Эськов В.Д., Каталевская А.В., Сипайлов А.Г. Теоретические основы электротехники. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
121
обычно оценивается в оборотах в минуту (об/мин):
60 ,nfp
где f –
частота напряжения сети.
Синхронная машина обратима, т. е. она может работать не только в
режиме двигателя, но и в режиме генератора. Если по обмотке ротора
пропустить постоянный ток и ротор привести во вращение со скоро-
стью n, то в фазах обмотки статора будет индуктироваться симметрич-
ная трехфазная система
ЭДС с частотой
60.fpn
При подключении к
обмотке статора симметричной нагрузки в ней возникнет симметричная
система токов. Машина при этом будет работать в режиме генератора.
8.10. Принцип работы асинхронного двигателя
Если обмотку ротора выполнить в виде так называемой беличьей
клетки (стержни, уложенные в пазы, замкнуты накоротко – рис. 8.24),
то линии вращающегося магнитного поля статора будут пересекать эти
стержни. В результате в стержнях возникнут ЭДС, которые, в свою оче-
редь, вызовут токи. Эти токи создадут свое магнитное поле такого
направления, чтобы воспрепятствовать причине
, вызвавшей их.
В результате взаимодействия полей ротора и статора возникает вра-
щающий момент и ротор увлекается полем статора. Но скорость враще-
ния ротора не может сравняться со скоростью вращения поля статора,
поскольку в противном случае исчезла бы причина возникновения ЭДС
взаимоиндукции и токов в обмотках ротора. Таким образом,
PC
.nn
Такой принцип действия используется в двигателях, которые назы-
ваются асинхронными. Разница скоростей вращения поля статора и ро-
тора оценивается скольжением:
CPCSC
() ,
s
nnnnn
где
SCP
nnn
угловая скорость скольжения. Скольжение в установив-
шемся номинальном режиме составляет (3–4) %.
И в асинхронном двигателе увеличение числа пар полюсов статора
(1)
p
приводит к уменьшению скорости вращения поля статора (и, со-
122
ответственно, ротора) в р раз. И для изменения направления вращения
двигателя достаточно переключить зажимы двух фаз. На этом основан
принцип действия индукционного фазоуказателя. В нем металлический
диск вращается вслед за внешним полем за счет взаимодействия с ним
поля наведенных в теле ротора вихревых токов. По направлению вра-
щения диска определяется порядок
чередования (следования) фаз.
8.11. Метод симметричных составляющих
Напомним, что в симметричном режиме работы трехфазной цепи
симметричный приемник подключен к трехфазному источнику с сим-
метричной системой ЭДС. Комплексные сопротивления фаз такого при-
емника одинаковы, а три ЭДС источника имеют одинаковую частоту и
амплитуду и сдвинуты по фазе на один и тот же угол.
Метод симметричных составляющих позволяет свести расчет
несимметричных режимов к расчету симметричных. Он основан на
представлении любой трехфазной системы величин (будь то ЭДС, токи
или напряжения) в виде суммы трех симметричных систем. Эти сим-
метричные системы, которые в совокупности образуют исходную
несимметричную, называются ее симметричными составляющими.
Симметричные составляющие отличаются друг от друга порядком че-
редования фаз, то
есть порядком, в котором фазные величины следуют
через максимум и называются системами прямой, обратной и нулевой
последовательностей. Угол сдвига фаз между следующими друг за дру-
гом фазными величинами данной последовательности определяется
формулой
2/3,
где
0,
1, 2 – индекс последовательности.
На рис. 8.25, б показана несимметричная трехфазная система век-
торов, обозначенных для общности
,, ,
A
BC
а на рис. 8.25, а – ее
симметричные составляющие:
прямой последовательности
(1)
:
2
11 1
;
A
aB a C
обратной последовательности
(2)
:
2
222
;
A
aB aC
нулевой последовательности
(0)
:
000
.
A
BC
Так что
120
2
120 1 20
2
120 1 20
;
;
.
AA A A
B
BB B aAaA A
CC C C aA aA A
(8.1)
123
0
A
0
B
1
B
1
C
1
A
2
A
2
C
2
B
0
C
120
120
000
A
BC
1
B
1
C
1
A
2
A
2
C
2
B
A
C
B
Докажем теперь, что любую несимметричную систему трех векто-
ров можно разложить на симметричные составляющие единственным
образом. Для этого сначала сложим три уравнения системы (8.1). Тогда,
учитывая, что
2
10,aa
получим:
0
()3.AABC
(8.2)
Умножая затем два последних уравнения той же системы сначала
на а и
2
,a
а затем на
2
a и а соответственно и опять же складывая все
три, получим:
2
1
()3;AAaBaC
(8.3)
2
2
()3.AAaBaC
(8.4)
Совершенно очевидно, что симметричная система ЭДС данной по-
следовательности вызывает в симметричном приемнике симметричные
системы токов и напряжений той же самой последовательности. В этом
заключается принцип независимости действия симметричных состав-
ляющих в симметричной трехфазной цепи. Поэтому метод симметрич-
ных составляющих, как своеобразный метод наложения, идеально под-
ходит для расчета токов
и напряжений в цепи, где несимметричная си-
стема ЭДС подключена к симметричной нагрузке.
