Элтон Р. Рентгеновские лазеры
Подождите немного. Документ загружается.
Принципы
коротковолновых лазеров
71
Таблица
4.
Необходимая мощность накачки
на
единицу попереч-
ного сечения активной среды (Вт/см
2
)
в
зависимости
от
длины вол-
ны рентгеновского лазера
λ
Μί
[Α]
1 10
100
1000
3000
Минимальная
Ю
19
10" 10"
10*
Полная
1
ю
21
ю
17
10"
10
е
ю
7
* Предполагается,
что на
поддержание инверсии тра-
тится 1% вложенной мощности.
верхнего лазерного уровня,
« 10
МВт.
Так как
мощность пропор-
циональна четвертой степени длины волны,
при
длине волны
10А
и
при тех же
размерах среды требуемая мощность возросла
бы до
100 ГВт. (Резкий рост плотности мощности
с
длиной волны также
относится
к
тепловой энергии плазмы
NkT.)
2.5.2. Зависимость мощности
от
длины волны
Значения мощности, рассчитанные
по
формуле
(40),
приводятся
в табл.
4 для
различных длин волн
[13]
наряду
с
оценками
ми-
нимально необходимой мощности.
Эта
последняя оценка предпо-
лагает,
что на
поддержание инверсии тратится лишь
1%
вложен-
ной мощности. Остальная энергия идет
на
разогрев
и
ионизацию.
Этого более
чем
достаточно
для
того, чтобы перевести вещество
в
плазменное состояние. Поэтому справедливо предположение, про-
ходящее через всю книгу,
о
том,
что
рабочей средой рентгеновских
лазеров является плазма.
Для нахождения величины требуемой мощности накачки
и для
определения желаемого усиления
в
целом
{GL)
необходимо оце-
нить площадь поперечного сечения
«а».
Имеется также возмож-
ность варьировать длину
L и
коэффициент усиления
G,
сохраняя
постоянным
их
произведение.
Это
может позволить работать
при
более низких плотностях
и
больших длинах
при
условии,
что им-
пульс накачки имеет достаточную длительность (см. предыдущий
раздел).
2.5.3.
Эффективность накачки
Мощность накачки
Р,
которая требуется для достижения выбран-
ного усиления GL, зависит
от
эффективности механизма накачки.
На рис.
1 в
гл.
7
показана зависимость отношения
GL/P от
длины
волны
для
различных экспериментов. Отчетливо выделяется один
72
Глава 2
эксперимент [62], который требует более чем в 100 раз меньшую
мощность по сравнению с другими схемами. Это эксперимент на
рекомбинационной схеме с использованием для создания плазмы
длинноволнового лазера с большой длительностью импульса, кото-
рый фокусируется на мишень, помещенную в соленоид. Он будет
рассмотрен подробно в разд. 2.3. гл. 4. К сожалению, механизм
рентгеновского лазера такого типа недостаточно хорошо изучен,
чтобы применить его к другим схемам [63].
3.
Методы расчета коэффициента усиления в
плазме
Для экспериментальных исследований по рентгеновским лазерам
необходимо создавать мощные установки для накачки плазмы,
что требует больших затрат времени и средств. Поэтому, прежде
чем приступать к экспериментальной проверке тех или иных кон-
цепций, необходимо проанализировать каждую конкретную схему
как можно более детально. В настоящее время имеются програм-
мы,
которые позволяют провести численное моделирование с уче-
том многих факторов.
Однако разрабатывать программу для каждого отдельного ио-
на представляется не очень эффективным. Поэтому важно иметь
довольно общие аналитические методы, пригодные для предвари-
тельных оценок. Они используются при описании разнообразных
схем рентгеновских лазеров в гл. 3-5. Мы начнем с анализа ква-
зистатической модели. Затем кратко рассмотрим более формаль-
ные методы, которые лежат в основе разработанных программ для
расчетов гидродинамики и атомной кинетики в плазме. Более по-
дробное описание этих программ можно найти в специальной ли-
тературе.
3.1.
Квазистатическая модель
В первом приближении в квазистатической модели учитываются
лишь основные процессы накачки и распадов для верхнего и ниж-
него лазерных уровней. В следующих разделах это иллюстрирует-
ся на конкретных примерах, в частности при обсуждении туше-
ния инверсии на 3-2-переходе в ионе С
5+
при пленении излучения.
