Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
210 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Устранимый разрыв. Если f(x) существует, но фун-
ция не определена в точе x
0
, то оворят, что x
0
— точа ст-
ранимоо разрыва. В этом случае можно доопределить фун-
цию f(x) по непрерывности, полаая
(x
0
) = f(x). (3)
П р и м е р 4. Доопределить фунцию f(x) = в точе
x = 2 по непрерывности.
Решение. Точа x = 2 не принадлежит области опреде-
ления данной фунции, но
= (x + 2) = 4.
Доопределив фунцию f(x) в точе x = 2 значением, равным 4,
получаем фунцию
(x) =
оторая на всей области определения исходной фунции совпа-
дает с этой фунцией и является непрерывной на всей число-
вой прямой.
Ответ.(2) = 4.
Доопределите по непрерывности данную фунцию в уазан-
ной точе:
14. f(x) = в точе x = 0.
15. f(x) = в точе x = 0.
16. f(x) = в точе x = 0.
17. f(x) = в точе x = 81.
x º x
0
lim
f
f
x º x
0
lim
x
2
4–
x 2–
----------------
x º 2
lim
x
2
4–
x 2–
----------------
x º 2
lim
f
f
при x − 2,
4приx = 2,
x
2
4–
x 2–
----------------
f
f
sin x
x
-------------
e
x
e
x–
–
x
---------------------
1 x+1x––
x
------------------------------------------ -
3 x–
9 x–
----------------- -
§ 44. Непрерывность функции 211
Подберите параметр та, чтобы фунция f(x) стала непре-
рывной в уазанной точе (если точа не уазана, то на всей
числовой прямой):
18. f(x) =
19. f(x) =
20. f(x) = в точе x = 0.
21. f(x) = в точе x = 0.
22. f(x) = в точе x = 0.
23. f(x) = в точе x = 1.
Односторонняя непрерывность и односторонние пределы.
Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; x
0
). Число A
называют левым пределом фнции f(x) в точе x
0
и пишут
f(x) = A,
если для любоо ε > 0 существует таое δ(ε) > 0, что при любом
x Ý (a; x
0
), удовлетворяющем неравенству x
0
– δ(ε) < x, выпол-
няется неравенство
|f(x) – A| < ε.
Фунцию f(x) называют непрерывной в точе x
0
слева,
если точа x
0
принадлежит области определения фунции и
f(x) = f(x
0
).
Аналоично определяются правый предел фунции и непре-
рывность фунции справа.
, x − 3,
A, x = 3.
x
2
5x–6+
x 3–
-------------------------------
, x
−
0,
A, x = 0.
2
1/x
2
–
, x − 0,
A, x = 0
sin 3x
sin 2x
-----------------
, x − 0,
A, x = 0
1cosx–
sin
2
x
-----------------------
, x − 0,
A, x = 0
x
2
1cosmx–
-----------------------------
(1 – x)tg , x − 1,
A, x = 1
πx
2
-------
x º x
0
0–
lim
x º x
0
0–
lim
210 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Устранимый разрыв. Если f(x) существует, но фун-
ция не определена в точе x
0
, то оворят, что x
0
— точа ст-
ранимоо разрыва. В этом случае можно доопределить фун-
цию f(x) по непрерывности, полаая
(x
0
) = f(x). (3)
П р и м е р 4. Доопределить фунцию f(x) = в точе
x = 2 по непрерывности.
Решение. Точа x = 2 не принадлежит области опреде-
ления данной фунции, но
= (x + 2) = 4.
Доопределив фунцию f(x) в точе x = 2 значением, равным 4,
получаем фунцию
(x) =
оторая на всей области определения исходной фунции совпа-
дает с этой фунцией и является непрерывной на всей число-
вой прямой.
Ответ.(2) = 4.
Доопределите по непрерывности данную фунцию в уазан-
ной точе:
14. f(x) = в точе x = 0.
15. f(x) = в точе x = 0.
16. f(x) = в точе x = 0.
