Элтон Р. Рентгеновские лазеры

Подождите немного. Документ загружается.

Принципы

коротковолновых лазеров

Генерация

Рис.

Режим усиленного спонтанного излучения (УСИ-лазер)

[3].

нем жизни верхнего лазерного уровня. Если инверсная заселен-

ность создана

за

более короткое время,

чем

время жизни верхнего

лазерного уровня,

то

можно наблюдать подлинное сверхизлучение

Дике

[4].

Действительно,

примере, приведенном

разд.

2 гл. 3,

предполагалось, что одна

из

лазерных линий, наблюдаемых

селе-

новой плазме, может быть особенно узкой

излучаться

режиме

сверхфлуоресценции, тогда

как

другие линии того

же

иона излу-

чаются

режиме УСИ. Аллен

Петере

серии классических

ра-

бот [1,4-6] анализировали пороговые условия, выходную интенсив-

ность, эффект насыщения, расходимость луча, пространственную

когерентность

спектральное распределение излучения

режиме

УСИ. Многие

из их

результатов были проверены*

в тех же

работах

с помощью линии 3,39

мкм

He-Ne-лазера.

В режиме

УСИ

зависимость интенсивности

от

числа атомов

не

соблюдается. Выходящий пучок излучения формируется

из обоих концов лазерной среды.

Он

может быть очень ярким,

иметь умеренную расходимость (согласно аспектному отношению

a/L)

среднюю степень пространственной когерентности. Следо-

вательно,

для

среды

виде узкого канала

числом Френеля

Τ ~ 1

излучение будет возникать

одной поперечной моде. Однако

для

большого диаметра

а и Τ > 1 в

результате будет получаться слу-

чайная суперпозиция

~ ж?

поперечных

мод. Эта

ситуация

не

отличается

от

лазера

резонатором

низкой селекцией

мод. На

выходе будет

основном усиленный гауссов

шум без

какой-либо

значительной степени временной когерентности. Следовательно,

среда работает

целом

как

беззеркальный лазер

характеристи-

ками, промежуточными между когерентным генератором

неко-

герентным тепловым источником.

Глава

Коэффициент усиления

2.1. Модель лазерной среды

2.1.1.

Само ограниченный и квазистационарный режимы

Существуют главным образом два способа накачки рентгеновско-

го лазера. В первом способе (а) накачка осуществляется за время,

меньшее, чем время заполнения нижнего лазерного уровня. Оно

может происходить в результате спонтанного радиационного рас-

пада на лазерном переходе или путем столкновительных и ради-

ационных переходов из соседних состояний. Лазеры такого типа

называются лазерами на «самоограниченном» переходе. Такие пе-

реходы между внутренними оболочками атомов или ионов могут

преобразовывать в энергию лазерного фотона значительную долю

кванта накачки. Однако времена спонтанного распада в рентге-

новской области лежат в диапазоне 10~

-10~

с, что ограничи-

вает длину усиления за счет конечности скорости света до 0,3-

300 мкм соответственно, если не создается бегущая вместе с волной

усиления волна накачки. Такая накачка описана и проиллюстри-

рована (см. рис. 22) в разд. 4.2 этой главы.

Таким образом, из практических соображений обычно отдает-

ся предпочтение другому способу (б) — квазистационарной на-

качке. В этом случае инверсная заселенность существует в тече-

ние всей длительности импульса накачки. Такой режим работы

возможен тогда, когда заселенность нижнего уровня истощается

быстрее, чем заселенность верхнего уровня.

Обычно считается, что способ накачки (а) имеет в целом более

высокую эффективность, чем (б), поскольку в последнем случае

обычно генерация имеет место на переходе между высоковозбу-

жденными состояниями с значительно меньшей долей преобразо-

вания энергии кванта накачки в энергию лазерного фотона. Раз-

личные возможные и характерные для плазмы методы накачки

будут рассмотрены в гл. 3-5.

