Дубровский В.Г. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур
Подождите немного. Документ загружается.
Используя (3.36) в (3.32) и
уже знакомое по форме интегральное
подставляя полученный результат для f(x) в (3.31), получаем
уравнение для суммарного объема островков
∫
∞−
∗
⎥⎢
−Φ=
z
s
xGcxxzdxf
ld
zG )(exp)()()(
2
00
(3.37)
(3.37) получим, полагая G(x)=0 в его правой части.
∗
⎦⎣
Φ
eq
h
⎤⎡
Γ
−
2/3
Первую итерацию к точному решению
Тогда интеграл в правой части легко вычисляется, и мы приходим к решению
2/5
*
f
s
(3.38)
2
00
)exp(
)(
4
3
)(
c
cz
h
ld
zG
eq
Φ=
π
Дифференцируя (3.38) по z и полагая z=0, получаем
2/3
)0(
G =
(3.39)
*
2
00
)(
3
fld
s
Φ
′
π
4 ch
eq
С другой стороны, согласно (3.29) и
0)0(
'
==z
ζ
cG
Γ
Φ
=
′
*
)0(
(3.40)
Сравнивая (3.39) и (3.40), находим н ую константу функции распределения по
размерам
ормировочн
2/5
4
)( c
h
f
eq
Φ
=Φ
∗
2
00
3
ld
s
Γ
∗
π
(3.41)
Следовательно, решение (3.38) для G(z) принимает вид
)exp()(
*
zG
Γ
Φ
=
Подстановка (3.42) в (3.36) и (3.32) позволяет определить перенапряжение смачивающего
, интенсивность ну и нкцию островков
cz
(3.42)
слоя клеации островков фу распределения по
размерам как функции z и x:
(
)
cz
eczz −
Γ
Φ
+Φ=
∗
∗
)(
ζ
(3.43)
179
)exp()()(
*s
eczfzI =
(3.44)
*
cz
−Φ
Φ
τ
(
)
cx
ecx −exp
(3.45)
и t
*
=
Φ
*
t
eq
, на стадии нуклеации
s
fxf Φ=
∗
)()(
Согласно (3.26), (3.35)
*
t
**
)()( tttcz Γ=−≅
τ
(3.46)
виде функций от
с
имума при
ρ
=z(t):
*
)( ttc −Φ
Отсюда, учитывая x(t,
ρ
)=z(t)-
ρ
, легко представить решения (3.43)-(3.45) в
переменных t и
ρ
. Выражение (3.43) справедливо только на стадии нуклеации, а
выражения (3.44) и (3.45) – и на последующей стадии роста островков. Из формулы (3.43)
ледует
ζ
∗
=
Φ
∗
(1-1/
Γ)
, что оправдывает сделанное выше предположение
ζ
∗
≈Φ
∗
при
Γ>>1.
Формула (3.45) показывает, что функция распределения островков по размерам
имеет приблизительно гауссов вид вблизи макс
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−Φ=
∗
2
2
exp)()(
x
x
fxf
s
(3.47)
Полуширина этого распределения
cx /≅∆
.
нуклеации есть время, за которое формируется основная часть спектра по размерам
шириной 2
∆
x. Из условия 2с
∆
x=
Γ∆
t/t получаем
2
Очевидно, продолжительность стадии
*
∗
=∆ tt
22
(3.48)
*
Γ
Отсюда при
Γ>>1
следует, что продолжительность стадии зарождения островков много
меньше времени осаждения слоя критической толщины:
∆
t<<t . Интервал толщин
осаждения, при которых происходит зарождение островков, равен (H
-
∆
H, H +
∆
H), где
у
* *
∆
H=V
∆
t. Поскольку
∆
H<<H
*
, критическая толщина перехода от двумерного к
трехмерному рост H
c
=H
*
-
∆
H
≈
H
*
≈
h
*
.
