Цитович Б.В. Лекции по теоретической метрологии

Подождите немного. Документ загружается.

относят погрешности, которые значительно меньше доминирующих составляющих. Формальное

соотношение между пренебрежимо малой 

min

и доминирующей 

max

составляющими можно

записать в виде

min << max.

Пожалуй, любую отдельную случайную или систематическую составляющую

гарантированно можно отнести к пренебрежимо малым погрешностям, если она на порядок

меньше доминирующей составляющей одной и той же интегральной погрешности. Пренебрежимо

малые погрешности при объединении всех составляющих i в комплексную оценку интегральной

погрешности  практически не оказывают влияния на окончательный результат, что формально

можно записать как

 = 

* 

*… *

*… *n  

*…*

*… *

где 

= min << max.

Пренебрежимо малой интегральной погрешностью измерения можно считать такую,

которая не является препятствием для замены истинного значения физической величины

полученным результатом. В соответствии с требованием РМГ 29 – 99 за действительное значение

физической величины принимают такое значение, которое получено экспериментально (в

результате измерений) и настолько близко к истинному, что для данной задачи измерений может

заменить истинное ввиду несущественности различия между ними

дQ



где X

дQ

– действительное значение физической величины;

Q – истинное значение физической величины.

Если различие между истинным значением физической величины Q и результатом ее

измерения X

дQ

мы считаем пренебрежимо малым, можно записать



дQ

 0,

где 

дQ

– погрешность измерения действительного значения физической величины.

Для одной и той же физической величины могут рассматриваться разные действительные

значения. Близость их к истинному значению зависит от задачи, которая поставлена при

измерении. Очевидно, что для установления годности объекта по заданному параметру точность

измерения физической величины может быть значительно ниже, чем при исследовании точности

технологического процесса обработки того же объекта или при сортировке однородных объектов

на группы для последующей селективной сборки. Установление действительного значения

измеряемой физической величины должно предваряться выбором допустимой погрешности

измерений, которая и будет представлять собой предел пренебрежимо малого значения

погрешности результата измерений.

В зависимости от режима измерения погрешности принято делить на статические и

динамические. Статическая погрешность измерений (статическая погрешность) –

погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения.

Динамическая погрешность измерений (динамическая погрешность) – погрешность

результата измерений, свойственная условиям динамического измерения. При этом под

статическим понимают измерение не изменяющейся, а под динамическим – изменяющейся по

размеру физической величины.

Стандартные «определения» фактически только именуют, но не определяют статическую и

динамическую погрешности измерений. Непригодны для идентификации динамической

погрешности и определения статической и динамической погрешностей средств измерений.

 Динамическая погрешность средства измерений – погрешность средства измерений,

возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины.

 Статическая погрешность средства измерений – погрешность средства измерений,

применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную.

Поэтому метрологи, имеющие дело с динамическими погрешностями, вынуждены искать

выход из сложившейся ситуации самостоятельно.

В соответствии с ранее действовавшим стандартом динамической погрешностью

средства измерений называлась составляющая погрешности, дополнительная к статической, и

возникающая при измерении в динамическом режиме. В соответствии с определением



дин

= 

д.р

– 

ст.р

где 

дин

– динамическая погрешность средства измерения;



д.р

– погрешность средства измерения при использовании его в динамическом режиме;



ст.р

– статическая погрешность средства измерения (погрешность при использовании

средства измерений в статическом режиме).

Динамический режим измерений встречается не только при измерении изменяющейся

величины, но и при измерении величины постоянной. И в том и в другом случаях (рисунок 5.5)

возможна слишком высокая скорость «подачи информации» на средство измерений V

(скорость

изменения сигнала измерительной информации на входе средства измерений), которая

оказывается соизмерима со скоростью преобразования измерительной информации V



и/или

даже выше ее.

Например, в контрольно-сортировочных автоматах для измерения диаметров тел качения

подшипников измеряется постоянная физическая величина – длина. Но из-за необходимости

обеспечить высокую производительность автомата скорость изменения входного сигнала

измерительной информации может оказаться выше скорости преобразования измерительной

информации средством измерения. В таком случае из-за «запаздывания» с преобразованием

сигнала возникают динамические погрешности (рисунок 5.6).