2.1.2. Основные уровни энергии и их обозначения

В дальнейшем мы будем часто обращаться к простейшей схеме

лазерных уровней, изображенной на рис. 2. Плотности населенно-

стей верхнего и нижнего лазерных уровней обозначены через N«

и Νι соответственно. Населенность конечного состояния обозна-

чена через Nf. Длина волны лазера будет тогда A

/. Населенность

состояния, из которого происходит накачка, мы обозначим через

где состояние «о» является промежуточным состоянием в про-

Принципы

коротковолновых лазеров

Тенерация

Рис.

Основные уровни лазер-

ной системы

и их

обозначения.

цессе

целом. Предшествующее состояние «источник» обозначено

индексом

«5».

2.2.

Системы

УСИ

В этом разделе преследуются

две

главные цели. Первая заключа-

ется

том, чтобы соотнести увеличение интенсивности излучения

от плазмы вытянутой формы, обусловленное усилением спонтан-

ного излучения вдоль оси,

коэффициентом усиления

Устано-

вив такую связь, можно будет использовать измеренное увеличение

интенсивности

для

определения коэффициента усиления. Поль-

зуясь

им,

можно оценить выходную мощность

масштабировать

параметры последующих экспериментов.

Вторая цель

—

получить выражение

для

связи коэффициен-

та усиления

атомными характеристиками. Такое соотношение

может быть использовано

как для

объяснения наблюдаемых

эф-

фектов,

так и для

поиска новых перспективных лазерных систем.

2.2.1.

Усиление слабого сигнала

2.2.1а. Усиление внешнего сигнала. Коэффициент усиления

слу-

чае,

когда световой

луч

делает один проход через идеально одно-

родную среду продолговатой формы длиной

L (см. рис. 1),

имею-

щей инверсную заселенность, находится

из

уравнения:

(1)

Глава,

Отношение интенсивности / на выходе из среды к падающей ин-

тенсивности / получается интегрированием вдоль длины ζ от 0 до

Здесь величина G является пиковым коэффициентом усиления,

т. е. соответствует центру спектральной линии. G также соот-

ветствует обратной величине длины свободного пробега фотонов

в среде. Именно эта величина используется для характеристики

достигнутого усиления интенсивности. Она имеет размерность

обратной длины (например, см"

). Иногда отношение

Ijl

вы-

ражают в децибелах (dB = 101og

///

) на единицу длины, т. е.

dB/см или dB/м.

Для нулевого усиления уравнение (2) упрощается до / = 1

Уравнение (2) напоминает уравнение поглощения в среде с коэф-

фициентом к

: Ι/Ιο Щ exp(—k

L). Поэтому величину G иногда

называют коэффициентом «отрицательного поглощения». Вели-

чина G = 1 часто считается пороговым значением для УСИ. Од-

нако обычно при демонстрации УСИ в рентгеновском диапазоне

ставят цель достичь однопроходного усиления в е

= 150 раз, т. е.

GL = b.

2.2.16. УСИ β максимуме интенсивности спектральной линии. В

однородной усиливающей среде в отсутствие внешней интенсивно-

сти 1

усиливается спонтанное излучение 1

, распределенное вдоль

всей длины области усиления. Обозначая плотность спонтанного

излучения на единицу длины через J

, из уравнения (2) находим

усиленное излучение элемента dz на выходе из среды (см. рис. 1)

в виде: J

dzexp(Gz). Тогда для полной интенсивности имеем

7=£(е"-1). (3)

(Это соотношение будет включено в итоговую табл. 1.) При фик-

сированных J

и G выходная интенсивность зависит от длины

как (e

— 1). Полученная формула может в принципе исполь-

зоваться для определения пикового коэффициента усиления G из

измерения зависимости пиковой интенсивности / от длины L (см.

разд. 5). Для малых усилений, когда e

« 1+GL, имеем: I, = J

Если полное спонтанное излучение в среде со всей длины наблю-

дается (например, из внеосевых измерений) наряду с усиленным

Принципы

коротковолновых лазеров

излучением (вдоль оси), удобно использовать соотношение

J~J,e

*dz

_ e

- 1

(4)

J»dz

Снова

для

малых усилений имеем

—•

+ GL и I

—•

2.2.1

β.

