Дубровский В.Г. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур
Подождите немного. Документ загружается.
взаимодействия с подложкой атомов, находящихся на поверхности смачивающего слоя
толщины h, много больше энергии взаимодействия с подложкой атомов островка
[144,146]. Тогда для
∆
F
attr
можно приближенно написать
idlFF
WL
exp
⎟
⎜
−=−≅∆
(3.7)
ажая
∆
F в тепловых единицах k
В
T (k
В
– постоянная Больцмана, T – температура
4 152]
dk
h
d
attrattr
0
2
0
000
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Ψ
Суммируя все вклады (3.4), (3.5), (3.7) в свободную энергию образования островка
и выр
поверхности), получим [1 7,
()
idl
dk
h
d
Z
Tk
L
Tk
F
Tk
F
BBB
2
000
0
22
exp))(1(
1)0(cos/)(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Ψ
−−−
−
=≡
∆
λεφ
γφφγ
(3.8)
В это выражение входят: модуль упругости материала и рассогласование решеток
гетероэпитаксиальной системы, поверхностная энергия материала и контактный угол,
также определяемый видом поверхностной энергии, смачивающая энергия системы
00
0
⎟⎜
и ее
, термодинамикой
гетероэпитакисальной системы (3.8)
о слоя
температура. Таким образом величина F полностью определяется
. Выражение в квадратный скобках для
рассматриваемой модели свободной энергии является разностью химических
потенциалов
атома при его переходе из смачивающего слоя в островок. Эта разность зависит от
толщины смачивающего слоя h. Очевидно, равенство нулю второго слагаемого в (2.8)
соответствует равновесной толщине смачивающег
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Ψ
=
2
00
0
00
))(1(
ln
λεφ
Zd
kdh
eq
(3.9)
термодинами
возрастающей функцией числа атомов в островке i. При h>h
разность химических
потенциалов больше нуля и образование островков становится термодинамически
выгодным. Этому процессу препятствует, однако, энергетически невыгодный процесс
При h<h
eq
разность химических потенциалов в смачивающем слое и в островке больше
нуля и образование островков чески невыгодно. Свободная энергия является
eq
169
формирования боковых граней островка. Поэтому свободная энерги образования
островка как функция числа атомов в нем i имеет вид потенциального барьера, высота
которого уменьшается с увеличением высоты смачивающег
При достаточно малых значениях перенапряжения
можно лианеризовать относительно ζ, что соответствует пр кой
теории нуклеации [146]. Тогда вместо (3.8) можно пользоваться ой
[147]
iBAiiF
ζ
−=
3/2
)(
(3.10)
тровке i (3.3).
я
о слоя.
ζ=h/h
eq
-1 выражение (3.8)
иближению классичес
приближенной формул
где учтена связь между латеральным размером L и числом частиц в ос
Коэффициент A определятся отношением увеличения поверхностной энергии при
образовании островка к тепловой энергии. Коэффициент B содержит логарифм отношения
энергии смачивания на поверхности подложки к выигрышу в упругой энергии при
образовании островка и отношение выигрыша в упругой энергии
к тепловой энергии:
[]
22
)0(cos/)(
lA
B
α
0
Tk
γ
φ
φ
γ
−
≡
;
Tk
2
⎟⎜
к
ионного барьера нуклеации F
≡
F(i
c
)
и втор т м щ и
dlZ
Zd
B
B
0
2
0
2
0
00
0
))(1(
))(1(
ln
λεφ
λεφ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Ψ
≡
(3.11)
Из (3.10) следуют выражения классической теории ну леации для критического размера
i
c
, при котором функция F(i) имеет максимум, активац
ой производной F(i) в очке аксимума, определяю ей ширину свободной энерг и
образования островка в прикритической области:
3
8
)(;;
A
iF
Fi
c
=
′′
−=
⎟
⎜
=
(3.12)
качестве примера гетероэпитаксиальную систему Ge/Si(100) при
=470
С. Для данной системы энергетические характеристики и
44
22
3
3
9
27
4
3
2 B
B
A
B
A
c
ζ
ζ
ζ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Рассмотрим в
температуре T
0
геометрические параметры решетки таковы [144]:
λ
=1.27*10
12
дин/см
2
,
ε
0
=0.042, d
0
=0.145
170
0 20 40 60 80 100 120 140
0
10
15
5
20
Number of atoms i
образования «hut» кластеров в
системе Ge/Si(100) при трех
различных значениях
Ge h = 5, 5.2 и 5.4 МС.
