2
+ z
2
3
+ z
2
4
;
t = t
2
1
+ t
2
2
+ t
2
3
+ t
2
4
;
{x
1
} = 0;
. . . . . . . .
{x
4
} = 0;
{y
1
} = 0;
. . . . . . . .
{y
4
} = 0;
{z
1
} = 0;
. . . . . . . .
{z
4
} = 0;
{t
1
} = 0;
. . . . . . . .
{t
4
} = 0.
Если эта система имеет решения, то переменные x
i
, y
i
, z
i
, t
i
явля
-
ются целыми числами, а так как согласно теореме Лагранжа о четырех
квадратах любое натуральное число представимо в виде суммы четы
-
рех квадратов целых чисел, то переменные x, y, z, t при этом могут
принимать любые натуральные значения, причем x > 4, z > 2. Поэтому
задача сводится к решению в натуральных числах уравнения Каталана
x
y
−z
t
= 1. Но у этого уравнения, как предположил Каталан и пока еще
никто не доказал, есть только одно решение (x = 3, y = 2, z = 2, t = 3),
которое не удовлетворяет неравенству x > 4. Поэтому неизвестно, име
-
ет ли данная система решения *.
Конечно, можно написать подобную систему для любого диофанто-
ва уравнения, т. е. уравнения вида P(x
1
, . . ., x
n
) = 0, где P
––
произволь
-
ный многочлен с целыми коэффициентами, которое тоже надо решать
в целых числах. При этом, кстати, можно не использовать теорему Ла
-
гранжа и написать более простую систему
P(x
1
, ..., x
n
) = 0;
{x
1
} = 0;
. . . . . . . .
{x
n
} = 0.
* Сравнительно недавно Тайдеман доказал, что уравнение Каталана имеет конечное чис
-
ло решений.
§ 4.14. Почему уравнения могут быть неограниченно трудными 273
Многие диофантовы уравнения до сих пор не решены. Более того,
в 1970 году аспирант ЛГУ, выпускник ФМШ № 18 при МГУ Юрий Ма
-
тиясевич * доказал, что проблема распознавания того, имеет ли решения
произвольное диофантово уравнение, алгоритмически неразрешима.
Поэтому и нет алгоритма для решения произвольных трансцендентных
систем.
Заметим, что любую систему можно заменить на одно уравнение, так
как система
f
1
(x
1
, ..., x
n
) = 0;
. . . . . . . . . . . . . . . . .
f
m
(x
1
, ..., x
n
) = 0
равносильна уравнению
f
1
(x
1
, ..., x
n
)
2
+ ... + f
m
(x
1
, ..., x
n
)
2
= 0.
Кстати, произвольную систему неравенств
f
1
(x
1
, ..., x
n
) > 0;
. . . . . . . . . . . . . . . . .
f
m
(x
1
, ..., x
n
) > 0
можно заменить на одно уравнение
(f
1
(x
1
, ..., x
n
) −y
2
1
)
2
+ ... + (f
m
(x
1
, ..., x
n
) −y
2
m
)
2
= 0,
содержащее дополнительные неизвестные, но равносильное исходной си
-
стеме.
Если вам не нравится, что у таких уравнений много неизвестных,
то можно все неизвестные x
i
, i = 1, . . ., n, принимающие натуральные зна
-
чения, заменить на одно натуральное неизвестное x такое, что x
i
= c
n,i
(x),
где c
n,i
(x)
––
такие функции, что для любого набора натуральных зна
-
чений x
i
, i = 1, ..., n, найдется единственное натуральное x такое, что
x
i
= c
n,i
(x).
Такие функции можно выразить через функцию ⌊
√
x⌋, которую можно,
конечно, считать элементарной, если решить следующие упражнения.
Упражнение 156. Докажите, что уравнение
c(x, y) = (x + y)(x + y + 1)
/
2 + x = n,
где n
––
натуральное число, имеет единственное решение в натуральных
числах
x = c
2,1
(n) = l(n), y = c
2,2
(n) = r(n),
* Ю. В. Матиясевич (род. 1947), чл.
-
корр. РАН, профессор матмеха СПбГУ.
18 Гашков
274 Глава IV. Алгебраические уравнения
где
l(n) = n −
1
2
1 + ⌊
√
8n + 1⌋
2
⌊
√
8n + 1⌋− 1
2
,
r(n) =
⌊
√
8n + 1⌋− 1
2
−l(n),
значит, эти функции удовлетворяют тождествам n = c(l(n), r(n)), x =
= l(c(x, y)), y = r(c(x, y)).