УСИ для

интегральной интенсивности линии. Выше

был

найден коэффициент усиления

для

центра спектральной линии.

Чаще, однако, рентгеновские линии бывают слишком узки

для

того,

чтобы

их

профиль разрешался инструментально.

этом

случае становится необходимым учесть зависимость

от

частоты,

обусловленную формой линии.

Это

может быть сделано, если

ко-

эффициент усиления представить

виде произведения G5(i/),

где

S{u)

—

частотная зависимость формы спектральной линии, нор-

мированная так,

что

S(v)dv

= 1.

Интенсивность

на

выходе тогда

определяется

из

выражения

'=Г

О^" -

- § Г

WfW

-"·

(5)

Этот интеграл может быть найден численно.

Он

также может

быть аппроксимирован аналитически либо методом перевала, либо

путем разложения экспоненты

в ряд

Тейлора

[7]. В

результате

аналитическое выражение,справедливое

для

любой линии

узким

профилем, включая доплеровский, имеет

вид [8]

(е**

G (GLe

)

Это выражение также включено

табл.

Именно

эта

формула

является наиболее подходящей

для

получения пикового коэффи-

циента

УСИ G из

измеренной зависимости интегральной интен-

сивности линии

от

длины

(см.,

например, разд.

5 гл. 2 и

разд.

гл.

3).

Для

полноты следует упомянуть более простое выражение,

ко-

торое используется, когда

GL > 2. Его

можно получить теми

же

математическими методами, пренебрегая членом —1

уравнении

(5):

11— (7)

G(GL)W

{)

Результат численного (точного) интегрирования

формуле

(5)

наряду

приближенными выражениями

(3), (6) и (7)

показан

для сравнения

на рис. 3. По оси

ординат отложена величина

I/(J

/G)

IG/J

логарифмическом масштабе. Наиболее под-

ходящим

для

большинства применений является уравнение

(6).

Глава 2

Произведение GL

Рис. 3. Фактор, определяющий усиление спонтанного излучения,

рассчитанный согласно (5), а также с использованием различных

приближений GL [формулы (3), (6) и (7)] [7].

Помимо частотной зависимости, при разработке моделей и ана-

лизе данных следует иметь в виду, что наблюдаемая картина явля-

ется усредненной по времени, пространству и угловому распреде-

лению. Эффекты насыщения, имеющие место при высоком усиле-

нии, мы пока не учитывали. Они обсуждаются в п.

2.2.3.

2.2.2. Формулы для коэффициентов усиления

Для существования положительного усиления необходимо и доста-

точно, чтобы пиковый коэффициент усиления G превышал соб-

ственное поглощение линии в лазерной среде. Этот коэффициент

связан с сечениями вынужденного излучения а,и

т}

резонансного

поглощения а

и плотностями населенности N

Νι верхнего и

нижнего лазерных уровней соответственно:

G = N

8tim

- Nta

b, to N

8iim

(8)

где

^P^

_N^A (

)

eiim

(gi)

Принципы

коротковолновых лазеров

является,

как

известно, коэффициентом инверсии.

уравнении

(9) используется то,

что

сечения связаны

соответствующими ста-

тистическими весами

Коэффициент инверсии

становит-

ся положительным

при

эффективной

преимущественной накач-

ке верхнего уровня. Если накачка верхнего уровня

не

является

преимущественной

плотность населенности нижнего уровня

Νι

становится заметной (либо

за

счет накачки, либо

за

счет переходов

с верхнего уровня), параметр

уменьшается.

термодинамиче-

ском равновесии

он

становится отрицательным.

Это

приводит

не

к усилению,

а к

поглощению излучения.

Плотность населенности верхнего уровня

может быть свя-

зана

плотностью населенности начального состояния

для

кон-

кретных способов накачки. Начальное состояние является обыч-

но основным,

и его

населенность оценивается легче,

чем

верхнего

уровня.