F(i)
Рис.45. Свободная энергия
толщины смачивающего слоя
2 2 ο
нм, l
0
=0.395 нм,
Ψ
0
=450 эрг/см ;
γ(0)≈γ(φ)
=800 эрг/см ,
φ=
20 . Равновесная толщина
смачивающего слоя Ge h
eq
при k
0
=0.8 равна примерно 3.0 МС. Значения энергетических
констант A и B равны: A=2.59, B=0.617. На Рис.45 приведены зависимости свободной
энергии образования островка F(i) в системе Ge/Si(100) от числа частиц в нем при трех
различных значениях толщины смачивающего слоя h. Видно, что в области изменения
h=5.0-5.4 МС активационный барьер нуклеации составляет 10-15 единиц, а критическое
количество атомов в островке – 40-70 атомов, что соответствует критическому
латеральному размеру зародыша примерно 2-2.5 нм.
Если считать, что при малых изменениях температуры поверхности Т
поверхностная энергия и упругие константы гетероэпитаксиальной системы слабо зависят
от температуры, то активационный барьер нуклеации когерентных островков можно
представить в виде [148,154]
2
),(
ζ
ζ
T
TF
e
=
(3.13)
T
квазиравновесной температурой, находится из (3.11), (3.12)
Параметр T
e
размерности температуры, который мы в дальнейшем будем называть
171
[][ ]
2
000
2
2
2
0
23
))(1(/ln))(1(
cot)]0(cos/)([
3
16
λεφλεφ
φγφφγ
ZdZk
an
B
e
−Ψ−
−
Квазиравновесная температ
T =
(3.14)
ура определяет интенсивность нуклеации островков при
анной
гласования решеток: T
e
~1/
ε
0
4
. Значит, в системах
рассогласованием при прочих равных условиях активационный барьер
. Квазиравновесная температура увеличивается при увеличении
овков определяется формулой Зельдовича
нужно заменить на концентрацию
адсорбционных мест на поверхности
необходима для учета энтропийной поправки Лоте-Паунда, не
д температуре поверхности T и толщине смачивающего слоя h. Значение T
e
может
быть, в принципе, рассчитано для каждой конкретной гетероэпитаксиальной системы при
известных энергетических параметрах. Выражение (3.14) показывает, что величина T
e
резко уменьшается с увеличением рассо
с большим
нуклеации понижается
контактного угла, так как релаксация упругих напряжений в высоких островках больше,
чем в пологих. Для данной гетероэпитаксиальной системы при одинаковой толщине
смачивающего слоя активационный барьер нуклеации понижается при увеличении
температуры
поверхности, поскольку возрастает интенсивность термодинамических
флуктуаций в докритической области.
ЛЕКЦИЯ № 10. Кинетика формирования когерентных островков в
рассогласованных гетероэпитаксиальных системах
III.3. Интенсивность зарождения и скорость роста островков
Согласно общей теории фазовых переходов на поверхности твердого тела,
интенсивность зарождения когерентных остр
(1.35), в которой n
1/l
0
2
. Такая замена
выписанной явно в (3.2). Выражение для интенсивности зарождения островков имеет вид
)exp(
2
/)(/)(
0
F
iF
l
iW
I
cc
−
′′
=
+
π
2
(3.15)
172
Здесь F – активационный
W
+
(i
c
) – число атомов
барьер нуклеации, определяемый формулой (3.12) или (3.13),
смачивающего слоя, присоединяющихся к границе островка за
формулу [146]
единицу времени.
Как уже указывалось, основным механизмом роста островков мы считаем
диффузию атомов из смачивающего слоя в островок, стимулированную упругими
напряжениями. Для нахождения скорости роста островков закритического размера di/dt в
этом случае используем
L
Tk
l
D
dt
di
B
4
2
0
µ
∇
=
(3.16)
Здесь D – коэффициент диффузии атомов смачивающего слоя, вызванной разностью
упругих напряжений в смачивающем слое и в стровке,
∇µ
- градиент химического
потенциала на границе островка. В (3.16) учитываетс
о
я только поступление атомов из
го слоя в островок через границу между ними длиной 4L. Поле упругих
0
, где
∆µ
=k
В
TBζ в соответствии с
разность химических потенциалов в смачивающем слое и в островке
размера и
ν
- параметр обрезания поля упругих напряжений. Этот
о
смачивающе
напряжений внутри и вокруг островка представляет собой сложную функцию координат
[41,230-232]. Поэтому мы лишь оценим
∇µ
как
∇µ
~
∆µ
/
ν
l
(3.10) есть
закритического
параметр показывает, насколько далек от границы островка распространяется поле
упругих напряжений, его типичные значения составляют 10 и более единиц [144].