У к а з а н и е. Так как
2n = (x + y)
2
+ 3x + y, 8n + 1 = (2x + 2y + 3)
2
−8y −8,
выполняются неравенства
2x + 2y + 1 6 ⌊
√
8n + 1⌋< 2x + 2y + 3,
x + y + 1 6
⌊
√
8n + 1⌋+ 1
2
< x + y + 2.
Определим по индукции функции
c
n
(x
1
, ..., x
n
) = c
n−1
(c(x
1
, x
2
), x
3
, ..., x
n
),
c
n,1
(x) = l(l .. . l(x) . . .),
c
n,2
(x) = r(l(l .. . l(x) . . .)),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
n,n−1
(x) = r(l(x)),
c
n,n
(x) = r(x).
Упражнение 157. Докажите тождества
c
n
(c
n,1
(x), ..., c
n,n
(x)) = x, c
n,i
(c
n
(x
1
, ... x
n
)) = x
i
.
Благодаря этим тождествам можно написать систему с одним неиз
-
вестным
(
P(c
n,1
(x), ..., c
n,n
(x)) = 0;
{x} = 0,
а потом переделать ее в одно уравнение.
Если же вам не нравится использование в этих системах целой части
(она хоть и очень простая функция, но все же разрывная), то ее вполне
можно заменить синусом, но системы будут немного сложнее.
§ 4.15. Алгебра и геометрия 275
Упражнение 158. Докажите, что система
P(x
1
, ..., x
n
) = 0;
sin (ω) = 0;
ω > 3;
ω < 4;
sin (ωx
1
) = 0;
. . . . . . . . . . . .
sin (ωx
n
) = 0
равносильна диофантову уравнению
P(x
1
, ..., x
n
) = 0.
У к а з а н и е. ω = π, поэтому sin (ωx
i
) = 0 означает, что x
i
––
целое
число.
Указанную систему легко заменить на одно уравнение
P(x
1
, ..., x
n
)
2
+ (ω −3 −y
2
)
2
+ (4 −ω −z
2
)
2
+
+ sin (ω)
2
+ sin (ωx
1
)
2
+ ... + sin (ωx
n
)
2
= 0.
Можно, но это сложнее, заменить одно уравнение на равносильное
уравнение и даже неравенство с одной неизвестной, содержащее кроме
арифметических операций только синус.
Задачи и упражнения к § 4.14
1. Если добавить к числу используемых функций |x|, то любое нера
-
венство можно заменить на эквивалентное тождество. Поэтому задача
распознавания, является ли данное равенство тождеством, алгоритмиче
-
ски неразрешима.
§ 4.15. Алгебра и геометрия
Из этой необозримой темы мы коснемся только вопроса о геомет
-
рической интерпретации систем второго порядка. Геометрическую ин
-
терпретацию систем первого порядка мы уже рассматривали в § 4.13.
Каждое из уравнений такой системы задает на координатной плоско
-
сти кривую второго порядка. Решить систему означает найти пересечение
этих кривых.
Теорема 106. Невырожденная кривая второго порядка являет-
ся либо эллипсом, либо гиперболой, либо параболой. Вырожденная
18*
276 Глава IV. Алгебраические уравнения
кривая является либо объединением двух прямых, либо просто пря-
мой, либо точкой и может быть пустым множеством.
Теорема 107 (Безу). Две кривые второго порядка либо содер-
жат общую прямую, либо имеют не более четырех общих точек.
Мы не будем давать формального доказательства этих теорем, но да
-
дим все же некоторые пояснения.
Определение 104. Эллипсом называется множество (или, как писа
-
ли в старых учебниках, геометрическое место) точек, сумма расстояний
от которых до двух данных точек (фокусов эллипса) постоянно.
Определение 105. Гиперболой называется множество точек, раз
-
ность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов гиперболы)
постоянна.
Определение 106. Параболой называется множество точек, раз
-
ность расстояний от которых до данной точки (фокуса параболы) и дан
-
ной прямой (директрисы, не проходящей через фокус) постоянна.
Эти кривые, известные с глубокой древности, были подробно описаны
Аполлонием * в его труде
«
Конические сечения
»
. Они обладают массой
интересных геометрических свойств, которые мы не можем здесь изла
-
гать, в частности, они действительно являются сечениями конуса.
Читателю предлагается вслед за Декартом вывести их уравнения.
Упражнение 159. Если провести ось Ox через фокусы эллипса, а ось
Oy через его центр (середину фокального отрезка), то уравнение эл
-
липса примет вид
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
Упражнение 160. Если провести ось Ox через фокусы гиперболы,
а ось Oy через его центр (середину фокального отрезка), то ее урав
-
нение примет вид
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1.