Эта

связь описана

в п.

2.2.2г после обсуждения выраже-

ний

для

сечения а

2.2.2а. Сечения вынужденного излучения. Сначала

мы

выведем

общее выражение

для

сечения через вероятность спонтанного рас-

пада

[4].

Начнем

геометрии, показанной

на рис. 1,

считая,

что

фотонов проходит

единицу времени через трубку сечени-

ем

πα

каждой точке.

При

плотности инверсной населенности

среде (предполагая

для

простоты,

что F = 1)

результирую-

щая скорость вынужденных переходов

на

единицу объема

этой

точке может быть записана

как

/ira

. Далее, величи-

на

im/'Ka

эквивалентна величине B

(v)>

где B

i — ко-

эффициент Эйнштейна

для

вынужденного излучения. Величина

(у)

N„hv/πα

сΑν

—

плотность излучения

для

линии

общей

шириной

Αν.

Выражая

через вероятность спонтанного

пе-

рехода

i как B

i =

(с

/8жhi/

мы

получаем

для

сечения

вынужденного перехода

1 А

ашт

W Δ^' *

ο^ΔΑ^'

ЙЙАЛ^'-

(10)

В формуле

(10) для

перехода

длинам волн использованы соотно-

шения:

ν = с/А и Αν =

(с/А

)ДА.

[Для

краткости здесь (разд.

2.2)

опущены индексы

«к/» для

частоты

длины волны.

Мы

будем

ис-

пользовать

их в

следующем разделе книги

для

обозначения лазер-

ного перехода,

где

возникает возможность спутать

его с

другими

переходами.] Последняя форма уравнения

(10)

включает величи-

ну

ΔΑ/Α,

которая часто задается вместо

ΔΑ. Это

отношение так-

же удобно

для

преобразования

частоте

или

энергии фотона,

так

как

Δλ/A = Av/v =

A(hv)/(hv). Уравнения

(10) и (8)

образуют

Глава 2

два полезных числовых выражения для коэффициента усиления,

приведенные в табл. 1 как (10') и (10").

Сильной зависимости от частоты (и длины волны) в уравне-

нии (10) нет, поскольку вероятность перехода A

i также зависит

от частоты. Мы можем вывести выражения, показывающие более

слабую зависимость от длины волны. Для этого сначала свяжем

вероятность спонтанного перехода A

i с силой осциллятора в по-

глощении fi

для данного перехода. Последняя величина являет-

ся почти постоянной вдоль изоэлектронной последовательности.

Итак, имеем

8тг

gi , 87г

с gi

Г5 T

"" (

11β

)

Уи

где А измеряется в ангстремах. Величина го = е

/шс

= 2,8 х

10""

см является классическим радиусом электрона. Подставляя

в уравнение (10), получаем для сечения

когс/ы gi irr

cfi

ULI/

ΖΑΛ g

(12)

ΔΑ/Α g

Следовательно, сечение, выраженное последним способом, име-

ет только линейную зависимость от длины волны в отличие от ку-

бической в уравнении (10). В комбинации с (8) это выражение

также включено в табл. 1 как (12

;

) и (12") для численной оцен-

ки коэффициента усиления. В формуле (8) для коэффициента

усиления имеется дополнительная неявная, в некоторых случаях

сильная зависимость от длины волны, связанная с N

т. е. со

скоростью накачки. Этот вопрос для некоторых примеров будет

обсуждаться в гл. 3-5.

Подставляя в формулу (12) типичные параметры для MP-диа-

пазона: λ at 182Α, ΔΑ/Α = 3 · 10""

, сила осциллятора в поглощении

flu

= 0,64 и отношение статистических весов gi/g

= 4/9, получа-

ем для сечения величину а,ц

Ш 1,5· 10"

см

. Использованные

параметры соответствуют переходу сп = 3нап = 2в водородопо-

добном ионе СVI, который оказался особенно удачным лазерным

переходом. Он широко используется в качестве примера в гл. 3-5.

