Давнис В.В. Прогнозные модели экспертных предпочтений

Подождите немного. Документ загружается.

От первого подхода сразу нужно отказаться, Дело в том, что

псевдовыборка, сформированная с ориентиром на согласованное

мнение экспертов, не всегда гарантирует построение адекватной

модели. Это бывает в том случае, когда согласованными оказа-

лись мнения некомпетентных экспертов. Подобная ситуация не

возникает в задачах прямого экспертного оценивания. В них ком-

петентность оценивается либо экзогенно, и тогда она не связана

с результатами опроса, либо в зависимости от того, насколько

соответствующее индивидуальное мнение похоже на групповое.

Второй подход представляет собой авторское решение задачи,

в рамках которой проверяется согласованность экспертных сужде-

ний. Как и в случае прямого экспертного оценивания, в пред-

лагаемом подходе предусматриваются проверка согласованности

мнений двух экспертов и проверка согласованности мнений всей

группы экспертов, принявших участие в экспертизе. Обе провер-

ки основаны на одной и той же идее. Смысл этой идеи в том,

что эксперты с близкими мнениями распределяют свои предпоч-

тения по выборочной совокупности так, что полученные псевдо-

выборки обеспечивают построение почти идентичных моделей.

Таким образом, проверка согласованности сводится к статистичес-

кой проверке значимости уровня идентичности. Выполнить такую

проверку можно несколькими способами.

На наш взгляд, наиболее приемлемым следует считать способ,

который позволяет не только оценить статистическую значимость,

но и получить содержательно интерпретируемую величину, харак-

теризующую уровень идентичности моделей и, следовательно,

уровень согласованности экспертов. В качестве такой величины

удобно использовать

коэффициент

Юла, который измеряет тесноту

связи между двумя дихотомическими переменными.

Формально с помощью этого коэффициента мы можем оценить

тесноту связи между предикторными возможностями двух моделей

бинарного выбора. Для этого заполняется таблица сопряженнос-

ти

х 2 следующего вида:

Модель 1-го эксперта

Коды

Правило заполнения таблицы сопряженности довольно про-

стое.

В верхней левой клеточке стоит число случаев, когда пред-

сказания по обеим моделям совпадали и были равны 1, в ниж-

ней правой — число случаев, когда обе модели предсказали 0. В

остальных клеточках стоит число несовпадающих предсказаний.

Коэффициент Юла рассчитывается по формуле

ad-be ,, g.

+ be

При полном совпадении предсказанных значений q

— 1, и

мы наблюдаем случай, когда мнения экспертов идентичны; при

= —\ мнения экспертов противоположны, а при q

= 0 —

независимы. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем выше

уровень согласованности экспертных мнений.

Для проверки групповой согласованности нет подходящего из-

мерителя. Но можно предложить следующую двухэтапную проце-

дуру. На первом этапе для каждой пары экспертов вычисляется

коэффициент сопряженности Юла, и все эксперты делятся на две

группы. В первую группу включаются только те эксперты, по

моделям которых предсказанные значения имеют положительную

связь между собой. Из коэффициентов сопряженности этой груп-

пы формируется матрица

Q =

Яи

Яп

Яш

гт

Матрица Q обладает всеми свойствами, необходимыми для

того,

чтобы с помощью обычной итерационной процедуры вычис-

лить максимальное собственное значение Я, которое является дей-

ствительным числом. Тогда в качестве меры, определяющей уро-

вень согласованности экспертов, можно использовать величину

L =

—, (3.10)

trQ-1 m-1

в знаменателе которой стоит след матрицы без единицы.

Так, определенный коэффициент согласованности будем назы-

вать

характеристическим.

Он равен 1, когда между всеми экспер-

тами группы наблюдается абсолютное согласие, и равен 0, если

результаты экспертного опроса статистически независимы.

С отбракованной на первом этапе группой экспертов поступа-

ют точно так же.

Окончательно групповая оценка строится только для группы

экспертов, имеющих согласованные мнения. Для этого все псев-

довыборки объединяются в одну, по данным которой строится

модель, отражающая групповое экспертное мнение. Ее и реко-

мендуется использовать в расчетах.

3.1.5. Предельный анализ моделей

субъективных предпочтений

Предельный анализ факторов модели экспертных

предпочтений проводится по схеме предельного анализа бинарной

модели. Поэтому вначале изложим все детали предельного анализа

бинарной модели, а затем обсудим интерпретацию этих результа-

тов для случая, когда моделируются экспертные предпочтения.

Рассмотрение начнем с линейной модели.

