Галусарьян Р.Т. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика, ч. I

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ОБНИНСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АТОМНОЙ

ЭНЕРГЕТИКИ (ИАТЭ)

Факультет естественных наук

Р.Т. ГАЛУСАРЬЯН

Сборник задач и упражнений

по курсу «Высшая математика»

(1-й семестр, часть I)

Обнинск 2008

УДК 51(076)

Галусарьян Р.Т. Сборник задач и упражнений по курсу «Высшая

математика», Ч. I. Обнинск: ИАТЭ, 2008. 80с.

Сборник задач содержит следующие разделы курса высшей

математики: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры,

методы построения графика функции, предел и непрерывность функции,

дифференциальное исчисление функции одной переменной. В задачник

включено примерное содержание всех рейтинговых контрольных работ,

проводимых в течении первого семестра.

Рецензенты: д.ф.-м.н. Е.А. Сатаев, к. ф.-м. н. А.Г. Слесарев Темплан

2008, поз 19

энергетики, 2008 г.

Содержание

Предисловие

Глава 1. Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры

§1.1. Семинарские занятия

Семинар №1

Семинар №2

Семинар №3

Семинар №4

Семинар №5

Семинар №6

Семинар №7

§1.2.Примерное содержание рейтинговых работ.

§1.3. График функции. Упражнения к § 1.3

Глава 2. Элементы математического анализа

§2.1. Числовая последовательность. Упражнения к §1

§2.2. Предел функции. Упражнения к §2.2

§2.3. Эквивалентность. Упражнения к § 2.3

§2.4. Непрерывность. Разрыв. Упражнения к § 2.4

§2.5. Производная. Упражнения к § 2.5

§2.6. Правило Лопиталя. Упражнения к §2.6

§2.7. Формула Тейлора. Упражнения к §2.7

Ответы

Литература

Предисловие

Сборник задач по курсу «Высшая математика» содержит разделы

высшей, которые предполагается изучать в 1-м семестре. Первые две главы

содержат элементы математического анализа.

Первая глава посвящена элементам аналитической геометрии и

линейной алгебры. Эти разделы высшей математики предложены в виде семи

семинарских занятий. Для каждого семинара указаны основные вопросы

изучаемых тем, задания для решения на семинаре и задания для

самостоятельной работы дома.

Вторая глава посвящена пределу функции, непрерывности и

дифференцированию функций, заданных явно, неявно и параметрически. В

главе приведено большое количество задач на вычисление предела функции

различными методами. Особое внимание уделено методу использования

эквивалентных бесконечно малых. В сборник включены задачи на

вычисление пределов с помощью правила Лопиталя и формулы Тейлора.

Достаточно много внимания в задачнике уделено понятию непрерывности

функции, умению определять точки разрыва, а также вопросу отыскания

асимптот графика функции.

В конце задачника имеется приложение, в котором приведено

примерное содержание всех контрольных работ на первый семестр.

Все задачи снабжены ответами. Для наиболее сложных задач даны

указания или решения.

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И

ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

§1.1 Семинарские занятия

Семинар №1

Определители и системы уравнений

1. Определители и методы вычисления определителей.

2. Свойства определителей.

3. Системы линейных уравнений. Случай единственного решения.

4. Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и

методом Гаусса.

Задачи для решения на семинаре

№ 1. Вычислить определители 2-го порядка:

а)

, b)

, c)

cossin

sincos

d) решить уравнение

№ 2. Вычислить определители методом разложения по строке

(столбцу), или используя свойства определителя:

321

413

312

, b)

765

400

321

, c)

333

1045

712

674

916

302

, e)

600

540

321

, f )

0240

0320

4015

3002

№ 3. Вычислить определитель методом приведения к треугольной

форме:

а)

213

432

521

, b)

1423

5312

2153

4321

№4. Решить системы уравнений методом Крамера:

а)

1153

132

, b)

3324

1032

523

321

xxx

№ 5. Решить систему уравнений методом Гаусса

17323

13232

321

xxx

Задачи для самостоятельной работы

№ 6. Вычислить определители 2-го порядка:

а)

146

cossin

sincos

d) решить уравнение

№ 7. Вычислить определители методом разложения по строке

(столбцу), или используя свойства определителя:

123

152

423

, b)

705

406

321

, c)

538

347

462

674

916

302

, e)

006

054

321

, f )

6001

2323

0010

0340

№ 8. Вычислить определитель методом приведения к треугольной

форме:

а)

312

553

421

1324

4213

20152

4321

№9 Решить системы уравнений методом Крамера:

а)

643

1734

, b)

334

132

223

321

xxx

№ 10. Решить систему уравнений методом Гаусса

8322

33483

173

321

xxx

Семинар №2

Точка и прямая на плоскости. Окружность

1. Деление отрезка в данном отношении.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки

4. Уравнение прямой, проходящей через одну точку в данном

направлении.

