Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы

Подождите немного. Документ загружается.

240 Г л а в а 9. Производная и ее применения

ности равен k). Через сольо сеунд после начала падения и-

нетичесая энерия апли будет наибольшей и аова она?

(Сопротивлением воздуха пренебречь.)

 28. Расходы на топу парохода пропорциональны убу ео

сорости. Известно, что при сорости 10 м/ч расходы на топ-

ливо составляют 30 р. в час; остальные расходы (не зависящие

от сорости) составляют 480 р. в час. При аой сорости паро-

хода общая стоимость 1 м пути оажется наименьшей? Као-

ва будет при этом общая сумма расходов в час?

29. Для достави продуции завода из пунта N в ород A

строят шоссе NP, соединяющее завод с железной дороой AB,

проходящей через ород A. Стоимость перевозо по шоссе вдвое

больше, чем по железной дорое. К аому пунту P нужно

провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозо продуции

завода из пунта N в ород A по шоссе и по железной дорое

была наименьшей? Расстояние от N до железной дорои равно

100 м, а расстояние от орода A до станции железной дорои,

находяшейся на одной оружности с A и N (причем A и N —

онцы диаметра этой оружности) равно a м.

При решении задач о времени достижения наименьшео

расстояния между двумя объетами, движущимися под улом

дру  друу, следует воспользоваться тем, что расстояние

между объетами, достинутое  моменту времени t, представ-

ляет собой одну из сторон треуольниа, двумя друими сторо-

нами отороо являются неоторые фунции расстояний,

пройденных объетами  этому моменту.

30. По двум улицам  перересту движутся две машины

с постоянными соростями 40 и 50 м/ч. Считая, что улицы

пересеаются под прямым улом, и зная, что в неоторый мо-

мент времени машины находятся от перереста на расстояни-

ях 2 и 3 м соответственно, определите, через аое время рас-

стояние между ними станет наименьшим.

 31. Три пунта A, B, C расположены та, что F ABC = 60°.

Одновременно из точи A выходит автомобиль, а из точи B—

поезд. Автомобиль движется по направлению  B со соростью

80 м/ч, а поезд —  пунту C со соростью 50 м/ч. В аой

момент времени (от начала движения) расстояние между поез-

дом и автомобилем будет наименьшим, если AB = 200 м?

 32. Два самолета летят оризонтально на одной высоте под

улом 120° дру  друу с одинаовой соростью v. В неото-

рый момент один из самолетов прилетел в точу пересечения

их траеторий, а второй в этот момент находился в a м от нее

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений 241

(не долетев до точи пересечения). Через аое время после это-

о момента расстояние между самолетами будет наименьшим?

33. Определите, при аом диаметре y рулоо отверстия

в плотине сеундный расход воды Q будет иметь наибольшее

значение, если Q = cy , де h— лубина низшей точи

отверстия (считать h и оэффициент c постоянными).

34. Стоимость бриллианта пропорциональна вадрату ео

массы. При обработе бриллиант был расолот на две части.

Каовы размеры частей, если известно, что при этом произош-

ла масимальная потеря стоимости?

35. Составляют элетричесую цепь из двух параллельно

соединенных сопротивлений. При аом соотношении между

ними сопротивление цепи минимально, если при последователь-

ном соединении сопротивлений оно равно R?

 36. Гонцу нужно добраться из пунта A, находящеося на

одном береу реи, в пунт B, находящийся на друом береу.

Зная, что сорость движения по береу в k раз больше сорости

движения по воде, определите, под аим улом α онец дол-

жен пересечь реу, для тоо чтобы достичь пунта B в ратчай-

шее время. Ширина реи равна h, расстояние между пунтами

A и B (вдоль береа) равно d.

 37. Точи A и B расположены в различных оптичесих сре-

дах, отделенных одна от друой прямой. Сорость распростра-

нения света в первой среде равна v

, а во второй равна v

. Поль-

зуясь принципом Ферма, соласно оторому световой луч распро-

страняется вдоль той ривой AMB, для прохождения оторой

требуется минимум времени, выведите заон преломления све-

товоо луча.

 38. Пользуясь принципом Ферма, выведите заон отражения

световоо луча от плосости в однородной среде.

39. Если в элетричесой цепи, имеющей сопротивление R,

течет то I, то оличество теплоты, выделяющейся в единицу

времени, пропорционально I

R. Определите, а следует раз-

ветвить то I на тои I

и I

при помощи двух проводов с со-

противлениями R

и R

, чтобы выделение теплоты было наи-

меньшим.

40. Прямоуольный участо площадью 9000 м

необходимо

оородить забором, две противоположные стороны отороо а-

менные, а друие — деревянные. Один метр деревянноо забора

стоит 100 р., а аменноо — 250 р. Каую наименьшую денеж-

ную сумму можно выделить по смете на строительство забора?

hy–

240 Г л а в а 9. Производная и ее применения

ности равен k). Через сольо сеунд после начала падения и-

нетичесая энерия апли будет наибольшей и аова она?

(Сопротивлением воздуха пренебречь.)