В классической теории коэффициенты линейной регрессии

интерпретируют как предельные коэффициенты абсолютного ро-

ста. Принято считать, что k-н коэффициент регрессии показы-

вает, насколько изменится зависимая переменная (моделируемый

показатель), если к-я независимая переменная изменится на еди-

ницу при условии, что эта единица достаточно мала, а все ос-

тальные переменные неизменны. Естественно, при построении

пробит- и логит-моделей возникает аналогичный вопрос.

Предельный анализ с использованием пробит- и логит-моделей

в силу их нелинейного характера и вероятностной интерпретации

результатов моделирования требует более сложных математических

обоснований по сравнению с линейными моделями.

Рассмотрим общий случай модели бинарного выбора и запи-

шем для события

условное математическое ожидание

E(y,.|x,.) = lF(x

.b)

0(l-F(x,b))- (3-П)

Предельный эффект к-го фактора вычисляется в виде первой

производной

ЭЕ(у,.|х,.) faF(x,.b)3(x,.b)

{ Э(х,Ь) dx

где f() — функция плотности, связанная с соответствующим

кумулятивным распределением F().

Полученный предельный эффект можно интерпретировать как

величину, на которую изменяется вероятность выбора при изме-

нении фактора на единицу, т.е., по сути, как изменится неопре-

= f(x,.b)b

, (3.12)

деленность ситуации бинарного выбора. Однако механизм форми-

рования этой величины не так прост, как в линейной модели, и

представляет собой взаимодействие двух составляющих, каждая из

которых имеет собственную интерпретацию.

Первая составляющая определяется плотностью распределения,

которая в предельном эффекте является изменяемой характерис-

тикой, зависящей от х- Рассмотрим основные механизмы фор-

мирования этой составляющей и ее содержательную интерпрета-

цию.

Прежде всего обратим внимание на то обстоятельство, что

изменение к-й переменной, например в сторону увеличения ее

значения, может привести как к увеличению, так и снижению

плотности вероятности. Механизм реализации этих изменений

начинает действовать с изменения значения линейной формы:

Zi = x,b = b

+•••

(3.13)

Изменение линейной формы зависит от величины и знака ко-

эффициента регрессии Ь

. В свою очередь, изменение плотнос-

ти вероятности зависит не только от величины, на которую из-

менилось значение линейной формы, но и от того, где это зна-

чение расположено на оси z- Если оно лежит в левой половине

распределения, то увеличение z приводит к возрастанию плотно-

сти,

если в правой — то к снижению. Это положение хорошо

иллюстрирует рис. 3.1.

Рис. 3.1. Изменение плотности вероятности в зависимости от распо-

ложения значения линейной формы

Анализ предельной производительности факторов позволяет

обнаружить, что максимально возможная производительность

фактора достигается в тех точках, в которых плотность имеет наи-

большее значение. Интересно, что именно в этих точках ситуа-

ция бинарного выбора обладает самым высоким уровнем неопре-

деленности. Это становится совершенно очевидным для логит-

модели, если вспомнить о выражении для плотности и предель-

ную производительность ее А:-го фактора записать в виде

ЭЕ(У

|Х

)

= F(x,b)(l - F(x,b))b,. (3.14)

Максимальное значение первой составляющей, которая в дан-

ном выражении представлена произведением вероятностей, до-

стигается при F(x

;

b) = 0,5, т.е. когда имеет место самый высо-

кий уровень неопределенности.

Вторая составляющая менее интересна для анализа. Она рав-

на постоянной величине и в основном играет роль мультиплика-

тора, усиливающего или снижающего вклад первой в предельную

производительность. Геометрически (см. рис. 3.1) при увеличе-

нии x

на единицу коэффициент Ь

определяет ширину прямо-

угольника с высотой f(x

(

.b), на величину площади которого изме-

няется вероятность бинарного выбора в условиях, описываемых

вектором х

(

Так как события бинарного выбора несовместны, то при рас-

смотрении результатов предельного анализа нужно помнить, что

увеличение вероятности возможного появления одного из событий

влечет за собой уменьшение на ту же самую величину вероятно-

сти возможного возникновения альтернативного события. Поэтому

если из двух вероятностей увеличивается при изменении x

та,

которая имеет большее значение, то неопределенность выбора

снижается; если та, которая имеет меньшее значение, то неопре-

деленность выбора увеличивается.

