Даниленко Т.С. Организация и производство геодезических работ при крупном строительстве

Подождите немного. Документ загружается.

Здесь:

= h = h = ь

(4г.).

S//2

cos а//лг

—

Stfz

N —

Ум

Ун

ЬЦНг

SHz

Sin a^N = Stfz >

_ ==

•

* V(

N-

+(Ум-Ун)

Приращения функции (VI.55) могут быть представлены в общем

виде

= bF™ +

bF™

™

)

= +

(VL57)

Вследствие этого обратные веса функций координат текущей точки

будут

зав , незав \

= Ях

+ Ях

зав . незав [ • ^Vl.OOj

Чу

ЧУг

+ Чу

)

Обратные веса зависимой части функций находят по изложен-

ному выше принципу, а независимой части —по формуле

ИЯ-

(V1M)

В нашем случае

I _ / Ч

незав

_ а незав f -l

р = или, принимая с = т\ р = .

*Нг

Тогда

2 *

д"хГ

cos2

*»»> ЛТ

= Т

sin2

(VI.60)

На основании (IV.2), (VI.58) — (VI.60) средние квадратические

ошибки координат определяемой точки будут:

или

= m

* + m

SHz

cos

m*q

;»

+ m

sHz

sin* *

2 ( зав \

i ^

незав

= \m

у + \m

)

2 /^зави I / незавча

= \

Уг ) + \

Уг )

(VI.61)

218

Среднюю квадратнческую ошибку положения определяемой точ-

ки найдем после подстановки из (VI.61) в (IV.2)

Ml = т

(дТ; + С) + т\

Н2

. (VI.62)

В частном случае, когда дирекционный угол исходной сто-

роны а ав = О,

по створу АВ:

зав

л зав л незав

д*

= Чх

2о

= Яу

ЯУго

*г =

*Нг

по створам AD и ВС:

зав

зав л незав

= д

Хго

, д

= д

Уго

О,

= m

SHz

поэтому

= m]/"^

, = т

$Нг

Ml = т

Хго

+ т\

Нг

по створу CD:

зав

_ незав _

Я*г =

Ч*с*

Яуг =

Яу

го

Нг

отсюда

= m

+ гп\

ИгУ

Уг

= т

М1 = т

(д

хе

+ д

уг

) + т]

нг

Числовые значения д

Уг

для точек геодезического четырехуголь

ника-квадрата с основанием А В = 1000 м можно определить по

графику (см. рис. 69), а величины g

вычислить по (VI.46).

Среднюю квадратнческую ошибку измерения отрезка вычисляют

по формуле (III.20).

Если точки определять равноточным измерением отрезков от

двух пунктов створа, то

где

р.

— коэффициент случайного влияния при измерении линий.

Из этой формулы следует, что точка, расположенная в сере-

дине створа, определяется линейными измерениями с наибольшей

ошибкой.

219

§ 55. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБКИ ПОЛОЖЕНИЯ ТОЧКИ

НА СТОРОНАХ СПАРЕННЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

При уравнивании измерений в сети триангуляции из спаренных

геодезических четырехугольников параметрическим способом чис-

ло нормальных уравнений увеличивается вдвое по сравнению с

одним первым четырехугольником. Если уравнивать сеть, исполь-

зуя весовые коэффициенты, то общее число их составит 64: из них

парных 8 и непарных 56; определению подлежат 36, так как^

=<7s*. Это существенно усложняет вычисления. Поэтому выгоднее

вычислять вес функции уравненных величин в дополнительных

колонках решения нормальных урав-

нений.

Из решения нормальных уравнений

по схеме Гаусса находят вес послед-

него неизвестного t по формуле

/>,„ = [«•(/-1)] (VI.65)

и предпоследнего s

__ л

рь{и-\) — рьи щ у — 2)] •

Обратный вес неизвестного ti по-

лучают при подстановке по строке не-

известного уравнения основной систе-

мы в дополнительной колонке частных производных F

с обрат-

ными знаками и выполнении соответствующих вычислений.

Обратный вес функции со знаком минус находят при k неиз-

вестных по формуле

-± = E

F, + E*

F\ + . . . + E

F^\ (VI.66)

где E — число в дополнительной колонке по строке элиминацион-

ного уравнения; F — число в дополнительной колонке, предшест-

вующее числу Е.