 28. Расходы на топу парохода пропорциональны убу ео

сорости. Известно, что при сорости 10 м/ч расходы на топ-

ливо составляют 30 р. в час; остальные расходы (не зависящие

от сорости) составляют 480 р. в час. При аой сорости паро-

хода общая стоимость 1 м пути оажется наименьшей? Као-

ва будет при этом общая сумма расходов в час?

29. Для достави продуции завода из пунта N в ород A

строят шоссе NP, соединяющее завод с железной дороой AB,

проходящей через ород A. Стоимость перевозо по шоссе вдвое

больше, чем по железной дорое. К аому пунту P нужно

провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозо продуции

завода из пунта N в ород A по шоссе и по железной дорое

была наименьшей? Расстояние от N до железной дорои равно

100 м, а расстояние от орода A до станции железной дорои,

находяшейся на одной оружности с A и N (причем A и N —

онцы диаметра этой оружности) равно a м.

При решении задач о времени достижения наименьшео

расстояния между двумя объетами, движущимися под улом

дру  друу, следует воспользоваться тем, что расстояние

между объетами, достинутое  моменту времени t, представ-

ляет собой одну из сторон треуольниа, двумя друими сторо-

нами отороо являются неоторые фунции расстояний,

пройденных объетами  этому моменту.

30. По двум улицам  перересту движутся две машины

с постоянными соростями 40 и 50 м/ч. Считая, что улицы

пересеаются под прямым улом, и зная, что в неоторый мо-

мент времени машины находятся от перереста на расстояни-

ях 2 и 3 м соответственно, определите, через аое время рас-

стояние между ними станет наименьшим.

 31. Три пунта A, B, C расположены та, что F ABC = 60°.

Одновременно из точи A выходит автомобиль, а из точи B—

поезд. Автомобиль движется по направлению  B со соростью

80 м/ч, а поезд —  пунту C со соростью 50 м/ч. В аой

момент времени (от начала движения) расстояние между поез-

дом и автомобилем будет наименьшим, если AB = 200 м?

 32. Два самолета летят оризонтально на одной высоте под

улом 120° дру  друу с одинаовой соростью v. В неото-

рый момент один из самолетов прилетел в точу пересечения

их траеторий, а второй в этот момент находился в a м от нее

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений 241

(не долетев до точи пересечения). Через аое время после это-

о момента расстояние между самолетами будет наименьшим?

33. Определите, при аом диаметре y рулоо отверстия

в плотине сеундный расход воды Q будет иметь наибольшее

значение, если Q = cy , де h— лубина низшей точи

отверстия (считать h и оэффициент c постоянными).

34. Стоимость бриллианта пропорциональна вадрату ео

массы. При обработе бриллиант был расолот на две части.

Каовы размеры частей, если известно, что при этом произош-

ла масимальная потеря стоимости?

35. Составляют элетричесую цепь из двух параллельно

соединенных сопротивлений. При аом соотношении между

ними сопротивление цепи минимально, если при последователь-

ном соединении сопротивлений оно равно R?

 36. Гонцу нужно добраться из пунта A, находящеося на

одном береу реи, в пунт B, находящийся на друом береу.

Зная, что сорость движения по береу в k раз больше сорости

движения по воде, определите, под аим улом α онец дол-

жен пересечь реу, для тоо чтобы достичь пунта B в ратчай-

шее время. Ширина реи равна h, расстояние между пунтами

A и B (вдоль береа) равно d.

 37. Точи A и B расположены в различных оптичесих сре-

дах, отделенных одна от друой прямой. Сорость распростра-

нения света в первой среде равна v

, а во второй равна v

. Поль-

зуясь принципом Ферма, соласно оторому световой луч распро-

страняется вдоль той ривой AMB, для прохождения оторой

требуется минимум времени, выведите заон преломления све-

товоо луча.

 38. Пользуясь принципом Ферма, выведите заон отражения

световоо луча от плосости в однородной среде.

39. Если в элетричесой цепи, имеющей сопротивление R,

течет то I, то оличество теплоты, выделяющейся в единицу

времени, пропорционально I

R. Определите, а следует раз-

ветвить то I на тои I

и I

при помощи двух проводов с со-

противлениями R

и R

, чтобы выделение теплоты было наи-

меньшим.

40. Прямоуольный участо площадью 9000 м

необходимо

оородить забором, две противоположные стороны отороо а-

менные, а друие — деревянные. Один метр деревянноо забора

стоит 100 р., а аменноо — 250 р. Каую наименьшую денеж-

ную сумму можно выделить по смете на строительство забора?

hy–

242 Г л а в а 9. Производная и ее применения

 41. Требуется построить неоторое оличество одинаовых

жилых домов общей площадью 40 000 м

. Затраты на построй-

у одноо дома сладываются из стоимости фундамента, про-

порциональной вадратному орню из величины жилой пло-

щади дома, и стоимости наземной части, пропорциональной

убу вадратноо орня из величины жилой площади. Строи-

тельство дома площадью 1000 м

обходится в 184,8 млн р., при-

чем в этом случае стоимость наземной части составляет 32%

стоимости фундамента. Определите, аое оличество домов

нужно построить, чтобы общая стоимость была наименьшей, и

найдите эту стоимость.