В этом простом анализе [64] учитываются основные уровни энер-
гий, показанные на рис. 2.
Принципы
коротковолновых лазеров
73
3.1.1.
Уравнение баланса скоростей
Главной целью анализа схемы рентгеновского лазера является
определение
(и
достижение максимума) абсолютной величины
плотности заселенности верхнего лазерного состояния
N
u
наряду
с определением
ее
относительной величины
по
отношению
к
плот-
ности заселенности нижнего состояния
N
e
. Она
линейно входит
в формулу
для
коэффициента усиления [например, соотношение
(8)
в п.
2.2.2]. Обычно имеют дело
с
отношением
N
u
к
плотно-
сти основного состояния
N
0
(или
Nf),
например путем замены
N
u
на N
0
(N
U
/N
0
),
так как из
измерений
или
расчетов чаще бывает
известно абсолютное значение
N
0
(см.
далее).
В
простейшем слу-
чае
N
u
/N
0
=
Pou/Aui, когда верхнее состояние распадается ради-
ационно
на
нижний лазерный уровень
[см.
формулу
(19)].
Такое
приближение
с
учетом скорости столкновительных переходов
С
и
\
используется
в гл. 3-5 для
оценок
N
u
.
Кроме -того, заселенность верхнего состояния входит
в
выраже-
ние
для
коэффициента усиления
в
виде отношения N
u
/Ni через
коэффициент инверсии
F =
[1
—
g
u
Ni/giN
u
].
На
отношение этих
населенностей часто влияет скорость столкновительного переме-
шивания заселенностей, которая стремится привести
их к
термо-
динамическому равновесию
(см. п.
2.4.2а). Такое перемешивание
может привести
к
тому,
что F
станет меньше нуля
и
инверсия
заселенностей
и
усиление исчезнут. Обычно бывает достаточно
определить относительное значение
N
u
. Это
станет ясно
из
следу-
ющего простого примера
с
трехуровневой системой [64].
В стационарном случае скорость населения каждого уровня
равна скорости ухода электронов
с
него. Обращаясь вновь
к
рис.
2
и игнорируя другие уровни,
мы
можем записать
это в
виде урав-
нения
для
населенности нижнего лазерного уровня:
^
=
NulNeC^
+ Avt +
eNeCftl-NtlNedu+GifiTjAjf]
= 0, (41)
at
где
ε ss
N//N
u
.
Вероятности спонтанного излучения обозначе-
ны через
Aui и Ац.
Множитель G//(r
c
) представляет собой «фак-
тор утечки»
для
центра линии
(см. п.
2.4.3), который является
функцией оптической толщины
1
— /-перехода
и
учитывает
эф-
фект пленения излучения
на
этом переходе. Параметры
С// и
С/
и
представляют скорости электронно-столкновительного возбу-
ждения (Cj/,
C
u
i —
скорости девозбуждения),
они
имеют размер-
ность см
3
/с.
Эти
скорости выражаются через сечения неупругого
рассеяния свободных электронов
а
ее
по
формуле
С =
(σ<.
β
ι;
β
),
где
усреднение обычно производится
по
максвелловскому распределе-
нию скоростей электронов
v
e
в
плазме
с
электронной температу-
74
Глава 2
рой Т
е
. Произведение N
e
C представляет собой вероятность возбу-
ждения. Уравнение (40) приводит к следующему выражению для
фактора инверсии F:
N
u
9i
91
G(r
c
A,/) '
1 ]
3.1.2. Анализ схемы на водородоподобных ионах
Полезно сделать следующий шаг и проанализировать выполнение
условия F > 0 для лазеров на водородоподобных ионах с зарядом
ядра Ζ при различных электронных температурах Т
е
и плотностях
N
e
в плазме. Так же как и в гл. 3-5, мы примем приближение
Бетте — Борна с эффективным фактором Гаунта для скоростей
столкновительного возбуждения [формулы (2) и (3) в гл. 3]. Введем
приведенные переменные N'
e
= N
e
/Z
7
и kT'
t
=
kT
e
/Z
2
.
