Эськов В.Д., Каталевская А.В., Сипайлов А.Г. Теоретические основы электротехники. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
101
()
() sin( ),
2
km k
du t
it C I k
dt
1
1
1
11
где ;;.
km km C
km Ck C
Ck C
UkU X
IXX
XX kCk C
Если выбрать масштаб тока равным
,
1C
u
i
X
m
m
то окажутся рав-
ными отрезки, изображающие
1m
U
(рис. 7.12, б) и
1m
I
(рис. 7.14, б) на
графиках амплитудно-частотных спектров. В то же время отрезок
2m
I
будет вдвое длиннее отрезка
2m
U
, а
3m
I
втрое длиннее
3m
U
. Поэтому
кривая тока в конденсаторе i(t) окажется менее похожей на синусоиду,
чем кривая u(t). Говорят, что конденсатор искажает кривую тока по
сравнению с кривой напряжения.
Понятие резонанса в цепях с источниками несинусоидальных токов
и напряжений можно применять только к какой-то конкретной гармо-
нике (нельзя говорить о совпадении по фазе кривых различной формы).
Тогда условия резонанса напряжений и резонанса токов будут соответ-
ственно иметь вид
ЭЭ Э Э
Im 0 и Im 0.
kk k k
ZX b Y
Для последовательного соединения элементов R, L, C (рис. 7.15):
102
22
Э
1
0; ; 1.
kLkCk Lk Ck
XXX XkL X kLC
kC
Для параллельного соединения тех же элементов (рис. 7.16) получим
Э
1
0;
kLkCk Lk Ck
bbb b kCb
kL
и, наконец, то же соотношение
22
1.kLC
Простейшие электрические фильтры предназначены для того, что-
бы не пропустить какую-либо гармонику тока в нагрузку или обеспе-
чить ей преимущественное прохождение (при наименьшем сопротивле-
нии). Они используют явление резонанса. Так, если цепь питается от
источника напряжения, то, включив последовательно с нагрузкой па-
раллельно соединенные L и C, которые подобраны
в соответствии с
условием резонанса токов для k-й гармоники (рис. 7.18), получим так
называемый фильтр-пробку. Он препятствует попаданию в нагрузку
гармонической составляющей тока k-го порядка, поскольку
Э
,0.
kk
XI
А при питании от источника тока ту же роль сыграет шунтирую-
щая ветвь из последовательно соединенных L и C, настроенных на ре-
зонанс напряжений для k-й гармоники и подключенных параллельно
нагрузке (рис. 7.18). При этом
Э
0,
k
X
тогда ток k-й гармоники замы-
кается по этой ветви и в нагрузке не протекает
(0).
k
I
В рассмотренном выше примере 7.1 «фильтр-пробка» не пропускал
первую гармонику
1
Р
1
(300),с
LC
зато для третьей гармоники
полное сопротивление цепи было минимальным
33
(, 0)zRX
в со-
ответствии с условием резонанса напряжений.
103
8. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
8.1. Основные понятия и определения
В 1891 году русский инженер-электротехник Михаил Осипович
Доливо-Добровольский доказал эффективность трехфазных систем,
разработав и построив все необходимые компоненты трехфазной цепи
(генератор, асинхронный двигатель, трансформатор, линию электропе-
редачи). С тех пор эти цепи исправно служат человеку.
Трехфазной системой ЭДС называется совокупность трех синусои-
дальных ЭДС одинаковой частоты, сдвинутых относительно друг
друга
по фазе и создаваемых общим источником электрической энергии.
Принцип получения такой системы ЭДС иллюстрирует рис. 7.1.
Отли-
чие от принципиальной схемы получения одной синусоидальной ЭДС
(см. раздел 4.1) заключается лишь в использовании трех одинаковых
рамок вместо одной.
B
Эти рамки, каждая с числом витков w, закрепленные на общей оси,
вращаются с постоянной угловой скоростью в равномерном магнит-
ном поле постоянного магнита. Их плоскости составляют друг с другом
угол 60. Одна тройка одноименных зажимов (начала) этих обмоток
обозначена буквами A, B, C, другая (концы) – a, b, c.
Каждую из обмоток, как показано
в разделе 4.1, пронизывает гармони-
ческий магнитный поток. Очевидно, при вращении рамка Bb повторяет
путь рамки Aa с запаздыванием в одну треть периода, а рамка Cc – с за-
паздыванием в две трети периода.
104
Если считать, что положение рамок на рис. 7.1 соответствует мо-
менту времени
0,t
то магнитный поток, пронизывающий каждую из
рамок, изменяется по закону:
cos( ); cos( 120 ); cos( 120 ).
A
mBm Cm
tt t
В свою очередь ЭДС, возникающие в обмотках, изменяются по си-
нусоидальному закону:
sin( ), где ; аналогично
A
Am mm
d
ew E t E w
dt
sin( 120 ); sin( 120 ).