При решении неоторых задач вместо отысания наиболь-

шео (наименьшео) значения величины, уазанной в форму-

лирове задачи, удобнее исать наибольшее (наименьшее) зна-

чение друой величины, представляющей собой монотонную

фунцию от первой.

 42. Статуя высотой 4 м стоит на олонне, высота оторой рав-

на 5,6 м. На аом расстоянии от олонны должен стоять чело-

ве ростом (до уровня лаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наи-

большим улом?

 43. По прямолинейному шоссе едет эсурсионный автобус.

В стороне от шоссе расположен дворец, от парадноо входа о-

тороо идет дороа перпендиулярно шоссе. На аом расстоя-

нии от точи пересечения этих доро должен остановиться авто-

бус, чтобы эсурсанты моли лучше рассмотреть из автобуса

фасад дворца, если длина дворца равна 2a, фасад расположен

под улом 60° относительно шоссе и расстояние от парадноо

входа (оторый является центром симметрии дворца) до шоссе

равно b?

 44. Груз массой m, лежащий на оризонтальной площаде,

должен быть сдвинут с места приложенной силой. Сила трения

пропорциональна силе, прижимающей тело  плосости, и на-

правлена против сдвиающей силы; оэффициент пропорцио-

нальности (оэффициент трения) равен k. Под аим улом α

 оризонту надо приложить силу, чтобы ее величина оаза-

лась наименьшей? Определите наименьшую величину сдвиаю-

щей силы.

Инода задачи, сформулированные а задачи на отысание

наибольшео или наименьшео значения, допусают более прос-

тые решения, основанные на еометричесих соображениях.

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений 243

П р и м е р 4. Русла двух ре (в пределах неоторой облас-

ти) представляют собой параболу y = x

и прямую x – y – 2 = 0.

Требуется соединить эти реи прямолинейным аналом наи-

меньшей длины. Через аие точи нужно ео провести?

Р е ш е н и е. Геометричесим местом точе, находящихся на

расстоянии d от прямой, являются две прямые, параллельные

данной и проведенные на уазанном расстоянии по обе стороны

от нее. Точи, лежащие внутри образованной таим образом

полосы, удалены от данной прямой на расстояние, меньшее d,

а вне полосы — на расстояние, большее d. Если прямая не пе-

ресеает параболу, то, увеличивая ширину полосы, мы в итое

получим таую прямую, оторая асается параболы в неото-

рой точе. Эта точа асания будет точой параболы, находя-

щейся ближе всео  прямой. Следовательно, для нахождения

этой точи достаточно определить оординаты точи асания

той асательной, оторая параллельна данной прямой. Из ус-

ловия параллельности (см. § 50) имеем

2x = 1 ^ x = и y = .

Чтобы найти точу на прямой (второй онец анала), запишем

уравнение прямой, перпендиулярной прямой x – y – 2 = 0 и

проходящей через точу ; :

y – = – x – , или y = –x + .

Решив систему уравнений

получаем x = , y = – .

Ответ. Координаты онцов анала: ; и ; – .

45. Прямая l проходит через точи (3; 0) и (0; 4). Точа A

лежит на параболе y = 2x – x

. Найдите расстояние ρ от точи

A до прямой в случае, ода A совпадает с началом оординат,

---





---





---





---





---

y = –x + ,

y = x – 2,

---

------

---





---









------

---





242 Г л а в а 9. Производная и ее применения

 41. Требуется построить неоторое оличество одинаовых

жилых домов общей площадью 40 000 м

. Затраты на построй-

у одноо дома сладываются из стоимости фундамента, про-

порциональной вадратному орню из величины жилой пло-

щади дома, и стоимости наземной части, пропорциональной

убу вадратноо орня из величины жилой площади. Строи-

тельство дома площадью 1000 м

обходится в 184,8 млн р., при-

чем в этом случае стоимость наземной части составляет 32%

стоимости фундамента. Определите, аое оличество домов

нужно построить, чтобы общая стоимость была наименьшей, и

найдите эту стоимость.

При решении неоторых задач вместо отысания наиболь-

шео (наименьшео) значения величины, уазанной в форму-

лирове задачи, удобнее исать наибольшее (наименьшее) зна-

чение друой величины, представляющей собой монотонную

фунцию от первой.

 42. Статуя высотой 4 м стоит на олонне, высота оторой рав-

на 5,6 м. На аом расстоянии от олонны должен стоять чело-

ве ростом (до уровня лаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наи-

большим улом?

 43. По прямолинейному шоссе едет эсурсионный автобус.

В стороне от шоссе расположен дворец, от парадноо входа о-

тороо идет дороа перпендиулярно шоссе. На аом расстоя-

нии от точи пересечения этих доро должен остановиться авто-

бус, чтобы эсурсанты моли лучше рассмотреть из автобуса

фасад дворца, если длина дворца равна 2a, фасад расположен

под улом 60° относительно шоссе и расстояние от парадноо

входа (оторый является центром симметрии дворца) до шоссе

равно b?

