Дубровский В.Г. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур
Подождите немного. Документ загружается.
(1.43), (1.44) следует v(t)=
σ
1/2
ζ
(t)/
τ
D
. Следовательно, g(t) в формуле (1.55) в случае
двумерного роста квадратных островков определяется формулой (1.53) с n
ISL
(t) в виде
(1.49). Результаты для стадии независимого роста островков при малых степенях
заполнения получаются из (1.55) разложением экспоненты в ряд: Z(t)
≈
g(t.)
Теория Колмогорова позволяет найти и другие динамические характеристики
растущей пленки с учетом коалесценции островков. В частности, для периметра границы
двумерного кристалла, приходящегося на единицу площади поверхности подложки из
(1.55) получаем
)](exp[
)(
1
)( tg
dt
dg
tv
tP −=
(1.57)
На стадии независимого роста островков их общий периметр увеличивается, а на стадии
коалесценции, наоборот, уменьшается. Поэтому время начала непосредственного слияния
островков друг с другом t
c
можно определить как точку максимума P(t): P
′
(t
c
)=0.
Приведем выражения для степени заполнения поверхности двумерной пленкой в
некоторых частных случаях.
1) Постоянное зарождение и постоянная скорость роста островков (I=const, v=const):
[
]
3
)(exp1)( tVtZ
ML
−−=
;
3/1
2
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= Iv
c
V
ML
(1.58)
При постоянных I и v колмогоровская экспонента содержит третью степень времени, а
скорость формирования монослоя V
ML
по порядку величины равна (Iv
2
)
1/3
[19].
2) Мгновенное зарождение, постоянная скорость роста островков (I=N
δ
(t), v=const, где
δ
(t) – дельта-функция, N – поверхностная плотность островков):
[
]
2
)(exp1)( tVtZ
ML
−−=
;
vcNV
ML
=
(1.59)
В случае мгновенного зарождения и постоянной скорости латерального роста
колмогоровская экспонента содержит вторую степень времени. Скорость формирования
49
монослоя по порядку величины равна произведению скорости латерального роста и
квадратного корня поверхностной плотности островков.
3) Мгновенное зарождение, закон роста r~t
1/2
(I=N
δ
(t), v=r
0
/(t
0
t)
1/2
):
()
tVtZ
ML
−−= exp1)(
;
0
2
0
4
t
Nr
cV
ML
=
(1.60)
При мгновенном зарождении и v
∝
t
-1/2
колмогоровская экспонента содержит t в первой
степени, скорость формирования монослоя по порядку величины равна N
σ
/t
0
, где t
0
–
характерное время латерального роста островков.
I.9 Трехмерный рост пленки
Теоретическое исследование трехмерного роста пленки представляет собой
достаточно сложную задачу. Законченной теории трехмерного роста в настоящий момент
не существует, однако есть несколько моделей, позволяющих в какой-то мере описать
основные закономерности ростового процесса. Отметит здесь так называемую модель
пирамидального роста [73,79-81],
в которой предполагается, что в каждой точке
сформировавшегося на поверхности двумерного слоя немедленно начинается рост вверх с
постоянной скоростью, пропорциональной скорости осаждения. В такой модели после
слияния островков образуется стационарный, не зависящий от времени рельеф пленки.
При этом удается рассчитать не только шероховатость поверхности пленки, но и
автокорреляционную функцию шероховатостей, которая
определяет интенсивность
рассеянного света. Достаточно много работ, посвященных моделированию роста в методе
молекулярно-пучковой эпитаксии, используют различные варианты нелинейных
диффузионных уравнений на искривленной поверхности для локальной высоты пленки
h(r,t). [82-85]. В этом случае обычно предполагается отсутствие десорбции. Если
морфология поверхности контролируется адсорбционно-десорбционными процессами,
h(r,t) подчиняется уравнению Кардара-Паризи-
Занга [86]. В ряде работ развивалась
50
микроскопическая кинетика трехмерного роста, основанная на модели решеточного газа с
учетом латеральных взаимодействий и элементарных процессов адсорбции, десорбции,
диффузии и межслойных переходов [9,10,29,87-89].
