Эськов В.Д., Каталевская А.В., Сипайлов А.Г. Теоретические основы электротехники. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

111

Если рассматривается соединение звездой без нейтрального прово-

да при заданных фазных ЭДС и сопротивлениях, то решение аналогично

вышеприведенному при

.0,0



Пример 8.5

Соединение звездой без нейтрального провода (рис. 8.11, а), но за-

даны линейные напряжения и эквивалентные сопротивления фаз.

Решение

Включим между зажимами AB и BC две ЭДС, равные линейным

напряжениям



(рис. 8.11, б). Линейные токи в соответствии

с теоремой компенсации при этом не изменятся.

Найдем ток



с помощью метода преобразований, заменив парал-

лельные ветви A и C (рис. 8.11, в) одной эквивалентной:

()

() ()

BC AB

AC AC

CAC

UZUZ ZZ

ZZ ZZ

  









Тогда по закону Ома

()

BC AB

Э AC

B Э

UZUZ

ZZ D

 









где .

BBCCA

ZZ ZZ ZZ

Проанализировав выражение для тока



легко можно записать

формулы для определения двух других токов, всего лишь циклически

переставляя индексы:

AB CA

CA BC

UZUZ

UZU Z

 





112

В то же время

AB CA

An A

UYUY

UIZ

 

 





(8.1)

где

YYYY



После циклической перестановки индексов получаются выражения

двух других фазных напряжений:

BC AB

CA BC

Bn Cn

UYUY

UYU Y

 







Пример 8.6а. Частный случай

Известны линейные напряжения (симметричная система)

j30 2

BBCABCAAB

UUe U aU UaU





и одинаковые сопротивления двух фаз

;



сопротивление третьей (тоже активное) может изменяться от 0 до :

.0где,







 kkRZ

Найти пределы изменения фазного напряжения

Решение

При

k 

оказывается

0, 2 / 2 .

YYRY







Тогда из формулы (8.1) следует

An An

UU



и значит точ-

ка n на векторной диаграмме (рис. 8.12, a) расположена посередине от-

резка, соединяющего точки B и C.

В случае



точка n лежит в центре тяжести N треугольника ли-

нейных напряжений (симметричный режим).

А при

0k  и 0

U 



на векторной диаграмме точка n совпадает с

вершиной треугольника А.

113

Таким образом, при изменении k от 0 до  искомое фазное напря-

жение изменяется от 0 до

При этом нейтральная точка нагрузки

на векторной диаграмме перемещается вдоль медианы nA треугольника

линейных напряжений.

Пример 8.6б. Другой частный случай

При тех же, что и в примере 8.6а линейных напряжениях и сопро-

тивлениях фаз В и С, активное сопротивление фазы А заменим на ем-

костное

(j)

R

и снова найдем

j30 j150

j26,5

(e e )

0,8 e .

2j1



 







Точка n на векторной диаграмме (рис. 8.12, б) сместилась ближе к

точке С, так как

BAC

UUU

Фазные токи пропорциональны соот-

114

ветствующим напряжениям. Это дает возможность определить порядок

чередования фаз с помощью емкостного фазоуказателя.

Для этого нужно лишь собрать схему (рис. 8.13, а), в которой ем-

кость находилась бы в предполагаемой фазе А, а в двух других фазах –

две одинаковые лампы. Очевидно, ярче будет светиться та, что нахо-

дится в фазе В (тускло

– в фазе С). Заменив емкость индуктивностью

(рис. 8.13, б), получим индуктивный фазоуказатель, в котором, очевид-

но, лампа фазы С будет гореть ярче, чем в фазе В.

8.4. Баланс мощностей в трехфазной цепи

Комплексная мощность трехфазного источника, соединенного

звездой с нейтральным проводом, вычисляется через фазные ЭДС и ли-

нейные токи. Если же нейтральный провод отсутствует, то она может

быть найдена двумя способами: с использованием либо фазных ЭДС,

либо линейных напряжений – в зависимости от того, что известно. По-

следний вариант подойдет и в том случае

, когда фазы источника соеди-

нены треугольником.

Если известны фазные ЭДС в цепи, соединенной звездой (не важ-

но, с нейтральным проводом или без него), то следует просуммировать

комплексные мощности фаз:

€€€

BC AA BBCC

S S S S EI EI EI  





В цепи без нейтрального провода с известными линейными напря-

жениями можно воспользоваться первым законом Кирхгофа:

III







Если отсюда выразить один из токов, например

CAB

II 



пе-

рейти к сопряженным комплексам

€€€

()

CAB

III 

и подставить в фор-

мулу комплексной мощности, то получится следующее выражение:

€€ €€

()

€€€€

()() .

AA BB C A B

ACA BCB ACA BCB

SEIEIEII

EI E EI U I U I



   





   

Циклической перестановкой индексов можно получить еще две

формулы с участием двух других пар токов и напряжений.