Учитывая также (3.3), окончательно получим
3/1
4di
2
0
i
B
l
D
dt
ν
ζ
α
=
(3.16)
-
смачивающий слой. Для смачивающего слоя равновесной толщины h
eq
di/dt=0, что
)
Очевидно, di/dt=W
+
(i)-W
-
(i), где W (i) есть обратный поток атомов из островка в
позволяет найти W
+
(i) и W
-
(i по отдельности. Отсюда для W
+
(i) имеем
173
3/1
2
0
)1(4
)( i
B
l
D
iW
ν
ζ
α
+
=
+
ю ну с м с
(3.17)
Как показано в Главе II, при решении задачи о нуклеации и росте островков важно
выбрать таку перемен ю, связанную размеро i, для которой корость роста
островков не будет зависеть от их размера [24]. Поскольку островков трехмерен, а
поступление атомов идет через его периметр 4L, такой переменной для рассматриваемой
задачи будет величина
2
3/2
⎞
⎛
L
0
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
==
l
i
α
ρ
(3.18)
на р змерных единицах. Как О авна приведенной площади основания островка в безра
следует из (3.16), в терминах переменной
ρ
скорость роста островка просто
пропорциональна перенапряжению смачивающего слоя
ζ
ρ
)(td
τ
dt
=
(3.19)
Это выражение полностью аналогично (1.44). Величина
BD
l
υ
3
2
0
α
τ
8
=
(3.20)
и
определяет характерный временной масштаб между двумя последовательными
процессами присоединения атомов смачивающего слоя растущим островком. Чем это
время меньше, тем быстрее растет островок.
Используя формулу (3.17) при i=i
c
формулы (3.12) в (3.15), получаем
окончательное выражение для интенсивности зарождения островков
[]
)(exp)1()(
2
ζζζζ
F
a
I −+=
0
τ
l
(3.21)
где константа а=3В/4(
π
A)
1/2
– величина порядка единицы. Стационарная функция
распределения островков по размерам f
s
равна
174
[]
0
ζζ
ζ
)(exp)1()()(
2
ζ
τ
ζ
l
a
−==
Полученные выражения для интенсивности нуклеации и скорости роста островков дают
возможность строить
FIf
s
+
(3.22)
кинетическую теорию формирования островков в
системах под действием упругих напряжений [147-160], к чему мы гетероэпитаксиальных
и переходим. Как и ранее, мы будем использовать чрезвычайно сильную зависимость
интенсивности зарождения островков от перенапряжения смачивающего слоя,
определяемую формулой (3.21).
III.4. Начальная стадия
образования квантовых точек
Уравнение для функции распределения закритических островков по размерам
ρ
f(
ρ
,t) в соответствии с общей теорией нуклеации (см. п. I.6) представляет собой уравнение
первого порядка типа (1.45)
ρτ
ζ
∂
∂
−=
∂
∂ f
t
f
с начальным и граничным условиями вида
(3.23)
(
)
)(),0(0)0,( tftftf
s
;
ζ
ρ
ρ
====
(3.24)
Здесь f
s
(ζ) – стационарная функция распределения (3.22). ак обычно, мы перенесли
граничное условие на стыке прикритической и закритической области в точку
ρ
=0, считая
критический размер достаточно малым. Это возможно сделать, потому что критическое
число атомов в островке составляет обычно несколько десятков атомов, а реально
наблюдаемые в эксперименте квантовые точки – тысячу и более атомов. Решением
задачи (3.23),(3.24) является функция
()
))(),(
К
(
ρ
ζ
ρ
−= tztf f
s
(3.25)
Зависящий от времени размер z(t) является максимально представительным размером
островков, зародившихся в момент достижения максимальной толщины смачивающего
175
слоя и перенапряжения. Как и ранее, будем обозначать все величины в этот момент
времени индексом «*». В частности, H
c
≈
H
*
≈
h
*
- критическая толщина осаждения и
t
*
=H
*
/V
≈
H
c
/V – время осаждения слоя критической толщины. Очевидно, размер z(t)
подчиняется уравнению
0)(; ==
∗
ttz
dt
τ
=
dz
ζ
(3.26)
формирования островков можно, как и в п.II.9, рассматривать как функции переменной
x=z-
ρ
(x≤z). Тогда самосогласованная задача о смачивающем слое и островках распадется
на две более простые задачи: 1) нахождение всех характеристик процесса как функций x и
2) определение эволюции во времени функции распределения по уравнению (3.26).
