Доспехов Б.А. Методика полевого опыта

Подождите немного. Документ загружается.

Критерий х

или

критерий

согласия (подобия), использует-

ся для оценки степени соответст-

вия эмпирических данных опре-

деленным теоретическим предпо-

сылкам, нулевой гипотезе (#

Гипотеза опровергается, если

ОС

Факт^х

теор, и не опровергает-

СЯ, еСЛИ 5С

факт<Х теор. Когда

фактические и теоретически ожи-

даемые частоты полностью сов-

падают,

= 0.

Распределение %

, так же как

и ^-распределение, частный слу-

чай ^-распределения при

= v и v

F (v

= со)

Рис.

42. Соотношение между нор-

мальным v=oo и t — распределе-

нием Стыодента (v = l и v=5).

оо:

„X

Распределение Пуассона. Когда наступление некоторого

события имеет очень малую вероятность, например небольшое

число раз на 1000 или

000 обычных явлений, то распределе-

ние случайной величины следует определенному закону редких

событий, который выражается формулой Пуассона:

р =

е-

х\

где Р — вероятность значения х; х— число редких событий, происшедших в

каждой большой группе (л;=0, 1, 2, 3 и т. д.); а —среднее число редких собы-

тий на каждую большую группу; х\ — произведение чисел от 1 до х (факто-

риал);

считается, что факториал нуля равен единице:

е — основание

натуральных логарифмов (е« 2,718).

Если событие х подчинено закону Пуассона со средней а, то

вероятности значений х =

1, 2, 3 и т. д. будут соответственно

равны:

,0/,-а

Р*-о=*

е-

е~

*-г

Р*=2 =

а*е-

Р*-з =

ае~

и т. д.

Распределение Пуассона определяется одним параметром

—

средней. Дисперсия этого распределения равна средней, т, е.

= a.

Отсюда следует, что все теоретические распределения мож-

но построить только на основании одной выборочной сред-

ней.

Распределение Пуассона является частным случаем бино-

миального распределения, когда в биноме

{p-\-q)

значение р

173

очень мало, a q стремится к бесконечности. Графически рас-

пределение редких событий представляет ассимметричную кри-

вую,

и асимметрия тем больше, чем меньше вероятность собы-

тия.

Примерами такого распределения могут служить количе-

ство сорняков в семенном зерне, число клеток в счетной камере,

рождение четырех—шести близнецов.

Глава 15

ВЫЧИСЛЕНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ

ПРИ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ИЗМЕНЧИВОСТИ ПРИЗНАКА

К количественным относят признаки, которые могут быть

охарактеризованы количественно,

—

урожай с делянки, число,

высота и масса растений, содержание белка и клейковины в

зерне и т. д. Различают два вида количественной изменчивости:

непрерывную и прерывистую или дискретную. В первом случае

значения признака выражены мерами объема, длины, массы и

т. д., во втором различия между единицами наблюдения выра-

жаются целыми числами, между которыми нет и не может быть

переходов, например число зерен в колосе и т. д.

Выборки, состоящие из 20—30 единиц наблюдения, называ-

ют малыми, а выборки большего объема

—

большими.

После изучения выборочная совокупность представляет со-

бой ряд варьирующих значений признака, записанных в той по-

следовательности, в какой они были получены. Статистические

характеристики вычисляются по формулам таблицы 9.

В таблице 9 через X обозначены отдельные значения при-

знака в малых выборках и групповые средние в больших вы-

борках; Хг—преобразованные значения исходных дат; А —

произвольное начало, условная средняя; f

—

частота, числен-

ность труппы; п

—

объем выборки; t

—

теоретическое значение

критерия Стьюдента.

Для вычисления средней арифметической и суммы квадра-

тов (числитель дисперсии) в таблице дано несколько формул.

Все они дают практически одинаковые результаты.

При вычислениях исходные даты целесообразно преобразо-

вать так, чтобы отбросить лишние цифры и опустить запятые.