Результаты исследований сети триангуляции из спаренных гео-

дезических четырехугольников-квадратов с основанием 1 км

(рис. 70) показывают следующее.

1. Обратные веса координат определяемых пунктов, точки

пересечения диагоналей и длины удаленной стороны первого гео-

дезического четырехугольника определяются формулами (VI. 46).

2. Обратные веса координат текущей точки на сторонах первого

четырехугольника вычисляют по формулам (VI. 53) и (VI. 54).

3. Если точки на сторонах первого четырехугольника опреде-

ляют линейным промером, то оценка точности их положения произ-

водится по формулам (VI. 63).

4. Из решения нормальных уравнений по схеме Гаусса полу-

чены обратные веса q координат определяемых пунктов:

Я*С

Q*D

= °»

ЧУО

ЯУО

В С L

Рис. 70. Сеть триангуляции из

двух геодезических четырех-

угольников

220

= q

= 1,03; q

= q

= 1,68.

Ошибки положения пунктов С и D, таким образом, являются

ошибками исходных пунктов для второго геодезического четырех-

угольника С LTD.

Обратные веса координат пунктов, одинаково удаленных от

исходных, по схеме сдвоенных четырехугольников получаются

меньше, чем в одном четырехугольнике с коэффициентом вытяну-

тости, равным двум, так как по формулам (VI.46) вычислим

= 1,12 и q

= 3,62.

5. Чтобы получить обратные веса координат пунктов в подоб-

ной сети, достаточно умножить полученные значения на квадрат

длины основания исходной стороны, выраженной в километрах.

Например, для сети с исходной стороной, равной 0,5 км, обрат-

ные веса соответствующих пунктов будут меньше в четыре раза»

т. е.

Я*о

= °>

07;

ЯУО

= 0,13;

q'x

= 0,26; q'

= q

¥T

= 0,42.

6. Выражая координаты точки пересечения диагоналей и дли-

ны удаленной стороны второго четырехугольника как функции ко-

ординат пунктов сети, находят приращения этих функций; в допол-

нительных столбцах схемы решения нормальных уравнений вычис-

ляют обратные веса функций согласно (VI. 66).

В рассматриваемой сети получены значения

= 0,48; q

= 0,78; q,

= 0,74.

7. В прямоугольных геодезических четырехугольниках, симмет-

рично расположенных относительно базиса, обратные веса соответ-

ственных элементов по величине равны [105].

8. Вычисленные обратные веса координат текущей точки, задан-

ной уравнениями (VI. 47), нанесены на график (см. рис. 69). Со-

гласно формулам (VI. 28) — (VI. 30) и результатам вычислений

получены уравнения для точек на сторонах второго четырехуголь-

ника:

в створе DT:

в створе CL:

в створе LT:

221

Ко)*

9*z.=

(

+(qx

Яу

„

=Яуо +

(9УТ—ЧУО)

= Ях

+ {q

Яуг о = Яуо + {Яу

0.76Л (h — 1) + q

-Ях

)

-Яус)*

(VI.67>

Здесь q

— обратные веса координат точек и пунктов, обоз-

наченных индексами; h = s

HZo

•

shn — отношение длины отрезка от

пункта до точки к длине стороны, на которой намечается точка z

9. Если положение любой точки z на сторонах второго четырех-

угольника определяется линейным промером, то ошибку положе-

ния находят по формулам, аналогичным (VI. 63):

по створу CD:

qT=q

, = по [(VI.53)]

поэтому

=m%

c +

Ml =

т*

+ q,,

) + т]

Н2

по створу DT и CL:

С = ^ (VI.67], С =

(VI. 68)

отсюда

Хг

Уг

= m

Sf1z

М\ = m

^ + т1н

по створу LT:

<7*7 =

QL,

яТг = Яу

, [по (VI.67)], "С»=т

„

следовательно,

т\

= m%

+ т1

Нг9

т]

= m

^ М\ = m

</УШ)

НА

Индекс Н обозначает начальный пункт рассматриваемой сторо-

ны сети.