17. f(x) = в точе x = 81.
x º x
0
lim
f
f
x º x
0
lim
x
2
4–
x 2–
----------------
x º 2
lim
x
2
4–
x 2–
----------------
x º 2
lim
f
f
при x − 2,
4приx = 2,
x
2
4–
x 2–
----------------
f
f
sin x
x
-------------
e
x
e
x–
–
x
---------------------
1 x+1x––
x
------------------------------------------ -
3 x–
9 x–
----------------- -
§ 44. Непрерывность функции 211
Подберите параметр та, чтобы фунция f(x) стала непре-
рывной в уазанной точе (если точа не уазана, то на всей
числовой прямой):
18. f(x) =
19. f(x) =
20. f(x) = в точе x = 0.
21. f(x) = в точе x = 0.
22. f(x) = в точе x = 0.
23. f(x) = в точе x = 1.
Односторонняя непрерывность и односторонние пределы.
Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; x
0
). Число A
называют левым пределом фнции f(x) в точе x
0
и пишут
f(x) = A,
если для любоо ε > 0 существует таое δ(ε) > 0, что при любом
x Ý (a; x
0
), удовлетворяющем неравенству x
0
– δ(ε) < x, выпол-
няется неравенство
|f(x) – A| < ε.
Фунцию f(x) называют непрерывной в точе x
0
слева,
если точа x
0
принадлежит области определения фунции и
f(x) = f(x
0
).
Аналоично определяются правый предел фунции и непре-
рывность фунции справа.
, x − 3,
A, x = 3.
x
2
5x–6+
x 3–
-------------------------------
, x
−
0,
A, x = 0.
2
1/x
2
–
, x − 0,
A, x = 0
sin 3x
sin 2x
-----------------
, x − 0,
A, x = 0
1cosx–
sin
2
x
-----------------------
, x − 0,
A, x = 0
x
2
1cosmx–
-----------------------------
(1 – x)tg , x − 1,
A, x = 1
πx
2
-------
x º x
0
0–
lim
x º x
0
0–
lim
212 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Левый и правый пределы фунции называют односторон-
ними пределами, а непрерывность фунции слева и справа
объединяют термином «односторонняя непрерывность».
Чтобы фунция f(x) была непрерывна в точе x
0
, необходи-
мо и достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа
в точе x
0
.
П р и м е р 5. Каим условиям должны удовлетворять па-
раметры a и b, чтобы фунция
f(x) =
была непрерывной?
Р е ш е н и е. Вычислим левый и правый пределы данной
фунции в точе x = 1:
(x – 1) = 0, (ax
2
+ bx) = a + b.
Та а данная фунция в точе x = 1 непрерывна слева и
f(1) = 0, то для ее непрерывности необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство a + b = 0.
Ответ. a + b = 0.
Подберите параметры, входящие в определение фунции,
та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной:
24. f(x) =
25. f(x) =
26. f(x) =
27. f(x) =
28. f(x) =
x – 1 при x m 1,
ax
2
+ bx при x > 1
x º 10–
lim
x º 10+
lim
ax + 1, x m ;
sin x + b, x > .
π
2
---
π
2
---
x
2
, x m 1;
ax, x > 1.
|x
2
– 5x + 6|, x > 2;
ax – b, x m 2.
|x
2
– 5x + 6|, x < 3;
ax – b, x l 3.
, x < 1;
ax
2
+ bx + 1, x l 1.
2
1
x 1–
--------- ----
§ 45. Разные задачи 213
29. f(x) =
30. f(x) =
31. f(x) =
§ 45. Разные задачи
Вычислите предел:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. : .
6. . 7. .
8. . 9. .
10. . 11. .
12. . 13. .
14. . 15. .
16. . 17. .
18. . 19. .
+ 1, x > 0;
–x
2
+ b, x m 0.