Упражнение 161. Если провести ось Ox через директрису параболы,
а ось Oy через ее фокус, то ее уравнение примет вид y = ax
2
.
Если же выбрать оси координат произвольно, то для этих кривых
получатся более сложные уравнения, но они будут уравнениями второго
порядка. Верно и обратное.
Для использования геометрической интерпретации в решении систем
нужно уметь быстро понимать, какого типа кривую задает каждое урав
-
нение.
* Аполлоний Пергский ( , III
–
II в. до н. э.)
––
один из великих
математиков древности.
§ 4.15. Алгебра и геометрия 277
Для этого достаточно знать только квадратичную часть уравнения
кривой
––
квадратичную форму ax
2
+ 2bxy + cy
2
. Если она нулевая,
то кривая вырождается в прямую. В противном случае можно после сме
-
ны знака считать, что a > 0 или эта форма имеет вид 2bxy. Последний
случай можно свести к первому заменой переменных вида
(
x
′
= (x + y)
/
√
2;
y
′
= (x −y)
/
√
2
(которая геометрически означает поворот системы координат на 45
◦
),
так как в новых переменных квадратичная форма примет вид b(x
2
−y
2
).
Далее выделяем полный квадрат
ax
2
+ 2bxy + cy
2
= a(x + by
/
a)
2
+ y
2
(c −b
2
/
a)
и после замены переменных
(
x
′
= x + by
/
a;
y
′
= y
(которая геометрически означает перекос системы координат) квадратич
-
ная форма уравнения принимает вид ax
2
+ by
2
, а линейная часть урав
-
нения остается линейной. Далее делаем замену переменных
(
x
′
= x + c
0
;
y
′
= y + c
1
(геометрически означающую параллельный перенос системы координат)
и получаем уравнение кривой в виде ax
2
+ by
2
= c, или в виде ax
2
= y,
или в виде ax
2
= c. В предпоследнем случае кривая является парабо
-
лой, а в последнем вырождается либо в пару параллельных прямых
x = ±
p
c
/
a, либо в одну прямую x = 0, либо в пустое множество при
c
/
a < 0.
В первом случае a
2
+ b
2
> 0, и если c = 0, то кривая вырождается
в объединение двух прямых
√
ax ±
√
−by = 0 при b < 0 или в точку
(0, 0), если b > 0. Если же c 6= 0, то при b < 0 получается гипербо
-
ла, так как гипербола отличается от эллипса и параболы наличием
асимптот
––
прямых, к которым она неограничено приближается, их
не пересекая (в данном случае это прямые
√
ax ±
√
−by = 0), а при
b > 0 получается либо эллипс, так как эллипс отличается от гипербо
-
лы и параболы своей ограниченностью, либо пустое множество, если
c < 0.
278 Глава IV. Алгебраические уравнения
Мы не будем здесь искать прямоугольную систему координат, в ко
-
торой уравнение кривой принимает указанный в упражнениях канони-
ческий вид, так как для понимания взаимного расположения кривых это
не нужно, но рассмотрим более простые и полезные на практике вопро
-
сы о том, как быстро рисовать кривые второго порядка для некоторых
специальных видов их уравнений.
Для того чтобы быстро нарисовать эскиз параболы y = ax
2
+ bx + c,
не нужно выделять полный квадрат, рисовать параболу y = x
2
и сдви
-
гать ее, как учат в различных пособиях. Это все правильно, но медленно.
Так как мы уже знаем, что получается парабола, достаточно найти ее
три удобные точки, например, (0, c)
––
точку пересечения с осью орди
-
нат, (1, a + b + c), (−1, a −b + c) и плавно провести через них кривую,
симметричную относительно прямой x = −b
/
2a. Если у нее есть корни,
то лучше их быстро найти подбором по теореме Виета и учесть при про
-
ведении кривой. Тогда ось параболы проводится через середину отрезка,
соединяющего корни. Направление ветвей параболы (вверх или вниз)
определяется только по знаку a.
Упражнение 162. Как по виду графика y = ax
2
+ bx + c с данными
осями координат определить знаки всех коэффициентов?
Чуть более сложный прием используется для быстрого рисования ги
-
перболы, заданной уравнением вида
y =
ax + b
cx + d
.
Для этого сразу рисуются асимптоты x = −d
/
c (она возникает из
-
за об
-
ращения в нуль знаменателя дроби) и y = a
/
c (она возникает при стрем
-
лении x к бесконечности, так как при больших x указанная дробь прибли
-
зительно равна ax
/
bx = a
/
b) и точки ее пересечения с осями координат
(0, b
/
d), (−b
/
a, 0). По ним плавно проводятся обе ветви гиперболы.
