Дубровский В.Г. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур

Подождите немного. Документ загружается.

квантовых точек при постоянном количестве осажденного материала, а медленная (в

сравнении с характерным временем изменения размера островков) зависимость

от

времени учитывает увеличение количества осажденного материала в процессе роста.

Уравнение (3.69) решается точно, если в правой части положить

=1. Это

на осаждения в момент

роста H

к критической толщине h

. Данное решение находится в виде обратной

зависи

приближение тем точнее, чем ближе эффективная толщи остановки

мости (t-t

)/t

от l [147]

)(

arctan3

lU≡+

⎟

⎜

−

∗

.70) не содержит никаких параметров модели, поэтому

зависи

и экспозиции структуры, используя

, соответствующая

соотве

323

)1(

2/12

⎠

⎞

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(3.70)

Функция U(l) в правой части (3

мость l[(t-t

)/t

] имеет универсальный вид, изображенный на Рис.47. Данная

зависимость позволяет при известной эффективной толщине H

найти временную

эволюцию среднего размера от времени t, или времен

очевидное соотношение t-t

-t

∆

exp

. Нулевая экспозиция

заращиванию или охлаждению структуры сразу после выключения потока материала,

тствует моменту времени t=t

и значению среднего размера L(t

0. 0.5 1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

0.0

0.2

0 .0

0.6

0.4

0.8

1.0

L/L

c R

зависимость приведенного

среднего размера квантовых

точек L/

от б

времени (t-t

)/t , полученная

Рис.47. Универсальная

езразмерного

* R

обращением уравнения (3.70).

(t-t )/t

Выражение (3.67) показывает, что средний размер островков по окончании стадии

релаксации по размерам пропорционален N

-1/3

, то есть чем больше поверхностная

189

плотность островков, тем меньше их размер и наоборот. Средний размер увеличивается

при ув чении осажденного материалаели

1/3

Зависимость среднего размера островков от скорости осаждения материала и температуры

эффективной толщины H

как (H

-h

) .

поверхности (при фиксированной форме островка) определяется выражением [147,148]

[]

(

)

3/1

)2/exp(

3/2

2/1

/)/ln(

TTVTTV

−

−Λ

−

∝

(3.71)

Здесь константа

имеет

что в закритической области толщин осаждения средний размер квантовых точек

возрастает при увеличении температуры поверхности и уменьшается при повышении

должитель

характерного времени роста островков до размера L

тот же смысл, что и в формуле (3.62). Из (3.71) следует,

скорости осаждения материала

Используя выражения (3.56) для

, (3.59) для N и (3.58) для про

ности

стадии нуклеации

∆

t, из формулы (3.68) можно получить следующее выражение для

tQU

QUhH

eqc

∆

⎟

⎞

⎜

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∗

)(82.0

(

47.0

3/2

3/1

(3.72)

Поскольку функция U(Q) определенная в (3.54), равна 2/5 от активационного

толщине смачивающего слоя, а [(h

-h

)/(H

сильные неравенства

ttt <<<<∆

(3.73)

Это означает, что характерное время зарождения островков на поверхности много

квазистационарного размера L

, которое, в свою очередь,

⎠

⎝

)

барьера нуклеации при максимальной

)]

1/3

~1, в условиях применимости классической теории нуклеации из (3.72) следуют

меньше, чем время их роста до

много меньше времени роста смачивающего слоя от равновесной до критической

толщины.

190

Более точное решение уравнения (3.69) можно получить в виде разложения по степеням

малого параметра

<<<=

[159 Сделав замену )()( tf]. t

= , убеждаемся, что

сама функция f и её производная по времени являются величинами одного порядка.