3
x
2
1+
---------------- -
x
2
+ x + 1, x l –1;
sin (π(x + a)), x < 1.
x + 3, x m 3;
a · 2
x
, x > 3.
x º 0
lim
cos x sin x tg x–
x
2
sin x
----------------------------------------------
x º π /4
lim
1ctg
3
x–
2ctgx–ctg
3
x–
-----------------------------------------------
x º 1
lim
x
3
1–
x
2
5x 6–+
-------------------------------
x º 0
lim
sin 2x π–()
cos 3 x
π
2
---
+
---------------------------------- -
x º π
lim
sin 2x
1cos
3
x+
-------------------------- -
x º 0
lim
2x 1+1–
3x 4+2–
--------------------------------
x º 0
lim
1cosx–
sin
3
x
-----------------------
x º a
lim
tg x tg a–
xa–
----------------------------
x º a
lim
sin x sin a–
cos x cos a–
--------------------------------- -
x º a
lim
sin x sin a–
tg x tg a–
---------------------------------
x º π/4
lim
sin x cos x–
tg x ctg x–
---------------------------------
x º π /4
lim
sin x cos x–
tg x 1–
---------------------------------
x º 0
lim
tg x sin x–
x
3
------------------------------ -
x º π /4
lim
cos
π
4
---
x+
1tgx–
------------------------------- -
x º π/4
lim
cos 2x
cos x
2
2
-------
–
--------------------------- -
x º 3π/2
lim
sin 2x
1 sin x+
----------------------- -
x º π/2
lim
cos x
π 2x–
-----------------
x º 0
lim
tg x
1cosx–
-----------------------
x º π/3
lim
sin
π
3
---
x–
2cosx 1–
------------------------------ -
x º 0
lim
x sin x
1cosx–
-----------------------
212 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Левый и правый пределы фунции называют односторон-
ними пределами, а непрерывность фунции слева и справа
объединяют термином «односторонняя непрерывность».
Чтобы фунция f(x) была непрерывна в точе x
0
, необходи-
мо и достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа
в точе x
0
.
П р и м е р 5. Каим условиям должны удовлетворять па-
раметры a и b, чтобы фунция
f(x) =
была непрерывной?
Р е ш е н и е. Вычислим левый и правый пределы данной
фунции в точе x = 1:
(x – 1) = 0, (ax
2
+ bx) = a + b.
Та а данная фунция в точе x = 1 непрерывна слева и
f(1) = 0, то для ее непрерывности необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство a + b = 0.
Ответ. a + b = 0.
Подберите параметры, входящие в определение фунции,
та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной:
24. f(x) =
25. f(x) =
26. f(x) =
27. f(x) =
28. f(x) =
x – 1 при x m 1,
ax
2
+ bx при x > 1
x º 10–
lim
x º 10+
lim
ax + 1, x m ;
sin x + b, x > .
π
2
---
π
2
---
x
2
, x m 1;
ax, x > 1.
|x
2
– 5x + 6|, x > 2;
ax – b, x m 2.
|x
2
– 5x + 6|, x < 3;
ax – b, x l 3.
, x < 1;
ax
2
+ bx + 1, x l 1.
2
1
x 1–
--------- ----
§ 45. Разные задачи 213
29. f(x) =
30. f(x) =
31. f(x) =
§ 45. Разные задачи
Вычислите предел:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. : .
6. . 7. .
8. . 9. .
10. . 11. .
12. . 13. .
14. . 15. .
16. . 17. .
18. . 19. .
+ 1, x > 0;
–x
2
+ b, x m 0.
3
x
2
1+
---------------- -
x
2
+ x + 1, x l –1;
sin (π(x + a)), x < 1.
x + 3, x m 3;
a · 2
x
, x > 3.
