Денисов-Винский Н.Д. Mathcad при решении задач по Высшей математики. 3 курс

Подождите немного. Документ загружается.

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рис. 4.1.1. Задание трёх векторов выборки в системе Mathcad

4.2. ПОНЯТИЕ ГЕНЕРАТОРА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

Очень часто необходимо создать математическую модель како-

го-либо процесса и исследовать её. Входными данными математи-

ческой модели могут быть как строго определённые величины, ли-

бо случайные величины, либо строго определённые величины со

случайными погрешностями. Последнее в практике случается дос-

таточно часто. Для создания случайных с равномерным распреде-

лением величин в системе Mathcad есть функция случайной вели-

чины

rnd(a)

где a – есть верхняя/нижняя граница случайных величин. Дру-

гими словами, функция выдаёт множество случайных величин от 0

до a.

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рис. 4.2.1. Пример применения генератора случайных чисел

Часто возникает необходимость смоделировать отклонение от

заданной величины – например скачки напряжения в сети. Рас-

смотрим реализацию в системе Mathcad (Рис. 5.2.2.)

Рис. 4.2.2. Пример моделирования отклонения от заданной величины

Приведём ещё один пример с большим количеством данных.

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рассмотрим пример использования функции случайных вели-

чин в Mathcad для создания вектора выборки из вектора данных.

Вектор данных также зададим при помощи функции случайных

величин.

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рис. 4.2.3. Пример генерации случайных значений и выборки для 5 величин

4.3. ФУНКЦИИ СОЗДАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

С РАЗЛИЧНЫМИ ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Помимо стандартной функции случайной величины rnd(a), ко-

торую мы разобрали выше (см. п. 4.2.), существуют также специ-

альные функции случайных чисел, результатом которых является

набор случайных чисел, но значение которых подчиняется опреде-

лённому закону. Эти функции созданы на базе функций законов

плотности распределения, а именно хорошо известные функции

биноминального распределения, экспоненциального распределе-

ния, нормального распределения, распределения Пуассона, равно-

мерного распределения. Запишем общий вид этих функций:

1. Функция случайных чисел биномиального распределения:

rbinom(m, n, p)

2. Функция случайных чисел экспоненциального распределе-

ния:

rexp(m, r)

3. Функция случайных чисел нормального распределения:

rnorm(m, μ, σ)

4. Функция случайных чисел распределения Пуассона:

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

rpois(m, λ)

5. Функция случайных чисел равномерного распределения:

runif(m, a, b).

где m – число случайных величин; n – целое число, удовлетво-

ряющее условию n > 0; p – удовлетворяет условию 0 < p < 1; r –

должно удовлетворять условию r > 0; μ, σ, λ – коэффициент удов-

летворяющий условию λ, μ, σ > 0; a, b – параметры распределения;

Приведём пример использования функции случайных чисел

экспоненциального распределения (Рис.4.3.1.).

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рис. 4.3.1. Пример генерации случайных чисел

экспоненциального закона распределения при n=9

Увеличим число случайных чисел функции экспоненциально-

го распределения n = 70 (Рис. 5.3.2.).

Рис. 4.3.2. Пример генерации случайных чисел

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

экспоненциального закона распределения при n=9

На рисунке 4.3.1 и 4.3.2 была выполнена сортировка получен-

ных данных, чтобы читатель мог убедиться, что Mathcad генериру-

ет случайные числа именно по экспоненциальному закону распре-

деления.

4.4. ВЫБОРОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ

Среди всех задач математической статистики здесь мы рас-

смотрим только основные задачи – нахождение математического

ожидания (средняя величина) и дисперсии.

Итак, если имеется выборка Z

= (x

, x

, …, x

), реализаций не-

которой случайной величины Х, то выборочным средним и выбо-

рочной дисперсией Х называются следующие величины:











XkX

.)(

Как легко видеть, выборочное среднее представляет собой среднее

арифметическое данных выборки.