Так как
вероятность радиационных переходов пропорциональна Z
4
, то в
этих переменных зависимость от Ζ в формуле (42) исчезает.
3.1.2а. Случай оптически тонкого перехода, опустошающего
нижний уровень. На рис. 17 показаны зависимости приведенной
электронной плотности от температуры, полученные из условия
F = 0 в уравнении (42). Для простоты мы предполагаем, что
G//(r
c
) ss 1. Это соответствует случаю, когда переход, опусто-
шающий нижний лазерный уровень, является оптически тонким.
Представленные на рис. 17 кривые разделяют области наличия и
отсутствия инверсной заселенности для двух возможных лазерных
переходов, а именно переходов п = 3
—
2ип = 4-
3.
Величина мак-
симальной электронной плотности « 3
10
14
Z
7
см
-3
используется
в дальнейшем (см. гл. 3-5).
Постепенное увеличение электронной плотности с ростом тем-
пературы, которое видно на рис. 17, связано с зависимостью скоро-
сти столкновительного возбуждения от температуры Г"
1
/
2
. Пунк-
тирные продолжения гладких участков кривых соответствуют ус-
ловию ε = 0, т. е. когда заселенность Nj является незначительной.
Если ε увеличивается до типичных значений вблизи равновесия,
кривые резко обрываются при кТ
1
= 0,1. Это обусловлено зна-
чительным возбуждением нижнего лазерного уровня из основного
состояния за счет электронных столкновений.
Сравнение с результатами численных расчетов [65] показывает
(см.
также рис. 17), что такая модель является довольно точной.
Ю"
3
Ю'
2
10~
1
ΊΟ
0
kT/Z
2
Ry
Рис. 17. Зависимость предельной приведенной электронной плот-
ности от температуры без учета пленения излучения. Результаты
численных расчетов из работы [65] обозначены кружками и звез-
дочками [64].
(Единица энергии Ry равна 13,6 эВ.) Кроме того, она была про-
верена в экспериментах с лазерной плазмой [66, 67].
3.1.26.
Случай оптически толстого перехода, опустошающего
нижний уровень, и эффект пленения излучения. Проблема пле-
нения излучения, которая рассматривалась в п. 2.4.3 данной гла-
вы,
можно проиллюстрировать в рамках этой простой аналити-
ческой модели, полагая коэффициент утечки меньше единицы
при увеличении оптической толщины в центре линии г
с
, кото-
Рая определяется формулами (30) и (31). Для водородоподоб-
ных ионов, учитывая зависимость А
с
= Z~
2
и полагая μ « 2Ζ и
= N
e
(Ni/N
e
), можно ввести приведенную оптическую толщи-
ну Δ = dZ
4
>
5
(Ni/N
e
), где d — толщина плазмы (диаметр) и индекс
1 соответствует основному состоянию. Обычно [64] N\/N
e
= 1/Z,
и
тогда d = A/Z
3,b
. Следовательно, после введения вместо d вели-
чины Δ оптическая толщина г
с
[и G//(r
c
)] перестает зависеть от
Ζ.
76
Глава
10
—I I
15
10
-
14
10
,ι
^
ReP
cU
-'''\
3*2 γ№ -
*
ю
Ί
υ
г» "
ΙΜ
"s.
α>
Ζ
0
ю
Ί
υ
г» "
ΙΜ
"s.
α>
Ζ
13
10
ο,ι"'
0,3'''[,.""''
0,5"''
12
10
0
-10
30
4-*3
It
. _J_ 1
kT/Z
2
Ry
Рис. 18. Зависимость предельной приведенной электронной плот-
кости от температуры при коэффициенте инверсии F = 0,3 с уче-
том пленения излучения для приведенной толщины Δ = dZ
3
'
5
[64]. I
На рис. 18 показаны кривые, полученные для коэффициента
инверсии F = 0,3 с учетом оптической толщины. По мере того,
как параметр Δ возрастает, плотности, при которых достигается?;
инверсия, уменьшаются. Это подразумевает необходимость увели-!