x º 0
lim
cos x sin x tg x–
x
2
sin x
----------------------------------------------
x º π /4
lim
1ctg
3
x–
2ctgx–ctg
3
x–
-----------------------------------------------
x º 1
lim
x
3
1–
x
2
5x 6–+
-------------------------------
x º 0
lim
sin 2x π–()
cos 3 x
π
2
---
+
---------------------------------- -
x º π
lim
sin 2x
1cos
3
x+
-------------------------- -
x º 0
lim
2x 1+1–
3x 4+2–
--------------------------------
x º 0
lim
1cosx–
sin
3
x
-----------------------
x º a
lim
tg x tg a–
xa–
----------------------------
x º a
lim
sin x sin a–
cos x cos a–
--------------------------------- -
x º a
lim
sin x sin a–
tg x tg a–
---------------------------------
x º π/4
lim
sin x cos x–
tg x ctg x–
---------------------------------
x º π /4
lim
sin x cos x–
tg x 1–
---------------------------------
x º 0
lim
tg x sin x–
x
3
------------------------------ -
x º π /4
lim
cos
π
4
---
x+
1tgx–
------------------------------- -
x º π/4
lim
cos 2x
cos x
2
2
-------
–
--------------------------- -
x º 3π/2
lim
sin 2x
1 sin x+
----------------------- -
x º π/2
lim
cos x
π 2x–
-----------------
x º 0
lim
tg x
1cosx–
-----------------------
x º π/3
lim
sin
π
3
---
x–
2cosx 1–
------------------------------ -
x º 0
lim
x sin x
1cosx–
-----------------------
214 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
20. . 21. .
22. . 23. .
24. . 25. .
26. . 27. .
28. . 29. .
30. . 31. [(1 – sin x)tg
2
x].
32. (a – x)sec . 33. sin tg .
34. . 35. tg .
36. sin . 37. .
38. .
39. (sin x – cos x)tg + x .
Проверьте справедливость неравенства:
40. > + .
41. + > lg 0,005.
Доопределите фунцию по непрерывности:
42. f(x) = в точе x = 3.
x º π/2
lim
sec 2x 1+
cos x
--------------------------- -
x º π
lim
1cos2x–
tg
2
x
---------------------------
x º π/2
lim
1cos2x+
ctg
2
x
--------------------------- -
x º a
lim
sin
2
x sin
2
a–
sin xa–()
-------------------------------------- -
x º π/2
lim
1sinx–
cos
2
x
-----------------------
x º π /4
lim
sin
π
4
---
x–
cos
2
x
1
2
---
–
------------------------------ -
x º 0
lim
tg x sin x–
sin
3
x
------------------------------ -
x º a
lim
tg
2
x tg
2
a–
tg xa–()
--------------------------------- -
x º a
lim
cos
2
x cos
2
a–
sin
xa–
2
-------------
---------------------------------------
x º 0
lim
tg 3x tg
3
x–
tg x
-----------------------------------
x º π/4
lim
tg
2
x tg x 2–+
sin x cos x–
----------------------------------------- -
x º π /2
lim
x º a
lim
πx
2a
-------
x º a
lim
ax–
2
-------------
πx
2a
-------
x º arctg 3
lim
tg
2
x 2tgx–3–
tg
2
x 4tgx–3+
---------------------------------------------- -
x º 0
lim
1
x
---
x
2
---
x º×
lim
2
x
a
2
x
------
x º 0
lim
1cos
3
x–
x sin x cos x
---------------------------------
x º 0
lim
1sinx+1sinx––
x
-------------------------------------------------------------
x º π/4
lim
π
4
---
x º×
lim
2x 3+
xx
3
+
-------------------
x º 1/2
lim
2x
2
5x–3–
4x
2
18x–10–
-----------------------------------------
x º 0
lim
sin
2
x
2
---
x
2
----------------
x º 0
lim
1 xx
2
++ 1–
x
----------------------------------------- -
x º π/4
lim
22cosx–
sin x
π
4
---
–
-------------------------------- -
x 3–
x
2
1–
3
2–
-------------------------------
§ 45. Разные задачи 215
43. f(x) = в точе x = 0.
44. f(x) = в точе x = 0.
Выясните, при аом выборе параметра фунция f(x) ста-
нет непрерывной:
45. f(x) = в точе x = 3.
46. f(x) =
2 x 4+–
sin 2x
----------------------------
cos
2
x sin
2
x–1–
x
2
1+1–
-------------------------------------------------
, x − 3,
A, x = 3
x
2
7+4–
x
2
5x–6+
-------------------------------
, x − 2,
A, x = 2.