Последние потом вновь восстанавливают. Преобразование (ко-

дирование) может осуществляться вычитанием от результатов

измерений одного и того же числа А, умножением или деле-

нием исходных дат на одно и то же число К, а также одновре-

менным проведением двух действий.

При работе с преобразованными (закодированными) дата-

ми необходимо иметь в виду, что вычитание или прибавление

условной средней А, т. е. изменение начала отсчета, не оказы-

вает влияния на сумму квадратов и поправка необходима лишь

174

9. Формулы для вычисления статистических характеристик

выборки при количественной изменчивости

Показатель

Малая выборка (не-

сгруппировапные дан-

ные)

Средняя арифмети-

—

_ 2Х 2Xf

ческая

Большая выборка (сгруппирован-

ные данные)

2/Х

-*+*?>

Дисперсия

2(Х

—х)

2Х

-2Х

п — \

- (2Х)

:л

л —1

-(SXi)

:л

л—1

~ л

— 1

S/X

—

(2/Х)»:л

2/Х^- (ZfX^:n

n—l

Стандартное отклоне-

ние

=V"s

Коэффициент вариа-

ции

—-100

Ошибка средней

уГп у «

Относительная ошиб-

ка средней

s_o/

-^L. юо

Доверительный ин-

тервал для средне-

го значения

x±ts~

Степень свободен

я—

175

при определении средней арифметической. Если преобразова-

ние осуществляется путем умножения или деления, то для по-

лучения окончательных результатов среднее арифметическое и

сумму квадратов надо скорректировать: среднее

— в

первом

случае надо разделить, во втором

—

умножить на число кода К,

а сумму квадратов соответственно разделить или умножить

на К

§ 1. МАЛЫЕ ВЫБОРКИ {НЕСГРУППИРОВАННЫЕ ДАННЫЕ)

Пример 1. При определении содержания фосфора.в растительном мате-

риале получены следующие результаты (в г Р

Об на 100 г сухого вещества):

0,56; 0,53; 0,49; 0,57; 0,48. Необходимо вычислить х, s

— 95%-ные и 99%-ные

доверительные интервалы для среднего значения совокупности.

Решен и е. Целесообразно исходные даты преобразовать по соотноше-

нию Xi=XK—А =Х-100—50, т. е. умножить каждое значение X на 100, а затем

отнять условную среднюю' /1=50. В итоге получим ряд однозначных цифр,

удобных для вычисления статистических показателей. При наличии вычисли-

тельной машины расчеты можно вести без преобразования по исходным датам.

В таблице 10 представлено три способа вычисления суммы квадратов от-

клонений, и легко убедиться в рациональности преобразования исходных дат.

При вычислении статистических характеристик записи рекомендуется ве-

сти в такой последовательности:

_ SX 2,63

х= = —х— =

0,526

г;

по'

2(Х — х)

0,00652

*= n-1 =-5-=rr-=o>"Oi6;

- ' , s 0,04

s=y

*= ]/0,0016 = 0,04 г;

=—.100=

526

-100=7,60%;

-i/s

-1/0,0016

п nin

=V~

= ]/"ИГ-= 0,018 г;

S—

П П18

s. % = -^.Ю0=

526

.100 = 3,42% (отн.);

x~±t

= 0,526±2,8-0,018 = 0,526 ±0,050 (0,48 ч-0,58) г;

*±

= 0,526 ±4,6-0,018 = 0,526 ±0,083(0,44 -ь 0,61) г.

Теоретические значения t берут из таблицы 1 приложения для 5%-ного и

1%-ного

уровня значимости при степенях свободы

п—1

= 5—1=4.

Итак, средняя изучаемой совокупности с 95%-ным уровнем вероятности

находится в интервале 0,48-^-0,58 и с 99%-ным уровнем — в интервале 0,44-*-

-ъ0,61 г. P^Os на 100 г сухого вещества. Вероятность ошибочного заключения

в первом случае составляет 5%, а во втором — 1%. Абсолютная ошибка сред-

ней s^*=0,018 г и относительная ошибка sj=3,42%; коэффициент вариации

V=7,6%

характеризует в данном примере ошибку параллельных анализов.

