Добржанська О.Л. Системний аналіз

Подождите немного. Документ загружается.

Конспект лекцій з дисципліни "Системний аналіз", укладач Добржанська О.Л.

Охарактеризувати поняття "дисперсія випадкової величини". Навести

приклад.

7. Охарактеризувати поняття "середньоквадратичне відхилення

випадкової величини". Навести приклад.

8. Порівняти поняття залежність та сумісність подій. Навести приклад.

9. Охарактеризувати поняття повна імовірність подій. Навести приклад.

10. Дати визначення поняття "розподіл випадкової величини". Навести

приклад.

Джерела інформації : [2, 4, 11, 18]

Конспект лекцій з дисципліни "Системний аналіз", укладач Добржанська О.Л.

ТЕМА №4. ШКАЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН.

ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНОЇ ГІПОТЕЗИ

4.1. Н

ОМІНАЛЬНА

РАНГОВА

ІНТЕРВАЛЬНА ТА ВІДНОСНА ШКАЛА

(НЕПАРАМЕТРИЧНА СТАТИСТИКА) ................................................................. 32

4.2. П

ОНЯТТЯ СТАТИСТИЧНОЇ ГІПОТЕЗИ

............................................. 33

4.3. К

РИТЕРІЙ

ХІ

КВАДРАТ

ПЕРЕВІРКИ СТАТИСТИЧНОЇ ГІПОТЕЗИ

4.4. В

ИКОРИСТАННЯ КОЕФІЦІЄНТА КОНКОРДАЦІЇ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ

СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ

................................................................................ 34

ИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

.......................................................... 34

4.1. Н

ОМІНАЛЬНА

РАНГОВА

ІНТЕРВАЛЬНА ТА ВІДНОСНА ШКАЛА

(

НЕПАРАМЕТРИЧНА СТАТИСТИКА

)

Прийнято використовувати чотири види шкал:

Nom. номінальна шкала — застосовується до тих величин, що не

мають природної одиниці виміру. Якщо деяка величина може набувати за

номінальною шкалою значення X, Y чи Z, то справедливими вважаються

тільки вирази типу: (X

≠

Y), (X=Z).

Ord. порядкова (рангова) шкала — застосовується до тих величин,

що не мають природних одиниць виміру, але дозволяють застосовувати

поняття переваги одного значення над іншим. Іноді говорять про ранги

значень таких величин. Якщо деяка величина може приймати на

порядковій шкалі значення X, Y чи Z, то справедливими вважаються

тільки вирази типу: (X

≠

Y), (X=Z), (X

Y), (Y

Z), (Z

≤

X), (Z

≥

Y).

Кількісні шкали: Int. інтервальна шкала; Rel. відносна шкала.

Ці дві шкали застосовується до тих величин, що мають натуральні

розмірності. Для таких величин припустимі всі арифметичні дії. Якщо

деяка величина може приймати на кількісній шкалі значення X, Y чи Z, то

справедливими вважаються вирази типу: (X

≠

Y), (X=Z), (X

Y), (Y

Z),

≤

X), (Z

≥

Y), (X

Y), (Z

−

X), (Y

•

Z), (Z

X).

Різниця між інтервальною та відносною шкалою:

Схематично інтервальна шкала виглядає: 0_______________

+∞

а відносна:

−∞

_______________0_______________

+∞

тобто інтервальна шкала не має від’ємних значень, а 0 (нуль) на

інтервальній шкалі означає відсутність значення.

Оскільки в аналітичному досліджені можуть бути використані різні

типи шкал (номінальна, рангова, інтервальна, відносна) то виникає

питання про особливості обрахування коефіцієнту кореляції при

використанні даних, що виміряні за різними шкалами.

Конспект лекцій з дисципліни "Системний аналіз", укладач Добржанська О.Л.

4.2. П

ОНЯТТЯ СТАТИСТИЧНОЇ ГІПОТЕЗИ

Статистичних гіпотез завжди дві і вони взаємовиключні. Одну з них

називають нульовою гіпотезою Њ

, а другу – альтернативною гіпотезою

що завжди протилежна нульовій.

Для процедури перевірки статистичних гіпотез існує поняття рівня

значимості результатів спостережень. Теорія ймовірностей розділяє події

на три класи: звичайні, рідкісні і виняткові. При цьому спостереження

виняткової події дає підстави вважати, що причина його настання

невипадкова, бо має місце впливу деякого фактора.