180
Поверхностная плотность островков n(z) пол чается интегрированием функции
распределения по размерам по z
у
∫
∞−
= xdxfzn )()(
(3.49)
z
Результат интегрирования (3.45) имеет вид
(
)
)exp(1)(
cz
eNzn −−=
(3.50)
где N = f
s
(
Φ
∗
)/c – плотность островков по окончании стадии нуклеации.
завершения аналитического описания начальной стадии нуклеации островков
определить значение максимального перенапряжения смачивающего слоя
*
Для
нам осталось
Φ
∗
. Для этого используем уравнение (3.41) для нормировки функции распределения по
размерам и формулу (3.22) при ζ=
Φ
. В результате, с учетом (3.12), (3.33), (3.35), получим
следующее трансцендентное уравнение для
Φ
*
[]
)(exp)(
)1(
34
*
2/5
*
2
2/5
Φ
⎥
⎥
⎢
⎢
Φ
+ΦΦ
F
t
F
A
d
eq
1
**
0
=
⎦
⎤
⎣
⎡
B
h
eq
τ
(3.51)
также
eq
п
т
л
отброшен. В качестве примера рассмотрим гетероэпитаксиальную систему Ge/Si(100) при
Отсюда, рассчитав равновесные параметры h
eq
/d
0
, A и B, а времена
τ
и t , зависящие
от кинетики роста, можно о ределить
Φ
*
. Это позволяет найти и все остальные
характеристики ансамбля островков. В большинстве практически важных случаев
уравнение (3.51) можно упростить. Для этого заметим, что в левой час и (3.51) стоит
произведение очень большой величины exp[F(
Φ
*
)] и очень малой величины (
τ
/t
eq
)
5/2
.
Величина активационного барьера нуклеации составляет не менее десятка единиц, а
величина
τ
/t
eq
есть отношение характерного времени поступления атомов в островки
(микропроцесс) и времени осаждения равновесного смачивающего с оя (макропроцесс) и
поэтому очень мала. Кроме того, заметный вклад в решение может давать и сомножитель
F
5/2
(
Φ
*
). Первый сомножитель в (3.51) с логарифмической точностью может быть
181
температуре поверхности 470
0
С. В этом случае h
eq
/d
0
=3.0 МС, A=2.59, B=0.617.
Предположим, что h
*
/d
0
=5.15 МС, тогда зарождение островков будет заметно уже при
52)
введенный в [147] кинетический контрольный параметр
толщине слоя Ge = 5 МС. Для данных параметров Ф
*
=0.72, логарифм первого
сомножителя в (3.51) = 1.8, а активационный барьер нуклеации F(
Φ
*
)=12, то есть почти в
7 раз больше. В результате, приближенное уравнение для определения
Φ
*
сводится к
QFF ln)2/5()(ln)2/5()(
**
=Φ+Φ
(3.
Здесь Q есть
τ
Q ≡
удовлетворяющий
eq
t
(3.53)
условию (5/2)lnQ>>1. Таким образом, в обеих частях уравнения (3.52)
F(
Φ
)
)()2/5()(
*
QuF =Φ
>>1 (3.54)
ку ентн ми со тнош иями кото
решать уравнение (3.52) итерациями при больших Q
Для системы Ge/Si(100) при
*
=0.72 и Q=4.9*10 F (
Φ
*
)=21.2, решение (3.55) дает
F(
Φ
*
)=14.5, а точное решение трансцендентного уравнения (3.51) F(
Φ
*
)=12.0. Нулевое
приближение в (3.55) u(Q)
≈
u (Q)=ln(Q) соответствует выражению F (
*
)=(5/2)lnQ,
приведенного
пользоваться точным решением
равнения
*
примерно 15-20%, тогда как использование первого приближения F
(1)
(
Φ
*
)=(5/2)lnQ может
решения (3.51), то во всех приведенных формулах величину U(Q) нужно понимать как
стоят величины, много большие единицы. Разрешая (3.52) относительно
*
, получим
Функция u(Q) определяется ре рр ы о ен , рые получаются, если
)5/2...(2,1,0)],()2/5ln[(ln)(
)0()()1(
≡=−=
+
unQuQQu
nn
(3.55)
Φ
3 (1)
1 (1)
Φ
использованному в [147-152]. Как видно из примера, для более точного
расчета кинетики формирования островков необходимо
у (3.51), приближенное уравнение (3.55) дает точность определения F(
Φ
)
почти в 2 раза завышать активационный барьер нуклеации [235]. Если
Φ
*
находить из
182
(2/5)F(
Φ
*
), где F(
Φ
*
) – барьер нуклеации, сосчитанный уже после разрешения (3.51)
относительно
Φ
*
.
