ДеМерс Майкл Н. Географические информационные системы. Основы

Подождите немного. Документ загружается.

иметь возможность оценить эту величину по отношению к случайному

распределению. Дэйси

[Dacey,

1967] определил значения для ожидаемых

РБС,

дисперсии и стандартной ошибки случайного распределения линий.

Эти величины позволяют нам сравнить ожидаемое и наблюдаемое и создать

статистический показатель, по которому можно протестировать гипотезу о

случайности

[Davis,

1986].

По указанной ссылке можно найти описание

соответствующих формул.

Этот критерий работает для большинства распределений линий, будь

линии прямыми или изогнутыми, но имеет и некоторые ограничения. Если

линии очень извилисты, этот подход - менее чем успешен.

Рисунок 11.5. Расстояние до ближайшего соседа среди линий. Поиск ближайшего

соседа между линиями с использованием случайно выбранной точки на одной из

них.

Кроме того, чтобы критерий был полезен, линии должны быть по

меньшей мере в полтора раза длиннее среднего расстояния между ними. Если

количество линий в покрытии мало, оценка плотности, используемая в

анализе ближайшего соседа должна быть скорректирована весовым

коэффициентом (п-1)/п, где п

—

число линий распределения. То есть, вместо

отношения суммы длин на площадь мы используем формулу

(n-l)L/nA,

где L- сумма длин, а А- площадь. Эта скорректированная плотность линий

улучшит качество статистика ближайшего соседа.

Методы пересечения линий являются альтернативой при анализе

распределения линий. Один простой подход состоит в том, чтобы

преобразовать двухмерный паттерн в одномерную последовательность

прочерчиванием выборочной линии через карту и учетом пересечений этой

линии с линиями покрытия. Существуют по меньшей мере два способа

создания таких линий

[Getis

and

Boots,

1978].

Первый - случайно выбрать

пару точек и соединить их линией. Второй метод состоит в проведении луча

из случайной точки под случайным углом, откладывании случайного

расстояния от начальной точки и проведении перпендикуляра к лучу из этой

точки

[Davis,

1986].

После того, как линия проведена, может быть

рассмотрено распределение интервалов между пересечениями ее с линиями

покрытия с использованием стандартных методов анализа наборов данных.

Альтернативой одиночной линии является зигзагообразная, которая

пересекает покрытие два или три раза. Зигзагообразный путь (часто

называемый случайным обходом

(random

walk)) также создаст серию

пересечений, расстояния между которыми опять же могут быть

проанализированы любым статистическим методом для

последовательностей данных (Рисунок

11.6).

Рисунок 11.6. Метод случайного обхода для оценки распределения линий.

Модификация метода пересечений с использованием зигзагообразной линии для

получения точек выборки.

НАПРАВЛЕННОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ

ПЛОЩАДНЫХ ОБЪЕКТОВ

Линейные объекты могут характеризоваться не только распределением

по ландшафту, но и ориентацией. Такие объекты как осадочные

напластования, русла ледников, переносимая водой галька, цепи валунов,

оставленные ледниками, ограждения, сети улиц, ветровал деревьев в лесу

имеют определенную ориентацию, которая часто указывает на породившую

их силу.

Но когда мы анализируем ориентацию, у нас может возникнуть ситуация

выбора между двумя встречными направлениями. Если линейный объект

является улицей с односторонним движением, то ориентация ее самой не

говорит нам о направлении, в котором должен двигаться транспорт. Поэтому,

кроме ориентации нам нужно знать и о направленности

(directionality).

Мы

можем также рассматривать распределения линейных объектов либо как

двухмерные, либо как трехмерные, с учетом углового направления

относительно поверхности сферы

[Davis,

1986].

Для простоты мы

ограничимся лишь первыми.

В традиционном статистическом анализе ориентации линий с карты

переносятся на диаграмму направлений

(rose

diagram),

где все они

прочерчиваются из одной начальной точки. На некоторых диаграммах

направлений длиной линий также изображают параметры объектов, такие

как сила ветра или длина изгороди. Диаграммы направлений полезны для

визуальной оценки, но измерения, получаемые непосредственно поданным

покрытия больше подходят для численного анализа. Первым мы рассмотрим

равнодействующий вектор

(vector

resultant).