Метод виділення рідкісних подій пропонує вважати подію рідкою,

якщо її імовірність не перевищує 5 %, таке значення є умовним і залежить

від поставленої задачі. У деяких випадках рідкими вважають події з

імовірністю не більш 1 %, хоча саме використання п’яти відсоткового

рівня значимості прийнято майже у всіх прикладних напрямках

статистики, у тому числі й в економіці.

Якщо спостереження відносяться до рідких подій (з імовірністю до

5 %), то такі спостереження і результати їхньої обробки називають

статистично значимими. Якщо імовірність деякого результату

спостереження в умовах основної гіпотези виявиться дуже малою, то чим

вона менше, тим більше підстав відхилити Њ

. З іншого боку, якщо

відбудеться дуже рідкісна подія то значимість такого спостереження

надзвичайно висока.

Статистичний критерій - правило відповідно якого приймається чи

відхиляється та чи інша гіпотеза.

На жаль, не існує єдиного, універсального критерію значимості – їх

доводиться розробляти в теорії і використовувати на практиці відповідно

до особливостей конкретних задач.

4.3. К

РИТЕРІЙ

ХІ

КВАДРАТ

ПЕРЕВІРКИ СТАТИСТИЧНОЇ ГІПОТЕЗИ

Існує досить великий клас задач де випадкові величини мають

більше двох припустимих значень. У таких задачах використовується

критерій

, за формулою:

()

∑

−

, де

- теоретичні дані, W

- експериментальні дані, k - кількість

інтервалів на шкалі. Сума береться за всіма припустимими значеннями

випадкової величини.

Ця випадкова величина була запропонована видатним статистиком

Р.Фішером для перевірки гіпотез що до відповідність вибіркового

розподілу деякому заданому закону.

Отримане значення χ

називають емпіричним, тобто отриманим

експериментальним шляхом. Існують статистичні таблиці (Додаток 1)

Конспект лекцій з дисципліни "Системний аналіз", укладач Добржанська О.Л.

функції F(χ

) з розрахованими критичними значеннями χ

для різних рівнів

значимості та числа ступенів свободи v=(k-1). Саме різниця між

емпіричним значенням χ

та табличним критичним значенням χ

кр

впливає на прийняття (відхилення) гіпотези.

4.4. В

ИКОРИСТАННЯ КОЕФІЦІЄНТА КОНКОРДАЦІЇ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ

СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ

Випадкові величини, що вимірюються за ранговою шкалою Ord, як

правило мають більше ніж два припустимих значення, тобто

припускається наявність декількох фіксованих значень, упорядкованих за

деякою ознакою, чи властивості. У цих випадках говорять, що випадкова

величина може бути величиною “першого рангу”, “другого рангу” і т.п.

Існують і різні, обґрунтовані й апробовані методи аналізу таких

величин. Відмінність між ними полягає лише у способі розрахунку

критерію, прийнятті чи відкиданні нульової гіпотези.

Один з таких методів, що найчастіше використовується для аналізу

експертних оцінок, запропоновано М. Кендаллом і має назву "показник

погодженості рангів" чи коефіцієнт конкордації:

W = S / S

max

, де S - сума квадратів відхилень;

max

• (n

– n) / 12, де

m - кількість експертів; n - кількість факторів;

Числове значення коефіцієнта конкордації знаходиться в межах

0≤W≤1. При W =1 спостерігається максимальна погодженість, при W=0

погодженості немає.

ИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Охарактеризувати базові поняття статистичної гіпотези.

2. Охарактеризувати основні кількісні показники соціальних систем.

3. Визначити суть основної та альтернативної гіпотез дослідження.

4. Визначити алгоритм остаточного вибору робочої гіпотези.

5. Проаналізувати принципи виділення рідких подій.

6. Охарактеризувати поняття статистичного критерію.

7. Охарактеризувати випадкову величину χ

8. Порівняти поняття теоретичного та емпіричного значення χ

9. Проаналізувати метод перевірки статистичної гіпотези за допомогою

критерію "хі-квадрат".

10. Проаналізувати метод перевірки статистичної гіпотези за допомогою

використання коефіцієнта конкордації.

Джерела інформації : [1, 3, 5, 9, 10, 13, 15, 17]

Конспект лекцій з дисципліни "Системний аналіз", укладач Добржанська О.Л.