 44. Груз массой m, лежащий на оризонтальной площаде,

должен быть сдвинут с места приложенной силой. Сила трения

пропорциональна силе, прижимающей тело  плосости, и на-

правлена против сдвиающей силы; оэффициент пропорцио-

нальности (оэффициент трения) равен k. Под аим улом α

 оризонту надо приложить силу, чтобы ее величина оаза-

лась наименьшей? Определите наименьшую величину сдвиаю-

щей силы.

Инода задачи, сформулированные а задачи на отысание

наибольшео или наименьшео значения, допусают более прос-

тые решения, основанные на еометричесих соображениях.

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений 243

П р и м е р 4. Русла двух ре (в пределах неоторой облас-

ти) представляют собой параболу y = x

и прямую x – y – 2 = 0.

Требуется соединить эти реи прямолинейным аналом наи-

меньшей длины. Через аие точи нужно ео провести?

Р е ш е н и е. Геометричесим местом точе, находящихся на

расстоянии d от прямой, являются две прямые, параллельные

данной и проведенные на уазанном расстоянии по обе стороны

от нее. Точи, лежащие внутри образованной таим образом

полосы, удалены от данной прямой на расстояние, меньшее d,

а вне полосы — на расстояние, большее d. Если прямая не пе-

ресеает параболу, то, увеличивая ширину полосы, мы в итое

получим таую прямую, оторая асается параболы в неото-

рой точе. Эта точа асания будет точой параболы, находя-

щейся ближе всео  прямой. Следовательно, для нахождения

этой точи достаточно определить оординаты точи асания

той асательной, оторая параллельна данной прямой. Из ус-

ловия параллельности (см. § 50) имеем

2x = 1 ^ x = и y = .

Чтобы найти точу на прямой (второй онец анала), запишем

уравнение прямой, перпендиулярной прямой x – y – 2 = 0 и

проходящей через точу ; :

y – = – x – , или y = –x + .

Решив систему уравнений

получаем x = , y = – .

Ответ. Координаты онцов анала: ; и ; – .

45. Прямая l проходит через точи (3; 0) и (0; 4). Точа A

лежит на параболе y = 2x – x

. Найдите расстояние ρ от точи

A до прямой в случае, ода A совпадает с началом оординат,

---





---





---





---





---

y = –x + ,

y = x – 2,

---

------

---





---









------

---





244 Г л а в а 9. Производная и ее применения

и уажите оординаты таой точи M (x

; y

) на параболе, при

оторых расстояние от нее до прямой будет наименьшим.

 46. Четыре точи A, B, C, D в уазанном поряде лежат на

параболе y = ax

+ bx + c. Координаты точе A, B и D извест-

ны: A(–2; 3), B(–1; 1), D(2; 7). Определите оординаты точи C

в случае, ода площадь четырехуольниа ABCD наибольшая.

47. На оординатной плосости даны точи A(–2; 0) и B(0; 4)

и прямая l: y = x. Найдите периметр треуольниа AMB, де

M— точа с абсциссой 3, лежащая на прямой l. При аом по-

ложении точи M на прямой l периметр треуольниа AMB

наименьший?

 48. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка следует про-

вести через точу M прямую, чтобы она отсела от ула тре-

уольни наименьшей площади?

49. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка построить

треуольни наименьшео периметра, чтобы одна ео вершина

находилась в точе M, вторая — на стороне AO и третья — на

стороне BO данноо ула?

50. Рассматриваются таие всевозможные трапеции, вписан-

ные в оружность радиуса R, что центр оружности лежит вну-

три трапеции, а одно из оснований равно R . Найдите боовую

сторону той из трапеций, оторая имеет наибольшую площадь.

51. Дана правильная треуольная пирамида DABC (D— вер-

шина, ABC — основание). Известно, что AB = a, AD = b. Пира-

миду пересеает плосость α, параллельная ребрам AD и BC.

На аом расстоянии от ребра AD должна быть проведена пло-

сость α, чтобы площадь сечения была наибольшей?

52. Рассматриваются всевозможные прямоуольные парал-

лелепипеды, у оторых основаниями являются вадраты, а аж-

дая из боовых раней имеет периметр 6 см. Найдите среди них

параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите величину

этоо объема.

53. В руовой сетор радиуса R с прямым центральным у-

лом вписан прямоуольни та, что одна ео вершина совпада-

ет с центром руа, а противоположная вершина лежит на о-

ружности. Найдите длины сторон тоо прямоуольниа, ото-

рый имеет наибольшую площадь.

54. Хорда AB равна радиусу оружности. Хорда CD, парал-

лельная AB, проведена та, что площадь четырехуольниа

ABCD масимальна. Найдите уловую величину меньшей из

ду, стяиваемых хордой CD.

§ 50. Геометрические приложения производной 245

 55. В данный руовой сетор радиуса R впишите прямоуоль-

ни наибольшей площади (уол сетора равен α). Вычислите

значение этой площади.

