Еремеев В.А., Зубов Л.М. Основы механики вязкоупругой микрополярной жидкости

Подождите немного. Документ загружается.

30 Глава 2. Теория напряжений

Лемма Коши. Принцип действия и противодействия для мик-

рополярной среды выражается соотношениями

t(R, N ) = −t(R, −N ), (2.5)

µ(R, N ) = −µ(R, −N ), (2.6)

Формулы (2.5), (2.6) описывают взаимодействие контактирующих

между собой частей тела.

Доказательство. Рассмотрим произвольную часть тела, занимающую

область V

и содержащую внутри себя точку R (рис. 2.2). Разрежем

поверхностью Γ, проходящей через R, на две части V

, V

. Для до-

казательства (2.5), (2.6) воспользуемся динамическими законами Эй-

лера, применив их к V

, V

Применяя первый динамический закон Эйлера (2.3) к части V

учетом равенства

M(P) =

ZZZ

v dV,

выполняющегося для достаточно гладкого поля скорости, имеем

ZZZ

v dV =

ZZZ

ρf dV +

t dΣ. (2.7)

Применяя (2.3) к части V

, получим

ZZZ

v dV =

ZZZ

ρf dV +

t dΣ +

t(N

) dΣ, (2.8)

где Σ

– часть поверхности Σ, принадлежащая V

, N

– вектор внеш-

ней нормали к Γ.

Аналогично, для части V

имеем

ZZZ

v dV =

ZZZ

ρf dV +

t dΣ +

t(N

) dΣ. (2.9)

2.3. Тензоры напряжений и моментных напряжений 31

Рис. 2.2. К доказательству леммы Коши.

Вычитая из (2.7) почленно соотношения (2.8), (2.9), получим ра-

венство

0 =

t(N

) dΣ +

t(N

) dΣ. (2.10)

В силу произвольности области V

и, следовательно, произвольно-

сти Γ, при достаточных условиях гладкости подинтегральных функ-

ций из (2.10) следует равенство

t(N

) + t(N

) = 0.

Поскольку N

= −N

, отсюда следует искомая формула (2.5), и

доказательство первой части леммы закончено.

Доказательство формулы (2.6) проводится аналогично. Имеет ме-

32 Глава 2. Теория напряжений

сто формула

N(P) =

ZZZ

(R − R

) × ρ

v + j

dV.

Применяя второй динамический закон (2.4) последовательно к об-

ластям V

, V

, и проводя такие же преобразования, получим

0 =

{(R − R

) × (t(N

) + t(N

)) + µ(N

) + µ(N

)} dΣ. (2.11)

При учете (2.5) из (2.11) следует вторая искомая формула (2.6),

что и завершает доказательство.

Доказанный принцип действия и противодействия существенно

используется при введении тензоров напряжений и моментных на-

пряжений, даваемом теоремой Коши.

Теорема 2.1. В каждой точке тела существуют тензоры второго

ранга T и M, такие, что векторы напряжений и моментных на-

пряжений, действующие на площадку с нормалью N , выражаются

формулами

t = N · T, µ = N · M.

Доказательство. Вначале докажем существование тензора T. Рас-

смотрим произвольный параллепипед Π, ориентированный по осям

декартовой системы координат X

, X

(рис. 2.3). Вектор норма-

ли к поверхности параллепипеда с точностью до знака совпадает с

координатными ортами: N = ±i

(k = 1, 2, 3). Разложим вектор на-

пряжений, действующий на поверхности параллепипеда, по базису i

t(R, i

) = t

(R)i

. (2.12)

Далее в доказательстве аргумент R будем опускать. Здесь t

– компо-

ненты t в базисе i

. Из принципа действия и противодействия следует,

что

t(−i

) = −t

2.3. Тензоры напряжений и моментных напряжений 33

Рис. 2.3. Параллелепипед Π.

Обозначим компоненты нормали в этом же базисе через N

. Для ко-

ординатных площадок представление (2.12) может быть записано сле-

дующим образом

t(i

) = N

, t(i

) = N

, t(i

) = N

. (2.13)

Применим к параллелепипеду первый динамический закон. Имеем

ZZZ

− f

dV =

t dΣ.

Учитывая представление (2.13), это соотношение можно записать

в виде

ZZZ

− f

dV =

dΣ.

Применяя к поверхностному интегралу теорему Гаусса–Остроград-

ского, получим

ZZZ

− f

−

∂t

∂X

dV = 0. (2.14)

34 Глава 2. Теория напряжений

Так как параллелепипед произвольный, то из интегрального со-

отношения (2.14) следует дифференциальное уравнение

− f

−

∂t

∂X

= 0. (2.15)

Рассмотрим теперь произвольный тетраэдр T (рис. 2.4). Применяя

к нему первый динамический закон, получим

ZZZ

− f

dV =

dΣ +

t(N) dΣ. (2.16)

Здесь V

и Σ

– объем и часть границы тетраэдра, образованная

гранями, лежащими на координатных плоскостях, M

– наклон-

ная грань. В (2.16) использована возможность представления вектора

напряжений на координатных площадках (2.13).

Преобразуя левую часть (2.16) c помощью дифференциального

уравнения (2.15), получим

ZZZ

∂t

∂X

dV =

dΣ +

t(N) dΣ. (2.17)

Применяя к объемному интегралу в (2.17) формулу Гаусса–Остро-

градского, это уравнение можно привести к виду

[t(N) − N

] dΣ = 0.

В силу произвольности тетраэдра и, в частности, грани M

отсюда следует, что выполняется тождество

t(N) − N

= 0

для любого вектора нормали N, а не только совпадающего с коорди-

натными ортами.