5. Угол между прямыми. Условия параллельности и

перпендикулярности двух прямых.

6. Расстояние от точки до прямой.

7. Каноническое уравнение окружности.

Задачи для решения на семинаре

№1. Отрезок АВ разделен точками C,D,E,F на 5 равных частей.

,3,2 FA

. Найти координаты точек

BDC ,,

и длину отрезка

№2. Составить уравнение прямой, проходящей через т.

2,4M

: а) под

углом 135

к оси Ох; б) перпендикулярно прямой

.0132 yx

№ 3. Найти координаты точек пересечения прямой

с осями

координат, если

.6,2,3,3 NM

№ 4.

4,7,7,4,1,4 CBA

вершины треугольника.

Точка

1:2:, DCBDBCD

. Найти: 1) длину

2) уравнение прямой

, 3) уравнение прямой, проходящей через т.

параллельно

, 4) уравнение высоты, проведенной из вершины А, 5) длину

высоты

№5. Составить уравнение прямой, проходящей через т.

5,3M

yOa )

б ) параллельно Оу,

в) отсекающей на оси Оу отрезок в 2 раза большей длины, чем на оси

Ох.

№6. Найти на плоскости точку, симметричную т.

4,6M

относительно

прямой

0354 yx

№7. Составить уравнение окружности с центром в т.

4,1M

касающейся прямой

0223 yx

Задачи для самостоятельной работы

№8.Отрезок АВ разделен точками C,D,E на 4 равных частей.

4,2,1,1 EA

. Найти координаты точек

BDC ,,

и длину отрезка

№9. В параллелограмме ABCD координаты трех вершин:

5,2,7,5,7,3 CBA

. Найти координаты четвертой вершины D и

длины диагоналей.

№10. Составить уравнение прямой, проходящей через т.

1,3M

: а)

под углом 45

к оси Ох; б)перпендикулярно прямой

.023 yx

№11.

4,1,0,4,6,4 CBA

вершины треугольника. Составить

уравнение высоты СК и медианы СМ.

№12 . Составить уравнение прямой, проходящей через т.

1,4M

xOa)

, б ) параллельно Ох, в) отсекающей на осях Ох и Оу равные отрезки.

№13.

5,3,1,2,1,1 CBA

вершины треугольника.

Составить уравнения медианы ВМ и прямой, проведенной через

вершину А перпендикулярно к медиане ВМ.

№14. Центр окружности находится на середине отрезка АВ:

.7,4,1,2 BA

Составить уравнение окружности, если она касается прямой

.02343 yx

№15.Дано уравнение окружности

01264

yxyx

. Найти радиус и

координаты центра окружности. Привести уравнение окружности к

каноническому виду и построить окружность. Выполняются индивидуальные

домашние задания к гл.3 по Сборнику индивидуальных домашних заданий

по высшей математике (Под ред. А.П. Рябушко): ИДЗ 3. 2 (Cтр106 – 109).

Семинар № 3

Кривые второго порядка

1. Каноническое уравнение окружности.

2. Каноническое уравнение эллипса. Центр, фокусы, вершины.

Приведение к каноническому виду.

3. Каноническое уравнение гиперболы. Центр, фокусы, вершины,

уравнения асимптот. Приведение к каноническому виду.

4. Каноническое уравнение параболы. Директриса, фокус, вершина.

Приведение к каноническому виду.

Задачи для решения на семинаре

№ 1. Составить уравнение окружности с центром в т.

4,1M

касающейся прямой

.0223 yx

№2. Составить каноническое уравнение эллипса с центром в начале

координат, если известны фокус

0,9

и эксцентриситет

. Построить

эллипс.

№ 3. Составить каноническое уравнение гиперболы с центром в начале

координат, если известны уравнения ее асимптот

и одна ее точка

54,9

. Найти эксцентриситет

№ 4. Определить основные параметры и построить эллипс:

а)

,4002516

0923236169)

yxyxb