§ 50. Геометрические приложения

производной

Пусть фунция y = f(x) дифференцируема в точе x

и y

= f(x

). Прямую, определяемую уравнением

y = y

+ (x

)(x – x

), (1)

называют асательной  рафиу фунции y = f(x) в точе

M(x

; y

). Записав уравнение (1) в виде

y – y

= (x

)(x – x

), (2)

можно залючить, что из всех прямых, проходящих через точ-

у M(x

; y

), асательной  рафиу фунции f(x) будет та пря-

мая, уловой оэффициент оторой равен (x

) (уловой оэф-

фициент есть таненс ула налона прямой  положительному

направлению оси Ox).

Прямую, перпендиулярную асательной в точе асания,

называют нормалью  рафиу фунции y = f(x) в этой точе.

Уравнение нормали имеет вид

(y – y

)(x

) + (x – x

) = 0. (3)

Под лом межд рафиами фнций y = f

(x) и y = f

(x)

в их общей точе M(x

; y

) понимают уол α между асатель-

ными  этим рафиам в уазанной точе. Таненс этоо ула

вычисляют по формуле

tg α = . (4)

Если выражение 1 + (x

)(x

) обращается в нуль, то ривые

пересеаются под прямым улом.

Для тоо чтобы составить уравнение асательной (нормали)

 рафиу фунции y = f(x) в точе, абсцисса оторой известна

и равна x

, достаточно найти значения (x

) и y = f(x

) и под-

′

()f

′

()–

1 f

′

()f

′

()+

----------------------------------------------

′

244 Г л а в а 9. Производная и ее применения

и уажите оординаты таой точи M (x

; y

) на параболе, при

оторых расстояние от нее до прямой будет наименьшим.

 46. Четыре точи A, B, C, D в уазанном поряде лежат на

параболе y = ax

+ bx + c. Координаты точе A, B и D извест-

ны: A(–2; 3), B(–1; 1), D(2; 7). Определите оординаты точи C

в случае, ода площадь четырехуольниа ABCD наибольшая.

47. На оординатной плосости даны точи A(–2; 0) и B(0; 4)

и прямая l: y = x. Найдите периметр треуольниа AMB, де

M— точа с абсциссой 3, лежащая на прямой l. При аом по-

ложении точи M на прямой l периметр треуольниа AMB

наименьший?

 48. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка следует про-

вести через точу M прямую, чтобы она отсела от ула тре-

уольни наименьшей площади?

49. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка построить

треуольни наименьшео периметра, чтобы одна ео вершина

находилась в точе M, вторая — на стороне AO и третья — на

стороне BO данноо ула?

50. Рассматриваются таие всевозможные трапеции, вписан-

ные в оружность радиуса R, что центр оружности лежит вну-

три трапеции, а одно из оснований равно R . Найдите боовую

сторону той из трапеций, оторая имеет наибольшую площадь.

51. Дана правильная треуольная пирамида DABC (D— вер-

шина, ABC — основание). Известно, что AB = a, AD = b. Пира-

миду пересеает плосость α, параллельная ребрам AD и BC.

На аом расстоянии от ребра AD должна быть проведена пло-

сость α, чтобы площадь сечения была наибольшей?

52. Рассматриваются всевозможные прямоуольные парал-

лелепипеды, у оторых основаниями являются вадраты, а аж-

дая из боовых раней имеет периметр 6 см. Найдите среди них

параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите величину

этоо объема.

53. В руовой сетор радиуса R с прямым центральным у-

лом вписан прямоуольни та, что одна ео вершина совпада-

ет с центром руа, а противоположная вершина лежит на о-

ружности. Найдите длины сторон тоо прямоуольниа, ото-

рый имеет наибольшую площадь.

54. Хорда AB равна радиусу оружности. Хорда CD, парал-

лельная AB, проведена та, что площадь четырехуольниа

ABCD масимальна. Найдите уловую величину меньшей из

ду, стяиваемых хордой CD.

§ 50. Геометрические приложения производной 245

 55. В данный руовой сетор радиуса R впишите прямоуоль-

ни наибольшей площади (уол сетора равен α). Вычислите

значение этой площади.

§ 50. Геометрические приложения

производной

Пусть фунция y = f(x) дифференцируема в точе x

и y

= f(x

). Прямую, определяемую уравнением

y = y

+ (x

)(x – x

), (1)

называют асательной  рафиу фунции y = f(x) в точе

M(x

; y

). Записав уравнение (1) в виде

y – y

= (x

)(x – x

), (2)

можно залючить, что из всех прямых, проходящих через точ-

у M(x

; y

), асательной  рафиу фунции f(x) будет та пря-

мая, уловой оэффициент оторой равен (x

) (уловой оэф-

фициент есть таненс ула налона прямой  положительному

направлению оси Ox).

Прямую, перпендиулярную асательной в точе асания,

называют нормалью  рафиу фунции y = f(x) в этой точе.