В случае двумерного механизма роста слоев теоретическое рассмотрение удобно
проводить на основе модели обобщенной модели Кащиева [36,39], суть которой
заключается в следующем. Рассмотрим трехмерную поверхность пленки, изображенную
на Рис
.9. Эта поверхность сформирована в результате двумерного роста слоев друг на
друге. Подчеркнем, что речь идет именно о полислойном, а не о чисто послойном росте
Франка – ван-дер-Мерве, то есть для начала формирования верхнего слоя отнюдь не
требуется полного заполнения предыдущего слоя. Обозначим степени заполнения
поверхности подложки слоями l=1,2,3… в
момент времени t как Z
1
(t), Z
2
(t), Z
3
(t) …. В
отсутствие вакансий и нависания слоев друг над другом функции
p
2
h
Z
2
Рис.9. Полислойная модель роста: Z
2
– степень заполнения поверхности вторым слоем
пленки, p
2
=Z
2
-Z
3
– вероятность нахождения точки поверхности пленки на высоте 2
монослоя.
)()()(
1
tZtZtp
lll +
−=
)1(
0
≡
Z
(1.61)
51
являются вероятностями нахождения точки трехмерной поверхности пленки на высоте
H
l
=lh (h – высота монослоя). В частности, p
0
(t)=1-Z
1
(t) есть вероятность нахождения на
поверхности подложки. Очевидно, в любой момент времени
. Средняя
высота Н(t) и шероховатость поверхности пленки R
∑
=
l
l
tp 1)(
H
(t), выраженные в единицах высоты
монослоя, в этом случае определяются первым и вторым центрированным моментом
вероятностей распределения по высоте p
i
(t):
∑
∞
=
=
1
)()(
l
l
tlptH
; (1.62)
∑
∞
=
−=
1
22
2
)()()(
l
lH
tHtpltR
В отсутствие вакансий степени заполнения поверхности слоями l+1 и l связаны
между собой интегральными соотношениями [90]
∫
′′
−
′
=
++
t
lll
tZttFtdtZ
0
11
)()()(
, (1.63)
1≥l
При l=1
[
)(exp1)(
111
tVgtZ −−=
]
(1.64)
Функции F
2
(t), F
3
(t) … определяются согласно
d
t
tdY
tF
l
l
)(
)(
1
1
+
+
=
, (1.65)
1≥l
Функции Y
2
(t), Y
3
(t) … описывают кинетику двумерного роста верхних слоев при условии
полного заполнения предыдущего:
11
1
)()(
≡+
+
=
l
Zll
tZtY
. Их можно представить в виде
[]
)(exp1)( tVgtY
lll
−−=
2≥
,
l
(1.66)
Функции g
l
(V
l
t), в полной аналогии с (1.55), определяют механизм двумерного роста слоев
l при условии полного заполнения предыдущего. Все g
l
(x) удовлетворяют условиям
g
l
(0)=0 и g
l
(
∞
)=
∞
. Величины V
l
есть характерные скорости формирования слоев l в
МС/сек. Не конкретизируя пока вид этих функций, предположим только, что
g
1
≠
g
2
=g
3
=g
4
=…
≡
g
*
и V
1
≠
V
2
=V
3
=V
4
=…
≡
V
*
[36]. Такая «двухуровневая» модель является
52
простейшей моделью бездислокационной гетероэпитаксиальной системы. Применяя к
(1.63) преобразование Лапласа по переменной t и используя (1.61), для лаплас-образов
вероятностей распределения по высоте в двухуровневой модели получим
()()
ω
ωϕωϕωϕ
ω
)()(1)(1
)(
*
1
*1
−
−−
=
l
l
p
(1.67)
[]
∫
∞
−−≡
0
111
)(exp)( tVgtdt
ωωωϕ
; (1.68)
[]
∫
∞
−−≡
0
***
)(exp)( tVgtdt
ωωωϕ
где
ω
- переменная, лаплас-сопряженная t. Формулы обращения для средней высоты и
шероховатости следуют из (1.67) и (1.62):
∫
′′
−Ψ
′
=
t
tZtttdtH
0
1*
)()()(
(1.69)
∫
−−
′′
−Ψ
′
=
t
H
tHtHtHtttdtR
0
2
*
2
)()()()(2)(
(1.70)
где
Ψ
*
(t) есть лаплас-оригинал функции 1/
ϕ
*
(
ω
).