Bm Cm
eE t eE t
Волновая и векторная диаграммы этой системы ЭДС показаны на
рис. 8.2.
t
Для сокращения записи комплексных изображений трехфазных си-
стем в расчет вводится так называемый фазовый оператор
j120
13
1j,
22
ae
умножение и деление на который поворачивает
вектор, изображающий комплексное число, на угол
120
против и по
часовой стрелке соответственно. Если учесть, что
2 j240 j120 3 j360
131
11 j;1e1,
22
ae e a
a
то комплексы ЭДС будут равны:
oo
j120 2 j120
;e ;e ,где .
2
m
AB C
E
EEEE Ea EE Ea E
Поскольку
2
10,aa
то и 0.
A
BC
EEE
Порядок, в котором ЭДС проходят через максимум, называется по-
следовательностью фаз или порядком чередования фаз. При направле-
нии вращения, указанном на рис. 8.1, получается последователь-
105
ность АВС, которая называется прямой (рис. 8.2). Если изменить
направление вращения на противоположное, то получится обратная
последовательность.
Трехфазная система ЭДС одинаковой амплитуды, сдвинутых по
фазе на один и тот же угол, называется симметричной.
Трехфазной цепью называется совокупность трех цепей, электри-
чески связанных между собой, в каждой из которых действует одна из
ЭДС трехфазной системы.
Каждая из этих цепей называется фазой. Так что в электротехнике
термин «фаза» имеет два различных по смыслу значения: или аргумент
синусоидальной величины, характеризующей периодический процесс,
или наименование части трехфазной (а в общем случае – многофазной)
цепи.
Фазы цепи обозначаются на схемах латинскими буквами A, B, C,
а в энергосистемах
различаются по цветам: желтый, зеленый и красный,
в которые выкрашены соответствующие шины на электрических стан-
циях и подстанциях. На рис. 8.3 показана несвязанная цепь, в которой
каждая из фаз работает независимо от остальных.
Если комплексные сопротивления фаз нагрузки одинаковы
,
A
BC
Z
ZZ
то такая нагрузка называется симметричной. Если к тому же симмет-
рична и система ЭДС, то система токов также будет симметричной:
2
.
A
ABC
A
E
I
aI a I
Z
Тогда 0
A
BC
III
и нет смысла проклады-
вать три обратных провода от приемника к источнику. Проще сохранить
лишь один провод на случай, когда нагрузка фаз станет различной, а в
номинальном режиме постараться распределить нагрузку между фазами
равномерно. В результате получается трехфазная цепь, соединенная
звездой (рис. 8.4, а).
Здесь узлы N и n называются нейтралями,
провод Nn – нейтраль-
ным или нулевым проводом, а остальные три, соединяющие обмотку
106
генератора с нагрузкой, – линейными проводами. В линейных проводах
протекают линейные токи, между ними возникают линейные (меж-
дуфазные) напряжения, в фазах нагрузки и генератора текут фазные
токи, на них возникают фазные напряжения.
Очевидно, в рассматриваемой схеме понятия линейный и фазный
токи относятся к одному и тому же току. А линейное и
фазное напряже-
ния связаны вторым законом Кирхгофа:
Другой вариант связанной цепи – соединение источника и прием-
ника треугольником (рис. 8.4, б). Здесь одинаковы линейное и фазное
напряжения, а линейный и фазный токи связаны первым законом
Кирхгофа:
В обоих случаях экономится цветной металл (три–четыре провода
вместо шести при несвязанной цепи).
В
системе без нейтрального провода источник и приемник могут
иметь различные соединения.
8.2. Симметричный режим работы трехфазной цепи
В симметричном режиме симметричная система ЭДС питает сим-
метричную нагрузку. Как уже отмечалось, в этом режиме системы токов
и напряжений также будут симметричны.
Пример 8.1. Соединение звездой (схема на рис. 8.5, а)
Даны: симметричная система фазных напряжений
Ф
;
A
UU
2
;
BA
UaU
CA
UaU
и комплексные сопротивления фаз
j
Ф
e.
ABC
ZZZz
Найти все токи, построить векторную диаграмму.
;;.
AB A B BC B C CA C A
UUUUUUUUU
;;.
A AB CA B BC AB C CA BC
II I II I II I
107
Решение
По закону Ома
j2
Ф
j
Ф
e; ; .
e
A
A
BACA
A
UU
I
IIaIIaI
Z
z
По второму закону Кирхгофа
j120 j30
ФФ Ф
2
e3;
;.
AB A B
B
CABCAAB
UUUUU Ue
UaUUaU
Таким образом, в данном случае
ЛФ Л Ф
;3.II U U
Векторная диаграмма построена на рис. 8.5, б.