Задача математического ожидания заключается в нахождении

средней величины, рядом с которой «колеблется» измеренные ве-

личины. Дисперсия в свою очередь показывает насколько «размы-

то» поле измеренных величин относительно среднего значения.

Однако дисперсия не отражает реальной картины «размытости»,

так как все разности возводятся во вторую степень. Это и понятно,

так как если бы не было функции второй степени, то дисперсия

была бы равна нулю, при любом значении математического ожи-

дания и любом количестве измеренных величин.

Для того чтобы отразить реальную картину «размытости» из-

меренных величин по отношению к средней величине, вводится

понятие среднеквадратичного отклонения или стандартного от-

клонения:

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Xср

d



Рассмотрим несколько наглядных примеров, которые демонст-

рируют смысл вышесказанного.

Рис. 4.4.1. Пример вычисления выборочного математического

ожидания и дисперсии

В следующем примере увеличим разброс значений вектора,

подсчитаем математическое ожидание, дисперсию и среднеквадра-

тичное отклонение.

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рис. 4.4.2. Пример вычисления выборочного математического

ожидания и дисперсии

Обратите внимание, что при увеличении разброса данных, ма-

тематическое ожидание, которое характеризует среднюю величи-

ну, почти не изменилось, в то время как дисперсия и среднеквадра-

тичное отклонение, которые характеризуют «разброс» величин от-

носительно среднего значения, увеличилось в несколько раз.

Данные примеры дают об общем понимании таких понятий как

математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое от-

клонение. Ниже визуализируем эти два примера (рис. 4.4.3 и рис.

4.4.4).

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рис. 4.4.3. Пример вычисления выборочного математического

ожидания и дисперсии с визуализацией

Увеличиваем разброс измеряемой величины.

Рис. 4.4.4. Пример вычисления выборочного математического

ожидания и дисперсии с визуализацией

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

4.5. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

Допустим, известно, что некоторая случайная величина Х рас-

пределена по нормальному закону с неизвестными параметрами Х

~ N(m; σ

). Имеется также выборка реализаций данной случайной

величины Z

= (x

, x

, …, x

), по которой вычислены выборочные

математическое ожидание и дисперсия

m и

d .

Можно ли при таких условиях указать интервал, в котором с

вероятностью α (как правило, α ≥ 0,9) будет лежать математиче-

ское ожидание исходной случайной величины m? Оказывается,

можно. Центр этого доверительного интервала находится в точке

m , а радиус доверительного интервала вычисляется по формуле:

),1(





 nt



где, α – уровень доверия, n – число элементов выборки, а число

(n-1) – квантили распределения Стьюдента. Здесь хочется обра-

тить внимание читателей, что t

(n-1) есть переменная, которую бе-

рут из таблицы в зависимости от входных условий (см. учебное

пособие [4]).

В системе Mathcad это реализовано при помощи функции

квантили обратного распределения Стьюдента (Рис. 4.5.1.)

qt(p, d)

где d – число элементов выборки, p - уровень доверия.

Таким образом, доверительный интервал для m выглядит сле-

дующим образом: ).;( rmrm



Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рис. 4.5.1. Пример применения функции qt() для вычисления

доверительного интервала

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

5. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ

СТАТИСТИКИ (факультативный материал)

5.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ РЕГРЕССИИ

Перед тем как приступить к описанию общих понятий регрес-

сии, хочется отметить, что данный раздел не является обязатель-

ным в программе подготовки. Цель, которую ставит автор, публи-

куя данный раздел, помочь тем читателям, которые имеют дело с

обработкой экспериментальных данных. Очень часто, изучив про-

грамму по курсу «Теория вероятности и математическая статисти-

ка», слушатели задают вопрос по обработке данных, в том числе и

экспериментальных и каким образом можно их обрабатывать про-

стыми, существующими на сегодняшний, день программными па-

кетами, такими как MS Excel или Mathcad. Описание функций про-

граммного продукта MS Excel выходит за рамки данного учебного

пособия. Рассмотрим те функции для обработки эксперименталь-

ных данных, которые имеет программный комплекс Mathcad.