Пример 2. В вегетационном опыте получены урожаи томатов по парал-

лельным сосудам (г/сосуд): 578, 564, 539, 604, 551, 468. Определить х, s~,

sj-% и 95%-ный доверительный интервал для среднего значения совокупности.

Решение. Вычисления средней арифметической и суммы квадратов от-

клонений удобно вести по датам, преобразованным по соотношению Х=

=Х—А=Х—550. При наличии вычислительной машины эти показатели рас-

176

10. Способы вычисления средней арифметической и суммы

квадратов

отклонений

11.

Вычисление средней арифметической и сумма квадратов

отклонений

Вычисления по

исходным датам X

Вычисления по преобразованным

датам Xi

(А

=550)

X,*

578

564

539

604

551

468

334 084

318^096

290,521

364:816

303,601

219 024

—11

—82

784

196

121

2916

6724

2Х=3304

Средняя х

2Х

830 142

SX 3304

ггл

„

п - 6 ~

550

2JX.*

= 4

Л+

2Х1

А+

ЪХ

= 10 742

ГКП

I КК(\ 7

•—

1>DU

-J-

г.

•—

OOU,

Сумма квадратов 2Х

— (2Х)*-.п = 2Х,* — (2Х

)*\п = 10742 —

2(Х —Ъ* =1830142— —(4)

:6= 10739,3

v }

— (3304)

:6 =

= 10 739,3

«считывают по исходным данным (табл. 11).

_ ZX

= 550,7 г/сосуд;

„ 2(Х — хУУ^ 10739,3 „,

a _ —i —L-' _ —_ .— _ 2147,9;

п —

1 6

—

' '

s = /s

= /2147,9 = 46,3 г/сосуд;

s 46,3

-i/2147,9

__.

у _g—^

18j9 г

/сосуд;

*х 18,9

s.%

= -=-10О = -550Т7~

,100==3

/о (om):

7±

&-.*=

550,7 ± 2,6-18,9 = 550,7± 49,1 (502-г- 600).

§ 2. БОЛЬШИЕ ВЫБОРКИ (СГРУППИРОВАННЫЕ ДАННЫЕ)

При большом числе исходных наблюдений результаты не-

обходимо представить в виде систематизированного вариацион-

ного ряда. Систематизация сводится к распределению отдель-

ных значений по группам, или классам. Число групп зависит от

•объема выборки: при 30—60 наблюдениях рекомендуется выде-

лить 6—7 групп, при 60—100 наблюдениях

—

7—8,

а если чис-

ло наблюдений более 100, то выделяют 8—15 групп. Ориенти-

ровочно число групп равно корню квадратному из общего числа

наблюдений.

478

Необходимо иметь в виду, что выделением большого числа-

групп можно затушевать общую картину распределения слу-

чайными отклонениями,, а если взять слишком мало групп

(меньше 5—6), то нельзя выяснить характерную особенность

распределения изучаемого признака в совокупности.

После установления числа групп необходимо определить ве-

личину интервала, верхнюю и нижнюю границу каждой груп-

пы,

групповые или средние значения вариант и частоты.

Величину интервала, т. е. промежутки, на которые разби-

вается ряд варьирующих признаков, определяют по формуле:

число групп k '

При интервальной группировке допускают, что в каждом

интервале включены варианты, имеющие одинаковое значение-

варьирующего признака, равное центральному значению каж-

дой группы.

На правильное определение интервала для групп (классов)

следует обратить серьезное внимание. Величина промежутка

между границами соседних групп должна быть всегда одной и

той же, границы групп необходимо наметить так, чтобы одно-

и то же значение не повторялось в двух классах. Конец каждой

группы должен быть меньше начала следующей на величину,,

равную'принятой точности измерения. Если, например, первая

группа заканчивается' величиной 60, то следующая должна на-

чинаться цифрой 61, а если первая группа заканчивается циф-

рой 60,5, то следующая должна начаться цифрой 60,6 и т. д.