Эти основные соотношения для коэффициента усиления пока-

зывают важное значение высокой плотности населенности верх-

него уровня и наличия интенсивного и узкого перехода для до-

Принципы

коротковолновых лазеров

стижения максимального усиления

при

условии,

что

инверсная

населенность гарантирует положительное усиление,

т. е.

условие

> 0

выполнено.

2.2.26. Влияние профиля линии.

До сих пор мы не

учитывали

зависимости сечения вынужденного перехода

(и,

следовательно,

коэффициента усиления)

от

профиля линии.

Для

дальнейшего

уточнения умножим выражение

(12) на

нормируемую функцию

(v).

(Здесь индекс

будет использоваться

для

обозначения кон-

кретной формы линии.) Аналогичным образом обозначим через

ΔΑ* ширину линии

для

конкретного профиля. Тогда

для

сечения

получаем выражение

7гг

/ц

д\

= —гт

—о

(у).

(13)

ΔΑ

Для лоренцева профиля линии, типичного

при

штарковском

уширении, связанном

со

столкновениями заряженных частиц

плазме, имеем

MX)

= \

4(А-А

)

(ΔΑ.)

- = 0,64 при

= А

, (14)

7Г

где

—

длина волны

центре линии.

При

штарковском ушире-

нии

не

существует единого удобного выражения

для

полуширины

ΔΑ,

уравнениях

(13) и

(14).

При

необходимости читатель может

обратиться

другим книгам

[10,

11].

счастью,

при тех

условиях

в плазме, которые наиболее желательны

для

рентгеновского

ла-

зера, столкновительное уширение

таким лоренцевым профилем

обычно

не

является столь важным,

как

доплеровское уширение.

Там,

где

доминирует штарковское уширение, плотности являют-

ся слишком большими, чтобы поддерживать инверсную населен-

ность, препятствуя процессам столкновительной релаксации

[12,

13].

Доплеровское уширение лазерной линии определяется

основ-

ном случайным тепловым движением ионов

массой

М,

движу-

щихся

со

скоростью, определяемой кинетической температурой

кТ{.

Для

доплеровского уширения линии типичным является гаус-

сов профиль

[3, 14, 15]:

Глава

Γ41η2

41n2

,1/2

ехр

-4 In 2

'λ-λ.

Δλ

1/2

= 0,94 при λ = \

. (15)

Полуширина (полная ширина на половине высоты) такой линии

равна [16]:

_ 2(2 In

Ad с

= 7,7· 10

-5

kTi

1/2

(16)

где кТ{ — ионная кинетическая температура в эВ, Μ — атомная

масса и μ « 2Ζ, где Ζ — порядковый номер элемента. Заметим,

что для типичной величины kTi/μ « 13 в высокотемпературной

прозрачной плазме ΔΑ/Α « 3 · 10~

. Эта величина используется в

некоторых числовых соотношениях в табл. 1, а также в гл. 3-5.

Таким образом, формулы для сечений и коэффициента усиле-

ния в максимуме должны быть модифицированы множителем 0,64

для штарковского и 0,94 для доплеровского уширения линии. По-

этому общая формула (12) является вполне подходящей для боль-

шинства случаев.

Теперь мы можем записать сечение для доплеровски уширен-

ной линии в окончательном виде через вероятность перехода и

силу осциллятора, используя уравнения (10), (13), (15) и (16):

[

1/2

(17)

дз

(<78tim)d

= g^"'

2*kTi

или уравнение (11)

м ι

1/2

(18)

Эти формулы повторены в числовой форме в табл. 1 как (17') и

(18').

Следует понимать, что на ширину, линии могут влиять другие

эффекты. Например, ион-ионные столкновения при определен-

ных условиях приводят к сужению доплеровски уширенной ли-

нии. В то же время гидродинамическая турбулентность плазмы

[17] вносит дополнительный вклад в ширину и может изменять