Таким образом, показано, что зависимость вектора напряжений t

от вектора нормали N линейна. По теореме о представлении линейной

2.3. Тензоры напряжений и моментных напряжений 35

Рис. 2.4. Тетраэдр T .

вектор-функции векторного аргумента [48] следует, что существует

такой тензор T, что

t(N) = N · T. (2.18)

Итак, первая часть теоремы Коши доказана.

Вторая часть теоремы о существовании тензора M доказывает-

ся путем аналогичных рассуждений с применением второго динами-

ческого закона Эйлера сначала к произвольному параллепипеду, а

потом – к произвольному тетраэдру. Представим вектор моментных

напряжений µ на координатных площадках формулой

µ(i

) = m

которую можно также записать с использованием компонет вектора

36 Глава 2. Теория напряжений

нормали на координатных площадках

µ(i

) = N

, µ(i

) = N

, µ(i

) = N

. (2.19)

При этом учтено, что µ(−i

) = −m

Применив к Π второй закон Эйлера, получим

ZZZ

(R − R

) × ρ

− f

+ j

dω

− ρm

dV = (2.20)

{(R − R

) × t + µ} dΣ.

Используя (2.13), (2.19), поверхностный интеграл в (2.20) можно

записать следующим образом

{(R − R

) × N

+ N

} dΣ.

Применение теоремы Гаусса-Остроградского позволяет преобра-

зовать интеграл по Σ

к интегралу по объему V

ZZZ

∂

∂X

{(R − R

) × t

+ m

} dV.

Таким образом, с учетом тождества ∂R/∂X

= i

, соотношение

(2.20) приводится к виду

ZZZ

(R − R

) ×

− f

−

∂t

∂X

dω

− ρm − t

× i

−

∂m

∂X

dV = 0.

Как уже было показано ранее с помощью первого динамического

закона, здесь выражение в квадратных скобках обращается в нуль.

Таким образом, окончательно имеем уравнение

2.3. Тензоры напряжений и моментных напряжений 37

ZZZ

dω

− ρm − t

× i

−

∂m

∂X

dV = 0,

откуда вытекает дифференциальное уравнение

dω

− ρm =

∂m

∂X

+ t

× i

. (2.21)

Последнее слагаемое в (2.21) представляет собой уже встречав-

шийся ранее векторный инвариант тензора второго ранга T: T

× i

Далее покажем, что представление (2.19) выполняется не толь-

ко для координатных площадок. Для этого применим второй закон

Эйлера к произвольному тетраэдру и получим

ZZZ

(R − R

) × ρ

− f

+ j

dω

− ρm

dV = (2.22)

{(R − R

) × t + N

} dΣ+

{(R − R

) × t + µ(N )} dΣ. (2.23)

Приведем (2.22) к уравнению, содержащему только поверхност-

ный интеграл по грани M

. Для этого в (2.22) преобразуем сла-

гаемые, содержащие множитель (R−R

). C учетом (2.18) и тождества

Div [(R − R

) × T] = (R − R

) × Div T + T

можно показать, что выполняется равенство

ZZZ

(R − R

) × ρ

− f

¶¾

dV −

∂V

{(R − R

) × t} dΣ =

ZZZ

dV,

38 Глава 2. Теория напряжений

где ∂V

= Σ

Таким образом, объемный интеграл в (2.22) принимает вид

ZZZ

dω

− ρm − T

dV,

и с помощью (2.21) уравнение (2.22) приводится к требуемому виду

{µ(N) − N

(N)} dΣ = 0.

В силу произвольности тетраэдра отсюда следует линейность функ-

ции µ(N ) для любого вектора N и, соответственно, представление

µ(N) = N · M. (2.24)

Формула (2.24) завершает доказательство теоремы Коши для сре-

ды Коссера.

Определение 2.3. Тензор T называется тензором напряжений Ко-

ши, а тензор M – тензором моментных напряжений Коши.

Таким образом, из доказательства теоремы видно, что матрицы

, m

представляют собой компоненты тензоров напряжений и мо-

ментных напряжений в декартовом базисе i

T = t

, M = m

Следует отметить такое важное свойство тензоров напряжений и

моментных напряжений как их несимметричность, в общем случае:

6= T, M

6= M.

Это свойство кардинально отличает полярные среды от простых

материалов, где тензор напряжений всегда симметричен.

Несимметричность матриц t

и m

заставляет более вниматель-

но следить за их индексами. Рассмотрим в теле произвольный куб,

ориентированный по осям декартовой системы координат. Действую-

щие на его поверхности касательные и нормальные напряжения по-

казаны на рис. 2.5. Первый индекс у t

указывает на площадку с

2.3. Тензоры напряжений и моментных напряжений 39

нормалью i

, а второй – на направление действия напряжения (сов-

падающего с направлением i

). Например, t

– это напряжение, дей-

ствующее на сечении тела, перепендикулярном оси X

, в направлении

оси X

Заметим, что это соглашение для индексов имеет место не только

для декартового базиса, но и для любого ортонормированного.

При рассмотрении сил, действующих на тело, и для постановки

статических краевых условий важное значение имеет следующее пра-

вило выбора знаков для компонент тензора напряжений.

Рис. 2.5. Положительные напряжения.

Правило знаков для напряжений. Нормальные напряжения

положительны, если они растягивающие, и отрицательны, если сжи-

мающие. Касательные напряжения положительны, если они дей-

ствуют на площадке, нормаль к которой совпадает с координат-

ным ортом, и направлены в ту же сторону, что и остальные ко-

ординатные орты. Если напряжение действует на площадке, нор-

маль к которой имеет противоположное орту направление, то оно

положительно, если оно направлено против другого координатного

орта.

Согласно этому правилу, изображенные на рис. 2.5 напряжения

положительны. Случай отрицательных напряжений, действующих на

видимые части кубика, приведен на рис. 2.6