Определив активационный барьер нуклеации при максимальной толщине
формулам (3.33), (3.35), (3.48), (3.50) нетрудно найти в явном виде
процесса зарождения когерентных островков. Выражая их через
смачивающего слоя, по
все характеристики
квазиравновесную температуру T
e
и кинетический контрольный параметр Q, получим
)(5
2
QTu
T
e
*
=Φ
(3.56)
Q
Qu
c
2
*
)(5
Φ
=
(3.57)
∗
=∆ tt
(3.58)
Qu )(
57.0
2/3
0
0
)(4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Q
Qu
T
T
d
h
l
N
e
eq
Время t
2
⎟
⎜
(3.59)
∗
начала перехода от двумерного к трехмерному росту равно
Φ
∗
t
eq
. Время
осаждения смачивающего слоя толщины h
*
, отсчитанное с момента начала осаждения,
равно (
Φ
∗
+1)t
eq
. Все полученные решения справедливы только в случае, когда остановка
роста происходит при закритической толщине осаждения, то есть при t
0
>t
∗
+
∆
t или
Н
0
>Н
∗
+
∆
Н. Формирование островков из перенапряженного смачивающего слоя
докритической толщины будет рассмотрен ниже.
Явное выражение для кинетического контрольного параметра Q следует из (3.53) с
учетом (3.20), (3.11) и t
eq
=h
eq
/V
V
T
Tk
d
dZ
kQ
B
ν
λεφ
λεφ
α
)(
))(1(
))(1(
ln
3
8
2
0
2
0
0
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
Ψ
=
(3.60)
Для температурной зависимости коэффициента диффузии естественно принять обычную
D
Z
000
2
аррениусовскую зависимость D(T)
∝
exp(-T
D
/T), где T
D
≡
E
D
/k
B
– характерная диффузионная
183
температура и E
D
– активационный барьер для диффузии атомов из смачивающего слоя в
островок под действием упругих напряжений. Тогда из (3.60) следует, что Q зависит от
емпературы поверхности T и скорости осаждения V следующим образом: т
⎟⎜
−∝
V
Q
exp
(3.61)
[]
⎞⎛
T
D
1
⎠⎝
TT
Подстановка (3.61) в (3.59) и использование первого приближения u(Q)
≈
lnQ приводит к
следующей зависимости плотности закритических островков (постоянной формы) от
температуры и скорости осаждения [147]
⎟⎜
−Λ∝ TVTTVTN
D
exp/)/ln(
2/52/3
(3.62)
тве случаев ln(
Λ
/VT)>>T
D
/T, поэтому основная VT-
П о
нная
зависимость имеет чисто
кинетическую природу (N зависит от кинетических параметров
⎠
⎞
⎝
⎛
T
T
D
2
3
2/3
Здесь
Λ
определяется из соотношения lnQ
0
=ln(
Λ
/V
0
T
0
)–T
D
/T
0
при каких-либо заданных
значениях T
0
и V
0
. В большинс
зависимость п сводится к N
∝
Vлотности островков
3/2
exp(3T
D
/2T). Таким образом, в
закритической области толщин осаждения плотность квантовых точек возрастает при
увеличении скорости осаждения и убывает при увеличении температуры поверхности
[147,148]. Этот результат подтверждается экспериментальными данными в системах
InAs/GaAs(100) [163-165,223] и Ge/Si(100) [166,233]. Качественное объяснение такого
поведения плотности островков заключается в следующем. При увеличении скорости
осаждения материала увеличивается число центров нуклеации на поверхности
, поэтому
растет и поверхностная плотность островков. ри увеличении температуры п верхности
становится более интенсивным диффузионный обмен атомами между смачивающим
слоем и островками. Поэтому скорость роста островков и их размер растут. При