Затем выделяются

ИИИИ

Re , Im .Р SQ S



У потребителей суммируются как активные, так и реактивные

мощности:



 .,

XIQRIP

Должен сходиться баланс мощностей

ПИПИ

QQРР 



В симметричном режиме баланс мощностей составляется на одну фазу.

115

8.5. Измерение активной мощности в трехфазных цепях

Активная мощность измеряется ваттметром, принципиальная схема

которого показана на рис. 8.14, а.

Показание ваттметра определяется по формуле

cos ,

WWW W

PUI





где, согласно схеме на рис. 8.14, б,

,,argarg.

WabWcdW W W

UU II U I

 



В симметричном режиме работы трехфазной цепи мощности от-

дельных фаз одинаковы. Поэтому активная мощность всей цепи втрое

больше мощности каждой фазы.

Например, в цепи, соединенной звездой,

33 cos.

AA A

PP UI





В схеме с нейтральным проводом (рис. 8.15) ваттметр измеряет именно

активную мощность фазы А:

3cos.

WA AA A

PP UI





Поэтому 3.

PP

В несимметричном режиме работы трехфазной цепи с нейтраль-

ным проводом понадобится три ваттметра (рис. 8.16). Действительно,

WWW

cos cos cos .

AAAAAAAA A B C

PUIUIUI PPP









В цепи без нейтрального провода (рис. 8.17) достаточно двух ватт-

метров. Как следует из формулы для мощности источника, выведенной

выше при составлении баланса мощностей:

116

€€

Re Re( ) Re( ) cos cos .

ACA BCB ACA BCB

P S UI UI UI UI



   





Но показания ваттметров

как раз и соответствуют слага-

емым в правой части этой формулы. Поэтому

W1 W2

.PP P







8.6. Динамические трехфазные цепи

Как уже отмечалось, динамические трехфазные цепи содержат

электромеханические источники и потребители энергии. При расчете

симметричного режима, в котором обычно и работают электрические

машины, каждую из них можно заменить простой схемой замещения из

трех одинаковых сопротивлений, затем перейти к схеме замещения на

одну фазу и рассчитать ее известными методами.

В несимметричном режиме

эквивалентные схемы существенно

усложняются за счет необходимости учета индуктивных связей между

обмотками, в связи с чем их использование в расчете становится неэф-

фективным. Для того чтобы разобраться с особенностями расчета дина-

мических цепей, необходимо понять принципы получения пульсирую-

щего и вращающегося магнитных полей в электродвигателях.

8.7. Пульсирующее магнитное поле

Магнитная цепь большинства электрических машин выполнена в

виде двух коаксиальных цилиндров, набранных из стальных листов и

отделенных друг от друга воздушным зазором (рис. 8.18).

Неподвижный внешний цилиндр называется статором, вращаю-

щийся внутренний – ротором. В пазы статора укладывается обмотка с

числом витков w

, по которой протекает синусоидальный ток i. Рас-

смотрим характер магнитного поля в воздушном зазоре ротор–статор,

величина которого δ.

При указанном на рисунке положительном направлении тока линии

магнитной индукции в теле ротора направлены снизу вверх. Можно

117

считать место выхода линий из статора северным магнитным полюсом

(

N), а место входа – южным (S). Иными словами, при наличии одной

обмотки получается поле с одной парой полюсов. Чем ближе линии

расположены к полюсам, тем большее число витков w они охватывают,

тем больше намагничивающая сила iw вдоль этих линий.



























Основное сопротивление магнитному потоку представляет воз-

душный зазор, причем каждая линия магнитной индукции пересекает

зазор дважды. Поэтому, применяя закон полного тока для одной из этих

линий, получим:

2, /(2).iw Hdl H B H iw







 







Таким образом, индукция в зазоре B

пропорциональна току i и чис-

лу охватываемых контуром витков w обмотки.

Зависимость магнитной индукции от местоположения точки в зазо-

ре имеет ступенчатую форму. Если разрезать статор по оси обмотки и

развернуть его вдоль горизонтальной прямой, то зависимость B(α) будет

выглядеть так, как показано на рис. 8.19.

При большом числе пазов форма

кривой приближается к косинусо-

иде, которая также показана на рисунке. Фактически это основная гар-

моника разложения ступенчатой зависимости в ряд Фурье. Если прене-

бречь высшими гармониками, то можно считать, что магнитная индук-

ция распределяется в зазоре по косинусоидальному закону. Ее макси-

118

мум

лежит на оси обмотки, а в точке, смещенной от положительного

направления оси на угол α, индукция равна

cos .BB















При синусоидальном токе

sin

iI t





в обмотке магнитная индук-

ция на оси обмотки также изменяется во времени по синусоидальному

закону:

sin ,





так что в любой точке зазора

sin cos .

