Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Подождите немного. Документ загружается.

10.1.

Постановка

задачи

оптимальной стабилизации

301

ситуаций, в которых возможно получить оптимальное или сколь угод-

но близкое к оптимальному (субоптимгшьное) решение задачи ста-

билизации при значительной неопределенности в описании объекта

управления или внешних сил. Здесь и далее под значительной не-

определенностью понимается наличие информации лишь о мажоран-

тах функций, описывающих возмущения, и, быть может, о каналах их

воздействия на объект.

В этом разделе ограничимся рассмотрением задач оптимальной

стабилизации в следующей постановке: для конечномерного объекта

х = f{t,x,u,a), t>to,

содержащего компактную неопределенность

а£А,

требуется синтезировать реализуемую оптимальную обратную связь

по состоянию, переводящую объект из любого начального положения

хо в наперед заданное состояние хх к моменту времени ti > <о, удер-

живающую объект в положении xi при всех

> <i и минимизирующую

функционал

-J.

J{a)= I F{t,x,u,a)dt.

Здесь X G R" — фазовый вектор, u G R — управление. Функции /,

F таковы, что гарантируется существование оптимальной обратной

связи для каждого а Е А. Суть рассматриваемой проблемы заключа-

ется в том, что возмущение а точно не известно и не может быть иден-

тифицировано. Необходимо описать класс объектов и функционалов,

для которых сформулированная постановка задачи оптимальной ста-

билизации допускает физически осмысленное решение. Положитель-

ный ответ на этот круг вопросов и составляет главное содержание

раздела.

Кратко суть предлагаемого подхода можно пояснить следующим

образом. Пусть возмущение а известно. Тогда функция

Uopt(<, X, а) = argmin J(a)

определяет оптимальную обратную связь, и уравнение поля экстрема-

лей принимает вид

iopt = /opt(<,a;opt) = f{t, lopt, u{t,Xopt,a), a).

Первая очевидная возможность реализации оптимальной системы

имеет место тогда, когда Uopt не зависит от возмущения а. Вторая

возможность менее тривигшьна и возникает тогда, когда поле экс-

тремалей не зависит от возмущения а. В этом случае, конечно, Uopt

зависит от возмущения и не может быть реализовано точно. Исполь-

302

Глава

10.

Субоптимальная стябнлизация

зование новых типов обратной связи и методов теории бинарного

управления дает возможность сколь угодно точного приближения к

оптимальному закону управления. Общему рассмотрению проблемы

предпошлем иллюстративный пример, демонстрирующий особенности

развиваемого подхода.

10.2.

Пример задачи оптимальной стабилизации

при неопределенности

Рассмотрим для простоты скалярный объект

= ах + и, t >0,

с неизвестным параметром а, удовлетворяющим ограничению

где А — известная константа. Оптимальная обратная связь должна

переводить объект из произвольного состояния го G R- в нуль за

бесконечное время, доставляя минимум квадратичному функционалу

"полной энергии"

J{a)=l(^x'+^x'^dt.

Здесь 7 — известный положительный параметр. Следуя традиции,

при расчете «opt используем функцию Беллмана

оо

v{t) = f (х^ + \хЛ dr, t>0.

в соответствии с принципом оптимальности функция v(t) удовле-

творяет дифференциальному уравнению Беллмана

"1?Ч^''''"'^^'} =

°-

Полагая v = кх^/2, находим выражение для оптимального управления

в следующем виде:

«opt = —ах —X.

Подстановка последнего в уравнение Беллмана позволяет определить

параметр функции Беллмана

= 2/7,

и вместе с ним — окончательный вид оптимальной обратной связи

«opt = -(7 + а)а;.

10.3.

Оптимальная

стабилизация

"в среднем" 303

Поле экстремалей в этой задаче порождается дифференциальным

уравнением, не зависящим от параметра а:

iopt +

7^opt

= О,

а минимальное значение функционала J(a) также не зависит от а и

определяется равенством

1 - f°

"Opt —

Реализация найденной обратной связи, разумеется, невозможна,

поэтому следует изыскать способы ее приближенной реализации. Рги:-

смотрим те из них, которые основаны на устранении неопределен-

ности в рассматриваемой задаче еще на начальной стадии. Первая

возможность, которую мы рассмотрим, связана с идеей усреднения и

предполагает наличие информации о плотности распределения пара-

метра а.

10.3.

Оптимальная стабилизация "в среднем"

Пусть для определенности плотность распределения параметра а рав-

номерна на отрезке [—А, Л], т.е.

р(.) = 5^.

Тогда минимизации подлежит среднее значение функционала

J{A)= j p{a)J{a)da,

-А

и в соответствии с этим нужно рассматривать усредненную функцию

Беллмана

v= I v{t)p{a)i

}da,

-А

если, конечно, для синтеза обратной связи используется принцип опти-

мальности Беллмана. В таком случае уравнение оптимальности имеет

вид

{^-^-И-"-

Если положить V = кх'^/2 и провести усреднение, то уравнение опти-

мальности примет вид

^2^2 „2

304 Глава 10.