Очевидно, мощности фаз одинаковы, а для вычисления мощностей
всей цепи нужно каждую из них утроить:
активная мощность
ФФФ ЛЛ
3 3 cos 3 cos ;PP UI UI
реактивная мощность
ФФФ ЛЛ
33 sin3 sin.QQ UI UI
Пример 8.2. Соединение треугольником (схема на рис. 8.6, а)
Известны фазные (они же линейные) напряжения
Ф
,
A
B
UU
2
,
BC AB
UaU
2
CA AB
UaU
и комплексные сопротивления фаз
j
Ф
e.
AB BC CA
ZZZz
Найти все токи, построить векторную диаграмму.
Решение
По закону Ома
108
j2
Ф
j
Ф
e; ; .
e
AB
A
BBCABCAAB
AB
UU
I
IIaIIaI
Z
z
По первому закону Кирхгофа
j120 j30
ФФ Ф
2
e3;
;.
AABCA
B
AC A
II I II Ie
IaI IaI
Таким образом, в рассматриваемом случае
ЛФЛ Ф
,3.UU I I
Векторная диаграмма построена на рис. 8.6, б.
Что касается активной и реактивной мощностей фаз и всей цепи, то
они вычисляются по тем же формулам, что и в примере 8.1.
Пример 8.3. Сложная симметричная цепь (рис. 8.7)
Дано:
2
,,,
A
BACA
E
EaE EaE
а также комплексные сопро-
тивления
4321
,,, ZZZZ
соответствующих участков каждой из фаз.
Найти все токи.
Решение
Все симметричные треугольники следует преобразовать в эквива-
лентные звезды. В данном случае треугольник
222
abc
из трех одинако-
вых сопротивлений
4
Z
заменен звездой, сопротивление каждого из лу-
чей которой равно
44 4
444
.
3
Z
ZZ
ZZZ
На рис. 8.8 показана эквивалент-
ная звезда, каждое из сопротивлений которой:
3
4
35
Z
ZZ
.
109
Рис. 8.8
Z
1
Z
2
A
B
C
N
a
1
b
1
c
1
n
2
n
1
Z
5
I
A1
.
E
A
.
E
B
.
E
C
.
I
A2
.
I
A3
.
На векторной диаграмме нейтральные точки всех этих звезд
12
(, , )Nn n
в силу симметрии должны лежать в центре тяжести тре-
угольника линейных напряжений. Следовательно, потенциалы соответ-
ствующих узлов схемы одинаковы. Если их соединить нулевым проводом
(показан пунктиром на рис. 8.9), то ток в нем будет равен нулю, и режим
работы цепи не изменится. Но в этом случае фазы работают независимо
друг от
друга, как в несвязанной цепи (рис. 8.2), и одну из них (например,
фазу А) можно выделить вместе с нейтральным проводом (рис. 8.9).
Расчет же полученной таким способом
однофазной цепи прост. По закону Ома и
правилу параллельных ветвей имеем:
25
1
Э 1
Э 12 5
, где ;
A
A
ZZ
E
IZZ
Z
ZZ
5
2
21 31
25 25
;.
AA AA
Z
Z
II II
Z
ZZZ
110
В одной из фаз треугольника исходной схемы определяем ток, как
и в примере 8.2
o
22
j30
3
e
.
3
A
ab
I
I
Токи в соответствующих участках остальных фаз легко найти с
помощью фазового оператора. Например,
2
1111
;.
BAСА
I
aI I aI
8.3. Расчет статической несимметричной трехфазной цепи
Статической называют трехфазную цепь, не содержащую элек-
тродвигателей, чьи схемы замещения в несимметричном режиме очень
сложны из-за наличия индуктивной связи между обмотками. По той же
причине следовало бы исключить и генераторы, но внутреннее сопро-
тивление их фаз пренебрежимо мало по сравнению даже с сопротивле-
нием проводов, поэтому их в схеме
замещения можно представить иде-
альными источниками ЭДС.
Расчет статической трехфазной цепи, в принципе, ничем не отлича-
ется от расчета однофазной цепи с несколькими источниками одной ча-
стоты. Если цепь сложная, то обычно применяют метод узловых потен-
циалов с использованием узловой матрицы для записи уравнений. Если
цепь не слишком сложная, то
ее с помощью эквивалентных преобразова-
ний упрощают до схемы с двумя узлами и находят линейные токи. Затем,
используя законы Ома и Кирхгофа, определяют токи в исходной схеме.
Пример 8.4. Соединение звездой с нейтральным проводом (эквивалентная
схема показана на рис. 8.10)
Известны фазные ЭДС, сопротивления проводов линии, нейтраль-
ного провода и фаз нагрузки.
Найти линейные токи и ток в нейтральном проводе.
Решение
Пусть
0,
N
тогда по методу двух узлов
,
()
1
где ,
()
ABC
ABC
nnN
N
A
BC N N
EY EY EY
UY
YYYY Z
ЛЛЛ
111
;;.
()()()
ACC
А
BC
YYY
ZZ ZZ ZZ
Затем по закону Ома для пассивных и активных ветвей:
();();
A
B
A
nN A B nN B
I
EUY I EUY
(); .
C
CnNC NnN
N
I
EUY I UY