Широко распространенной задачей обработки данных является

представление их совокупности некоторой функцией )(xy . Задача

регрессии чаще всего заключается в получении параметров этой

функции такими, чтобы функция приближала «облако» исходных

точек (заданных например векторами

) с наименьшей

среднеквадратичной погрешностью. В этом случае говорят о рег-

рессии методом наименьших квадратов.

5.2. ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Чаще всего используется линейная регрессия, при которой

функция описывает отрезок прямой и имеет вид:

bkxxy





)(

напомним, что

- это угол наклона прямой в оси

, а ко-

эффициент

- это смещение прямой относительно начала коор-

динат.

Рассмотрим следующий пример.

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Допустим, есть исходные данные, которые были получены в

ходе эксперимента. Зададим вектор измеренной величины в зави-

симости от времени.

Рис. 5.2.1. Данные, заданные векторно

Для построения зависимости приведённых данных в системе

Mathcad есть две специальные функции.

Функция intercept(VX, VY) – которая возвращает значение ко-

эффициента

- смещение кривой относительно начала координат.

Функция slope(VX, VY) – функция, которая возвращает пара-

метр

- угловой коэффициент наклона прямой к оси

В этих двух функция VX и VY – есть вектора данных, которые

должны быть заданы. Причём необходимо, чтобы количество эле-

ментов этих векторов было одинаково. Также в системе Mathcad

есть функция corr(VX, VY), которая возвращает значение коэффи-

циента корреляции.

Корреляция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких

случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой

допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, из-

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

менения одной или нескольких из этих величин приводят к систе-

матическому изменению другой или других величин. Математиче-

ской мерой корреляции двух случайных величин служит

коэффициент корреляции.

Корреляция может быть положительной и отрицательной (воз-

можна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи -

например, для независимых случайных величин). Отрицательная

корреляция - корреляция, при которой увеличение одной перемен-

ной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффи-

циент корреляции отрицателен. Положительная корреляция - кор-

реляция, при которой увеличение одной переменной связано с уве-

личением другой переменной, при этом коэффициент корреляции

положителен.

На рисунке 5.2.2 изображено «облако» значений измеренной

величины, а над ним значение коэффициента корреляции. Стоит

также отметить третью строку – несмотря на наличие зависимости,

коэффициент корреляции равен нулю.

Рис. 5.2.2. Значения коэффициентов корреляции

Коэффициент корреляции или парный коэффициент корреля-

ции в теории вероятностей и статистике - это показатель характера

взаимосвязи двух случайных величин. Коэффициент корреляции

обозначается латинской буквой R и может принимать значения

между -1 и +1. Если значение по модулю находится ближе к 1, то

это означает наличие сильной связи (при коэффициенте корреля-

ции равном единице говорят о функциональной связи), а если

ближе к 0, то слабой.

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рассмотрим пример в системе Mathcad (Рис. 5.2.3)

Рис. 5.2.3. Построение линейной регрессии

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Теперь увеличим «разброс данных» и посмотрим как изме-

ниться график и коэффициент корреляции (Рис. 6.2.4)

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рис. 5.2.4. Построение линейной регрессии

В следующем примере линейной регрессии создадим большое

количество экспериментальных данных при помощи функции слу-

чайных величин (генератора случайных чисел) - Random. Постро-

им линейную регрессию и вычислим коэффициент корреляции

(Рис. 5.2.5)

Автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Рис. 5.2.5. Построение линейной регрессии для случайных величин

5.3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ РЕГРЕССИЯ

Помимо линейной и регрессии общего вида, полезно также ещё

знать экспоненциальную регрессию.

Экспоненциальная функция описывается следующим уравне-

нием, записанным в общем виде:

CeAxH





)(

где CBA ,, - коэффициенты, которые так или иначе влияют на

форму кривой. Нахождение регрессии сводится к нахождению

этих коэффициентов, аналогично как в линейной регрессии.

Для нахождения этих коэффициентов в системе Mathcad пре-

дусмотрены следующие функции:

expfit(VX, VY, Guess)