Федченко Г.М. Лекции. Численные методы
Подождите немного. Документ загружается.
Г.М. Федченко
ЧИСЛЕННЫЕ
ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ
МЕТОДЫ
Министерство образования и науки Российской Федерации
Благовещенский государственный педагогический университет
Г.М.Федченко
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Курс лекций
Благовещенск 2005
ББК 22.19я73
Ф 35
Печатается по решению редакционно-
издательского совета Благовещенского
государственного педагогического
университета
Федченко Г.М. Численные методы: Курс лекций. – Благовещенск: Изд-во
БГПУ, 2005. – 178 с.
Пособие содержит 14 лекций, отражающих основное содержание
дисциплины «Численные методы» в соответствии с требованиями к
содержанию основной образовательной программы подготовки учителя по
специальности 030100 – «Информатика». Пособие предназначено для
студентов педагогических вузов, обучающихся по данной специальности, а
также может быть полезно всем, кто изучает и применяет численные методы
решения математических задач.
Рецензенты: А.Н.Гетман, канд. техн. наук, доцент АмГУ;
Е.Ф.Попова, канд. техн. наук, доцент БГПУ
Благовещенский государственный
педагогический университет, 2005
Г.М.Федченко, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 6
ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ» 8
1.1. Введение 8
1.2. Этапы решения задачи методом математического моделирования 8
1.3. История вычислительной математики 12
1.4. Контрольные вопросы и упражнения 15
ЛЕКЦИЯ 2. МЕТОД ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. СТРУКТУРА ПОРЕШНОСТИ 16
2.1. Метод вычислительной математики 16
2.2. Структура погрешности 17
2.3. Корректность. Устойчивость 20
2.4. Контрольные вопросы и упражнения 23
ЛЕКЦИЯ 3. ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ 25
3.1. Абсолютная погрешность 25
3.2. Относительная погрешность 26
3.3. Абсолютная и относительная погрешности действительных чисел 27
3.4. Основная и обратная задачи теории погрешностей 29
3.5. Контрольные вопросы и упражнения 33
ЛЕКЦИЯ 4. ПОГРЕШНОСТИ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ 34
4.1. Форматы записи чисел в памяти компьютера 34
4.2. Стандарт IEEE-754 35
4.3. Основные числовые характеристики системы вещественных чисел конечной
разрядности 39
4.4. Выполнение арифметических операций над числами с плавающей точкой 42
4.5. Алгебраические особенности системы чисел конечной точности 44
4.6. Контрольные вопросы и упражнения 45
ЛЕКЦИЯ 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРЯМЫЕ
МЕТОДЫ 47
5.1. Введение 47
5.2. Метод Крамера 49
5.3. Метод Гаусса 49
5.4. Применение метода Гаусса к вычислению определителя и обращению матрицы 54
5.5. Решение линейных систем с помощью LU-разложения 55
5.6. Контрольные вопросы и упражнения 58
ЛЕКЦИЯ 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРЯМЫЕ
МЕТОДЫ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 59
6.1. Метод квадратных корней 59
6.2. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов 61
6.3. Контроль точности и уточнение приближенного решения в рамках прямых методов 62
6.4. Обусловленность матриц 63
6.5. Контрольные вопросы и упражнения 68
ЛЕКЦИЯ 7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 69
7.1. Введение 69
7.2. Метод простой итерации 69
7.3. Метод Якоби 72
3
7.4. Оценка погрешности и критерий окончания итерационного процесса 73
7.5. Метод Зейделя 75
7.6. Понятие о методе релаксации 79
7.7. Контрольные вопросы и упражнения 80
ЛЕКЦИЯ 8. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 81
8.1. Постановка задачи 81
8.2. Геометрическая интерпретация 82
8.3. Отделение корней 84
8.4. Метод половинного деления 86
8.5. Метод простой итерации 88
8.6. Приведение уравнения к виду, удобному для применения метода простой итерации 94
8.7. Оценка погрешности приближений 96
8.8. Контрольные вопросы и упражнения 97
ЛЕКЦИЯ 9. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ) 99
9.1. Метод хорд 99
9.2. Оценка погрешности приближений по методу хорд 102
9.3. Метод Ньютона (касательных) 104
9.4. Оценка погрешности приближений по методу касательных 107
9.5. Комбинированный метод 109
9.5. Контрольные вопросы и упражнения 110
ЛЕКЦИЯ 10. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 113
10.1. Постановка задачи 113
10.2. Метод простой итерации 114
10.3. Метод Зейделя 117
10.4. Метод Ньютона 117
10.5. Контрольные вопросы и упражнения 120
ЛЕКЦИЯ 11. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 121
11.1. Постановка задачи аппроксимации функций 121
11.2. Постановка задачи интерполирования функции 122
11.3. Линейная интерполяция 123
11.4. Квадратичная интерполяция 124
11.5. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционная формула Лагранжа 125
11.6. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 127
11.7. Интерполяционные многочлены Ньютона для равноотстоящих узлов 129
11.8. Оценка погрешности интерполяционных формул Ньютона 132
11.9. Экстраполяция. Обратная интерполяция 134
11.10. Контрольные вопросы и упражнения 135
ЛЕКЦИЯ 12. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 136
12.1. Постановка задачи 136
12.2. Геометрическая интерпретация 136
12.3. Нахождение параметров приближающей функции в общем виде 138
12.4. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции 138
12.5. Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций 140
12.6. Контрольные вопросы и упражнения 142
ЛЕКЦИЯ 13. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 144
13.1. Постановка задачи 144
13.2. Формулы прямоугольников 145
13.3. Формула трапеций 146
4
13.4. Формула Симпсона 147
13.5. Обобщенные формулы 148
13.6. Оценка погрешности 150
13.7. Контрольные вопросы и упражнения 151
ЛЕКЦИЯ 14. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА 153
14.1. Постановка задачи 153
14.2. Метод Эйлера 156
14.3. Модифицированный метод Эйлера 159
14.4. Метод Эйлера-Коши 162
14.5. Контрольные вопросы и упражнения 164
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. МЕТРИКА. НОРМА. ОПЕРАТОР 165
1.1. Расстояние. Метрическое пространство 165
1.2. Нормированное пространство 165
1.3. Норма и расстояние на множестве чисел 166
1.4. Норма и расстояние на множестве векторов 167
1.5. Норма и расстояние на множестве функций одной переменной, непрерывных на отрезке
[a, b] 168
1.6. Норма и расстояние на множестве квадратных матриц размера nn 168
1.7. Оператор 169
1.8. Контрольные вопросы и упражнения 171
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ 172
2.1. Приближенные числа. Абсолютная погрешность 172
2.2. Относительная погрешность 173
2.3. Десятичная запись приближенных значений чисел 175
2.4. Округление чисел 176
2.5. Контрольные вопросы и упражнения 177
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 178
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современное общество начала третьего тысячелетия чаще всего
называется обществом информационным, т.е. обществом, которое
характеризуется всесторонней информатизацией всех социальных структур.