Уравнение нормали имеет вид

(y – y

)(x

) + (x – x

) = 0. (3)

Под лом межд рафиами фнций y = f

(x) и y = f

(x)

в их общей точе M(x

; y

) понимают уол α между асатель-

ными  этим рафиам в уазанной точе. Таненс этоо ула

вычисляют по формуле

tg α = . (4)

Если выражение 1 + (x

)(x

) обращается в нуль, то ривые

пересеаются под прямым улом.

Для тоо чтобы составить уравнение асательной (нормали)

 рафиу фунции y = f(x) в точе, абсцисса оторой известна

и равна x

, достаточно найти значения (x

) и y = f(x

) и под-

′

()f

′

()–

1 f

′

()f

′

()+

----------------------------------------------

′

246 Г л а в а 9. Производная и ее применения

ставить их в уравнение (1) (соответственно в (3)). Координаты

точи на рафие фунции, в оторой требуется провести аса-

тельную, определяются из условий задачи.

Условия параллельности и перпендилярности двх

прямых. Пусть прямые заданы уравнениями y = k

x + b

y = k

x + b

. Для тоо чтобы эти прямые были параллельны,

необходимо и достаточно, чтобы k

= k

. Для тоо чтобы

эти прямые были перпендиулярны, необходимо и достаточ-

но, чтобы k

= –1.

П р и м е р 1. На ривой y = x

– 7x + 3 найти точу, в о-

торой асательная параллельна прямой y = –5x + 3.

Р е ш е н и е. Из условия параллельности двух прямых сле-

дует, что уловой оэффициент асательной в исомой точе

должен быть равен (–5). Абсциссу точи асания найдем, ис-

пользуя равенство (x) = 2x – 7:

2x – 7 = –5 ^ x = 1,

а ординату — подстановой x = 1 в уравнение ривой: y(1) = –3.

Ответ.(1; –3).

1. На ривой y = x

– 3x + 2 найдите точи, в оторых а-

сательная параллельна прямой y = 3x.

2. Запишите уравнение оризонтальной асательной  ра-

фиу фунции y = e

+ e

–x

3. Запишите уравнение асательной  рафиу фунции

y =cos 2x – + 2 в точе с абсциссой x

= .

4. Каой уол образует с осью абсцисс асательная  пара-

боле y = x

+ 4x – 17, проведенная в точе M ; – ? Запи-

шите уравнение этой асательной.

 5. Известно, что прямая y = – x – является асательной

 рафиу фунции f(x) = x

– x. Найдите оординаты точи

асания.

6. Поажите, что оординаты точи пересечения асатель-

ных  ривой y = 1 – , проведенных через точи с ордината-

′





---





---





---





---

------

---

------

§ 50. Геометрические приложения производной 247

ми y = 0, не зависят от параметра a. Найдите оординаты точ-

и пересечения.

17. Вычислите площадь треуольниа, ораниченноо осями

оординат и асательной  рафиу фунции y = в точе

с абсциссой x

= 1.

18. Найдите уравнение общей асательной  ривым

y = x

+4x + 8 и y = x

+ 8x + 4.

19. При аом значении x

Ý 0; асательные  ра-

фиу фунции f(x) = sin x + sin 2x в точах с абсциссами x

+ параллельны?

10. Найдите все значения x

, при оторых асательные  ра-

фиам фунций y(x) = 3 cos 5x и y(x) = 5 cos 3x + 2 в точах с аб-

сциссой x

параллельны.

11. Найдите оординаты точе пересечения с осью Ox тех

асательных  рафиу фунции y(x) = , оторые образу-

ют с осью Ox уол .

 12. На рафие фунции y(x) = x

– 3x

– 7x + 6 найдите все

точи, в аждой из оторых асательные  этому рафиу от-

сеают от положительной полуоси Ox вдвое меньший отрезо,

чем от отрицательной полуоси Oy. Определите длины отсеае-

мых отрезов.

 13. Хорда параболы y = –a

+ 5ax – 4 асается ривой

y = в точе x = 2 и делится этой точой пополам. Найдите

значение a.

14. Запишите уравнение асательной  рафиу фунции

f(x) = | x

– | x | | в точе с абсциссой x = –2.

15. Две асательные  рафиу фунции y =

пересеаются под прямым улом в неоторой точе оси Oy. За-

пишите уравнения асательных.

П р и м е р 2. Определить, под аим улом ривая y =

=sin3x пересеает ось абсцисс в начале оординат.

2x 1–

-----------------

---

x 1+

x 3–

------------- -

3π

------ -

1 x–

-------------

17 x

1+()

-------

246 Г л а в а 9. Производная и ее применения

ставить их в уравнение (1) (соответственно в (3)). Координаты

точи на рафие фунции, в оторой требуется провести аса-

тельную, определяются из условий задачи.

Условия параллельности и перпендилярности двх

прямых. Пусть прямые заданы уравнениями y = k

x + b

y = k

x + b

. Для тоо чтобы эти прямые были параллельны,

необходимо и достаточно, чтобы k

= k

. Для тоо чтобы

эти прямые были перпендиулярны, необходимо и достаточ-

но, чтобы k

= –1.