В качестве примера можно

вспомнить басню про лебедя, рака и щуку. Зная силы и направления,

приложенные к возу, можно определить, в какую сторону и с каким

ускорением объект начнет движение.

Для демонстрации двухмерного анализа направлений возьмём большое

количество деревьев, поваленных прямолинейным ветром. Каждое дерево

может быть отображено как линейный объект покрытия, при этом

записываются координаты вершины и основания каждого дерева, давая нам

ориентацию каждого дерева (Рисунок

11.7).

Рисунок 11.7. Распределение направлений поваленных

деревьев.

Карта показывает

общую тенденцию и некоторые отклонения от нее.

Метеорологи хотят выяснить общее направление ветра по поваленным

деревьям, но эти деревья не имеют единой для всех ориентации, поэтому

нашей первой задачей является определение равнодействующего вектора

поваленных деревьев.

С каждым деревом ассоциируется вектор с началом в основании дерева

и углом Q в сторону вершины. Мы умножаем длину каждого дерева на

косинус этого угла для получения Х-составляющей, а также на синус этого

угла для получения Y-составляющей. Для вычисления равнодействующего

вектора мы складываем эти величины для каждой составляющей, и

полученные значения равнодействующего вектора Х

и Y

показывают

преобладающее направление вершинных точек деревьев в ветровале.

Рисунок 11.8 показывает равнодействующий вектор R, полученный из трех

векторов А, В и С.

Мы можем определить среднее направление Q исходя из

равнодействующего вектора по формуле: Q =

arctan

(Y/Х

Три

вектора Равнодействующий вектор

Рисунок 11.8. Равнодействующий вектор.

Так как среднее направление наших векторов зависит не только от

разброса деревьев, но и от числа наблюдений, мы можем нормализовать эти

величины делением координат каждого равнодействующего вектора на

число линейных объектов покрытия. Это позволит нам сравнивать две

различные области, например, две области ветровала на предмет общего

направления ветра*.

Как и с любым набором точек, где средняя величина служит мерой

центральной тенденции данных или тенденции данных группироваться

вокруг некоторой центральной точки, мы можем использовать среднее для

получения других статистических показателей, которые определяют разброс

от среднего. Рисунок 11.9 показывает два случая равнодействующего вектора

с тремя исходными. Когда векторы расположены близко к одному

направлению, равнодействующий вектор будет длинным, в то время как при

широко разбросанных исходных векторах

—

значительно более коротким. В

нашем примере из басни это выглядит как сложение усилий участников в

общем направлении или же скорее противодействие друг другу, приводящее

к существенно меньшей равнодействующей силе, прилагаемой к возу.

* Следует отметить, что здесь угол отсчитывается от оси Y, а не от оси X, как принято в

математике. В формуле вычисления составляющих длина дерева является весовым

коэффициентом для его направления. Чтобы каждое дерево вносило одинаковый вклад, следует

приравнять его длину единице.

Тогда

среднее направление будет равно арктангенсу отношения

суммы косинусов к сумме синусов направлений деревьев. Для данного примера можно также

отметить, что более длинные деревья скорее всего будут лучше представлять среднее

направление, так что нормализация будет излишней.

— прим. перев.

Расположенные близко

одному направлению

Широко

расходящиеся векторы

Рисунок

11.9.

Разброс

векторов.

Равнодействующие

векторы

для

случаев

близких

разбросанных

исходных

линий.

Длина равнодействующего вектора

(resultant

length)

может быть определена

по формуле:

7(X

Таким образом, мы имеем не только среднее направление лесовала, но и

меру компактности распределения: чем компактнее распределение, тем

длиннее эта линия.

Для сравнения длины равнодействующего вектора в данном месте с

другим местом, нам следует, опять же, нормализовать данные.

Нормализованная длина равнодействующего вектора получается делением

длины равнодействующего вектора R на сумму длин образующих его

векторов.