Нетрудно показать [39], что решения для средней высоты и шероховатости
поверхности пленки представимы в явном виде для случая g
*
(V
*
t)=V
*
t при произвольной
зависимости g
1
(V
1
t). Точный результат, следующий из (1.69), (1.70) при
)/()(
**
V+=
ω
ω
ω
ϕ
, имеет вид
[]
tVtVAtVgtH
*1111
)()(exp1)(
+
−−−=
ν
(1.71)
[]
[
]
[
]
tVtVBtVAtVAtVgtVtVAtVZtR
H *11111111*1111
2
1)1)(2)(()()(exp2)(2)()( +−−+−+−=
ννν
(1.72)
где
ν≡
V
*
/V
1
. Функции А
1
(x) и B
1
(x) определяются выражениям
[]
∫
′
−
′
=
x
xgxdxA
0
11
)(exp)(
;
[
∫
′
−
′′
=
x
xgxxd
xA
xB
0
1
2
1
1
)(exp
)(
1
)(
]
(1.73)
Из (1.71) и (1.72) следует, что после заполнения первого слоя (начиная с момента времени
t
1
~1/V
1
) скорость вертикального роста пленки равна V
*
, а квадрат шероховатости равен
53
средней высоте: R
H
2
(t)=H(t)=V
*
t. Как известно, такая зависимость характерна для
пуассоновского распределения по высоте. Действительно, при g
1
=g
*
=V
*
t
)/()()(
**1
V+==
ω
ω
ω
ϕ
ω
ϕ
и из (1.67) после обратного преобразования Лапласа
получим, что распределение по высоте в точности пуассоновское:
()
)exp(
!
)(
*
*
tV
l
tV
tp
l
l
−=
(1.74)
Следовательно, для механизма двумерного роста всех слоев, когда во всех слоях степень
заполнения без учета коалесценции растет линейно со временем, имеет место
пуассоновский рельеф трехмерной поверхности, при котором в любой момент времени
квадрат шероховатости равен средней высоте пленки. Как видно из (1.60), такой механизм
двумерного роста слоев, и, следовательно, пуассоновский трехмерный
рельеф
осуществляется при мгновенном зарождении островков и латеральном росте по закону
v~t
-1/2
. Пуассоновская структура поверхности характерна для формирования пленок при
очень низких температурах поверхности, когда мала диффузия адатомов. Тогда атомы,
попавшие из газообразной фазы на островок предыдущего слоя, не успевают встраиваться
в ступень, образованную его границей, а формируют участки верхнего слоя.
Пуассоновская структура поверхности при низкотемпературном росте подтверждается
данными прямого компьютерного моделирования [39].