2
x 2+
16–
4
x
2
4
–
----------------------------
214 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
20. . 21. .
22. . 23. .
24. . 25. .
26. . 27. .
28. . 29. .
30. . 31. [(1 – sin x)tg
2
x].
32. (a – x)sec . 33. sin tg .
34. . 35. tg .
36. sin . 37. .
38. .
39. (sin x – cos x)tg + x .
Проверьте справедливость неравенства:
40. > + .
41. + > lg 0,005.
Доопределите фунцию по непрерывности:
42. f(x) = в точе x = 3.
x º π/2
lim
sec 2x 1+
cos x
--------------------------- -
x º π
lim
1cos2x–
tg
2
x
---------------------------
x º π/2
lim
1cos2x+
ctg
2
x
--------------------------- -
x º a
lim
sin
2
x sin
2
a–
sin xa–()
-------------------------------------- -
x º π/2
lim
1sinx–
cos
2
x
-----------------------
x º π /4
lim
sin
π
4
---
x–
cos
2
x
1
2
---
–
------------------------------ -
x º 0
lim
tg x sin x–
sin
3
x
------------------------------ -
x º a
lim
tg
2
x tg
2
a–
tg xa–()
--------------------------------- -
x º a
lim
cos
2
x cos
2
a–
sin
xa–
2
-------------
---------------------------------------
x º 0
lim
tg 3x tg
3
x–
tg x
-----------------------------------
x º π/4
lim
tg
2
x tg x 2–+
sin x cos x–
----------------------------------------- -
x º π /2
lim
x º a
lim
πx
2a
-------
x º a
lim
ax–
2
-------------
πx
2a
-------
x º arctg 3
lim
tg
2
x 2tgx–3–
tg
2
x 4tgx–3+
---------------------------------------------- -
x º 0
lim
1
x
---
x
2
---
x º×
lim
2
x
a
2
x
------
x º 0
lim
1cos
3
x–
x sin x cos x
---------------------------------
x º 0
lim
1sinx+1sinx––
x
-------------------------------------------------------------
x º π/4
lim
π
4
---
x º×
lim
2x 3+
xx
3
+
-------------------
x º 1/2
lim
2x
2
5x–3–
4x
2
18x–10–
-----------------------------------------
x º 0
lim
sin
2
x
2
---
x
2
----------------
x º 0
lim
1 xx
2
++ 1–
x
----------------------------------------- -
x º π/4
lim
22cosx–
sin x
π
4
---
–
-------------------------------- -
x 3–
x
2
1–
3
2–
-------------------------------
§ 45. Разные задачи 215
43. f(x) = в точе x = 0.
44. f(x) = в точе x = 0.
Выясните, при аом выборе параметра фунция f(x) ста-
нет непрерывной:
45. f(x) = в точе x = 3.
46. f(x) =
2 x 4+–
sin 2x
----------------------------
cos
2
x sin
2
x–1–
x
2
1+1–
-------------------------------------------------
, x − 3,
A, x = 3
x
2
7+4–
x
2
5x–6+
-------------------------------
, x − 2,
A, x = 2.
2
x 2+
16–
4
x
2
4
–
----------------------------
Глава 9
Производная и ее применения
§ 46. Нахождение производных
Нахождение производной непосредственно по ее определе-
нию. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; b). Рас-
смотрим предел отношения приращения фунции
∆f(x
0
) = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
)(1)
приращению независимой переменной ∆x (∆x = x – x
0
) при
∆x, стремящемся нулю:
.(2)
Если предел (2) существует, то оворят, что фунция f(x) имеет
производню в точе x
0
, или что f(x) дифференцирема в точ-
е x
0
. Производная фунции f(x) в точе x
0
обозначается f′(x
0
).
Если же предел (2) не существует, то оворят, что фунция f(x)
не дифференцирема в точе x
0
.
Задача, связанная с нахождением производной, исходя из
ее определения, залючается в непосредственном вычислении
предела (2).