Система нулевой последовательности представляет собой неурав-
новешенную систему и считается симметричной только по формальным
признакам. Отдельные подсхемы, в которых действует каждая из сим-
метричных составляющих этой системы, могут отличаться как конфи-
гурацией, так и величиной сопротивлений в силу
особенностей поведе-
ния этих составляющих даже в симметричной трехфазной цепи.
124
8.12. Некоторые особенности поведения симметричных
составляющих токов и напряжений в симметричных
трехфазных цепях
1. В трехфазной цепи с нейтральным проводом ток в нем равен
сумме линейных токов и, согласно (8.2), утроенному значению состав-
ляющей нулевой последовательности этих токов:
Л0
3.
NABC
I
III I
В цепи же без нейтрального провода сумма линейных токов равна
нулю. Поэтому, согласно той же формуле, линейные токи не могут
иметь составляющих нулевой последовательности:
Л0
0.I
2. Сумма линейных напряжений всегда равна нулю, поэтому они
не содержат составляющих нулевой последовательности:
Л0
0.U
3. Фазные напряжения симметричной статической нагрузки, со-
единенной звездой, не содержат составляющих нулевой последователь-
ности, поскольку нейтральная точка нагрузки на векторной диаграмме
лежит в центре тяжести треугольника линейных напряжений и, следова-
тельно, сумма фазных напряжений равна нулю. Действительно, по-
скольку
,
A
BC
YYY
то
()/()()/3.
AAB CA ABCA
BAABC
U UYUY YYY U U
Аналогично
()/3,()/3.
B
BC AB C CA BC
UU U UUU
Тогда
Ф0
()30.
A
BC
UUUU
4. Сопротивления фаз нагрузки токам разных последовательно-
стей в общем случае различны. Сравним, например, их величины в
случае симметричной нагрузки. При этом будем называть отношение
комплексного фазного напряжения какой-либо последовательности к
комплексному фазному току той же самой последовательности ком-
плексным сопротивлением цепи току данной последовательности, со-
провождая его соответствующим индексом
:
11 11 11 11
1
22 00
20
////;
/; /.
AA BB CC
Z
UI UI UI UI
ZUI ZUI
Пример 8.1
Статическая цепь (рис. 8.26)
Три одинаковых катушки с комплексным сопротивлением Z индук-
тивно связаны между собой (комплексное сопротивление взаимной ин-
дукции равно
M
Z
), соединены звездой с нейтральным проводом и под-
125
ключены к источнику с симметричной системой ЭДС. Такая схема за-
мещения может, например, соответствовать трехфазному трансформа-
тору в режиме холостого хода.
Если в цепи действует система ЭДС прямой последовательности
2
11 1
,
A
BC
E
aE a E
то и линейные токи образуют систему прямой по-
следовательности, так что ток в нейтральном проводе отсутствует:
22
1111 1 11
(1 ) 0.
Nn A B C A A A A
IIIIIaIaII aa
По второму закону Кирхгофа для внешнего контура с учетом явле-
ния взаимной индукции имеем:
2
11 1 1 1 1
()().
AA B C A A
M
MMMM
E IZIZ IZ I ZaZ aZ I ZZ
Таким образом,
11
1
/.
AA
M
Z
EI ZZ
Если повторить те же математические выкладки для обратной по-
следовательности, то, очевидно, конечный результат окажется тем же
самым:
2
22 1
/
A
AM
Z
EI ZZ Z
, так как в статической цепи
направление вращения магнитного поля роли не играет и схемы заме-
щения на одну фазу выглядят одинаково (рис. 8.27, а, б).
Составляющие нулевой последовательности ЭДС одинаковы, так
же, как и составляющие токов:
000000
,.
A
BC ABC
E
EE III
Поэтому (см. п. 1) в нейтральном проводе течет утроенный ток
этой последовательности
0
3.
Nn A
I
I
Тогда по второму закону Кирхго-
фа для внешнего контура схемы рис. 8.26 получим:
00 0 0 0
(2 3 ).
AA B C Nn A
M
MNn MNn
EIZIZIZIZ IZZ Z
126
Значит, в схеме на одну фазу, чтобы со-
хранить разность потенциалов между
нейтральными точками источника и прием-
ника
0
3,
nN A
nN
UIZ
нужно при токе
0
A
I
включить между точками N и n сопротивле-
ние
3
nN
Z
, а последовательно с ЭДС – сопро-
тивление
M
ZZ 2
(рис. 8.27, в).