ТЕМА №5. АНАЛІЗ ВЗАЄМОЗАЛЕЖНОСТІ

5.1. З

АЛЕЖНОСТІ ТА ВЗАЄМОЗВ

ЯЗОК ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ В СИСТЕМІ

УНКЦІОНАЛЬНА ТА СТАТИСТИЧНА ЗАЛЕЖНІСТЬ

......................................... 35

5.2. А

НАЛІЗ ВЗАЄМНОЇ СПРЯЖЕНОСТІ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

......... 36

5.3. К

ОЕФІЦІЄНТ

ІРСОНА

. К

ОЕФІЦІЄНТ

УПРОВА

.......................... 36

5.4. КОЕФІЦІЄНТ КОНТИНГЕНЦІЇ. КОЕФІЦІЄНТ АСОЦІАЦІЇ ............... 37

ИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

.......................................................... 38

5.1. З

АЛЕЖНОСТІ ТА ВЗАЄМОЗВ

ЯЗОК ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ В СИСТЕМІ

УНКЦІОНАЛЬНА ТА СТАТИСТИЧНА ЗАЛЕЖНІСТЬ

З'ясування ступеня інтенсивності зв'язків між підсистемами дає ключ

до розуміння природи досліджуваного явища, сутності його властивостей,

їх взаємовпливу і взаємозумовленості.

Існують два основних види залежностей:

−

функціональні;

−

статистичні.

Функціональні залежності спостерігаються тоді, коли одній

властивості випадкової величини однозначно відповідає одне або кілька

значень іншої. Функціональна залежність двох кількісних змінних полягає

в тому, що кожному значенню однієї змінної завжди відповідає визначене

значення іншої змінної.

Статистичні залежності спостерігаються тоді, коли одній властивості

випадкової величини відповідає множина значень іншої властивості у

вигляді статистичного розподілу. На відміну від функціональної

залежності, коли кожному значенню однієї ознаки завжди відповідає

визначене значення іншої, при статистичній залежності тому самому

значенню однієї ознаки можуть відповідати різні значення іншої.

Якщо виявлено, що кожний раз, коли змінюється величина A,

змінюється і величина B, то можна зробити висновок - "величина A

впливає на величина B", тобто між змінними А та В є причинна

залежність. Змінні величини залежні, якщо у наявних спостереженнях їх

значення систематично погоджені.

Можна відзначити дві найпростіші властивості взаємозалежності між

змінними величинами:

−

величина взаємозалежності;

−

надійність взаємозалежності.

Величина залежності і надійність представляють дві різні

характеристики залежностей між змінними. Проте, не можна сказати, що

Конспект лекцій з дисципліни "Системний аналіз", укладач Добржанська О.Л.

вони зовсім незалежні. Чим більше величина залежності (зв'язку) між

величинами, тим більше вона надійна.

5.2. А

НАЛІЗ ВЗАЄМНОЇ СПРЯЖЕНОСТІ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

В якості числової характеристики, що визначає взаємний вплив

випадкових величин можуть використовуватися коефіцієнти взаємної

спряженості. В основі коефіцієнтів взаємної спряженості лежить показник

спряження χ

між розподілами двох властивостей, тобто визначення

ступеня збіжності (спряженості) емпіричних умовних розподілів

випадкових величин (XУ) при різних значеннях Y

з безумовним

розподілом випадкової величини X за формулою:

()

∑

−

, де

- теоретична відносна частота, W

- експериментальна відносна

частота, k - кількість інтервалів на шкалі.

Чисельник формули виражає різницю між частотами теоретичного й

емпіричного розподілів кожного доданка, піднесену до квадрата; дріб у

цілому визначає відносну частку розбіжності для кожного доданка; сума

виражає загальну відносну розбіжність емпіричного й теоретичного

розподілів.

Якщо емпіричний і теоретичний розподіли випадкової величини

збігаються, то різниці між відповідними частотами дорівнюють нулю, і χ

=0. Чим більші ці різниці, тим більше емпіричний розподіл не збігається з

теоретичним законом.

5.3. К

ОЕФІЦІЄНТ

ІРСОНА

. К

ОЕФІЦІЄНТ

УПРОВА

Сам по собі χ

залежить від n і не є нормованою величиною тісноти

зв'язку. Коефіцієнт зв'язку між властивостями не повинен залежати від

кількості спостережень і має перебувати в межах від нуля до одиниці.

Кількісними показниками спряженості величин є два коефіцієнти взаємної

спряженості:

коефіцієнт Пірсона:

коефіцієнт Чупрова:

))(( 11

−−

lkn

де (k - 1)(l - 1) = v - кількість ступенів свободи.