П р и м е р 1. Найти производную фунции f(x) = sin x.
Р е ш е н и е. Составим приращение фунции:
∆f(x
0
) = sin (x
0
+ ∆x) – sin x
0
.
Чтобы найти предел
,
воспользуемся формулой
sin (x
0
+ ∆x) – sin x
0
= 2 sin cos x
0
+ .
∆x º 0
lim
∆fx
0
()
∆x
------------------
∆x º 0
lim
sin x
0
∆x+()sin x
0
–
∆x
---------------------------------------------------------- -
∆x
2
-------
∆x
2
-------
§ 46. Нахождение производных 217
Учитывая непрерывность фунции cos x, имеем
=
= · cos x
0
+ = cos x
0
.
Та а точа x
0
выбрана произвольно, то залючаем, что
sin x = cos x.
Ответ.sinx = cos x.
Исходя из определения производной, найдите производную
данной фунции:
1. f(x) = . 2. f(x) = cos x.
3. f(x) = e
x
. 4. f(x) = ln x.
5. f(x) = x
n
. 6. f(x) = c.
Односторонние производные. Односторонние пределы
, (3)
(4)
называют соответственно левой и правой производными (или
односторонними производными) фнции f(x) в точе x
0
и
обозначают (x
0
) и (x
0
). Для существования производной
(x
0
) необходимо и достаточно, чтобы обе производные (левая
и правая) существовали в точе x
0
и были равны:
(x
0
) = (x
0
). (5)
П р и м е р 2. Доазать, что фунция
f(x) =
не дифференцируема в точе x = 1.
∆x º 0
lim
2 sin
∆x
2
-------
cos x
0
∆x
2
-------
+
∆x
--------------------------------------------------------------
∆x º 0
lim
sin
∆x
2
-------
∆x
2
-------
-----------------
∆x º 0
lim
∆x
2
-------
()
′
()
′
1
x
---
∆x º –0
lim
∆fx
0
()
∆x
------------------
∆x º +0
lim
∆fx
0
()
∆x
------------------
f
–
′
f
+
′
f
′
f
+
′
f
–
′
x, x l 1,
x
2
, x < 1,
Глава 9
Производная и ее применения
§ 46. Нахождение производных
Нахождение производной непосредственно по ее определе-
нию. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; b). Рас-
смотрим предел отношения приращения фунции
∆f(x
0
) = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
)(1)
приращению независимой переменной ∆x (∆x = x – x
0
) при
∆x, стремящемся нулю:
.(2)
Если предел (2) существует, то оворят, что фунция f(x) имеет
производню в точе x
0
, или что f(x) дифференцирема в точ-
е x
0
. Производная фунции f(x) в точе x
0
обозначается f′(x
0
).
Если же предел (2) не существует, то оворят, что фунция f(x)
не дифференцирема в точе x
0
.
Задача, связанная с нахождением производной, исходя из
ее определения, залючается в непосредственном вычислении
предела (2).
П р и м е р 1. Найти производную фунции f(x) = sin x.
Р е ш е н и е. Составим приращение фунции:
∆f(x
0
) = sin (x
0
+ ∆x) – sin x
0
.
Чтобы найти предел
,
воспользуемся формулой
sin (x
0
+ ∆x) – sin x
0
= 2 sin cos x
0
+ .
∆x º 0
lim
∆fx
0
()
∆x
------------------
∆x º 0
lim
sin x
0
∆x+()sin x
0
–
∆x
---------------------------------------------------------- -
∆x
2
-------
∆x
2
-------
§ 46. Нахождение производных 217
Учитывая непрерывность фунции cos x, имеем
=
= · cos x
0
+ = cos x
0
.
Та а точа x
0
выбрана произвольно, то залючаем, что
sin x = cos x.
Ответ.sinx = cos x.
Исходя из определения производной, найдите производную
данной фунции:
1. f(x) = . 2. f(x) = cos x.
3. f(x) = e
x
. 4. f(x) = ln x.