Переходя к интерпретации результатов моделирования эксперт-

ных предпочтений, прежде всего попытаемся понять смысл рас-

четных значений

&=F(x,.b)- (3.15)

С одной стороны, это вероятность возможного появления собы-

тия,

состоящего в том, что y

примет значение, равное 1, а с

другой — это характеристика оставшейся в предпочтениях эксперта

неопределенности. Действительно, с ее помощью можно вычис-

лить энтропию

Я,

=-F(x,.b)log

F(x,.b)-(l-F(x

.b))log

(l-F(x,6)). (

зл6

)

которая характеризует уровень неопределенности бинарного выбо-

ра, сохраняемый в точке х,- после экспертного опроса.

Предельная производительность фактора, изменяя вероятность

выбора, естественно, изменяет и энтропию ситуации, в которой

осуществляется выбор. Причем, как упоминалось выше, рост

вероятности в одних случаях снижает энтропию, а в других при-

водит к ее увеличению. Фактически это означает, что для экспер-

та более важной является информация о ситуации, в которой он

будет принимать решение, а не информация о возможном изме-

нении ситуации.

Ситуацию с максимальной энтропией можно понимать как

равновесную, смысл которой в том, что эксперт не располагает

информацией, позволяющей одну альтернативу предпочесть дру-

гой.

Естественно, что именно в этой ситуации любая информа-

ция, позволяющая изменить степень предпочтения эксперта, це-

нится дороже, чем та же самая информация, но в условиях,

когда уже сформированы убедительные предпочтения.

На основе результатов анализа предельных производительнос-

тей легко выстраивается процедура ранжирования факторов по

степени их влияния на вероятность появления интересующего нас

события (на изменение уровня неопределенности). В основе про-

цедуры лежит простое соображение. Так как первая составляющая

(плотность вероятности) одинакова для всех факторов, то поря-

док значимости факторов следует определять по абсолютной вели-

чине коэффициентов бинарной регрессии. Если вспомнить, что

в случае линейной модели ранжирование факторов по величине

соответствующих коэффициентов регрессии некорректно, то вы-

вод следует признать неожиданным.

Таким образом, предельный анализ модели экспертных пред-

почтений позволяет оценить влияние факторов на уровень неопре-

деленности в каждой ситуации бинарного выбора, а также упо-

рядочить все факторы по степени их влияния на выбор в любой

из рассмотренных ситуаций.

3.2.

Методы оценивания моделей

бинарного выбора

3.2.1.

Метод максимального правдоподобия

Построение регрессионных моделей с использованием

нелинейных зависимостей подобного типа практически исключа-

ет применение метода наименьших квадратов. Для оценивания

моделей бинарного выбора обычно используется метод максималь-

ного правдоподобия [2]. Применение этого метода осуществляется

в предположении, что каждое наблюдение может трактоваться как

однократный выбор из распределения Бернулли. Таким образом,

модель с вероятностью успеха F(x

b) и независимыми наблюдени-

ями (эксперты опрашиваются независимо друг от друга) представ-

ляет собой вероятность совместного появления всей совокупнос-

ти ожидаемых событий:

Wx=y

, ... Y„=y

)= nF(x,b)n(l-F(x

;

b). (3.17)

Для каждого вектора у, представляющего собой результаты

конкретного экспертного опроса, величина вероятности зависит от

вектора оцениваемых параметров b и может быть записана как

функция правдоподобия

L(y,b) = nF(x,.b)

'[l-F(x,b)]

(3.18)

В данной форме записи множители произведения селектиру-

ются с помощью компонент вектора у, принимающих всего два

значения: 0 или 1.

Удобнее и математически проще максимизировать логарифми-

ческую функцию правдоподобия:

lnL = E[y,lnF(x,b) +(l-

)ln(l-F(x,.b))]. (3.19)

Используя сокращенные записи F

;

= F(x

(

b) и F£(x.b) = f-> вы-

пишем для логарифмической функции правдоподобия условия

максимизации первого порядка:

ain_L

vf -f

(l-F,)

х', =0.

(3.20)

Подставляя в полученное выражение логистическое распределе-

ние,

имеем после очевидных преобразований следующую систему

уравнений:

Х(х-Л,)х,=0.

/=1

(3.21)

В случае нормального распределения система уравнений име-

ет вид

cHnL

эь

+ (1

Л)

_^_

Ф; (1-Ф,)

х'=0.

(3.22)

Введение в рассмотрение переменной q

= 2у.

переписать эту систему следующим образом:

<7,0(tf,x,b)

х'=0.

1 позволяет

(3.23)

Ф(?,х,Ь)

Полученные системы уравнений нелинейны, и для их решения

необходимо применять численные методы. Прежде чем приступить

к численному решению, следует убедиться в том, что итерацион-

ная процедура обеспечивает получение глобального максимума

логарифмической функции правдоподобия. Для этого покажем,

что данная функция является строго вогнутой, т.е. имеет един-

ственный максимум.

Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что lnF(x) и

1п(

1—F(x))

являются строго вогнутыми. В силу того, что сумма

строго вогнутых функций есть строго вогнутая функция, следует,

что и логарифмическая функция правдоподобия строго вогнута.

Основным признаком строгой вогнутости является отрицатель-

ность второй производной. Сначала покажем, что этим свойством

обладает lnF(x). Последовательно дифференцируя, получаем

d(lnF(x)) _ 1 dF(x) _ f(x).

(lnF(x)) d ( f(x)

dx F(x) dx F(x)

f'(x)F(x)-F'(x)f(x)

F(x)

(x)

(3.24)

(3.25)

В соответствии с полученными выражениями для логистичес-

кой функции имеем

d(lnF(x)) e

(1 +

е~

)

1 +

е~

(3.26)

Пх)

< е~*

х\2

а+е~

)

е'

е-

Г -2(1

е-

)(-е~

)е-

е~

)

-х . -2х

-е +е

е~

)

(3.27)

-е

+е

2х

(lnF(A-)) (l

е"

(1 +

е-у

<0.

2 _

1 ~(1 +

<Г*)

(3-28)

Строгая вогнутость lnF(x) доказана. Так как (1—F(x)) в случае

логистической функции симметрична F(x), то она тоже строго

вогнута. Следовательно, логарифмическая функция правдоподо-

бия, представляющая собой сумму строго вогнутых функций,

сама является строго вогнутой, и применение градиентной про-

цедуры приводит к получению единственного решения.

В случае, когда F(x) есть функция нормального распределе-

ния, результат тот же самый — логарифмическая функция прав-

доподобия строго вогнута. Таким образом, численное решение

системы (3.21) или (3.23) приводит к получению оценок, макси-

мизирующих соответствующие функции правдоподобия.

3-2.2. Численное решение с помощью метода

Ньютона — Рафсона

Рассмотрим построенную на основе метода Ньютона

— Рафсона вычислительную схему решения нелинейной системы

уравнений

Э]пЦЬ)

эь

Все детали этой схемы будут изложены без уточнения, на осно-

ве какого распределения была построена функция правдоподобия.

Считая левую часть системы (3.29) дифференцируемой вектор-

функцией (для исследуемых здесь распределений это действительно

так),

запишем отрезок ряда Тейлора, являющегося линейной

аппроксимацией этой функции в окрестности некоторой точки Ь

ainL(b) ainL(b) a

inL(b),.

-эьГ

~^ьГ

^МьГ

( о)

(130)

Производная по Ь

обозначает производную по Ь, вычислен-

ную в точке Ь

. Саму точку Ь

будем считать начальным прибли-

жением искомой оценки. Ее значение можно определить как век-

тор параметров линейной регрессии

у = ХЬ + £, (3.31)

оцененных с помощью метода наименьших квадратов, т.е.

=(X'X)~'Xy. (3.32)

Обозначив произвольную точку окрестности через Ь| и помня, что

нашей целью является нахождение такого вектора параметров, кото-

рый обращает первую производную в ноль, целесообразно записать

Э1пЦЬ) Э

1пЦЬ)]

-эьГ

-эмьГ

(Ь,

Ьо)

133)

Раскрывая круглые скобки и перенося влево член, содержащий

Ь,,

а затем, умножая обе части уравнения на обратную матрицу,

получаем выражение, задающее итерационный процесс нахожде-

ния искомого решения:

«-Ьмьг!

-»г-

<334)

Вектор Ь, является первой оценкой искомых параметров. Вы-

числяя значения производных во вновь получаемых точках и про-

должая итерационный процесс по рекуррентной формуле

[Э

1пЦЬ

,)1"'Э1пЦЬ,)

+1=ь

*-ГэьэьН

—э^-'

35)

имеем последовательность

{Ь^.}.

Если предел этой последователь-

ности равен Ь, то он есть искомое решение системы, так как

соотношение

К г к к [Э

1пЬ(Ь)Г'Э1пЦЬ)

-ЙЕ

'«-

-ЬЁН

~А-

(зад

имеет смысл при

Э1пЦЬ)^

эь

(3.37)

Следовательно, полученное решение является также и оценкой

максимального правдоподобия.

3.2.3. Итерационная схема

обобщенного МНК (метод Берксона)

В некоторых ситуациях появляется возможность для

оценки параметров логит- и пробит-моделей применять метод наи-

меньших квадратов [16]. Подобная ситуация возникает в случае