Решение (3.69) будем искать в виде асимптотического ряда

(

)

∑

≡

)()(

)()(])([)(

ttfttftl

δεδ

∞

(3.74)

Подставив этот ряд в исходное уравнение и воспользовавшись тем, что

3333

3 fff =+

′

λλλ

−=

′

, получим дифференциальное уравнение на )(t

Приравнивая в нем слагаемые с одинаковыми степенями по

, получим

(

′

0)0(

0)()()()

=++

thttg

(3.75)

Здесь

)(

])([2

)(

ϕλ

(3.76)

()

])([3

ϕλ

)(

])([3

1)(

ϕλ

′

⎟

⎜

(3.77)

)(])([1

tttt

ϕϕλ

⎠

⎞

⎝

⎛

−

же легко находятся. Каждое из линейных уравнений (3.75) имеет

∫

и остальные h

(t) так

решение

∫

⎟

⎠

⎞

⎝

⎛

⎜

−=

dttgthtt

")"(exp)'(')(

(3.78)

Уже первое приближение

(

)

)()(])([)(

ttfttftl

(3.79)

191

является существенно более точным приближением истинного решения, чем решение

(3.70). Это иллюстрируется Рис.48, на котором приведены результаты исследования

уравнений (3.69), (3.70) и (3.79) в случае, когда материал осаждается с постоянной

Как видно из представленных

уе

решение (3.70) дает заметно завышенное

значение среднего ра

сравнению с истинным.

Определив средний размер квантовых точек как фун

(3.45) легко рассчитать и функцию распределения островков

гетероэпитаксиального роста. Возвращаясь от переменных z и

L и t, получим функцию распределения по латеральным разм

виде

скоростью при постоянной температуре поверхности.

графиков, решение (3.79) достаточно хорошо аппроксимир т точное. В то же время,

змера квантовых точек по

кцию времени, по формуле

по размерам в процессе

x к исходным переменным

ерам в

момент времени t в

),(

)(

),(

tLg

tLf

;

(

)

),(

),(exp),(

tLcx

etLcxcNtLg −=

(3.80)

де г

()

)(

),(

tLx

−

(3.81)

Полуширина распределения по латеральным размерам по окончании стадии релаксации

по размерам есть

∗

LL ≅∆

(3.82)

4.0

QU )(

3/2

При больших значениях U(Q) относительный разброс по размерам

∆

L/L

весьма невелик

(обычно не более 10%). Таким образом, самоорганизованный рост в

гетероэпитаксиальных системах позволяет создавать однородные ансамбли квантовых

точек, что весьма важно для практического использования их свойств, связанных с атомо-

подобным спектром энергетических состояний [242]. Следует отметить, что функция

192

распределения по латеральным размерам уже не является неизменной по форме в

процессе роста. В частности, абсолютная дисперсия по размерам в процессе роста растет,

а относительная – несколько уменьшается.

0 25 50 75 100 125 150 175 200

L L, nm

Рис.48. Эволюция среднего

размера островков в системе

Ge/Si(100) при d

=0.145 нм,

ateral size

=2.6 МС,

=20

, N=2x10

см

τ=0.0296c, l

= 0.395 нм, ε=0.07.

Эффективная толщина Ge =7.1

МС, скорость осаждения =

0.03 MC/cек. Сплошная лини

решение (3.70), штрихов нная

–

– численное решение (3.69),

Time t, s

пунктирная - приближённо

решение (3.79).

На стадии роста квантовых точек средняя толщина смачивающего слоя

уменьшается, поскольку материал потребляется растущими островками. Из уравнения

материального баланса на поверхности при

(t)≈

∗

следует, что при t>t перенапряжение

смачивающего слоя убывает по закону

(

)

)(1 tl−Φ

∗

)(

t ≅

(3.83)

с и с ен е

до нул

общий

кванто а

заращи

после ее окончания, то

наблюдаемая в эксперименте морфология поверхности будет определяться кинетикой

По окончании тадии релаксаци по размерам о тровков пер апряжени убывает

я, а толщина смачивающего слоя – до своей равновесной величины. После этого

объем островков не меняется. Тем не менее, образовавшиеся на данной стадии

вые точки не являются р вновесными. Если структура охлаждается или

вается на стадии релаксации по размерам или вскоре

193

гет

При дл

поздни

распре

кинети

Послед

ероэпитакисального роста, а следовательно – технологическим процессом осаждения.