Для произвольных механизмов роста первого и верхних слоев, используя
разложение выражения (1.68) в ряд при малых
ω
/V
1
и
ω
/V
*
, можно получить
асимптотические решения для средней высоты и шероховатости при больших t [39]. Они
содержат не зависящие от времени слагаемые и слагаемые, пропорциональные t;
последние и определяют асимптотическую структуру поверхности:
)(
)(
*
*
∞
→
A
tV
tH
;
[]
)(
1)(2
*
*
*
2
∞
−∞→
A
tV
BR
H
(1.75)
54
[]
∫
∞
′
−
′
=∞
0
**
)(exp)( xgxdA
;
[
∫
∞
′
−
′′
=∞
0
*
2
*
*
)(exp
)(
1
)( xgxxd
xA
B
]
(1.76)
В отличие от случая диффузионного механизма роста верхних слоев, теперь скорость
вертикального роста пленки равна V
*
/A
*
(
∞
). Отношение квадрата шероховатости
поверхности пленки к ее средней высоте определяется параметром планарности
12
)(
)(
lim
2
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
≡
∞∞→∞
B
tH
tR
q
H
t
(1.77)
В частности, в случае g
*
=(V
*
t)
m
интегралы (1.76) сводятся к гамма-функциям, при этом
величина q
∞
является функцией показателя степени m
1
)/1(
)/2(2
)(
2
−
Γ
Γ
=
∞
m
mm
mq
(1.78)
Значение q
∞
быстро убывает с ростом m: q
∞
(1)=1, q
∞
(2)=0.274, q
∞
(3)=0.132, что указывает
на «выглаживание» поверхности пленки.
При чисто послойном росте Франка – ван-дер-Мерве в (1.61), (1.62) достаточно
рассматривать лишь соседние слои с k=0 и k=1, при этом p
0
(t)=1-Z(t), p
1
(t)=Z(t), H(t)=Z(t),
R
H
(t)=Z(t)[1-Z(t)] и процесс заполнения слоев друг на друге периодически повторяется.
Следовательно, шероховатость поверхности пленки R
H
(t) является периодической
функцией времени с периодом, равным скорости роста монослоя t
ML
=1/V
ML
. Именно эта
периодическая зависимость приводит к осцилляциям сигнала от дифракции быстрых
электронов на отражение, использующимся для контроля состояния поверхности
непосредственно в процессе роста методом молекулярно-пучковой эпитаксии, в
частности, для калибровки скорости роста [91].
I.10 Сильнометастабильные системы и спинодальный распад
Изложенная выше картина роста относится к классическому случаю формирования
островков
из пересыщенного разреженного газа адатомов. Рассмотрим теперь случай
55
двумерной пленки, когда начальное пространственно-однородное состояние с
заполнением
θ
0
находится вблизи граница спинодали
θ
1s
. Здесь возможны две ситуации
(см. Рис.1): 1) точка
θ
0
вблизи, но левее
θ
1s
(сильнометастабильная система) и 2)
θ
0
внутри спинодали (
θ
1s
;
θ
2s
). В случае сильнометастабильной системы адатомов характер
фазового перехода существенно изменяется по сравнению с классическим механизмом
нуклеации. Во-первых, радиус корреляций в системе при приближении к
θ
1s
может
превосходить средний размер островков. Во-вторых, термодинамические флуктуации
настолько сильны, что распределение зародышей по размерам даже в докритической
области не может быть равновесным. В третьих, меняется внутренняя структура самих
зародышей, поэтому трудно пользоваться понятиями межфазовой энергии и границы
зародыша. В случае, когда начальное пространственно-однородное состояние находиться
внутри спинодали,
система адатомов является абсолютно неустойчивой, и
термодинамические флуктуации приводят к нарастанию периодических осцилляций
плотности вещества. При этом, по крайней мере в начале процесса спинодального
распада, вообще невозможно разделить систему на разреженную и плотную подсистемы.
Для описания фазового перехода в таких условиях требуется применение иных
теоретических подходов, чем для слабометастабильных систем [27,31,92]. Здесь
обычно
пользуются континуальные модели, рассматривающие фазовый переход как релаксацию
скалярного поля s(r,t)
≡
2
θ
(r,t)-1=2
∆θ
(r,t), зависящего от координаты в плоскости подложки
и времени. Для случая двумерной системы адатомов такое рассмотрение было проведено
в [28]. Общий вид релаксационного уравнения для s(r,t) имеет вид [31]
*
f
s
F
t
s
+−=
∂
∂
δ
δ
τ
(1.79)
где
τ
- кинетический коэффициент размерности времени, F – свободная энергия системы в
единицах k
B
T, приходящаяся на один узел двумерной решетки, представляемая в виде
функционала от s, f
*
- случайная сила, описывающая термодинамические флуктуации.