5. f(x) = x
n
. 6. f(x) = c.
Односторонние производные. Односторонние пределы
, (3)
(4)
называют соответственно левой и правой производными (или
односторонними производными) фнции f(x) в точе x
0
и
обозначают (x
0
) и (x
0
). Для существования производной
(x
0
) необходимо и достаточно, чтобы обе производные (левая
и правая) существовали в точе x
0
и были равны:
(x
0
) = (x
0
). (5)
П р и м е р 2. Доазать, что фунция
f(x) =
не дифференцируема в точе x = 1.
∆x º 0
lim
2 sin
∆x
2
-------
cos x
0
∆x
2
-------
+
∆x
--------------------------------------------------------------
∆x º 0
lim
sin
∆x
2
-------
∆x
2
-------
-----------------
∆x º 0
lim
∆x
2
-------
()
′
()
′
1
x
---
∆x º –0
lim
∆fx
0
()
∆x
------------------
∆x º +0
lim
∆fx
0
()
∆x
------------------
f
–
′
f
+
′
f
′
f
+
′
f
–
′
x, x l 1,
x
2
, x < 1,
218 Г л а в а 9. Производная и ее применения
Р е ш е н и е. Найдем приращение фунции в точе x = 1:
∆f(1) = f(1 + ∆x) – f(1) =
или, после преобразований,
∆f(1) =
Далее, используя определения (3) и (4), имеем
(1) = = 2, (1) = = 1.
Та а (1) − (1), то производная (x) в точе x = 1 не су-
ществует.
Доажите недифференцируемость фунции в уазанной
точе:
7. f(x) = |x|приx = 0.
8. f(x) = |x
2
– 5x + 6| при x = 2 и x = 3.
9. f(x) = при x = 1.
10. Поажите, что фунция
f(x) =
не имеет в точе x = 0 ни правой, ни левой производной.
11. Доажите, что фунция f(x) = x| x | дифференцируема в
точе x = 0.
Производные основных элементарных фнций
x
α
= αx
α – 1
, (6)
a
x
= a
x
ln a, a > 0, e
x
= e
x
,(7)
log
a
x = , a > 0, a − 1, ln x = , (8)
sin x = cos x,(9)
cos x = –sin x,(10)
∆x, ∆x l 0,
(1 + ∆x)
2
– 1, ∆x < 0,
∆x, ∆x l 0,
2∆x + (∆x)
2
, ∆x < 0.
f
–
′
∆x º –0
lim
2∆x ∆x()
2
+
∆x
--------------------------------- -
f
+
′
∆x º +0
lim
∆x
∆x
-------
f
+
′
f
–
′
f
′
x, x m 1,
2 – x, x > 1
x sin , x − 0,
0, x = 0
1
x
---
()
′
()
′
()
′
()
′
1
x ln a
---------------
()
′
1
x
---
()
′
()
′
§ 46. Нахождение производных 219
tg x = , (11)
ctg x = – , (12)
arcsin x = , (13)
arctg x = . (14)
Правила дифференцирования
Пусть c— постоянная, f(x) и g(x) — дифференцируемые
фунции; тода справедливы следующие формулы:
c′ = 0, (15)
f(x) + g(x) = (x) + (x), (16)
f(x)g(x) = (x)g(x) + (x)f(x), (17)
= . (18)
Теорема о дифференцировании сложной фнции. Пусть
фунция y = f(x) имеет производную в точе x
0
, а фунция
g(y) имеет производную в точе y
0
= f(x
0
); тода сложная фун-
ция F(x) = g(f(x)) имеет производную в точе x
0
, равную
(x
0
) = (y
0
)(x
0
). (19)
П р и м е р 3. Найти производную фунции
F(x) = (x
2
+ x + 1)
100
.
Р е ш е н и е. Полаая y = f(x) = x
2
+ x + 1, g(y) = y
100
,
имеем
(y) = 100y
99
,(x) = 2x + 1.
Тода, соласно формуле (19), находим
(x) = 100(x
2
+ x + 1)
99
(2x + 1).