Не обязательно за начало первой группы брать минималь-

ное значение признака. Лучше за начало принять целое число

с таким расчетом, чтобы минимальная варианта попала при-

мерно в середину первого класса.

Например, если установлено значение интервала £= 10 и

признак варьирует от 45,4.до 115,2, то начала групп можно»

установить следующие: 40, 50,

60,...,

100,

ПО.

При непрерывной изменчивости срединные или групповые

значения вариант устанавливают прибавлением к началу каж-

дой группы половины интервала. В нашем примере для первой

группы срединное значение равно 40+-2" =45, для второй*

50+у =

и т. д.

Иногда удобнее установить сначала групповые варианты,

а затем определить границы классов. Начало группы находят

вычитанием от групповой варианты половины значения интер-

вала, а конец

—

прибавлением половины интервала, уменьшен-

ного на величину, равную точности измерения. Например, если,

установлены групповые варианты, равные 45, 55, 65 и т. д.„

а 1=10, то началами групп будут соответственно 45 о =40;

12*

шь-

55:—я-

—50; 65—-п =

и т. д., а концами при точности изме-

рения 1 будут 45+ (——Л =49; 55+ (у—О =

59 и

т. Д.,

а при точности измерения 0,1 границы групп будут равны 49,9;

.59,9;

69,9 и т. д.

Частоту встречаемости признака в каждой группе устанав-

ливают путем разноски исходных дат по классам. Чтобы избе-

жать ошибок и сэкономить время при распределении вариант

по группам, рекомендуется не искать одинаковые варианты в

совокупности, а разносить их подряд по группам, что не одно и

то же. Для разности целесообразно пользоваться одним из

следующих способов.

Способ «штрихов». В исходных данных зачеркивают первую

.дату и заносят ее в соответствующую строчку (группу) рабо-

чей таблицы, отмечая вертикальной чертой. Затем зачеркива-

ют вторую дату и также переносят ее в таблицу.

В таблице первые четыре даты в каждом классе отмечают

вертикальными черточками, а пятую

—

в виде диагонали.

Способ «конвертиков». Первые четыре даты в каждой груп-

пе изображают точками по углам квадрата; следующие четыре

даты 5—8 отмечают в виде сторон квадрата, соединяющих ра-

.нее нанесенные точки, 9-ю и 10-ю даты

— в

виде диагоналей.

Таким образом, каждый десяток отмечают в виде «конвер-

тика» '

]р1 )

Сумма частот всех групп 2/ должна быть равна объему вы-

«борки п. Правильность разноски проверяют повторным состав-

лением рабочей таблицы. После определения групповых вари-

ант и разноски дат по группам непрерывный вариационный

-ряд будет трансформирован в прерывистый, или дискретный.

При этом исходные даты, попав в соответствующие группы, при-

равниваются по величине к групповым срединным значениям,

•которые и используются для расчетов средней арифметической

и других показателей. Такая трансформация непрерывного ряда

в прерывистый связана с потерей части информации, и поэто-

,му метод расчета статистических характеристик по сгруппиро-

ванным данным не является абсолютно точным. Однако для

больших выборок погрешности метода незначительны и ими

можно пренебречь.

Чтобы наглядно представить закономерность распределения

•^изучаемого признака в совокупности, вариационные ряды при-

нято изображать графически в виде ступенчатого графика-гис-

-тограммы или полигона

—

ломаной линией, соединяющей сред-

ние значения групп. Графическое изображение вариационного

.ряда называется кривой распределения.

Группировка и расчеты статистических показателей при не-

прерывной изменчивости показаны в примере 3.