П р и м е р 1. На ривой y = x

– 7x + 3 найти точу, в о-

торой асательная параллельна прямой y = –5x + 3.

Р е ш е н и е. Из условия параллельности двух прямых сле-

дует, что уловой оэффициент асательной в исомой точе

должен быть равен (–5). Абсциссу точи асания найдем, ис-

пользуя равенство (x) = 2x – 7:

2x – 7 = –5 ^ x = 1,

а ординату — подстановой x = 1 в уравнение ривой: y(1) = –3.

Ответ.(1; –3).

1. На ривой y = x

– 3x + 2 найдите точи, в оторых а-

сательная параллельна прямой y = 3x.

2. Запишите уравнение оризонтальной асательной  ра-

фиу фунции y = e

+ e

–x

3. Запишите уравнение асательной  рафиу фунции

y =cos 2x – + 2 в точе с абсциссой x

= .

4. Каой уол образует с осью абсцисс асательная  пара-

боле y = x

+ 4x – 17, проведенная в точе M ; – ? Запи-

шите уравнение этой асательной.

 5. Известно, что прямая y = – x – является асательной

 рафиу фунции f(x) = x

– x. Найдите оординаты точи

асания.

6. Поажите, что оординаты точи пересечения асатель-

ных  ривой y = 1 – , проведенных через точи с ордината-

′





---





---





---





---

------

---

------

§ 50. Геометрические приложения производной 247

ми y = 0, не зависят от параметра a. Найдите оординаты точ-

и пересечения.

17. Вычислите площадь треуольниа, ораниченноо осями

оординат и асательной  рафиу фунции y = в точе

с абсциссой x

= 1.

18. Найдите уравнение общей асательной  ривым

y = x

+4x + 8 и y = x

+ 8x + 4.

19. При аом значении x

Ý 0; асательные  ра-

фиу фунции f(x) = sin x + sin 2x в точах с абсциссами x

+ параллельны?

10. Найдите все значения x

, при оторых асательные  ра-

фиам фунций y(x) = 3 cos 5x и y(x) = 5 cos 3x + 2 в точах с аб-

сциссой x

параллельны.

11. Найдите оординаты точе пересечения с осью Ox тех

асательных  рафиу фунции y(x) = , оторые образу-

ют с осью Ox уол .

 12. На рафие фунции y(x) = x

– 3x

– 7x + 6 найдите все

точи, в аждой из оторых асательные  этому рафиу от-

сеают от положительной полуоси Ox вдвое меньший отрезо,

чем от отрицательной полуоси Oy. Определите длины отсеае-

мых отрезов.

 13. Хорда параболы y = –a

+ 5ax – 4 асается ривой

y = в точе x = 2 и делится этой точой пополам. Найдите

значение a.

14. Запишите уравнение асательной  рафиу фунции

f(x) = | x

– | x | | в точе с абсциссой x = –2.

15. Две асательные  рафиу фунции y =

пересеаются под прямым улом в неоторой точе оси Oy. За-

пишите уравнения асательных.

П р и м е р 2. Определить, под аим улом ривая y =

=sin3x пересеает ось абсцисс в начале оординат.

2x 1–

-----------------

---

x 1+

x 3–

------------- -

3π

------ -

1 x–

-------------

17 x

1+()

-------

248 Г л а в а 9. Производная и ее применения

Р е ш е н и е. По определению исомый уол равен улу

налона  оси абсцисс асательной, проведенной  ривой в

начале оординат. Таим образом, таненс исомоо ула сов-

падает с уловым оэффициентом этой асательной и равен

значению производной фунции y = sin3x, вычисленному

при x = 0. Та а

y′ = cos 3x = cos 3x,

то tg α = и, следовательно, α = .

Ответ. α = .

16. Поажите, что асательные, проведенные  рафиу

фунции y = в точах ео пересечения с осями оординат,

параллельны.

17. В аих точах асательная  рафиу фунции

f(x) = – + 7x – 4

образует с осью Ox уол 45°?

18. Под аим улом  оси Ox налонена асательная, про-

веденная  ривой y = 2x

– x в точе пересечения этой ривой

с осью Oy?

 19. Поажите, что ривые, заданные уравнениями xy = a

– y

= b

, пересеаются под прямым улом.

 20. Поажите, что семейства линий, заданных уравнениями

y = ax, y

+ x

= c

, при любых a и c пересеаются под прямым

улом.

В случае, ода требуется составить уравнение таой аса-

тельной  рафиу фунции y = f(x), оторая проходит через

заданную точу M(x

; y

), не принадлежащую рафиу этой

фунции, абсциссу x

и ординату y

точи асания можно оп-

ределить из системы уравнений

(5)

-------

---

x 4–

x 2–

-------------

------

----------

– y

= (x

)(x

– x

f(x

) = y

′

§ 50. Геометрические приложения производной 249

П р и м е р 3. В аой точе ривой y = x

– 5x + 6 следует

провести асательную, чтобы она проходила через точу M

(1; 1)?