ительной экспозиции структуры после остановки роста могут играть роль более

е стадии фазового перехода, которые заключаются уже в изменении функции

деления по размерам островков без изменения их полного объема.

III.7. Пример численного расчета

Изложенная в п. III.2-III.6 теория позволяет проводить численные расчеты

ки формирования закритических квантовых точек в конкретных системах.

овательность расчетов такова:

Расчет термодинамики. Задаются энергетические параметры гетероэпитаксиальной

одится из выражения (3.14).

системы и геометрия островка: модуль упругости

, энергия смачивания

коэффициент релаксации силы взаимодействия с подложкой k

, контактный угол у

основания пирамиды

, поверхностная энергия в плоскости подложки

(0),

поверхностная энергия боковых граней островка

(

), рассогласование решеток

постоянная решетки поверхности l

и высота монослоя d

. Задается ростовая

температура T. Из Рис. 44 для задан ого угла

определяется коэффициент

релаксации упругой энергии в островке Z(

). По формуле (3.9) вычисляется

равновесная толщина смачивающего слоя h

. По формулам (3.11) рассчитываются

параметры свободной энергии образования стровка A и B. Квазиравновесная

температура T

нах

Определение кинетического контрольного параметра. Задается скорость

осаждения материала V, коэффициент диффузии атома под действием разности

упругих напряжений в смачивающем слое и в островке D(T), параметр обрезания

поля упругих напряжений

. По формуле (3.60) рассчитывается значение

кинетического параметра Q при заданных условиях роста.

194

Расчет характеристик на стадии зарождения островков. Решая трансцендентное

уравнение (3.51) или пользуясь приближенной формулой (3.56), находим значение

максимального перенапряжения смачивающего слоя

и критическую толщину h

Затем по формулам (3.57), (3.58) и (3.59) определяются константа функции

распределения по размерам с, продолжительность стадии нуклеации

∆

t и

поверхностная плотность островков о окончании зарождения N.

Зависимости от времени перенапряжения смачивающего слоя

(t), скорости

зарождения I(t), поверхностной плотности островков N(t) на стадии зарождения

находятся по формулам (3.43), (3.44) и (3.50), где зависимость от времени z(t)

определяется выражением (3.46) и параметр

находится из (3.33).

п стадии

Расчет характеристик на стадии роста квантовых точек. Задается эффективная

толщина осажденного материала H

. По формулам (3.67), (3.68) находятся

квазистационарный латеральный размер островков по окончании стадии роста L

характерное время роста островков t

. Зависимость среднего латерального размера

от времени L

( (

женной

аналитической формулой (3.70). Функция распределения островков по размерам

(3.80), (3.81). Наконец,

h(t) определяется из

етр

коэффициент диффузии D(T) и его температурная зависимос

значением диффузионной температуры T

в соответствии с (3.61).

энергетике системы параметр Q, а следовательно, значения D(T) и T

, могут быть найдены

из выражения (3.64) для критической толщины, которая надежно определяется

экспериментально [154].

t) определяется из численного решения уравнения 3.69). При

значениях H

, достаточно близких к h

, можно пользоваться прибли

f(L,t) при различных t рассчитывается на основе выражений

зависимость толщины смачивающего слоя от времени

формулы (3.83).

Следует отметить, что наименее определенным парам ом модели является

ть, которая задается

Однако, при известной

195

кинетику формирования “hut”

кластеров эффективной толщины

=6.2 МС

со скоростью V=0.07 МС/сек при температуре поверхности T=470

использовать значения параметров, приведенные в п. III.2. Тогда гия

образования когерентного островка определяется формулой (3.