Возможность такого разделения обусловлена специальным выбором переменной
ρ
, в
островков
по форме, а перемещаются как целое вправо по оси размеров. Отметим, что функция
распределения по латеральным размерам L f(L,t) такому свойству не удовлетворяет,
поэтому ее форма будет изменяться со временем. Вначале мы будем исследовать процесс
когерентных островков при
закритических толщинах осажденного
0 c
имум
c *
р
размерам примерно
z(t). Поэтому наиболее представительный размер островков,
функции распределения, практически совпадает с их средним
Из (3.25) видно, что функцию распределения и прочие характеристики процесса
терминах которой сформированные участи спектра по размерам не меняются
формирования
материала H
>h . В этом случае макс толщины смачивающего слоя h =h
устанавливается в результате кинетического баланса п оцессов осаждения и потребления
атомов смачивающего слоя растущими островками. В полной аналогии с результатами п.
II.3 будет показано, что функция распределения островков по
симметрична относительно
отвечающий максимуму
размером. В экспериментальных исследованиях
методами атомно-силовой и
просвечивающей электронной микроскопии [41] измеряют, главным образом,
176
латеральный размер островков. При закритических толщинах осажденного материала
средний латеральный размер L
*
(t) определяется выражением
)()(
0
tzltL
α
=
∗
Уравнение материального
(3.27)
баланса на поверхности в отсутствие десорбции имеет
вид
),(
2/3
0
2
tf
eq
ρρρ
∫∫
+=
′′
+
(3.28)
В (3.28) мы выбрали за нулевой момент времени момент достижения равновесной
я толщина осажденного на
скорость осаждения материала в МС/сек). Правая часть (3.28) содержит два слагаемых:
)(
0
000
dldhtVtddh
t ∞
толщины смачивающего слоя h
eq
, поскольку зарождения островков при меньшей толщине
априори невозможно. В левой части (3.28) стоит обща
поверхность материала к моменту времени t (эффективная толщина H(t)), V(t) есть
толщину смачивающего слоя h и суммарный объем островков, отнесенный к единице
площади
поверхности. Здесь учтено, что i=
ρ
3/2
. Если зависимость H(t) имеет вид (3.1), то
уравнению материального баланса можно придать вид
G+=Φ
ζ
(3.29)
перенапряжение
го слоя и G – суммарный объем островков на единицу площади поверхности,
⎨
=
)(
t
(3.30)
выращивания смачивающего слоя равновесной толщины с
осаждения V, t
0
– момент остановки роста. Учитывая, что функция
Здесь
Φ
есть идеальное перенапряжение смачивающего слоя, которое было бы на
поверхности в отсутствие зарождения островков, ζ - реальное
смачивающе
поделенный на h
eq
. Как функция времени,
Φ
определяется из (3.1):
⎩
⎧
>
≤≤
Φ
00
0
,/
0,/
tttt
tttt
eq
eq
Здесь t
eq
=h
eq
/d
0
V есть время
постоянной скоростью
177
распределения островков по размерам f(
ρ
,t) = f(x)
ϑ(
z-x) (
ϑ
- функция ступени) и
ρ
=z-x,
функцию G можно записать как
∫
∞−
−=
z
eq
xfxzdx
h
ld
zG )()()(
2/3
2
00
(3.31)
Следуя асимптотическому методу Куни [24,60], изложенному в предыдущей главе,
представим функцию распределения f(x) в виде
(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−Φ
Φ
Γ
−Φ=
∗
∗
∗
)(exp)()( xfxf
s
ζ
)
енапряжение смачивающего слоя при
уга, то есть ζ
*
≈Φ
*
. Параметр
(3.32)
Здесь предполагается, что идеальное и реальное пер
t=t
*
мало отличаются друг от др
1
*
∗
Φ=∗
d
ζ
ζ
(3.33)
есть большой параметр теории, поскольку зарождение островков всегда происходит при
можно заменит ее линейной аппроксимацией по x
)(2 >>Φ=Φ−=Γ F
dF
высоких ниях активационного барьера нуклеации. Учтя главную экспоненциальную значе
зависимость функции распределения по размерам от ζ, функцию
Φ
на стадии зарождения
островков
cxx
Γ
Φ
+Φ=Φ
∗
∗
)(
Параметр c=(
Γ/Φ
)(d
Φ/
dx)
⎪
с учетом (3.19), (3.30), t >t
*
и
ζ
∗
≈
Φ
∗
есть
(3.34)
∗
x=0 0
eq
t
c
τ
2
∗
Φ
=
Γ
(3.35)
Подстановка (3.34) в (3.29) дает приближенную форму уравнения материального
баланса, справедливую на всей стадии нуклеации
)()( xGcxx −
Φ
=Φ−
∗
∗
ζ
Γ
(3.36)
178