Информационные и коммуникационные технологии решительно вторгаются
в научно-практическую и образовательную деятельность. Стремительно
повышаются требования к уровню подготовки в этой сфере специалистов
различных областей. В этой связи изменяется и школьная программа, во все
большей степени отражающая прикладной, практический подход к
применению знаний. Возрастает роль учителей, и прежде всего учителей
информатики и математики и, как следствие, изменяются требования к
уровню их фундаментальной и технологической подготовки. Одной из
дисциплин, формирующих научную основу профессиональной деятельности
будущего учителя информатики, является предмет «Численные методы».
Целями изучения дисциплины «Численные методы» являются:
формирование современного взгляда на вычислительную
математику как на науку, которая получила бурное развитие и внедрение
в практику решения научных и прикладных задач с появлением и
развитием электронно-вычислительной техники;
формирование достаточно высокого уровня научной
подготовки студентов;
овладение научным фундаментом вычислительной
математики, понимание ее идей, методов, фактов и структур;
развитие математического и алгоритмического мышления;
развитие компьютерно-математической культуры, выработка
умения самостоятельного расширения математических знаний и
совершенствования информационной культуры;
6
создание основы для формирования методических взглядов
будущего учителя информатики-математики, формирование умения
преобразовывать научный материал во фрагмент учебной дисциплины;
формирование опыта применения информационных
технологий в обучении, компьютера в качестве инструмента познания и
личного электронного помощника;
освоение методики разработки и использования в учебной
деятельности личной электронной коллекции по учебной дисциплине.
Курс лекций составлен в соответствии с требованиями действующего
государственного образовательного стандарта подготовки учителей по
специальности 030100 – «Информатика», что и определяет его содержание и
структуру. Пособие содержит 14 лекций и 2 приложения, отражающих
вспомогательный материал. Содержание курса лекций охватывает
следующие разделы: основные понятия вычислительной математики; теория
погрешностей; погрешности машинной арифметики; методы решения
нелинейных уравнений, а также систем линейных и нелинейных уравнений;
различные способы аппроксимации функций; задачи численного
интегрирования; методы численного решения обыкновенных
дифференциальных уравнений. Каждая лекция заканчивается контрольными
вопросами и упражнениями.
Данное пособие предназначено студентам-информатикам
педагогических вузов, а также может быть полезно всем, кто изучает и
применяет численные методы решения математических задач.
7
ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
Лекция 1
ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
1.1. Введение
Практически во всех науках о природе, живой и неживой, об обществе
построение и использование моделей является мощным орудием познания.
Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что
лучшим способом их изучения является построение модели, отображающей
лишь какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем
эта реальность, и исследование вначале этой модели. Таким образом, не
прибегая к возможно длительному и дорогому натурному эксперименту,
можно оценить световой поток конструируемой лампы, производительность
проектируемой химической установки или себестоимость продукции
строящегося завода. Многовековой опыт развития науки доказал на практике
плодотворность такого подхода.
Модель (лат. modulus – мера, образец) – в широком смысле любой
образ, аналог какого-либо объекта, процесса или явления («оригинала»
данной модели), используемый в качестве его «заместителя»,
«представителя».
Моделирование – исследование каких-либо явлений, процессов или
систем объектов путем построения и изучения их моделей; использование
моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации
способов построения вновь конструируемых объектов. Моделирование одна
из основных категорий теории познания: на идее моделирования по
существу базируется любой метод научного исследования как теоретический,
при котором используются различного рода знаковые, абстрактные модели,
так и экспериментальный, использующий предметные модели.
В физике, химии, биологии, экономике и в ряде других, в том числе
гуманитарных и социальных, наук широко используются математические
модели, выражающие существенные черты объекта или процесса с помощью
математических соотношений. Собственно сама математика обязана своим
существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на
своем специфическом языке закономерности окружающего мира. Огромный
толчок развитию математического моделирования дало появление
компьютеров, хотя сам метод зародился вместе с математикой тысячи лет
назад.
1.2. Этапы решения задачи методом математического
моделирования
8