Ошибку положения точки z на середине удаленной стороны LT

сети выразим, имея в виду, что q

= 1,03, q

^ = 0,47А • (А— 1) +

<7l

= 0,47 . 0,5 (—0,5) + 1,68 = 1,56 и, согласно (VI.64), m

$LT

= 0,5р. Vslt,

Ml = m

(1,03 + 1,56) + 0,25^s

= 2,59m

+0,25S

Если необходимо определить положение точки z со средней

квадратической ошибкой не более ±5 см, то при различном соот-

ношении величин слагаемых установим требуемую точность изме-

рений. Принимая влияния источников погрешности равными,

найдем

т = 0,5р = = ± 3,5 см,

Ъкунг

222

откуда т = 3,5: У 2,59 = ± 2,2" или т

у2

= тУ2 = ± 3,1", р. =

= 0,035 : (0,5 У 1000) = 0,0022, т. е. линейные измерения на сто-

роне достаточно выполнять шкаловой лентой.

При заданной точности определения положения точки можно

устанавливать различные соотношения величин ошибок измерений

и составлять программу работ, подбирая необходимые геодезиче-

ские приборы.

§ 56. ЭЛЛИПСЫ ОШИБОК ПОЛОЖЕНИЯ ТОЧКИ

НА СТОРОНАХ СЕТИ

Средняя квадратическая ошибка положения М пункта, вычис-

ляемая по формуле (IV. 2), преувеличена, особенно при резком

различии величин т

и т

. Более полную характеристику ошиб-

ки положения и направления наибольшего смещения определяемо-

го пункта, как известно, дает эллипс ошибок.

Для установления величины и направления осей эллипса оши-

бок положения пункта воспользуемся формулами, предложенными

проф. Ю. В. Кемницем [118]. В дополнение к вычислениям зна-

чений q

и q

необходимо определить величину

Угол ориентирования полуосей а и Ъ эллипса ошибок опреде-

лится по формуле

Для пункта Е на пересечении диагоналей геодезического че-

тырехугольника прямоугольной формы при вычислении в таблице

решения нормальных уравнений в соответствии с (VI.69) получа-

ется q

XEyE

=0. Поэтому на основании (VI.70) tg2ср = 0, откуда

угол ср равен 0 или 90°.

Тогда согласно (VI.71)

2сp

6 Г

Ях

—

Яу

(VI. 70)

а величины полуосей — по формулам:

(VI.71)

а = т \

Ь=тУъ~

(VI. 72)

223

1,75 К

Рис. 71. Корни обратных весов, формы и ори-

ентирования эллипсов ошибок

Рис. 72. Створно-угло-

вая засечка

Величины q

X£

и q

вычисляют по форму-

лам (VI.46). Для оп-

ределяемых пунктов

прямоугольных геодези-

ческих четырехугольни-

ков в табл. 41 приведе-

ны числовые значения

Vq7

, и по этим

данным построены фор-

мы эллипсов ошибок Эб

и Э

(рис. 71) положе-

ния соответственно

пунктов Е и D в зави-

симости от вытянутости

фигур.

§ 57. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕК,

ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ СТВОРНО-УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКОЙ

Положение точек, соответствующих вершинам малых квадра-

тов или прямоугольников, на сторонах геодезического четырех-

угольника можно определять как линейными промерами по створу,

так и способом створно-угловой засечки—пересечением створа

стороны сети HN (Н—начальный, N — конечный пункт сети) с

направлением E

, заданным в точке пересечения диагоналей ос-

И N

новной фигуры опорной сети (рис. 72).

Абсциссы точки iHN в створе HN определяют согласно обозна-

чениям на рис. 72.

Х(„

= х

+ she -г

sin

COS cl

(VI. 73)

— I

sin(

+ e)

где хн — абсцисса пункта Я; she — длина полудиагонали EH,

< HEi = р — угол в точке Е между полудиагональю EN и на-

224

правлением на точку Ihn\

—угол в сети между диагональю

Н (N + 1) (N + I — номер следующего пункта сети по направле-

нию движения текущей точки) и стороной CD, а

ы — дирекцион-

ный угол стороны HN (в данном случае стороны CD).