Мінімальне значення кожного з цих коефіцієнтів дорівнює нулю.

Результат χ

дорівнює 0, виражає факт незалежності Х від У.

Максимальне значення кожного з цих коефіцієнтів дорівнює

одиниці. Результат χ

дорівнює знаменнику, виражає факт сильної

залежності Х від У.

Конспект лекцій з дисципліни "Системний аналіз", укладач Добржанська О.Л.

Хоча коефіцієнти Пірсона і Чупрова відображають одне й те саме

явище, вони не рівні у загальному випадку. В загальному випадку

коефіцієнт Пірсона перевищує коефіцієнт Чупрова в квадратний корінь з

числа ступенів свободи:

5.4. К

ОЕФІЦІЄНТ КОНТИНГЕНЦІЇ

. К

ОЕФІЦІЄНТ АСОЦІАЦІЇ

Формулу для обчислення коефіцієнта взаємної спряженості Чупрова

використовують також для визначення зв'язку, коли обидві змінні

обмірювані за номінальною шкалою. Традиційний підхід до аналізу зв'язку

між номінальними ознаками заснований на перевірці припущення про

статистичну незалежність розглянутих ознак у випадкових величин.

Спільний розподіл двох таких величин Х та У наведено в таблиці:

"НІ" "ТАК" СУМА

"НІ"

a b a+b

"ТАК"

c d c+d

СУМА

a+c b+d n

Показники a, b, c, d обумовлюють кількість об'єктів, що володіють

сполученням відповідних властивостей.

Якщо обидві змінні обмірювані за номінальною шкалою, кількість

інтервалів на шкалі для них k=l=2 (існує тільки два значення "ТАК", "НІ"),

відповідно число ступенів свободи v=(k-1)(l-1)=(2-1)(2-1)=1.

Коефіцієнт взаємної спряженості для двох змінних обмірюваних за

номінальною шкалою, називається коефіцієнтом контингенції та

розраховується за формулою:

))()()((

dbcadcba

bcad

++++

−

Для оцінки ступеня зв'язку між двома змінними, що вимірюються за

номінальною шкалою, крім коефіцієнта контингенції, можна

використовувати коефіцієнт асоціації:

bcad

−

Обидва коефіцієнти Φ і Q приймають значення від -1 до +1 і

дорівнюють 0, якщо величини статистично незалежні.

Коефіцієнт Φ приймає значення + 1, якщо b=0 і с=0. Значення -1

коефіцієнт Φ приймає у випадку, коли а=0 і d=0.

Коефіцієнт Q приймає значення +1 у випадку повного позитивного

зв’язку, тобто коли c=0 чи b=0. Значення -1 коефіцієнт Q приймає у

випадку повної негативної зв'язаності, коли а=0 чи d=0.

Конспект лекцій з дисципліни "Системний аналіз", укладач Добржанська О.Л.

Коефіцієнт контингенції завжди менший за коефіцієнт асоціації.

Зв’язок між величинами вважається підтвердженим, якщо Q≥0.5 чи Φ ≥0.3.

Самий точний прогноз досягається в ситуації, коли для кожного із

значень однієї ознаки можна однозначно визначити відповідне значення

іншої. Таким чином, сучасне трактування поняття "повний зв'язок" між

величинами Х і Y означає, що знання значення Х усуває будь яку

невизначеність у знанні значення Y. Для зменшення невизначеності

необхідно збільшити кількість інформації.

ИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Охарактеризувати залежності та взаємозв'язок випадкових подій в

системі.

2. Порівняти функціональну та статистичну залежність.

3. Визначити властивості взаємозалежності.

4. Проаналізувати величину "хі-квадрат", як показник спряження величин

в системі.

5. Проаналізувати коефіцієнт Пірсона, як кількісний показник спряження

величин в системі.

6. Проаналізувати коефіцієнт Чупрова, як кількісний показник спряження

величин в системі.

7. Порівняти коефіцієнт Чупрова та коефіцієнт Пірсона.

8. Проаналізувати коефіцієнт контингенції, як кількісний показник

спряження величин в системі.

9. Проаналізувати коефіцієнт асоціації, як кількісний показник спряження

величин в системі.

10. Порівняти коефіцієнт контингенції та коефіцієнт асоціації.

Джерела інформації : [1, 4, 8, 10, 15, 17]

Конспект лекцій з дисципліни "Системний аналіз", укладач Добржанська О.Л.