Субоптимальная

стабилизация

Все величины в предыдущем уравнении известны, т.е. ситуация

полностью определена, и, следовательно, его можно решить. Сначала

находим, что

•fk

Далее подставляем найденное выражение в уравнение оптимальности

и определяем параметр усредненной функции Беллмана

Тогда окончательный вид оптимальной обратной связи определяется

выражением

•X,

поле экстремгией подчинено дифференциальному уравнению

а минимальное значение усредненного функционала задается форму-

лой

7 - /iT^^o

Итак, в методе усреднения оптимальная обратная связь детерми-

нирована, поле экстремалей зависит от_неопределенного параметра,

а оптимальное значение функционала Jopt превосходит минимально

возможное значение Jopt, так как

—

Jopt

—

Jopt =

Это неравенство и определяет потери в оптимальности при стабили-

зации "в среднем".

10.4.

Минимаксная оптимальная стабилизация

Если информация о плотности распределения отсутствует, то сведе-

ние рассматриваемой задачи с неопределенностью к задаче без не-

определенности возможно с помощью идеи гарантированного резуль-

тата, когда минимизации подлежит "наихудшее" значение функцио-

нг1ла. Формально эта процедура сводится к известной проблеме ми-

нимакса и поиску седловой точки. Сохраним приверженность прин-

ципу оптимальности Беллмана и для определения функции Беллмана

10.4. Минимаксная оптимальная

стабилизация

305

V = кх^/2 воспользуемся уравнением дифференциального минимакса

min max

кх(ах + tx) Н—^(ах + и)^ + х^ > = 0.

Непосредственный анализ выражения в скобках позволяет устана-

вить,

что его максимум по а £ А достигается при

(?"'+"0-

а* = Asgn I —^х + их

Поэтому выбор оптимальной обратной связи надлежит проводить те-

перь на основе минимизации полностью определенной функции, т.е.

vin<ll + -jjx^+A кх^+ ^2- + — + кхи> = 0.

Отсюда находим оптимальную обратную связь в виде

где коэффициент функции Беллмана

«opt = ^Х,

, 2 /, А2

т.е.

оптимальная по принципу минимакса обратная связь линейна и

дается выражением

«opt = -Vl^ + А'^х.

Поле экстремалей описывается дифференциальным уравнением

iopt + {уу"^ + А^ - aj lopt = О,

а минимаксное значение функционала дается выражением

Абсолютные потери в оптимальности при таком подходе к синтезу

обратной связи определяются равенством

^J - Jopt - ^pt - W1 + ^ —.

306

Глава 10.

Субоптим&льиая стабилизация

10.5.

Стабилизация с использованием эталонной

модели и глубокой обратной связи по ошибке

Хорошо известно, что глубокая обратная связь является эффектив-

ным средством подавления возмущений. Прямое ее использование в

рассматриваемой задаче, однако, ничего не дает. Поэтому прежде

всего обратим внимание на то, что поле экстремалей не зависит от

фактора неопределенности и, следовательно, соответствующее диф-

ференциальное уравнение можно принять за уравнение эталонной мо-

дели. Тогда глубокая обратная связь может быть введена по сигналу

ошибки

е = X — Xopt

и использована для ее обнуления, в соответствии со схемой рис. 10.1.

Пусть, например, глубокая обратная связь линейна и реализуется уве-

Модель

Xopt

Глубокая

ОС

Рис. 10.1

личением коэффициента усиления к >

до бесконечности, т.е.

и = —ке,

Л —>

00 .

Тогда уравнение системы в отклонениях имеет вид

е =

-(7

*;)е

{а

+ 'у)х.

При Л -> 00 ошибка уменьшается до нуля и поведение замкнутой си-

стемы ничем не отличается от оптимального.

Формально найденное решение полностью исчерпывает рассматри-

ваемую проблему, так как потери в оптимальности равны нулю. Но

если интересоваться решением, имеющим прагматический смысл, то

приходится учитывать наличие физических ограничений и исследо-

вать грубость такой оптимальной системы по отношению к регуляр-

ным и сингулярным возмущениям.

Хорошо известно, что системы с большим коэффициентом усиле-

ния в обратной связи негрубы по отношению к сингулярным возму-

щениям, и потому запрещено использовать коэффициенты усиления,

превосходящие некоторое критическое значение ксг- Но если к < к^,

10.5.

Стабилизация

использованием

эталонной

модели

307

то ошибка

е ^

возникают потери

оптимальности,

для

оценки

которых запишем уравнение

отклонениях

—к^е

а.уХ,

где

Ц =

+ 7i а-у = о +

7- Поскольку

е(0) =

О,

то для

всех

t >

верна

оценка

|е|<^|а:|, Ау=А

+ г

Из этого соотношения

следующего очевидного неравенства

к1

kopt|

+ |e|

при достаточно большом значении

к (т.е. к > А)

следует необходимая

для дальнейшего оценка

к.

\x\<m\xopt\,

"^=•f:ГJ^•

Интегрант функционала задачи

оценивается неравенством

= x^+ •^{ах - ке)^

F<Mx\ М=1 + 1Гл+^)

Поскольку

на

экстремали интегрант определен равенством

то

при t >

имеет место неравенство

гг?М

—2—^орь

и потому абсолютные потери

оптимальности удовлетворяют нера-

венству

Разумеется,

эта

оценка завышена.

