Галусарьян Р.Т. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика, ч. I
Подождите немного. Документ загружается.
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 2.1. Предел числовой последовательности
1. Определение числовой последовательности
Числовой последовательностью называется бесконечное множество
чисел (элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются
членами последовательности: x
1
первый член, x
2
второй член, ... , x
n
n-ый
член. Числовая последовательность обозначается так: {x
n
}.
Числовую последовательность задают формулой n-го члена: x
n
=f(n).
Например, если
2
1
,
n
n
x
n
то x
1
=2,
,
4
3
2
x
9
4
3
x
, ...,
2
1
)1(
2
n
n
x
n
и т.д.
Числовую последовательность также можно задать рекуррентным
соотношением:
nn
xx 1
1
, x
1
=1.
Тогда
2
2
x
,
21
3
x
,
211
4
x
и т.д.
2. Предел числовой последовательности
Определение. Число а называется пределом числовой
последовательности {x
n
}, если для
N0
такое, что для всех n>N
выполняется условие
n
xa
.
Это означает, что в любой окрестности точки а содержится
бесконечное множество элементов последовательности.
lim
n
n
xa
:
0:
n
N n N x a
Доказать, что
lim
n
n
Ax
означает найти зависимость
Числовая последовательность, имеющая предел, называется
сходящейся. Если же предел не существует или равен , то
последовательность называется расходящейся.
3. Свойства передела
1. Предел линейной комбинации
()
lim lim lim
n n n n
n n n
ax by a x b y
.
2. Предел произведения
()
lim lim lim
n n n n
n n n
x y x y
.
3. Предел частного
lim
lim
lim
n
nn
n
nn
n
x
x
yy
, если
0
lim
n
n
y
.
4. Предел отношения многочленов.
Если
n
x
и
n
y
многочлены от n степени k и m соответственно, т.е.
1
01
,
kk
n k k
x P n a n a n a
1
01
,
mm
n m m
y Q n b n b n b
то предел отношения многочленов равен пределу отношения их
старших членов:
00
0
0
()
lim lim lim lim
()
k
km
nk
m
n n n n
nm
Pn
a n a
x
n
y Q n b
bn
Упражнения к § 2.1
Найти пределы:
2.1.
)6()2(
)3()1(
23
22
lim
nnn
nn
n
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2
2
2
(2 1)(3 2)
3
2.10.
lim
21
4
n
n n n
n
n
n
2.11.
2.12.
1 3 5 ... (2 1)
21
2.13.
lim
12
n
n
n
n
1 4 7 ... (3 2)
3
2.14.
lim
12
n
n
n
n
2.15.
3 5 9 1 2
2.16. ...
lim
4 16 64
4
n
n
n
2.18.
2.19.
)!2(7)!3(
)!3(2!5
2
lim
nnn
nn
n
2.20.
!5)!2(
)!1(9)!2(4
lim
nnn
nn
n
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
nn
nn
n
537
5432
1
1
lim
2.28.
2.29.
2.30.
nn
nn
n
343
343
1
lim
2.31.
nn
nn
n
343
343
1
lim
2.32.
2.33.
2.34.
2.35.
2.36.
)1ln(
)1ln(
5
2
4
3
3
3
5
lim
nn
nn
n
2.37.
2.38.
2.39.
2.40.
2.41.
)3712(
22
lim
nnnn
n
2.42.
2.43.
2.44.
2.45.
2.46.
2.47.
2.48.
2.49.
*
1 1 1 1
...
lim
1 7 3 9 5 11 (2 1)(2 5)
n
nn
2.50.
*
)2)(1(
1
...
432
1
321
1
lim
nnn
n
2.51.
*
2.52.
*
Доказать (найти зависимость
2.53. 2.54.
2.55. 2.56.
2.57.
Найти пределы последовательностей, заданных рекуррентными
соотношениями.
2.58. , где n = 1, 2, ...
2.59.
22
,
2
2
1
1
n
n
x
a
x
a
x
,
2.60. , где (a>0).
§ 2.2. Предел функции. Методы вычисления предела
1. Определение предела функции
1) Число а называется пределом функции
)(xfy
при
0
xx
, если для
0)(0
такое, что для
)(yDx
, для которых
0
0 xx
,
выполняется неравенство
axf )(
. Пишут так:
axf
xx
)(
lim
0
.
2) Число а называется левосторонним пределом функции f(x) при
(слева), если для такое, что для
)(yDx
, для
которых
xx
0
0
, выполняется неравенство .