чения длины для достижения значительного усиления. Из рисун^
ка видно, что существенное уменьшение инверсии происходит прйЯ
Δ = 1 и Δ = 100 для переходов η
—
3
— 2
и η = 4
—
3 соответственноЯ
Переходя обратно к толщине или диаметру плазмы рентгеновского!
лазера, получим размеры 20 мкм и 2 мм соответственно для иона*
С
5+
. (Первая из этих величин была получена ранее в п. 2.4.3а.) 1
3.2. Численные методы расчетов
Результаты, которые были получены выше и будут использоватьсД|
в последующих главах, являются, очевидно, лишь первым и, каК|
Принципы
коротковолновых лазеров
77
правило, слишком оптимистичным приближением. Однако позво-
ляют почувствовать возможность осуществления этой схемы.
Для дальнейшего продвижения требуется полный анализ ско-
ростных уравнений.
Это
относится
как к
уравнениям ионизаци-
онного баланса
для
определения концентраций ионов различных
кратностей,
так
и к
уравнениям баланса населенностей возбужден-
ных уровней
для
определения величины инверсной заселенности
и
усиления.
В
таких расчетах можно также учесть временную зави-
симость
при
нестационарных условиях. Поскольку используемые
в расчетах вероятности возбуждений зависят
от
энергии частиц,
которая определяется тепловой температурой плазмы,
и от
плот-
ности, необходимо сначала рассчитать
эти и
другие параметры
плазмы.
3.2.1.
Моделирование гидродинамики
Моделирование гидродинамических параметров плазмы дает вре-
менную эволюцию таких важных характеристик,
как
электронная
и ионная температура
и
плотности. Наиболее известные
и
широко
используемые программы
для
таких расчетов разработаны
в Ли-
верморской лаборатории им. Лоренса
и
Научно-исследовательской
лаборатории
ВМС
и
называются ЛАСНЕКС. Описание этих про-
грамм выходит
за
рамки настоящей книги. Интересующийся
чи-
татель может обратиться
к
многочисленной литературе, которая
приводится
в
работе [68].
3.2.2. Программы
для
расчета атомных характеристик
и
кинетики элементарных процессов
На следующем этапе рассчитываются константы атомных процес-
сов
и
кинетика. Обычно
это
делается после гидродинамических
расчетов [68], которые дают основные параметры плазмы.
3.2.2а. Ионизационный балланс.
Из
скоростных уравнений
для
процессов ионизации
и
рекомбинации вначале определяются плот-
ности атомов
в
каждом ионизационном состоянии, другими слова-
ми,
плотности населенностей основных состояний
N* для
каждой
кратности ионизации
г + (г =
1,2,3,...,
Ζ
—
1,
Ζ).
Таким образом,
кратности ионизации
Ζ+
соответствуют голые атомные ядра.
78
Глава 2
Уравнения ионизационного баланса имеют вид
dN*
dt
i-lji-l
+N*+*
[**•» + N.I&
1
+ J#» + (^-J Kf
Л'
г
+ Д'
г
+
^
е
+(^-)д'
4
]},
(43)
где величины I и R являются скоростями ионизации и рекомбина-
ции, индексы гг, cr, de и ci соответствуют радиационной, столкно-
вительной и диэлектронной рекомбинации и перезарядке на ней-
тральных атомах соответственно. В гл. 4 и 5 эти величины R за-
меняются на скорость накачки Р. Член, описывающий процесс
столкновительной рекомбинации, отмечен штрихом. Этим подра-
зумевается, что истинным скоростным коэффициентом является
величина R
cr
=
N
e
R'
cr
.
Такая запись подчеркивает дополнитель-
ную зависимость от электронной плотности трехчастичного про-
цесса. Величины N
e
и ΝΑ представляют собой плотности электро-
нов и нейтральных атомов соответственно. В стационарном случае
левая часть выражения (43) может быть приравнена к нулю. То-
гда можно определить относительные концентрации ионов каждо-
го типа. Основным преимуществом численных расчетов является
получение временной зависимости для нестационарных условий в
плазме.