Таблица 41

Наименование элементов

Коэффициенты вытянутости четырехугольника

0,75

| 1.00

| 1.25

| W50

1,75

0,35

0,36

0,40

0,46

0,20

0,27

0,38

0,48

0,60

-0,06

0,0

0,12

0,32

0,64

0,58 0,71

0,94

1,22

1,56

0,40

0,54

0,67

0,78

0,90

99,8 90,0

82,0

79,0

78,5

0,40

0,54

0,67

0,80

0,93

0,60

0,71

0,94

1,23

1,56

ЕУЕ

]/Че

<р, в градусах

% в градусах

qLx

]Ла У

by DC

% в градусах

Множитель второго слагаемого формулы (VI.73)

sinpcosa^

cosa

sin р cos 0 + sin

cos"p

cos 0+ sin

ctg p •

причем

в = a>H(N+\) — a hn\

cos a н, r+i

*n+\ —

У(

н+\-*н)* + {уы+х~Ун)

2 9

n/f

N+\

—

IfN

sin a

H+i =

N+\ ~

)

(0АГ+1

- Ун?

frt„ Ун~Ун

tg a

= —

N—*H

Учтем также, что

«я* = V(x

— ХнГ + (у

— y

ь 4-1895

225

при этом координаты хе И уе В развернутом виде представлена

формулами (VI .12).

Тогда получим

(

в —

н) V (

n+\ — *hY +

(Уы+i

— Ун? X

(УЕ

Улг)

. (VI.74)

(*лц-1

— *н) (

я —

н) —

(Уы+\

Ун) (Viv

Уя)

[(Ул?+1

h)(

n - *н) ~ (*w+i -

н)(Ук ~ Ун)№

Ордината той же текущей точки ihn найдется по формуле

Уны =Ун + she Л

fl)

sin а

НЯ

. (VI. 75)

или после соответствующей замены, как и для абсциссы, выраже-

ние (VI.75) примет вид

(Улг

Ун)

(*дц-1

н)

(Улч-1

- Ун)

_ „ , X У (

Е ~

н)

(УЕ — Ун)

Шнн

(jfff+1

_ Х

) (x

- х

) - (y

N+l

Ун

) (y

-y

) + •

+ |(</w+i — Ун) (

n —

н) - (*лг+1 —

н)

(Уы

— Ун)]

Рассматривая координаты точки как функции зависимых и не-

зависимых величин, по изложенным ранее правилам выразим при-

ращения функций (VI.74) и (VI.76):

ЪР

= 2 f'ibt +

£=1

или

= 2 FM +

(=i

= bF?

+ ЪРГ*

bFy = bF

;

+ ЬР

еза

(VI.77)

(VI. 78)

Возьмем частные производные функции (VI.74) точки ieo, пере-

мещающейся на стороне CD сети от пункта С, по аргументам.

Получим:

F' _1

*а 2х

(х

+ y

ctg р)

^ (2х

+ у

ctg

Р)

F' =•

Ув

4 +

2*<?fe (*о +Ув

§P)

F' ^

о 4х

(х

+ у

ctg|)

2*с (

с + </c

§ Р)

*Ув

4 (

в +

Ув

§ Р)

^(A-C+^ctgp)

vD 4х

(х

Чх%

(Х

+ у

ctg р)«

^(Ус

—

^е^Р)

F' =

Ус

Р)

К (*c + </c

§ Р)

# 2р (х

sin р + «/

cos р)»

(VI.79)

226

Соответственно частные производные функции (VI.76) для точ-

ки будут:

= о

vq — х

(х

+ у

ctg р)

FyD= 1_

(*C + tf(?<*gP)

^0=0

(VI. 80)

В такой же последовательности определяются частные произ-

водные и приращение функций координат точки i

, удаляющейся

от пункта D с увеличением угла р между направлениями ED

и ЕЬэс.

Для точек i на остальных внешних сторонах сети поступают

аналогично.

В соответствии с (IV.2), (VI.32) и (VI.78) запишем

2 а / за

? незавч

2л

зав

i ^г^незав

= m

= гп

Чх

) = + m

Но m

q™

зав

С — текущая точка), откуда

незав (дх\

2т

поэтому

< - я*дш + (VI.81)

Точно так же получим

ж2

^зав . незавч

= m*q

= т* \q

+ q

В свою очередь

es.B

(Шт% ,

(Ж* < .

y jo

" V

Pf/o m

Таким образом,

m^mVr+Щт^. (VI.82)

Средняя квадратическая ошибка в положении текущей точки

будет

+ (£» + + {(|)Ч (§)] *J. (VI.83)

Здесь тр — средняя квадратическая ошибка измерения (построе-

ния) угла.

8* 227