3) Число а называется правосторонним пределом функции f(x) при
(справа), если для такое, что для , для
которых
0
0 xx
, выполняется неравенство .
4) Односторонние пределы удобно обозначать так:
0
0
0
( 0) ( ),
lim
xx
f x f x
0
0
0
( 0) ( )
lim
xx
f x f x
.
Необходимое и достаточное условие существования предела с
помощью односторонних пределов можно записать так:
0
00
( ) ( 0) ( 0)
lim
xx
f x a f x f x a
.
5) Предел на бесконечности (при ). Число a называется пределом
функции f (x) при
x
(или
)x
, если для
0)(0 A
такое, что
для
)(yDx
, для которых
Ax
, выполняется неравенство
axf )(
.
2. Свойства предела функции
1. Предел линейной комбинации
00
11
( ) ( )
lim lim
nn
k k k k
x x x x
kk
C f x C f x
.
2. Предел произведения
0 0 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim
x x x x x x
f x f x f x f x
.
3. Предел частного
0
0
0
1
1
22
()
lim
()
lim
( ) ( )
lim
xx
xx
xx
fx
fx
f x f x
,
если пределы существуют и
0
2
( ) 0
lim
xx
fx
.
3. Методы вычисления предела функции
Нахождение предела функции следует начинать с вычисления значения
функции в точке x
0
. Если f(x
0
) равно конечному числу или , то предел
найден. Здесь полезно пользоваться следующими символическими
равенствами: , , , при a>1 , .
1.Неопределенность (
)( хпри
в случае отношения многочленов
рассматривалась в §1. Напомним еще раз:
1
01
1
01
...
lim
...
nn
n
mm
x
m
a x a x a
b x b x b
0
0
0
0
0
0
,
0,
lim
sgn ,
n
m
x
a
если n m
b
ax
если n m
bx
a
если n m
b
(n,m >0)
2. Неопределенность
)(
0
ххпри
.
Случай отношения многочленов.
Если
()
()
()
n
m
Px
fx
Qx
, то P
n
(x) и Q
n
(x) делятся на x x
0
. Можно числитель
P
n
(x) и знаменатель Q
m
(x) разделить на (x x
0
) или многочлены разложить на
множители и сократить нулевой множитель x x
0
.
3. Неопределенность
)(
0
ххпри
.
Случай отношения иррациональных выражений.
В этом случае, как правило, стараются избавиться от иррациональности
и после чего сокращают нулевой множитель x x
0
.
4. Неопределенность ( ) следует преобразовать в
неопределенность .
5. Неопределенность .
Здесь под единицей подразумевается переменная, стремящаяся к 1, а
под переменная, стремящаяся к .
Известен второй замечательный предел
1
1
lim
x
x
e
x
или
1
0
(1 )
lim
x
x
xe
,
где е иррациональное число , основание натурального
логарифма . Более удобным при вычислении неопределенности
являются следствия из второго замечательного предела:
0
0
( ) ( )
()
0
lim
(1 ( ))
lim
xx
x v x
vx
xx
v
xe
,
0
()
lim( 1)
1
()
lim
vx
uv
xx
u
v
U x e
.
Упражнения к § 2.2
Найти пределы
2.61.
2.62.
2.63.
2.64.
2.65.
2.66.
2.67.
2.68.
2.69.
2.70.
2.71.
3
32
1
2
lim
1
x
xx
x x x
2.72.
2.73.
2.74.
22
2
11
2.75.
( 2) 3 2
lim
x
x x x x
2.76.
)23(3
4
45
2
22
1
lim
xx
x
xx
x
x
2.77.
2.78.
2.79.
2.80.
2.81.
2.82.
2.83.
2.84.
2.85.
2.86.
2.87.
2.88.
2.89.
2.90.
291.
2.92.
*
2.93.
*
1
37
2
3
3
1
lim
x
xx
x
2.94.
*
2.95.
2.96.
2.97.
2.98.
2.99.
2.100.
5
1
3
2
12
43
1
lim
x
x
x
x
2.101.
2.102.
2.103.
2.104.
2.105.
2.106.
2.107.
2.108.
2.109.
x
x
x
x
x
1
2
1
5 3
2
2
lim
( )
2.110.
x
x
x
x
x
4
3
4
3
2 3
2
lim
( )
§ 2.3 Эквивалентные бесконечно малые. Применение
эквивалентности при вычислении пределов
Определение 1. Функция называется бесконечно малой при
(или ), если (или ).
Определение 2. Две бесконечно малые называются эквивалентными,
если предел их отношения равен 1.