Решение уравнений типа (43) дает относительные плотности
ионов разных кратностей ионизации в нагревающейся и затем
остывающей плазме. Временные зависимости могут быть получе-
ны,
если известна временная эволюция параметров плазмы. Для
примера на рис. 19 показаны различные стадии разогрева опти-
чески тонкой плазмы аргона [70]. Этот пример показывает, что
ионы с заполненными оболочками — неоноподобные, гелнеподоб-
ные (так же, как и водородоподобные), — существуют в широких
температурных интервалах. Это имеет существенное значение для
рентгеновских лазеров (см. разд. 1 и 2 гл. 3).
3.2.26.
Баланс заселенностей. Следующей задачей является рас-
чет населенностей определенных уровней в конкретном ионе. Раз-
делить уравнения ионизационного баланса и баланса заселенно-
стей можно благодаря тому, что баланс населенностей устанавли-
вается значительно быстрее, чем ионизационный. Общая форма
скоростного уравнения для одного из возбужденных уровней «п»
Принципы
коротковолновых лазеров
79
Т
е
,
эВ
Рис.
19.
Относительные концентрации ионов различных кратно-
стей ионизации
для
оптически тонкой аргоновой плазмы
в
зависи-
мости
от
электронной температуры [70].
имеет
вид
^
= Ε №
Κ*·
+ + л
Ып
) -
-N
n
[(N
e
+
N
p
)C
nk
]}
+
+N
e
{N
i
-
1
I
i
0
;
1
N
i
P
n
+
f N*+
l
^Rrr
+
N
e
R'
cr
+ R
de
+ Ret] }, (44)
где
(N
e
H-
N
p
)Ckn
и Ak
n
—
вероятности электронного (-{-протонно-
го) столкновительного девозбуждения
и
спонтанных радиацион-
ных переходов
с
произвольного уровня
к на
уровень
π
(или наобо-
рот).
Столкновения
с
протонами становятся важными
для
близ-
ко расположенных уровней, если
их
плотность сравнима
с
элек-
тронной. Ионы
с
большим зарядом играют меньшую роль из-за
большего кулоновского отталкивания
(см.
разд.
2 гл. 3).
Первая строчка
в
выражении
(44)
включает процессы внутри
ионов данной кратности ионизации. Вторая строчка учитывает
влияние
на
связанное состояние
«п»
соседних кратностей иониза-
ции,
а
также столкновительную ионизацию
с
уровня
«п».
Веро-
ятности радиационных переходов
в
уравнении
(44)
должны быть
80
Глава. 2
модифицированы для оптически толстых линий путем умноже-
ния на коэффициент утечки или с помощью более сложной модели
переноса излучения. Первая возможность обсуждалась в п. 2.4.3
этой главы и использовалась выше. Для простоты факторы утеч-
ки в уравнении (44) опущены наряду с процессами вынужденно-
го излучения. Процессы, затрагивающие внутренние оболочки и
связанные с ними переходы Оже и автоионизационные распады,
могут также быть включены в уравнение (44), если они являются
важными.
В современных расчетах учитываются одновременно сот-
ни уровней, особенно для таких сложных ионов, как неоно- и
никелеподобные (см. разд. 2 гл. 3). Имеются различные вари-
анты программ, использующие различные приближения для ско-
ростных коэффициентов. Полный обзор этих программ был бы
%слишком большим и, по-видимому, в настоящее время отсутству-
ет. Более подробную информацию читатель может найти в соот-
ветствующих статьях [68-71].
3.2.3. Условие нейтральности плазмы
Для численного решения рассмотренных выше уравнений необ-
ходимо также использовать условие нейтральности плазмы. Для
плазмы, образованной ионами одного элемента, оно имеет вид
А = 1
где N
t+
— концентрации ионов соответствующей кратности иони-
зации.
4.
Источники и способы накачки рентгеновских
лазеров
По причинам, указанным выше в разд. 2.5, для получения зна-
чительных коэффициентов усиления рентгеновского излучения
требуется концентрировать большие мощности в плазме линейной
формы с очень малым диаметром. На сегодняшний день наиболее
успешно это достигается с помощью электромагнитного излуче-
ния в качестве средства передачи энергии от источника к плаз-
ме малых размеров. Это обусловлено главным образом простотой
фокусировки светового излучения по сравнению с фокусировкой
заряженных частиц, кулоновское отталкивание которых ограни-
чивает плотность энергии, которую можно достигнуть. Пучки
(45)