Это безразмерная величина в диапазоне от 0 до 1, напоминающая

дисперсию в традиционной статистике, так как является мерой

пространственного разброса вокруг среднего значения. Правда, она

выражает этот разброс "наоборот": большие значения соответствуют более

близкой ориентации векторов, меньшие - большему разбросу. Таким

образом, большое значение этого показателя в нашем примере с деревьями

означало бы значительное преобладание одного из направлений ветра, а

малое значение говорило бы о наличии завихрений или отсутствии явно

преобладающего направления. Наряду с самой этой величиной можно

использовать также и обратную ей величину, называемую круговой

дисперсией

(circular

variance),

которая равна единице минус нормализованная

длина равнодействующего вектора. Если вы интересуетесь статистикой, то

можете увидеть возможность существования дирекционных аналогов

стандартного отклонения, моды и медианы, для которых также имеются

соответствующие формулы

[Gaile

and

Burt,

1980].

Остается одна проблема, связанная с ориентацией и направлением. Как

мы знаем, одни линейные объекты могут иметь определенное направление

(деревья), другие же — нет (лесозащитные полосы), хотя определенная

ориентация присутствует в обоих случаях. Например, один исследователь,

собирающий данные о заграждениях, может указывать, что некоторые из

них ориентированы на север, а другой - что на юг. Тогда, при анализе

данных, собранных этими исследователями, может оказаться, что при

определении длины среднего равнодействующего вектора, исходные

векторы будут, так сказать, взаимно уничтожать друг друга.

К счастью, для этого есть остроумное решение. Крумбейн [Krumbein,

1939] обнаружил, что при удвоении значения угла, независимо от исходного

направления, записывается одно и то же значение. Допустим, мы имеем

объект, ориентированный с северо-запада (315°) на юго-восток

(135°).

После

удвоения мы получим: 315

х 2 = 630° (-360° = 270°) и 135° х 2 =

270

Такой

способ выражения направлений повлияет на формулы для вычисления

среднего направления, нормализованной длины равнодействующего вектора

и круговой дисперсии, поэтому, чтобы получить действительные значения,

их нужно будет модифицировать.

Эти простые меры направленности и разброса могут быть проверены на

случайность

[Batschelet,

1965;

Gumbelet

al., 1953] и наличие тренда

[Stephens,

1969] стандартными процедурами проверки статистических гипотез, С

дирекционными данными покрытия могут сравниваться аналогичные

данные других покрытий

[Gaile

and

Burt,

1980;

Mardia,

1972].

Эти темы

выходят за рамки данной книги, а указанные источники предлагают

подробное их рассмотрение.

В контексте ГИС, данные меры главным образом помогают

охарактеризовывать распределения внутри покрытия и сравнения их с

данными других покрытий в поисках причинных механизмов. Растровые

ГИС плохо приспособлены для данного типа анализа, но большинство

векторно-топологических систем позволяют определить по меньшей мере

некоторые предварительные значения (например, углы отрезков

полилиний), которые могут храниться в БД ГИС как атрибуты и передаваться

другим программам для обработки, если сам ГИС-пакет не способен

вычислять средние показатели направленности.

СВЯЗНОСТЬ

ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ

Важным аспектом пространственного расположения линий является их

способность образовывать сети. Сети имеют самые разнообразные формы,

как естественные, так и созданные человеком. Среди них: автомобильные и

железные дороги, телефонные линии, реки, даже лесозащитные полосы

могут играть роль сети, позволяющей мелким млекопитающим

перемещаться по ландшафту, - список можно долго продолжать. И хотя мы

можем интересоваться плотностью и ориентацией объектов, образующих

сеть,

нам нужна также и возможность анализировать реальные связи,

образованные этими объектами и степень связанности между различными

точками сети. Вы наверняка сталкивались с ситуациями, когда в городе нет

прямой дороги от места до места, и приходится ехать кружным путем. Здесь

мы сталкиваемся с недостатком связности

(connectivity)

в сети.

Связность является мерой сложности сети. Имеются несколько методов

для определения этой характеристики

[Haggettetal.,

1977;

Lowe

and

Moryadas,

1975;

Sugihara,

1983;

Taaffe

and

Gauthier,

1973].

Наиболее общими являются

гамма-индекс

(gamma

index)

и альфа-индекс

(alpha

index).

Гамма-индекс

является отношением числа существующих связей между

парами узлов сети, L, к максимально возможному числу связей в том же

наборе узлов, L^. Очевидно, что векторно-топологическая модель данных

лучше всего подходит для этих вычислений. Определить же не так трудно,

как может поначалу показаться, оно однозначно определяется числом узлов

Например, если мы имеем три узла, то возможны лишь три связи (Рисунок

11.10).

Если мы добавим еще один узел, то сможем добавить еще три связи,

а всего их будет шесть

[Forman

and

Godron,

1987].

И если мы полагаем, что

не образуются новые пересечения, то максимальное число связей будет

каждый раз увеличиваться на три. То есть,

max

3(V - 2).

Гамма-индекс тогда определяется как

L/L

max

= L/3(V-2)

Он принимает значения от 0 (нет ни одной связи) до 1 (все возможные

связи присутствуют)

[Forman

and

Godron,

1987].

Рисунок 11.10 показывает два варианта сети с 16-ю узлами. На рисунке

(a) имеется 15 связей, что дает связность у = 15 /

3(16-2)

= 0.36. На рисунке

(b) имеется 20 связей, поэтому

= 20

/3(16-2)

= 0.48. Образно говоря, первая

сеть связна примерно на треть, а вторая - наполовину.

Большее количество связей в сети облегчает передвижение по ней, что

важно, например, для специалистов по транспортному планированию.

Важной характеристикой сетей помимо связности является наличие в

ней контуров, позволяющих перемещаться от узла к узлу разными

маршрутами. В качестве примера можно привести кольцевые автодороги

вокруг крупных городов, позволяющие снизить нагрузку транзитного

транспорта

на

уличную сеть.

(а)

(Ь) (с)

Рисунок

11.10.

ГЪмма-нндекс. Две различные сети

на

основе одного набора узлов:

а)

минимальной связностью и без контуров,

о) с

большей связностью

контурами, дающими альтернативные маршруты перемещения

по

сети.

В качестве меры соединенности узлов контурами альтернативных

маршрутов (circuitry) используется

так

называемый альфа-индекс

(а). Он

является отношением имеющегося

сети числа контуров

максимально

возможному числу контуров

этой сети. Известно,

что

сеть

без

контуров

имеет связей

на

одну меньше,

чем

число узлов:

L = V - 1. На

Рисунке 11.10а

вы можете видеть такую сеть,

- в ней 16

узлов

и 15

связей.

Она

обладает

минимальной связностью,

в том

смысле,

что в ней

имеется наименьшее

возможное число связей

при

заданном числе узлов, причем каждый узел

имеет

по

меньшей мере одну связь.

Добавление какой-либо связи создает контур,

т.е.

когда сеть содержит

контуры

> V

1. Число же имеющихся контуров можно определить

как L -

(V-1)

[Forman and Godron,

1987].

Далее,

так как

максимальное число связей

сети определяется

как

3(V

2),

минимальное (без потери связности) как V

- 1, то

максимальное число

контуров будет 3(V

- 2) - (V-

1), т.е.

2V- 5.

Отсюда альфа-индекс

ос

= (L - (V

- 1))

(2V

5). Диапазон значений альфа-индекса

—

от 0

(сеть без контуров)

до

(сеть

максимальным числом контуров).

Теперь

мы

можем вычислить альфа-индекс для сетей

на

Рисунке

11.10:

= (15-16 +

1)/(2х16-5)

= 0

= (20-16 +

1)/(2х16-5)

= 0.19

Таким образом,

сети

на

Рисунке 11.10а есть только один вариант

для

перемещения

из

одной точки

другую,

а на

Рисунке

11.10b

возможны

несколько альтернативных маршрутов разной длины.

Поскольку для создания контуров требуется добавление новых связей,

вполне возможно рассматривать альфа-индекс как альтернативную меру

связности. Но так как эти два индекса дают разные взгляды на сеть, будет

более уместным объединить их некоторым образом для создания общей меры

сложности сети

(network

complexity).

Для вычисления данных индексов

требуется использование векторной ГИС. Это требование подчеркивается

тем обстоятельством, что вся эта статистика имеет топологическую основу

теории графов, где гораздо важнее связность узлов, нежели их расположение

или длины и формы линий, связывающих их.

Для транспортного моделирования нам нужно знать все-таки больше,

чем просто параметры связности. Здесь имеют значение длины связей между

узлами, возможные направления движения по этим линиям, значения

сопротивления движению (импеданса). Вдобавок, существуют и другие

простые индексы, пришедшие из теорий транспортировки и связи, которые

также характеризуют связность сетей. Например, возможно определение

интенсивности связности

(linkage

intensity)

для каждого узла, числа

альтернативных маршрутов между заданными узлами, поиск центрального

узла

(central

place),

т.е. такого, который имеет наибольшее число связей, а

также построение регионов на основе связности и доступности

[Haggett

al.,

1977;

Lowe

and

Moryadas,

1975].

И все это можно сочетать друг с другом и

с другими характеристиками линий - расположением, ориентацией,

дисперсией - для получения более полной картины сети.

МОДЕЛЬ

ГРАВИТАЦИИ

До сих пор мы не обращали внимание на значимость отдельных узлов,

которая может быть неодинаковой. Но подумайте о городах. Крупные города

по сравнению с мелкими дают больше возможностей для покупок, для

посещения выставок, концертов, спортивных соревнований и т.д. Поэтому

они привлекают больше людей. И города - не единственный пример, когда

размер имеет значение. Например, большое озеро привлекает больше

водоплавающих птиц, нежели маленький пруд.

Оба примера показывают, что более крупные объекты привлекают к себе

большую активность, будь то птичью, или человечью. Размер такого

притяжения может представляться во многом подобно гравитационному

притяжению тел, обладающих массой. Чем больше масса, тем больше сила

притяжения между ним и его соседями.

Перенося идею гравитационного притяжения на взаимодействие между

узлами покрытия ГИС, мы получим модель гравитации

(gravity

model),

которая в общем виде выражается как:

KP,P./d>,

где Ц - величина взаимодействия между узлами i и

}

- величина узла

Pj - величина

узла];

d — расстояние между узлами; К

—

константа,

определяемая природой взаимодействующих объектов. Величины узлов

могут быть представлены такими их параметрами, как потребность в

продукции, объем розничных продаж торговых центров города, площадью

поверхности водоема для водных птиц.

Мы видим, что чем больше величины узлов, тем больше сила

взаимодействия между ними, и что с ростом расстояния между узлами сила

взаимодействия уменьшается. На примере города мы можем сказать, что чем

больше город, тем более он привлекателен для торговли. С другой стороны,

если город находится далеко от вас, вряд ли вы в него поедете, даже несмотря

на возможную выгоду от сделки. [Как говорит русская поговорка, "за рекой

телушка - полушка, да руль перевоз".]

Существуют многие варианты данной простой модели притяжения между

точками, как в растровых, так и в векторных системах. И хотя большинство

из них используется для экономического анализа размещения объектов

(также как и полигоны Тиссена), возможно и другое их применение.

Исследователи могут использовать их для описания пассажиропотока между

городами, объема телефонных вызовов, потоков птиц и семян, которые

распространяются птицами между участками леса [Buell et al., 1971;

Carkin

etal,,

1978; McDonnell, 1984; McQuilkin, 1940;

Whitcomb,

1977].

В-общем,

любые потоки между узлами различной величины могут анализироваться с

применением модели гравитации.

МАРШРУТИЗАЦИЯ

АЛЛОКАЦИЯ

Среди наиболее применяемых приложений сетей в ГИС являются

родственные задачи маршрутизации и размещения (аллокации)

(routing

and

allocation).

Простейший вариант маршрутизации включает поиск

кратчайшего маршрута между двумя узлами сети (Рисунок

11.11).

Учитывая,

что узлам могут присваиваться весовые коэффициенты (как в модели

гравитации), возможен вариант маршрутизации от некоторой заданной

точки до ближайшей точки с максимальным весом (например,

максимальным спросом на товар). Прекрасное описание маршрутизации и

размещения можно найти в [Lupien et al.,

1987].

Каждой связи в сети может быть присвоено значение импеданса

(сопротивления, стоимости), во многом наподобие фрикционной

поверхности, но налагаемого только на саму эту линию. Значение импеданса