фиксированной толщине осаждения количество материала в островках также
фиксировано, следовательно, их плотность должна уменьшаться. Отметим, что найде
184
T
D
и Q) и определяется, прежде
меньшей степени - термодинам
всего, характером эпитаксиального процесса, и в гораздо
III.5. Критическая толщина
Критическая толщина перехода от двумерного к трехмерному росту при
формировании квантовых точек по механизму Странского-Крастанова определяется как
эффективная толщина осажденного материала, при которой начинается зарождение
трехмерных островков на
поверхности. Она регистрируется in situ по характерному
изменению картины дифракции быстрых электронов на отражение с линейчатой на
точечную [34]. Найденное в предыдущем параграфе выражение (3.58) для
продолжительности стадии нуклеации при больших значениях u(Q) обеспечивает
выполнение сильных неравенств
ttt +<<∆
VthHH +=<<∆
Здесь
нераве
различ
нуклеа
меньшим, чем время осаждения
сма
которо
толщин
H
*
=H(t
а десо ческую толщину h
c
с
хор
Тогда и (3.56)
р
икой гетероэпитаксиальной системы.
*eq
;
** eq
(3.63)
∆
H=V
∆
t есть интервал толщин, в котором происходит зарождение островков. Эти
нства выражают иерархию времен фазового перехода на поверхности, связанную с
ными временными масштабами макро-процесса осаждения и микро-процесса
ции. Время нуклеации
∆
t оказывается много
чивающего слоя максимальной толщины. Соответственно, интервал толщин, в
м происходит зарождение островков, много меньше H
*
. Кроме того, максимальная
а смачивающего слоя h
*
примерно равна эффективной толщине осаждения
*
), поскольку количество материала в островках на стадии зарождения очень мало,
рбцией с поверхности можно пренебречь. Поэтому крити
ошей точностью можно положить равной H
*
(более точное выражение h
c
=H
*
-
∆
H).
з формулы с учетом определения
Φ
*
=Н
*
/h
eq
-1 следует вы ажение [235]
185
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2/1
)(5
2
QTu
T
eq
(3.64)
⎥
⎢
⎟
⎜
+≅
1hh
e
c
Зде
квазиравновесная с ,
кинети
поверх
u(Q)=l
й л
величиной, примерно равной
при которой зарождение когерентных
инт м
достигается за счет баланса процессов осаждения
потребления материала растущими островками.
3) Несмотря на
кинетическую природу критической толщины, ее численное значение
в основном определяется термодинамикой гетероэпитаксиальной системы и только
,
с н а
сь h
eq
– равновесная толщина смачивающего слоя, определяемая выражением (3.9), T
e
–
температура истемы определенная в (3.14), u(Q) – функция (3.55)
ческого контрольного параметра Q, определенного в (3.53), T – температура
ности. Выражение, полученное в работе [148] соответствует первому приближению
nQ для функции u(Q).
На основе полученного выражения (3.64) для критической толщины и выражения
(3.14) для квазиравновесной температуры T
e
можно сделать следующие выводы [154,235]:
1) Критическая толщина пропорциональна равновесно толщине смачивающего с оя
h
eq
, которая определяется энергетикой системы и слабо зависит от температуры
поверхности.