380

При

90,1

76,2

79,9

(45,4)

72,4

70,7

79,1

77,0

92,1

89,4

мер 3. Т

109,9

82,2

81,4

59,1

68,5

67,0

78,0

76,1

91,6

85,4

ехннчеа

99,1

80,0

84,0

60,1

80,7

100,4

83,9

88,1

76,7

93,1

гая длина стебля

100,1

68,4

108,2

63,3

81,2

103,4

92,2

89,7

79,0

90,0

(115,3)

69,4

83,3

78,2

84,4

69,0

93,2

94,1

73,5

79,0

(см) у

68,0

74,4

81,7

87,0

77,0

72,4

81,3

82,0

84,4

83,0

•100 растений

70,4

72,2

99,4

94,7

79,8

74,4

82,0

80,1

79,7

91,0

72,3

69,4

98,0

91,5

81,6

66,1

86,4

81,0

84,0

87,2

льна:

73,0

80,0

102,4

88,2

84,3

67,3

89,1

77,0

79,6

80,3

70,1

59,2

101,7

90,1

50,2

52,0

93,5

80,0

84,1

54,7

Необходимо сгруппировать эти данные, определить статистические харак-

теристики х, s, V, s

, x±t

0t5

и начертить ступенчатый график

—

гистограмму

и полигон распределения 100 растений льна по технической длине стебля.

Решение. Длина стеблей варьирует непрерывно н может принимать

любые значения от минимальной (45,4 см) до максимальной (115,2 см). Следо-

вательно, это пример непрерывной количественной изменчивости и целесооб-

разно провести интервальную группировку. Работу рекомендуется вести в та-

кой последовательности.

Установить число групп (классов), величину интервала, начало и конец

каждой группы и групповые варианты.

При объеме выборки, равном 100, целесообразно сгруппировать данные в

8—10 классов. Величину интервала находят делением размаха варьирования

i? —разности экстремальных (крайних) значений на число групп к. Лучше,

чтобы величина интервала была равна целому числу или целому с половиной,

если даже число групп будет при этом несколько большим или меньшим ука-

занных выше ориентировочных чисел. В нашем примере /?=Х

ма

кс—^

ин=«

11.

Разнос/fa

исходных,

дат по группам

Группа

Способ

„штрихов"

Способ

„ канВвртинаВ"

/. Щ0-

49,9

50,0-

59,9

60,0-

69,9

4, 70,0-

79,9

5, 80,0-

89,9

£,.90,0-

99,9

7. 100,0-

109,0

110,0

120,0

ЦП

Ш1 Ш11

UflUfllHIIMIHII

HIHIIRIIMUfllll

или

Will

a «

а с

w Ь

а о

/ 45

5 55

{I 65

26 75

33 85

15 95

7 105

( U5

Сумма

№

181

13.

Группировка данных и вычисление средней арифметической

Группа Разноска дат

Частота f

ГруппоВые

Варианты X

4-0,0-

50,0

80,0

70,0

80,0

90,0

100,0

110,0-

-49,9

-59,9

'69,9

-79,9

-89,9

-99,9

-109,9

-120,0

в «I

в—в

5 •

2В

1В

105

115

Сумма

100

Средняя

Z\2

Сумма нВадратоВ

Zf{X~x)

= 115,2—45,4=69,8 см, и поэтому целесообразно разбить вариационный ряд

на k—1 групп. В этом случае величина интервала будет целым числом:

число групп

115,2—45,4

= 9,97 « 10 см.

Если величина интервала не равна целому числу, то ее округляют до чис-

ла знаков в исходных датах.

Начало каждой группы находят последовательно, прибавляя к минималь-

ному значению признака Х

мин

величины интервала L Первая группа будет*

начинаться с 45,4, вторая —с 45,4+10=55,4, третья —с 55,4+10=65

и т. д.

Конец предшествующей группы должен отличаться от начала следующей на

величину, равную точности измерения, т. е. на 0,1 см. Следовательно, коней

первой группы будет равен

55,4—0,1

55,3,

второй

—

65,4—0,1=65,3 и т. д.

Конец яоследней седьмой группы равен Х

макс

= 115,2.

182