3.4. Уравнения упругой микрополярной жидкости 61
В односвязной области тройка ортонормированных векторов D
k
определяется по заданному гладкому тензорному полю B, удовлетво-
ряющему условию совместности (3.31), единственным образом, если
триэдр D
k
задан в некоторой точке области.
Поскольку кривизна микроструктуры B является псевдотензором
второго ранга, свободная энергия W – четная функция от B:
W (ρ, −B) = W(ρ, B).
Простейшим примером четной функции служит квадратичная фор-
ма, общее представление которой с учетом изотропности функции
W (B) в случае несжимаемой среды имеет вид
ρW =
1
2
£
λtr
2
B + µtr
¡
B · B
T
¢
+ νtr B
2
¤
, (3.32)
где λ, µ, ν – постоянные.
Нетрудно показать, что необходимые и достаточные условия поло-
жительной определенности формы (3.32) состоят в выполнении нера-
венств
3λ + µ + ν > 0, µ + ν > 0, µ > 0. (3.33)
Согласно (3.21) выражению (3.32) соответствует линейная зависи-
мость тензора моментных напряжений от кривизны структуры
M = λItr B + µB + νB
T
. (3.34)
Как и в нелинейной теории упругости [61, 82], целесообразно сфор-
мулировать дополнительные ограничения на форму зависимости W (B)
помимо положительной определенности. В частности, таким услови-
ем может служить условие сильной эллиптичности уравнений рав-
новесия. Ранее условие сильной эллиптичности было сформулировано
для твердой деформируемой среды с моментными напряжениями [32].
Нетрудно проверить, что система уравнений (3.28), (3.29) не является
сильно эллиптической в смысле этого определения, как, впрочем, и
в смысле теории дифференциальных уравнений в частных производ-
ных [24, 87]. Тем не менее достаточно потребовать выполнения силь-
ной эллиптичности для уравнения (3.29). Можно показать, что усло-
вие сильной эллиптичности моментного уравнения равновесия (3.29)
эквивалентно неравенству