Для

получения более "деликат-

ного"

результата следует ввести

рассмотрение функцию

^{i) как

решение дифференциального уравнения

= -{k^-\-a)(, +

k(^-\-a^,

отвечающее тривиальному начальному условию

^(0) = 0.

308 Глава 10.

Субоптимальная стабилизация

Теперь ошибка

определяется равенством

е =

^ж,

интегрант

функционала удовлетворяет оценке

где

М(

max

—(а

Ц)^

Если

т? =

max[l/(l

—

^)^],

то

окончательная оценка абсолютных

потерь имеет установленный выше вид, но

более "точными" кон-

стантами:

''opt

•'opt

AJ^-^

J^J-J...<r^-l]<.

Эта оценка примечательна тем, что при

Аг —>

оо она убывает до нуля.

Заметим, что это свойство не выполнено для предыдущей оценки.

Таким образом, увеличение коэффициента усиления

обратной

связи повышает качество системы управления, но только до опреде-

ленного предела, зависящего от критического коэффициента усиления

кет-

При этом, конечно, по-прежнему актуален вопрос

существова-

нии иных методов, уменьшающих потери в оптимальности или устра-

няющих их вовсе. Если

а =

const,

то

некоторые надежды можно

связать

идеями идентификации

адаптации. Процесс идентифи-

кации параметра вызывг1ет потери

оптимальности, сопоставимые

с потерями предыдущих методов,

и,

следовательно, не приводит

качественно новому результату. Ограничивает возможности этого

подхода и тот факт, что параметр

должен быть фиксирован.

10.6.

Стабилизация методами

теории бинарного управления

Для методов теории бинарного управления характерно принципиаль-

но отличное, например, от метода большого коэффициента усиления

использование независимости поля экстремалей задачи от фактора не-

определенности.

Если при стандартной обратной связи сначала определяется за-

кон управления и затем выясняется влияние его параметров на каче-

ство решения задачи, то при бинарном управлении форма обратной

связи не фиксируется,

определяется автоматически

помощью но-

вого типа обратной связи по ошибке.

Задачей нового контура обратной связи является обеспечение сов-

падения качественного поведения объекта управления

некоторого

динамического звена (задатчика динамических свойств), определяю-

щего такое поведение. Обратная связь при этом, конечно, нелинейна.

JO.б.

Методы теории

бинарного управления

309

Схема системы управления, в которой реализуется эта идея, по-

казана в обобщенном виде на рис. 10.2, на котором Р — объект,

Sy и Sx — основной и вспомогательный задатчики с выходными зада-

Ох

<т

/•

Сд

^\(t

'V ir'

Рис. 10.2

1 1

Сц

и 1

•^

ющими воздействиями у^ и х'^ соответственно, Си и С,^ — операторы

основной и бинарной обратной связи, х и а — ошибки регулирова-

ния основного и координатно-операторного контура обратной связи,

fj, — координатный и операторный сигналы управления. В этой

структуре выбору подлежат оператор С ft и бинарная операция в Си,

при которых обнуляется ошибка координатно-операторного контура

обратной связи и.

Конкретно для рассматриваемой задачи эта схема принимает вид,

представленный на рис. 10.3. Структура системы управления на этом

рисунке для удобства и простоты отражает тот выбор оператора Сц

Xopt

-Y

)-^

Сд 1

- J -^

1—.

g 1

>—

Рис. 10.3

310 Глава 10.

Субоптимальная стабилизация

и бинарной операции, при котором

и =

цх.

В такой бинарной системе управления выбору подлежит только

оператор С^ из условий оптимальности всей системы, что имело бы

место тогда, когда ошибка о-

0. Уравнение движения относительно

этой ошибки имеет вид

= —уа

—

а-уХ

—

fix, (т(0)

О,

и проблема состоит

"правильном" задании алгоритма изменения

операторной переменной /i. Рассмотрим имеющиеся для этого воз-

можности.

10.6.1.

Система переменной структуры

В классической теории систем переменной структуры используется

разрывная обратная связь, обеспечивающая скользящий режим на по-

верхности разрыва. В нашем случае эта идея приводит

использова-

нию релейной координатно-операторной обратной связи

fi = ksgn

{(тх),

const

В результате при выполнении неравенства

к>

А^

в замкнутой системе управления, описываемой уравнением

—JO-

—

а.уХ

—

к\х\ sgn <т,

на "поверхности" разрыва <г

О возникает скользящий режим,

и с

начального момента (так как <г(0)

0) уравнения движения системы

управления неотличимы от уравнения движения оптимальной системы

при любом

а.

Но следует ли отсюда, что свойства такой системы

управления инвариантны и по отношению

параметру а?

Для измерения качества системы управления естественно исполь-

зовать функционгш задачи

/(,4ii>).,.

Если действовать формально и не обращать внимания на разрывность

X, то для подсчета функционала

в интегрант вместо

X = ах + k\x\sgn

сг

следует подставить

= ах+

k\x\sgn (Teq.