2) Критическая толщина является кинетической
максимальной толщине смачивающего слоя,
островков происходит с максимальной енсивностью. Этот максиму
материала на поверхность и
логарифмически зависит от кинетического параметра Q, поскольку U(Q)~lnQ. Так
критическая толщина слабо зависит от скорости о ажде ия матери ла. Этот вывод
находится в соответствии с результатами работ [43,44,236].
4) Критическая толщина уменьшается при увеличении рассогласования решеток
ε
0
,
примерно как
)/1(
2
0
ε
consthh
eqc
+∝
(если пренебречь логарифмическими
зависимостями от
ε
0
).
186
5) Критическая толщина
увеличении температ
для данной гетероэпитаксиальной системы уменьшается при
уры поверхности T примерно как
)/1( Tconsthh
eqc
+∝
.
6)
щина
превосходит критическую толщину. При экспозиции
возможно образование островков и в докритической
области толщин осаждения.
На Рис.46 приведена фазовая диаграмма для системы Ge/Si(100), взятая из обзора
[124]. Этот рисунок наглядно демонстрирует, как уменьшается критическая толщина при
увеличении температуры поверхности. Зависимость критической толщины от
рассогласования решеток качественно иллюстрируется Рис. 16 для системы In
x
Ga
1-
Резкий переход от двумерного к трехмерному росту при достижении критической
толщины наблюдается только в том случае, если эффективная тол
осажденного материала
структуры с h
eq
<H
0
<h
c
x
As/GaAs(100) (см. Главу I).
диаграмма состояний поверхности
в системе Ge/Si(100) [124].
Рис.46. Кинетическая фазовая
чек и их функция распределения по размерам
аналитических выражений для функции распределения
рассмотрим уравнение материального баланса (3.29) с учетом (3.26). Поскольку функция
распредел
,
III.6. Рост квантовых то
Для получения
когерентных островков по размерам в закритической области толщин осаждения
ения примерно симметрична вблизи среднего размера, представим число
атомов в островках в виде аналогичном (2.34)
187
)()(
3
00
tNztG =
9).
В резу
2/
2
h
ld
eq
(3.65)
Здесь N есть поверхностная плотность островков, определяемая выражением (3.5
льтате получим следующее нелинейное дифференциальное уравнение для z(t)
)()(
2/3
00
ttNz Φ=+
τ
[147,159], перейдем в этом уравнении к безразмерному
размеру островков l
≡
L
*
/L
R
2
h
ld
dt
dz
eq
(3.66)
Следуя работам
времени t
⇔
(t-t
*
)/t
R
и приведенному среднему латеральному
(напомним, что функция z(t) и средний размер островков L
*
(t) связаны соотношением
(3.27)). Здесь размер L
R
есть средний латеральный размер островков по окончании стадии
релаксации по размерам, то есть при
Φ→Φ
0
и ζ
→
0:
3/1
00
cot)(6
⎦
⎤
⎣
⎡
−
=
N
anhHd
L
eq
φ
Уравнение (3.67) есть просто выражение того факта, что по кончании стадии
релаксации по размерам все H
⎥⎢
R
(3.67)
о
0
-h
eq
количество материала окажется распределенным в
островках размера L
R
. Время
Q
t
Nl
h
eqeq
3/2
2
0
3/1
0
3
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ
t
R
=
есть характерное время релаксации по размерам ост )
уравнение (3.66) принимает вид
(3.68)
ровков. С учетом (3.67), (3.68
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
=+
0)0(
)(3
33
tl
tl
dt
dl
l
ϕ
(3.69)
где
ϕ
3
(t)
≡Φ
(t)/
Φ
0
–функция времени, учитывающая изменение во времени
эффективной толщины в процессе осаждения материала. Физический смысл уравнение
(3.69) следующий: при
ϕ
=const оно описывает эволюцию во времени среднего размера
188