Ответ.(x) = 100(x
2
+ x + 1)
99
(2x + 1).
()
′
1
cos
2
x
----------------
()
′
1
sin
2
x
----------------
()
′
1
1 x
2
–
--------------------
()
′
1
1 x
2
+
---------------- -
()
′
f
′
g
′
()
′
f
′
g
′
fx()
gx()
----------- -
′
f
′
x()gx() g
′
x()fx()–
g
2
x()
----------------------------------------------------------
F
′
g
′
f
′
g
′
f
′
F
′
F
′
218 Г л а в а 9. Производная и ее применения
Р е ш е н и е. Найдем приращение фунции в точе x = 1:
∆f(1) = f(1 + ∆x) – f(1) =
или, после преобразований,
∆f(1) =
Далее, используя определения (3) и (4), имеем
(1) = = 2, (1) = = 1.
Та а (1) − (1), то производная (x) в точе x = 1 не су-
ществует.
Доажите недифференцируемость фунции в уазанной
точе:
7. f(x) = |x|приx = 0.
8. f(x) = |x
2
– 5x + 6| при x = 2 и x = 3.
9. f(x) = при x = 1.
10. Поажите, что фунция
f(x) =
не имеет в точе x = 0 ни правой, ни левой производной.
11. Доажите, что фунция f(x) = x| x | дифференцируема в
точе x = 0.
Производные основных элементарных фнций
x
α
= αx
α – 1
, (6)
a
x
= a
x
ln a, a > 0, e
x
= e
x
,(7)
log
a
x = , a > 0, a − 1, ln x = , (8)
sin x = cos x,(9)
cos x = –sin x,(10)
∆x, ∆x l 0,
(1 + ∆x)
2
– 1, ∆x < 0,
∆x, ∆x l 0,
2∆x + (∆x)
2
, ∆x < 0.
f
–
′
∆x º –0
lim
2∆x ∆x()
2
+
∆x
--------------------------------- -
f
+
′
∆x º +0
lim
∆x
∆x
-------
f
+
′
f
–
′
f
′
x, x m 1,
2 – x, x > 1
x sin , x − 0,
0, x = 0
1
x
---
()
′
()
′
()
′
()
′
1
x ln a
---------------
()
′
1
x
---
()
′
()
′
§ 46. Нахождение производных 219
tg x = , (11)
ctg x = – , (12)
arcsin x = , (13)
arctg x = . (14)
Правила дифференцирования
Пусть c— постоянная, f(x) и g(x) — дифференцируемые
фунции; тода справедливы следующие формулы:
c′ = 0, (15)
f(x) + g(x) = (x) + (x), (16)
f(x)g(x) = (x)g(x) + (x)f(x), (17)
= . (18)
Теорема о дифференцировании сложной фнции. Пусть
фунция y = f(x) имеет производную в точе x
0
, а фунция
g(y) имеет производную в точе y
0
= f(x
0
); тода сложная фун-
ция F(x) = g(f(x)) имеет производную в точе x
0
, равную
(x
0
) = (y
0
)(x
0
). (19)
П р и м е р 3. Найти производную фунции
F(x) = (x
2
+ x + 1)
100
.
Р е ш е н и е. Полаая y = f(x) = x
2
+ x + 1, g(y) = y
100
,
имеем
(y) = 100y
99
,(x) = 2x + 1.
Тода, соласно формуле (19), находим
(x) = 100(x
2
+ x + 1)
99
(2x + 1).
Ответ.(x) = 100(x
2
+ x + 1)
99
(2x + 1).
()
′
1
cos
2
x
----------------
()
′
1
sin
2
x
----------------
()
′
1
1 x
2
–
--------------------
()
′
1
1 x
2
+
---------------- -
()
′
f
′
g
′
()
′
f
′
g
′
fx()
gx()
----------- -
′
f
′
x()gx() g
′
x()fx()–
g
2
x()
----------------------------------------------------------
F
′
g
′
f
′
g
′
f
′
F
′
F
′