Р е ш е н и е. Составим систему вида (5):

Подставив y

из второо уравнения в первое, получаем вадрат-

ное уравнение – 2x

= 0. Ита, исомые точи имеют оор-

динаты (2; 0) и (0; 6).

Ответ. (2; 0), (0; 6).

21. В аой точе ривой y = ax

+ bx + c нужно провести

асательную, чтобы она проходила через начало оординат? Ис-

следуйте, при аих значениях a, b и c задача имеет решение.

22. В аой точе ривой y = x

– 5x + 6 нужно провести

асательную, чтобы она проходила через точу M(a; b)? Иссле-

дуйте, при аих значениях a и b задача имеет решение.

23. Запишите уравнение асательной  ривой y = ,

если известно, что асательная проходит через точу M(a; b).

Сольо существует решений в зависимости от выбора точи?

Найдите эти решения.

 24. Запишите уравнение прямой, проходящей через точу

с оординатами ; 2 , асающейся рафиа фунции y

(x) =

=– + 2 и пересеающей в двух точах рафи фунции

(x) = .

25. В аой точе M

ривой y = x

3/2

асательная пер-

пендиулярна прямой 4x + 3y + 2 = 0?

Известно, что равенство нулю дисриминанта вадратноо

уравнения означает, что соответствующая парабола асается

оси абсцисс (прямой y = 0). Аналоичные соображения можно

использовать при нахождении уравнений асательных.

П р и м е р 4. Найти таие асательные  оружности x

+ y

= 25, оторые параллельны прямой 2x – y + 1 = 0.

1 – y

= (2x

– 5) (1 – x

= – 5x

+ 6.x

x 1+

------------- -





---





------

4 x

–

248 Г л а в а 9. Производная и ее применения

Р е ш е н и е. По определению исомый уол равен улу

налона  оси абсцисс асательной, проведенной  ривой в

начале оординат. Таим образом, таненс исомоо ула сов-

падает с уловым оэффициентом этой асательной и равен

значению производной фунции y = sin3x, вычисленному

при x = 0. Та а

y′ = cos 3x = cos 3x,

то tg α = и, следовательно, α = .

Ответ. α = .

16. Поажите, что асательные, проведенные  рафиу

фунции y = в точах ео пересечения с осями оординат,

параллельны.

17. В аих точах асательная  рафиу фунции

f(x) = – + 7x – 4

образует с осью Ox уол 45°?

18. Под аим улом  оси Ox налонена асательная, про-

веденная  ривой y = 2x

– x в точе пересечения этой ривой

с осью Oy?

 19. Поажите, что ривые, заданные уравнениями xy = a

– y

= b

, пересеаются под прямым улом.

 20. Поажите, что семейства линий, заданных уравнениями

y = ax, y

+ x

= c

, при любых a и c пересеаются под прямым

улом.

В случае, ода требуется составить уравнение таой аса-

тельной  рафиу фунции y = f(x), оторая проходит через

заданную точу M(x

; y

), не принадлежащую рафиу этой

фунции, абсциссу x

и ординату y

точи асания можно оп-

ределить из системы уравнений

(5)

-------

---

x 4–

x 2–

-------------

------

----------

– y

= (x

)(x

– x

f(x

) = y

′

§ 50. Геометрические приложения производной 249

П р и м е р 3. В аой точе ривой y = x

– 5x + 6 следует

провести асательную, чтобы она проходила через точу M

(1; 1)?

Р е ш е н и е. Составим систему вида (5):

Подставив y

из второо уравнения в первое, получаем вадрат-

ное уравнение – 2x

= 0. Ита, исомые точи имеют оор-

динаты (2; 0) и (0; 6).

Ответ. (2; 0), (0; 6).

21. В аой точе ривой y = ax

+ bx + c нужно провести

асательную, чтобы она проходила через начало оординат? Ис-

следуйте, при аих значениях a, b и c задача имеет решение.

22. В аой точе ривой y = x

– 5x + 6 нужно провести

асательную, чтобы она проходила через точу M(a; b)? Иссле-

дуйте, при аих значениях a и b задача имеет решение.

23. Запишите уравнение асательной  ривой y = ,

если известно, что асательная проходит через точу M(a; b).

Сольо существует решений в зависимости от выбора точи?

Найдите эти решения.

 24. Запишите уравнение прямой, проходящей через точу

с оординатами ; 2 , асающейся рафиа фунции y

(x) =

=– + 2 и пересеающей в двух точах рафи фунции

(x) = .

25. В аой точе M

ривой y = x

3/2

асательная пер-

пендиулярна прямой 4x + 3y + 2 = 0?

Известно, что равенство нулю дисриминанта вадратноо

уравнения означает, что соответствующая парабола асается

оси абсцисс (прямой y = 0). Аналоичные соображения можно

использовать при нахождении уравнений асательных.

П р и м е р 4. Найти таие асательные  оружности x

+ y

= 25, оторые параллельны прямой 2x – y + 1 = 0.

1 – y

= (2x

– 5) (1 – x

= – 5x

+ 6.x

x 1+

------------- -





---





------

4 x

–