Упражнение 163. Как по виду графика y =
ax + b
cx + d
с данными осями
координат определить знаки всех коэффициентов?
Если уравнение имеет вид ax
2
+ ay
2
+ bx + cy + d = 0, a > 0, то оно
задает окружность, точку или пустое множество. Чтобы его нарисовать,
нужно преобразовать его к виду (x − c
0
)
2
+ (y −c
1
)
2
= R
2
, где c
0
= b
/
2a,
c
1
= c
/
2a, R
2
= −(4da + b
2
+ c
2
)
/
4a
2
. Окружность имеет центр (c
0
, c
1
)
и радиус R.
Иногда уравнение окружности замаскировано радикалами. От них
следует избавиться.
Упражнение 164. Провести через точку (4, 5) касательные к кривой
y =
√
2x −x
2
.
§ 4.15. Алгебра и геометрия 279
Особенно полезна геометрическая интерпретация систем уравнений
(не обязательно второго порядка) при решении систем и уравнений с па
-
раметрами. Если дано одно уравнение с параметром, то полезно на
-
рисовать его как кривую на плоскости
––
в этом заключается идея так
называемого
«
метода Oxa
»
.
Упражнение 165. Решите уравнение с параметром x
2
+ 2ax + 5a
2
−
−4a −8 = 0.
Упражнение 166. При каких a система
x
2
+ y
2
= 1;
ax + y = 1
имеет ре
-
шение?
Можно изображать на плоскости и системы неравенств.
Упражнение 167. Найдите все a, при которых разрешима система
(
x
2
+ 4x + 3 + a < 0;
2x + a + 6 > 0.
Полезно для этого разложить их левые части на множители.
Упражнение 168. Нарисовать на плоскости решение системы нера
-
венств
(
(x
2
+ y
2
−1) (x −y) < 0;
(x
2
+ 4y
2
−4) (xy −1) > 0.
Задачи и упражнения к § 4.15
1. Докажите, что все параболы y = ax
2
+ bx + c подобны друг другу
(в элементарно
-
геометрическом смысле).
2. Докажите, что все гиперболы y =
ax + b
cx + d
подобны друг другу.
3. Эллипсы могут быть не подобными друг другу. Гиперболы, вообще
говоря, тоже.
4. Парабола y = ax
2
+ bx + c однозначно определяется любыми тре
-
мя своими точками. Гипербола y =
ax + b
cx + d
тоже.
5. Произвольная кривая второго порядка однозначно определяется
любыми пятью своими точками.
6. При каких a система
x
2
+ 2xy −7y
2
>
1 − a
1 + a
;
3x
2
+ 10xy −5y
2
6 −2
имеет решение?
280 Глава IV. Алгебраические уравнения
7. (Вступительный экзамен на мехмат МГУ.) Решите систему
(
x
2
−y
2
= 0;
(x −a)
2
+ y
2
= 1.
8. Докажите что произвольный выпуклый n
-
угольник можно задать
системой неравенств вида
a
1
x + b
1
y + c
1
> 0;
a
2
x + b
2
y + c
2
> 0;
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n
x + b
n
y + c
n
> 0.
9. Найдите максимум 2x + 3y при условии
3x + 4y + 5 > 0;
−2x + 7y −3 > 0;
−3x + 9y −16 6 0.
10*. (А. А. Болотов.) Положительные числа x, y, z удовлетворяют
системе уравнений
x
2
+ xy + y
2
/
3 = 25;
z
2
+ y
2
/
3 = 9;
x
2
+ xz + z
2
= 16.
Найдите xy + 2yz + 3zx.
§ 4.16. Комплексная тригонометрия
Здесь мы предполагаем знакомство читателя с натуральными лога
-
рифмами.
Определение 107. Назовем комплексной экспонентой функцию
(комплексного переменного) e
z
: C →C, определяемую равенством
e
z
= e
x
e
iy
= e
x
(cos y + i sin y),
где z = x + iy, x = Re z, y = Im z.
Эта функция фактически уже использовалась нами в показательной
форме записи комплексного числа. Там же было проверено основное тож
-
дество для комплексной экспоненты, которое формально не отличается
от такого же тождества для обычной действительной экспоненты:
e
z
1
+z
2
= e
x
1
+x
2
e
i(y
1
+y
2
)
= e
x
1
e
x
2
e
iy
1
e
iy
2
= e
z
1
e
z
2
.