A=2.59 и B=0.617. Равновесная толщина смачивающего сл

Квазиравновесная температура T

=(4A

/27B

)T=5020 K. Принимая для иента

диффузии D(T) значение 6*10

-13

см

/сек и

=10, для кинетического контрольного

параметра получаем значение Q=4.9x10

. Точное решение трансцендентного уравнения

(3.51) дает

)=12 и

=2F(

)= продолжительность

стадии нукл

островков

становиться

шается при

Н=h

∆

H/2

≈

=43 сек,

время выра

=31 сек.

Характерное

Рассмотрим в качестве примера численного расчета

в системе Ge/Si(100) при осаждении слоя Ge Н

C. В расчете будем

свободная энер

10) с коэффициентами

оя равна 3.0 МС.

коэффиц

максимальное перенапряжение смачивающего слоя

=0.72,

24. Критическая толщина смачивающего слоя h

=5.15 МС,

еации

∆

t=3.8 сек, что соответствует

∆

H=0.27 МС. Зарождение

заметным при толщине H=h

∆

H/2

≈

5.0 МС и практически завер

5.3 МС. Время выращивания равновесного смачивающего слоя

щивания слоя критической толщины t

=74 сек, откуда

время между двумя последовательными процессами присоединения

1.0x10

8.0x10

26 28 30 32 34 36 38

0.0

2.0x10

4.0x10

6.0x10

Nucleation rate I, cm

-2

-1

Time t, s

Рис.49. Зависимость

скорости зарождения

островков в системе

Ge/Si(100) от времени

196

26 28 30 32 34 36 38

4x10

1x10

2x10

3x10

Islan surface d N, cm

-2

Time t, s

Рис.50. Зависимость

поверхностной

плотности островков в

системе Ge/Si(100) от

времени

d ensity

30 35 40 45 50 55 60

Average lateral siz L

Time t, s

e , nm

Рис.51. Зависимость среднего размера когерентных островков в системе Ge/Si(100) от

времени

адатомов к границе островка

/Q=8.8*10

-3

сек. Значение константы c=8.5*10

-3

Поверхностная плотность «hut» кластеров по окончании стадии зарождения N=3.6x10

см

-2

. Зависимости от времени скорости зарождения и поверхностной плотности островков

приведены на Рис.49 и 50, где время отсчитывается от момента достижения равновесной

толщины смачивающего слоя.

197

Характерное время роста островков t

при данных параметрах модели

9.0 сек, а латеральный размер островков по окончании стадии роста

, что за время ≈ 3t

≈ 27 сек с момента достижения критической

островков достигнет 24 нм, а толщина смачивающего слоя уменьшится

значения 3.0 МС. Эволюция во времени среднего размера

на Рис.51. Видно, что размер островков в момент прерывания

толщине 6.2 МС несколько меньше квазистационарного и равен L(t

нм. Функция распределения по размерам островков в различные

приведена на Рис.52. Видно, что относительный разброс по размерам

равно

примерно L

=24 нм.

Это означает

толщины

размер до своего

равновесного островков

представлена роста при

эффективной

) = L(46

сек) = 20.5 моменты

времени есколько

стадии роста

по размерам

∆

=7%. На Рис. 53 расчетные данные для толщины смачивающего слоя,

наглядно

наиболее

быстрым

до

слоя

меньшается по мере роста островков. Разброс по размерам островков по окончании

∆

составляет примерно 1.7 нм, а относительный разброс

поверхностной плотности островков и их среднего размера приведены в безразмерных

величинах и в едином масштабе времени. Это позволяет более

продемонстрировать динамику ростового процесса и возникающую при этом иерархию

временных масштабов фазового перехода [147]. Рисунок 53 показывает, что

процессом является зарождение островков,

более медленным – их рост

квазистационарного размера L

, а самым медленным – осаждение смачивающего

критической толщины.

198