ТЕМА №6. КОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗ

6.1. К

ОРЕЛЯЦІЯ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

. К

ОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗ

ОЕФІЦІЄНТ КОРЕЛЯЦІЇ

................................................................................. 39

6.2. Д

ОСЛІДЖЕННЯ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ КОРЕЛЯЦІЇ ВІД ВИБОРУ ШКАЛИ

ВИМІРЮВАННЯ

................................................................................................ 40

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ .......................................................... 42

6.1. К

ОРЕЛЯЦІЯ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

. К

ОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗ

ОЕФІЦІЄНТ КОРЕЛЯЦІЇ

Кореляційний аналіз - сукупність методів виявлення кореляційної

залежності між випадковими величинами чи ознаками.

Для числової оцінки можливого зв'язку між двома випадковими

величинами: Y(із математичним очікуванням M

і середньоквадратичним

відхиленням S

) та X (із математичним очікуванням M

середньоквадратичним відхиленням S

) використовується коефіцієнт

кореляції:

))((

yix

yxyx

MYMX

nSSSS

−−••==

∑

де n - кількість спостережень,

))((

yix

MYMX

−−•

∑

, що ґрунтується на використанні

змішаного моменту між випадковими величинами Х та У.

Цей коефіцієнт може приймати значення від -1 до +1 — у

залежності від тісноти зв'язку між даними випадковими величинами.

Основні властивості коефіцієнта кореляції :

1. Числове значення коефіцієнта кореляції знаходиться в межах:

-1≤R

≤1.

2. Залежність між X і Y тим сильніша, чим R

 за модулем

ближче до 1.

3. Якщо R

>0, тоді зі зростанням X у середньому зростає і Y.

4. Якщо R

<0, тоді при зростанні X величина Y у середньому

зменшується.

5. При R

=0, величини X і Y називають некорельованими ї їх

можна вважати випадковими та незалежними.

6. При R

=1 спостерігається лінійний зв'язок між X і Y (саме тому

часто говорять про лінійну кореляцію).

Конспект лекцій з дисципліни "Системний аналіз", укладач Добржанська О.Л.

Значення коефіцієнта парної кореляції вказує на близькість

залежностей властивостей X і Y до функціональної та про ступінь

інтенсивності їх зв'язку. Слабка кореляція, тобто слаба "чутливість" однієї

властивості до змін іншої через її "недостатню реакцію" (тільки в

середньому), зумовлює слабку "керованість" однієї властивості шляхом

зміни іншої.

В системному аналізі доводиться вирішувати питання і про зв'язок

декількох (більше за двох) випадкових величин, тобто питання про

множинну кореляцію.

Нехай X, Y і Z - випадкові величини, за результатами

спостереженнями над який встановлено їх математичні очікування M

, M

Mz і середньоквадратичні відхилення S

, S

Тоді можна знайти парні коефіцієнти кореляції R

, R

по

наданій вище формулі. Але цього явно недостатньо - адже для кожного із

трьох коефіцієнтів відсутні відомості про вплив третьої випадкової

величини.

Якщо змінна X корелює зі змінною Y, враховуючи вплив всіх інших

незалежних змінних, таку кореляцію іноді називають приватною

кореляцією.

Якщо одна величина корелюється з іншою, то це може бути

відображенням того факту, що вони обидві корелюються з третьою

величиною чи із сукупністю величин.

У випадках множинного кореляційного аналізу розраховуються

приватні коефіцієнти кореляції — наприклад, оцінка впливу Z на

зв'язок між X і Y:

xy.z

Rxy- Rxz Ryz

[1 (Rxz)

] [1 (Ryz)

]

•

−•−

Коефіцієнти множинної кореляції R

x.yz

, R

y.zx

, R

z.xy

визначають

який зв'язок між даною випадковою величиною і сукупністю інших,

формули для обчислення яких побудовані по тим же принципам —

урахування зв'язку однієї з величин із всіма іншими в сукупності.

6.2. Д

ОСЛІДЖЕННЯ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ КОРЕЛЯЦІЇ ВІД ВИБОРУ ШКАЛИ

ВИМІРЮВАННЯ

Обидві змінні виміряні за кількісними шкалами:

У цьому випадку обчислюється лінійний коефіцієнт кореляції

Пірсона -r

де K - кореляційний момент; S

- середні

квадратичні відхилення.

Одна із змінних виміряна за ранговою шкалою, а інша - за

кількісною: