Давнис В.В. Прогнозные модели экспертных предпочтений

Подождите немного. Документ загружается.

Для пробит-модели, если учесть, что df/dz

-Z(t>,

выражение

(3.72) переписывается следующим образом:

V(g,)=0

[I-(b'

;)bx,.]V(b)[I-(bX)bx,]'. (3.73)

В случае логит-модели плотность вероятности f может быть

записана через функцию распределения Л как f=A(l-A). Для

краткости будем писать Л, полагая Л = Л(£,•). Дифференцируя

это выражение по z, имеем

-f =0-2Л)

<dh^

= (1-2Л)Л(1-Л). (3.74)

Подставляя выражение (3.74) в (3.72), получаем стандартные

ошибки предельных эффектов логит-модели:

V(g,) = [A(l-A)]

[I + (l-2A)bx,]V(b)[I + (l-2A)x;b']. (3.75)

Стандартные ошибки предельных эффектов, так же как и стан-

дартные ошибки расчетных вероятностей, зависят от вектора эк-

зогенных переменных.

3-3.4. Тесты для проверки линейных гипотез

Описанные выше алгоритмы дают оценки, которые

являются асимптотически нормальными при стремлении размера

выборки к бесконечности. Асимптотическая нормальность оце-

нок обеспечивает корректность проверки линейных гипотез от-

носительно коэффициентов модели. Опорным элементом всех

статистик, используемых в этих тестах, является информацион-

ная матрица Фишера. Способ получения асимптотической

оценки этой матрицы был рассмотрен выше, поэтому в даль-

нейшем изложении предполагается, что матрица Фишера нам

известна.

Во всех тестах проверяется нулевая гипотеза, формальная за-

пись которой имеет следующий вид:

:Rb = r, (3.76)

где R — матрица размером qx(m + 1), задающая структуру ог-

раничений; b — вектор тестируемых параметров; г — вектор раз-

мером

правой части ограничивающих условий.

Все нижерассматриваемые тесты асимптотически эквивалентны

и, следовательно, обеспечивают получение одних и тех же выво-

дов.

Поэтому выбор того или иного теста диктуется только кон-

кретной ситуацией и удобством применения в ней.

Тест Вальда. В соответствии с предположением, лежащим в

основе теста Вальда, вектор оценок Rb при выполнении нулевой

гипотезы должен быть близок к г.

В силу асимптотической нормальности b в тех случаях, когда

имеет место нулевая гипотеза (Rb = r), случайное отклоне-

ние Rb-r нормально распределено, т.е.

Rb-r~7V(0,RV(b)R% (3.77)

где V(b) — матрица вариации-ковариации Ь, вычисляемая как

обратная к информационной матрице Фишера.

Статистика Вальда в этом случае имеет вид

W = (Rb-r)'(RV(b)RT'(Rb-r). (3.78)

В силу свойств нормального распределения статистика W имеет

распределение с

(<у), и проверка нулевой гипотезы осуществляет-

ся по правилу

\не отвергнуть Н

, если W<^

(^);

отвергнуть Н

, если W

xls

чЛч)-

Рассмотрим пример, иллюстрирующий технику проверки пред-

положений относительно коэффициентов модели с помощью

теста Вальда. Пусть, например, методом максимального правдо-

подобия получен вектор оценок b = (b

by,

, b

) и требует-

ся проверить предположение о том, что Ь, =1,5, a

b-^

—b

- В

этом случае нулевая гипотеза записывается следующим образом:

н„

(О 1 О О 0

0 0 0 1-1

ь,

Ч5

Если проверяется статистическая значимость отдельного коэф-

фициента модели, например b

то, как нетрудно понять, нуле-

вая гипотеза записывается в виде , „

'О

:(0 1 0 0 0)

и статистика Вальда после выполнения всех перемножений оказы-

вается равной квадрату t-статистики

(3.79)

где 5,

— соответствующий диагональный элемент матрицы V(b).

Есть и другая схема вычисления статистики Вальда. Ее исполь-

зование удобно в тех случаях, когда проверяется только статисти-

ческая значимость некоторых коэффициентов, т.е. гипотеза о

равенстве их нулю.

Будем считать, что независимые переменные упорядочены та-

ким образом, что проверка этой гипотезы касается первых q ко-

эффициентов. Для дальнейшего изложения этой схемы разделим

вектор коэффициентов на две группы:

Ь =

ЧО

где Ь, — ^-мерный вектор, а Ь

включает (т — q) элементов. В

этом случае проверяется нуль-гипотеза вида

: {Ь, =

0}.

(3.80)

Проверке подвергаются оценки, полученные путем максимиза-

ции функции правдоподобия 1пЦу; Ь) без каких-либо ограниче-

ний на оцениваемые коэффициенты модели. Полученные оцен-

ки,

как отмечалось выше, состоятельны и асимптотически нор-

мальны, т.е.

~ N

'b,Yi

112

122

(3.81)

Обращая информационную матрицу, представленную в блоч-

м виде, по част

ации-ковариации

ном виде, по частям, получаем для подвектора Ь, матрицу вари-

Статистика Вальда в этом случае рассчитывается по формуле

b;v(b,)-'b, =b;[i

-i

i^i

, (з.8з>

и нуль-гипотеза отвергается или нет по результатам сравнения с

критическим значением

(д).

Особенность теста Вальда в том, что в нем используются оцен-

ки,

которые вычислены без учета ограничений, которые посту-

лируются в нуль-гипотезе. Это безусловное достоинство теста, так

как для его реализации не требуется проведения дополнительных

расчетов.

Тест

отношения

правдоподобия.

В отличие от процедуры Валь-

да, реализация этого теста требует расчетов, связанных с макси-

мизацией функции правдоподобия без учета ограничений и с уче-

том ограничений на коэффициенты модели.

Вектор оценок с учетом ограничений имеет вид

К j

(3.84)

где Ь'

является результатом максимизации InL (у; 0; b

) no b

Полученная таким образом оценка является состоятельной и асим-

птотически нормальной:

~ N(b,V

\). (3.85)

Используемая в тесте статистика основана на сравнении двух

оценок максимального правдоподобия, полученных максимизаци-

ей ограниченной (с учетом ограничений) и неограниченной (без

учета ограничений) функций правдоподобия, т.е.

LR = -2{ln[L(y;b

)]-ln[L(y;b)]}. (3.86)

Статистика имеет распределение

(q).

Поэтому решение о

том, отвергнуть или нет нулевую гипотезу, принимается аналогич-

но тому, как это делалось в процедуре Вальда.

Тест множителей

Лагранжа.

Применение этого теста не вызы-

вает затруднений в случае линейных регрессионных моделей. Там

понятно, как определить множители Лагранжа и использовать их

для расчета статистики. В случае бинарных моделей определение

множителей Лагранжа не совсем простая процедура. Поэтому

построение статистики основано на других принципах.

Если нулевая гипотеза верна, то две оценки — неограничен-

ная b и ограниченная Ь

должны быть очень близки. Из этого

следует близость уравнений правдоподобия, решение которых по-

зволило вычислить эти оценки.

Причем неограниченная оценка b получена как решение системы

уравнений

Э1п[Цу;Ь)]

ЭЬ

(L)

ЭЬ,

(у;Ь)

^(y;b)

до-.

= 0,

(3.87)

а ограниченная b — как решение той же самой системы, но с

учетом ограничения Ь, = 0:

Э1п[Цу;0;Ц)]

ЭЬ

aln

(

)^-n-KO

ЭЬ,

(у;0;Ь?)

^=)(у;0;ь^)

эь

aln

(

)/„.

ЭЬ,

(у;0;И)

(3.88)

Обе системы уравнений представляют собой математические

ожидания соответствующих уравнений правдоподобия. Взятие

математического ожидания в данном случае эквивалентно замене

каждой случайной величины y

ее ожидаемым значением F(x

;

или F(x

;

b) соответственно. Причем значения самих производных

вычислены в точке Ъ.

Для рассматриваемого случая статистика множителей Лагранжа

записывается следующим образом:

LM =

ain[L(y;b)]

ЭЬ,

(1ц~

I12I22I21)

Э1п[Цу;Ь

)]

ЭЬ,

(3.89)

Она является асимптотически эквивалентной статистике Вальда W

и статистике отношения правдоподобия LR и имеет распределе-

ние c

(q). Решение, отвергнуть нулевую гипотезу или нет, при-

нимается по результатам сравнения с критическим значением

х1ъ*(я),

т.е. процедура сравнения проводится точно так же, как

это описано в тесте Вальда.

Можно значительно упростить процедуру расчета статистики

множителей Лагранжа, сведя ее к построению регрессионного

уравнения. Правда, для этого необходимо провести ряд не совсем

простых преобразований, которые приведут к упрощенной схеме.

Начнем с того, что

[I,,-!,,!^!,,]"

являясь частью матрицы, обрат-

ной информационной матрице Фишера, позволяет записать стати-

стику множителей Лагранжа в эквивалентном виде

(3.90)

LM =

Э1

"[Ь(у;Ь)]

j_,

Э1п[Цу;Ь)]

д(Ъ

дЪ

Теперь вставим индивидуальные наблюдения в уравнение прав-

доподобия, которое после этой операции будет записываться как

сумма логарифмов

ln[L(y;b)] = 5:in[Z(y

;b)]. (3.91)

Если наблюдения не коррелированы между собой, то можно

показать, что информационная матрица Фишера представима в

виде произведения производных первого порядка. Первая произ-

водная равна

Э1п[Цу;Ь)]

А_Э1п[1,(

;Ь)]_

/=i

дь'

у,

/=1

+ (i-j,)

ЭЬ'

-f,

(1-Fj)

х,

(3.92)

Соответственно вторая производная может быть записана как

i=i

1п(Ь) _ Э

ЭЬЭЬ' ~ЭЬ

f'F-f

(!->',)

Э1п(Ь)

f(l-F) + f

(1-F)

(3.93)

Выполним операцию взятия математического ожидания путем

замены у

на F(x

(

b) (y

= F(x,b) + £,.):

i=i

g^-

-F)

-('-F>f

(1-F)

В результате проведенного преобразования взаимно уничтожа-

ются слагаемые, содержащие F:

•1

i=i

-F—-(1-F)

(1-F)

Если в преобразованном выражении убрать оператор ожида-

ния, т.е. в числителе снова вернуться к у

{

1=1

^'W

то получаем выражение, отрицательное значение которого пред-

ставимо в виде суммы произведений

/=1

(1-F)

(1_л)

аЬ)

Л)

^Ь)

(3.94)

Возможность такого представления непосредственно следует из

того,

что у

—

у. и у,(1

—

J,) = 0, а правильность проверяется

непосредственным перемножением.

Таким образом, имеем состоятельную оценку информационной

матрицы Фишера:

^-дЫЩу^ЪПдЫи^у^Ъ)]

(3.95)

,=,

дЬ ЭЬ'

Используя полученную оценку информационной матрицы, за-

пишем статистику множителей Лагранжа

ьм =

^Э1п[/,(у,,Ь)1

/=i

ЭЬ'

_Э1п

[/Дз',-;

Ь)

]

ainC/,-^.; b) ]'

1=1

эь

ЭЬ'

-1

«,31n[/

(

Jil

b)]

;=1

ЭЬ

(3.96)

Упрощенный расчет этой статистики можно осуществить следу-

ющим образом. Обозначим через G матрицу (размером п х q) из

соответствующих значений частных производных первого порядка

Э1п[/,.(у,.;Ь)]

ЭЬ'

и через е я-мерный вектор из единиц. Тогда искусственная ли-

нейная регрессия

(3.97)

е = Ga + error

(3.98)

с вектором коэффициентов

a = (G'G) Ge (3.99)

может использоваться для расчета статистики LM. Коэффициен-

ты такой регрессии легко рассчитываются с помощью любого ста-

тистического пакета, а значение статистики равно сумме расчет-

ных значений этой регрессии.

3.4.

Эконометрический прогноз экспертных

предпочтений в задачах выбора наиболее

перспективных сегментов рынка

В предыдущих параграфах был предложен авторский

взгляд на обработку экспертной информации и обоснована идея

о возможности построения модели бинарного выбора для прогно-

зирования субъективных предпочтений. Такую модель можно ис-

пользовать, например, для решения любых прогнозных задач

маркетинга, в которых имеет место выбор из двух альтернатив.

Здесь же, преследуя цель продемонстрировать прикладные возмож-

ности предлагаемой модели, изложим процедуру моделирования

вероятностных распределений ожидаемых результатов маркетинго-

вой деятельности ОАО "Радуга" в районах Воронежской и Курс-

кой областей. Владельцам этой компании принадлежит сеть супер-

маркетов, организованных по принципу "Пятерочки", "Магни-

та", "Перекрестка" и других известных отечественным потребите-

лям супермаркетов.

Результаты маркетинговой деятельности любой торговой ком-

пании во многом определяются уровнем социально-экономическо-

го развития районов, на территории которых осуществляется эта

деятельность. ОАО "Радуга" в течение 2003 г. функционировала

в 18 районах Воронежской области. Экспертным путем было ус-

тановлено, что наибольшее влияние на результаты деятельности

оказали: 1) объем розничного товарооборота на душу населения

(тыс.

р.); 2) численность населения района (тыс. чел.); 3) уро-

вень зарегистрированной безработицы (%); 4) темп роста промыш-

ленного производства в сопоставимых ценах (в % к предшеству-

ющему периоду).

Для построения модели необходимо ввести понятие "успешная

деятельность". Под успешной деятельностью будем понимать ста-

бильное получение прибыли, увеличение товарооборота, откры-

тие новых торговых точек и т.д.

При введенных обозначениях ("1" — "успех" компании на по-

требительском рынке того или иного района Воронежской облас-

ти и "О" — напротив, "неуспех") была сформирована табл. 3.1,

отражающая взаимосвязь результатов деятельности компании с

социально-экономическими показателями районов. В качестве

основного источника данных для формирования этой таблицы

были использованы статистические сборники, а также публикации

федеральных и муниципальных органов власти.

Таблица 3.1

Результаты деятельности

ОАО

"Радуга"

зависимости от уровня

со-

циально-экономического развития районов Воронежской области

2003

г.

Район

Аннинский

Богучарский

Бобровский

Верхнехавский

Грибановский

Кантемировский

Каширский

Нижнедевицкий

Новоусманский

Острогожский

Ольховатский

Петропавловский

Подгоренский

Рамонский

Репьевский

Россошанский

Терновский

Эртильский

Факторы

Объем розничного

товарооборота

на

душу

населе-

ния,

тыс. р.

9,585

11,300

5,955

6,603

9,698

7,160

5,643

7,653

5,210

21,081

8,093

7,469

3,865

10,815

7,579

14,221

8,138

6,011

Численность

населения,

тыс.

чел.

52,747

40,719

54,162

26,656

39,648

41,808

27,106

24,077

64,275

27,972

25,841

23,414

29,563

33,230

17,884

31,750

25,696

31,499

Уровень

заре-

гистрированной

безработицы, %

1,45

1,6

1,0

2,3

1,7

2,8

2,7

1,9

2,1

3,1

2,3

1,3

1,6

2,3

0,3

2,0

3,2

Темп

роста

промышленного

производства в

сопоставимых

ценах,

% к

предыдущему

году

124,6

100,2

85,5

228,4

170,5

92,7

109,0

132,4

213,3

105,6

81,2

111,4

143,0

249,6

116,5

105,3

111,8

163,7

Показатель

успеш-

ности

(1— "успех",

0 —

"неуспех")

Поскольку ОАО "Радуга" осуществляло свою деятельность на

территории указанных районов Воронежской области в течение

лишь одного (2003) года, то результаты моделирования, по дан-

ным табл. 3.1, очевидно, могут вызвать определенные сомнения

в своей надежности. Поэтому нами было предложено привлечь к

решению поставленной задачи группу экспертов, которые уточни-

ли "надежность" результата деятельности компании (т.е. указали

"вероятность устойчивости", понимаемую как процент случаев

успешной/неуспешной деятельности в данных условиях), превра-

тив,

по сути, данные фактических наблюдений в псевдовыборку.

Итоги экспертного опроса нашли отражение в последнем столб-

це табл. 3.2.

Таблица 3.2

Экспертная оценка надежности взаимосвязи показателя успешности

определяющими

его

факторами

Район

Аннинский

Богучарский

Бобровский

Верхнехавский

Грибановский

Канте мировски й

Каширский

Нижнедевицкий

Новоусманский

Острогожский

Ольховатский

Петропавловский

Подгоре некий

Рамонский

Репьевский

Россошанский

Терновский

Эртильский

9,585

11,300

5,955

6,603

9,698

7,160

5,643

7,653

5,210

21,081

8,093

7,469

3,865

10,815

7,579

14,221

8,138

6,011

52,747

40,719

54,162

26,656

39,648

41,808

27,106

24,077

64,275

27,972

25,841

23,414

29,563

33,230

17,884

31,750

25,696

31,499

1,45

1,6

1,0

2,3

1,7

2,8

2,7

1,9

2,1

3,1

2,3

1,3

1,6

2,3

0,3

2,0

3,2

124,6

100,2

85,5

228,4

170,5

92,7

109,0

132,4

213,3

105,6

81,2

111,4

143,0

249,6

116,5

105,3

111,8

163,7

Экспертная

оценка, %

По данным табл. 3.2 и с использованием пакета STATISTICA

6.0 была построена логит-модель. Причем в качестве частоты по-

явления каждого наблюдения в выборочной совокупности были