Так что
00
01
/2
AA
M
Z
EI ZZ Z
даже в статической цепи.
Что же касается динамической цепи, то в
ней проявляется еще и различие сопротивле-
ний двигателя токам разных последователь-
ностей.
Пример 8.2
Асинхронный двигатель
Круговое магнитное поле статора прямой последовательности вра-
щается с угловой скоростью
C
в том же направлении, что и ротор, уг-
ловая скорость которого
Р
меньше. Величина ЭДС, наводимой в об-
мотке ротора, обусловлена разностью этих скоростей – угловой скоро-
стью скольжения
1S CP С
(),
поэтому относительно невелика. Малы и токи, создающие магнитный
поток реакции ротора, оказывающий размагничивающее (в соответ-
ствии с правилом Ленца) действие на поток поля статора. Следователь-
но, сопротивление фазы двигателя току прямой последовательности
1
Z
ненамного отличается от активно-индуктивного сопротивления фазы
обмотки статора.
Круговое поле обратной последовательности вращается в противо-
положную сторону, а ротор – в прямом направлении. Разность скоро-
стей
2CPSС
2
почти вдвое больше
C
и во много раз больше
1
.
Значит, размагничи-
вающее влияние реакции ротора возрастает, что приводит к существен-
ному уменьшению величины сопротивления фазы двигателя току об-
ратной последовательности
2
.
Z
Так что
21
.
Z
Z
А токи нулевой последовательности, одинаковые по величине и
совпадающие по фазе, не могут создать вращающегося магнитного
127
поля. Возникает пульсирующее магнитное поле, которое вытесняется из
ротора на торцы машины. Поэтому
012
.
Z
ZZ
По аналогичным причинам отличаются сопротивления токам раз-
личных последовательностей у синхронных двигателей и генераторов.
Отдельные подсхемы при использовании метода симметричных состав-
ляющих будут отличаться не только величиной ЭДС, но и величиной
сопротивлений.
8.13. Применение метода симметричных составляющих
к расчету цепей с местной несимметрией
Нормальным режимом работы динамической трехфазной цепи яв-
ляется симметричный режим. В некоторых случаях (как правило, свя-
занных с авариями – обрыв линейного провода, короткое замыкание фа-
зы и т. п.) в цепи появляется несимметричный участок. Остальные
участки симметричны, в том числе источники электрической энергии.
Такая цепь называется цепью с местной несимметрией.
В
подобных схемах не работает принцип независимости действия
симметричных составляющих. Например, ЭДС прямой последовательности
могут вызвать (и вызывают!) токи обратной и нулевой последовательно-
стей. Следовательно, метод симметричных составляющих непосредственно
к расчету таких цепей неприменим. Но если на основе теоремы компенса-
ции заменить несимметричный участок соответствующей трехфазной си-
стемой источников напряжения или
тока, то получится уже симметричная
цепь, в которой действует несимметричная трехфазная система ЭДС или
токов эквивалентных источников. Пусть эти величины неизвестны, но в со-
ответствии с условиями замены можно составить необходимые дополни-
тельные уравнения для их определения. Главное, что такую цепь уже мож-
но рассчитывать методом симметричных составляющих.
Цепь с продольной
несимметрией имеет несимметричный участок,
включенный последовательно в фазы линии или нагрузки (рис. 8.28, а).
Согласно теореме компенсации заменим фазы этого участка источ-
никами ЭДС, которые равны падениям напряжения на элементах участ-
ка (рис. 8.28, б). В результате получим симметричную цепь с несиммет-
ричным трехфазным источником. Если комплексные сопротивления фаз
несимметричного участка известны,
то вводимые вместо них фазные
ЭДС связаны с токами законом Ома:
;;.
A
AA B BB C CC
UIZUIZUIZ
Это условия несимметрии, которые следует использовать вместе с
уравнениями метода симметричных составляющих для определения
128
неизвестных токов
,,
A
BC
I
II
и напряжений
,,
.
A
BC
UUU
Сопро-
тивления могут принимать любые значения от нуля и до бесконечно
больших величин. Например, в случае обрыва линейного провода меж-
ду точками А и а при неповрежденных проводах двух других фаз ока-
жется
.
A
Z
Если сопротивлениями проводов линии пренебречь или
включить их в параметры симметричных участков, то условия несим-
метрии будут выглядеть так:
0, 0, 0.
A
BC
IUU
Рис. 8.29
а б
Z
N
A
B
C
Несимметр.
участок
0
Z
n
I
B
.
I
C
.
I
N
.
I
n
.
I
A
.
I
A
0
ABC
.
I
B
.