56
Изменение F при постоянной температуре T и числе узлов N
0
dF=
µ
d
θ
. Отсюда следует
представление для функционала F[s] в рассматриваемом случае
[]
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+∇= )()(
2
2
2
sEs
R
rdsF
s
r
(1.80)
Здесь R
s
есть масштабный фактор, зависящий от вида потенциала притяжения адатомов, а
функция E(s) определяется формулой
∫
= )(
1
)( sds
Tk
sE
B
µ
(1.81)
где
µ
(s)-химический потенциал решеточного газа (1.9) при s=2
∆θ
, отсчитанный от своего
равновесного значения и выраженный в тепловых единицах
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+−=
s
s
ss
1
1
ln
2
)(
ϕ
µ
(1.82)
Из (1.79)-(1.82) следует нелинейное уравнение для s вида
*
2
)( fssR
t
s
s
+−∆=
∂
∂
µτ
(1.83)
Химический потенциал (1.83) имеет разное поведение вблизи точки своего
максимума
ϕ
/41
0
−−=s
, соответствующей левой границе спинодали, и точки s=0,
соответствующей нахождению системы внутри спинодали. В окрестности s
0
(константы a и b > 0), откуда при соответствующем масштабировании
переменных в (1.83) получим уравнение для u=s-s
2
0
)()( ssbas −−=
µ
0
*
2
)1(2 fuu
t
u
+−+∆=
∂
∂
(1.84)
Это уравнение описывает поведения сильнометастабильных систем вблизи границы
спинодали. Оно было подробно исследовано в [28], где была найдена равновесная
конфигурация u
c
, описывающая критический зародыш, спектр линеаризованного
57
кинетического оператора и его собственные функции, а также вычислена скорость
зарождения островков. Она зависит от пересыщения как
[
]
2
maxmax
)(exp)()(
ζζζζ
−−= constII
(1.85)
В окрестности точки s=0 химический потенциал ведет себя как
[
]
3/)14/(2)(
3
sss +−−=
ϕµ
.
Следовательно, уравнение для s в спинодальной области при соответствующем
масштабировании имеет вид
*
2
2
*
)( fssss
t
s
+−+∆=
∂
∂
(1.86)
где величины
)14/(3
*
−±=
ϕ
s
описывают в данном приближении значения параметра
порядка находящихся в равновесии фаз. Это уравнение показывает, что в спинодальной
области флуктуации плотности нарастают, поскольку уже в линейном приближении (1.86)
имеет периодические решения. Расслоение начального пространственно-однородного
состояния с s=0 на фазы с s=
±
s
*
имеет характер нарастающих периодических осцилляций
плотности, вначале линейных, а затем нелинейных. Теория спинодального распада в
двумерной системе, которая подчиняется уравнению типа (1.86), изложена в работах
[54,93].
Несколько отличный от изложенного традиционного метода, но основанный на
сходной физической модели подход к исследованию спинодального распада в
монослойных пленках был предложен в работах [10,94]. Эти работы
основываются на
обобщении модели двумерного решеточного газа на случай зависящих от времени чисел
заполнений узлов
α
i
(t). Такие модели разрабатывались в динамических решеточных
моделях адсорбции Глаубером [95], Товбиным [7], Кройзером с сотр. [8,96-98], Биндером
с сотр. [99,100], Г.В.Дубровским с сотр. [9,87,88] и рядом других авторов [101,102].
Самосогласованные уравнения для заполнений узлов i в момент времени t
tii
t >
=
<
α
θ
)(
учитывают диффузию и латеральные взаимодействия адатомов:
58