BB t







Распределение индукции в зазоре в разные моменты времени показано

на рис. 8.20. Направление, в котором основная гармоника магнитной

индукции всегда имеет наибольшее значение, называется осью магнит-

ного поля. Магнитное поле, положение оси которого неизменно в про-

странстве, а индукция изменяется во времени, называется пульсирую-

щим. В дальнейшем для упрощения обмотку будем

изображать в виде

одного витка, расположенного перпендикулярно оси обмотки, а индук-

цию – вектором



направленным в соответствии с правилом буравчи-

ка (рис. 8.21).

























































119

8.8. Вращающееся магнитное поле

Магнитное поле, ось которого вращается, называется вращающим-

ся магнитным полем. Если во время вращения значение магнитной ин-

дукции в воздушном зазоре на оси не меняется, то такое поле называют

круговым вращающимся. Его можно изобразить на комплексной плос-

кости вращающимся вектором неизменной длины, конец которого опи-

сывает окружность.

Пусть в пазы статора

уложены три одинаковые обмотки (рис. 8.20),

оси которых сдвинуты в пространстве на угол

120



(2 /3).



Обмотки

подключаются к источнику с симметричной системой фазных напряже-

ний, соответственно, будет симметрична и система токов в обмотках:

sin( ); sin( 2 /3); sin( 2 / 3).

mBm Cm

iI tiI t iI t



 



Каждый из токов создает пульсирующее поле, направленное вдоль

оси своей катушки. Тогда и векторы магнитной индукции в воздушном

зазоре на оси обмоток образуют симметричную трехфазную систему.

Мгновенные значения индукции выражаются следующим образом:

00 0

sin( ); sin( 2 / 3); sin( 2 / 3).

mBm Cm

ВВ t ВВ t ВВ t



 



Здесь

– максимальное значение пульсирующего магнитного поля на

оси каждой из обмоток, пропорциональное амплитуде тока. Если поме-

стить эти векторы на комплексную плоскость, расположив их, как пока-

зано на рис. 8.22, то можно найти результирующий вектор суммирова-

нием составляющих:

2jj2j(2/3)

00 0 0

j( 2/3) j( 2/3) j( 2/3) j

j( ) {[ ] [

][ ]}1,5 .

tt t

ABC

ttt t

BBaBaB ee ae

eaee Be

 

   



   

     

  



Результат показывает, что ось магнитного поля вращается с постоян-

ной угловой скоростью ω, равной угловой частоте синусоидальных токов

в обмотках. Направление вращения – по часовой стрелке, а точнее – в сто-

рону катушки с отстающим по фазе током. Величина магнитной индукции

на оси постоянна и равна

1, 5

(рис. 8.23). Таким образом, с помощью

трех обмоток, в которых протекает симметричная система токов, оси ко-

торых сдвинуты в пространстве на

120 ,



можно получить круговое вра-

щающееся магнитное поле с одной парой полюсов

(1).



Такое поле ис-

пользуется в трехфазных электродвигателях, синхронных и асинхронных.

Если удвоить число обмоток статора, создав магнитное поле с дву-

мя парами полюсов

(2)



, то скорость вращающегося магнитного по-

ля уменьшится в 2 раза.

120

Очевидно, чтобы изменить направление вращения магнитного поля

статора, достаточно поменять местами провода от двух фаз источника.

Рис. 8.23

Рис. 8.22

1,5B





8.9. Принцип работы синхронного двигателя

Если в круговое вращающееся поле поместить постоянный магнит

соответствующей конфигурации (ротор), то его магнитная ось, как и маг-

нитная стрелка компаса, будет стремиться занять положение, совпадаю-

щее с осью внешнего поля, – положение, при котором энергия магнитного

поля минимальна. Но поскольку ось внешнего поля вращается с угловой

скоростью



то на постоянный магнит будет действовать вращающий

момент, и он придет во вращение с той же скоростью. Если вместо посто-

янного магнита во вращающееся поле поместить рамку, витки которой об-

текаются постоянным током (фактически электромагнит), то эффект будет

тем же самым, т. е. угловая скорость вращения ротора

РС





В реальных машинах обмотка, к которой с помощью коллектора и

щеток подводится постоянный ток, соответствующим образом уложена

в пазы массивного ротора, выполненного из электротехнической стали.

А обмотка статора подключается к трехфазной электрической сети с

симметричной системой напряжений, так что в зазоре ротор–статор со-

здается вращающееся магнитное поле. Поменяв две

фазы местами,

можно изменить направление вращения поля на противоположное. А

если увеличить число пар полюсов обмотки в p раз, то во столько же раз

уменьшится скорость вращения магнитного поля статора и, следова-

тельно, скорость вращения ротора.

Такой электродвигатель, скорость вращения ротора которого равна

скорости вращения поля статора, называется синхронным. Эта скорость