I
C
.
U
A
.
U
B
.
U
C
.
Цепь с поперечной несимметрией имеет несимметричный участок,
подключенный параллельно фазам нагрузки или между фазами линии и
нейтральным проводом, роль которого может играть и система заземле-
ний, соединенных с нейтралями (рис. 8.29, а).
Проделав с помощью теоремы компенсации ту же операцию, что и
в предыдущем случае, вновь получим симметричную цепь с несиммет-
ричной системой эквивалентных ЭДС (рис. 8.29, б). Теми же останутся
и условия несимметрии при известных сопротивлениях фаз несиммет-
ричного участка
A
Z
,
B
Z
,
C
Z
. Иногда удобно использовать замену
несимметричного участка системой эквивалентных источников тока
,,.
A
BC
I
II
129
Пример 8.3
Обрыв одного из линейных проводов (Aa), связывающих генера-
тор Г и двигатель Д, обмотки которых соединены звездой с нейтраль-
ным проводом (рис. 8.30, а).
Известны ЭДС генератора, образующие симметричную систему
прямой последовательности
2
,
A
BC
E
aE a E
сопротивления всех по-
следовательностей генератора
Г1
,
Z
Г2
,
Z
Г0
Z
и двигателя
Д1
,Z
Д2
,Z
Д0
,Z в которых учтены и сопротивления линии, а также сопротивление
нулевого провода
.
Nn
Z
Определить линейные токи
,
B
I
,
C
I
ток в нейтральном проводе
,
N
I
а также напряжение между концами оборванного провода .
A
U
Решение
1. Заменим несимметричный участок
(, , )
A
aBbCc
системой
ЭДС
A
U
,
B
U
,
C
U
(рис. 8.30, б). Чтобы замена была эквивалентной,
должны выполняться условия несимметрии:
0, 0, 0.
A
BC
IUU
2. Разложим систему эквивалентных ЭДС на симметричные со-
ставляющие и для расчета симметричных составляющих токов приме-
ним принцип наложения. Для этого составим подсхемы отдельных по-
следовательностей (рис. 8.31, а–в). В каждой из них действуют ЭДС
только данной последовательности, токи протекают по сопротивлениям
той же самой последовательности, так что обеспечивается симметрич-
ный
режим. Поэтому расчет можно вести на одну фазу. Дополнитель-
ные уравнения (п. 3) будут выглядеть проще, если выбрать для этого
«особую» фазу – в данном случае это фаза А.
Обратим внимание на две особенности.
ЭДС генератора образуют симметричную систему прямой последо-
вательности, поэтому
A
E
входит только в схему этой последовательно-
сти (рис. 8.31, а).
130
В схемах прямой и обратной последовательностей, как было пока-
зано выше, ток в нулевом проводе отсутствует. Поэтому потенциалы
точек N и n равны и их можно замкнуть накоротко (рис. 8.31, а, б).
В схеме же нулевой последовательности по нулевому проводу протека-
ет утроенный линейный ток. Поэтому, чтобы сохранить напряжение
между нейтральными точками
генератора и двигателя
0
3
nN A Nn
UIZ
в
схеме на одну фазу, в нее нужно включить утроенное сопротивление
нулевого провода (рис. 8.31, в).
3. Перепишем условия несимметрии применительно к составля-
ющим тока и напряжения особой фазы, используя формулы (8.1–8.4):
120 1 2 0
0; / 3.
A
AA A A A A A
II I I U U U U
4. Выразим составляющие тока
A
I
в каждой из подсхем по зако-
ну Ома и, просуммировав их с учетом соотношения между составляю-
щими напряжения
,
A
U
определим последнее:
0
12
120
120
1 Г1 Д12Г2 Д20Г0 Д0
;;,где
;; 3.
A
AA A
AAA
Nn
U
EU U
III
ZZZ
ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z
0
12
120
120
1120
111
0, откуда
3
A
AA A
AA A
AA
U
EU U
II I
ZZZ
EU
ZZZZ
1
11 2 0
3111
.
A
A
E
U
ZZZ Z
5. Затем вычисляются симметричные составляющие тока
A
I
и,
наконец, определяются искомые токи в виде суммы их симметричных
составляющих:
22
120, 1 20, 0
3.
B A AA C A AA N A
I
aIaIIIaIaIIII
Примечание. Для упрощения расчетов аварийных режимов энерго-
систем их в значительной степени формализуют, составляя эквивалент-
ные расчетные схемы на одну фазу для каждого аварийного режима.
Для рассматриваемого примера требуемую схему можно составить сле-
дующим образом.
Соединим проводником точки А всех трех подсхем и другим про-
водником – точки а этих подсхем. Режим
работы каждой из них при этом
не изменится, поскольку напряжения
/3
A
aA
UU
везде одинаковы.