Результат

X = Q + 

Объект

ФВ  Q

Измерительный

прибор

Q X

Рисунок 5.5 – Механизм возникновения динамических погрешностей: V

≥ V

Q X

Рисунок 5.6 – Несоответствие во времени выходного сигнала X входному сигналу Q:

преобразование с запаздыванием, преобразование с запаздыванием и инерционным

«перебегом» сигнала)

X = f (T) X = f (T)

Q X Q = f (T) Q X Q = f (T)

Поскольку речь идет не столько о средствах измерений, сколько об их работе в

специфическим режиме, динамическую погрешность не следует считать инструментальной. Эту

погрешность нужно рассматривать более широко – как составляющую итоговой (интегральной)

погрешности, обусловленную динамическим режимом измерений.

Логически обоснованной представляется следующая укрупненная классификация

погрешностей измерений по степени полноты информации об их характере и значениях:

 определенные погрешности,

 неопределенные погрешности.

К определенным можно отнести любые известные по числовому значению и знаку

погрешности. Известными могут стать, например те составляющие погрешности измерений,

которые имеют достаточно жесткую функциональную связь с вызывающими их аргументами.

Такие погрешности по сути совпадают с систематическими и принципиально могут быть

выявлены и исключены из результатов измерений, их значения можно прогнозировать.

Определенной можно считать также любую погрешность (в том числе и уже зафиксированную

случайную или даже грубую), числовое значение и знак которой получены

экспериментальными методами.

Определенные погрешности при достаточной полноте информации могут быть исключены

из результатов измерений. Теоретическая определенность систематических погрешностей делает

возможным исключение этих погрешностей до измерений, в процессе измерений, а также при

математической обработке результатов измерительного эксперимента после выполнения

измерений.

В тех случаях, когда погрешность становится определенной, в результат измерений может

быть внесена поправка – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с

целью исключения составляющих систематической погрешности. Знак поправки противоположен

знаку погрешности. Иногда поправки вносят, используя поправочный множитель (например, в

случаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению величины)

Исключение систематических погрешностей измерения не только из отдельных

результатов измерений, но из целых серий, полученных при многократных измерениях одной и

той же физической величины, в метрологии принято называть «исправлением результатов», а

полученные при этом результаты – исправленными. Статистическая обработка массивов

результатов измерений, образующих серии, недопустима без предварительного «исправления

результатов», т.е. без исключения по крайней мере, переменных систематических

составляющих погрешностей.

К неопределенным погрешностям следует отнести невыявленные систематические

погрешности, а также погрешности случайные (собственно случайные) и грубые, значения

которых не были определены экспериментально. При исключении определенных погрешностей

абсолютная точность невозможна, поэтому приходится относить к неопределенным

неисключенные остатки погрешностей.

Неисключенная систематическая погрешность – составляющая погрешности

результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние

систематических погрешностей или систематической погрешностью, поправка на действие

которой не введена вследствие ее малости. (Иногда этот вид погрешности называют

неисключенный остаток систематической погрешности).

Наиболее интересна здесь возможность анализа ансамбля неисключенных остатков

систематических погрешностей как массива случайно распределенных величин. Парадоксальность

ситуации заключается в том, что массив случайно распределенных величин состоит из

погрешностей, каждая из которых является систематической. Однако, для того, чтобы получить

такой ансамбль, в ряде случаев приходится прибегать к его специальной организации. Такой

прием называют рандомизацией систематических погрешностей. Иногда рандомизация

получается самопроизвольно, но для того, чтобы использовать для оценки таких погрешностей

математический аппарат теории вероятностей и математической статистики, необходимо

убедиться, что мы в действительности имеем дело со случайным распределением исследуемых

величин.

Как и все другие погрешности, неопределенные систематические погрешности могут быть

либо значимыми, либо пренебрежимо малыми. К значимым неопределенным систематическим

погрешностям относятся те невыявленные систематические погрешности и неисключенные

остатки систематических погрешностей, которые соизмеримы со случайными составляющими

погрешности измерений.

Невыявленные систематические погрешности, существенно превосходящие случайные

составляющие, могут возникать из-за ошибок, допущенных разработчиками методики измерений

вследствие недостаточной метрологической квалификации, либо из-за низкой квалификации

операторов, стабильно повторяющих неправильные операции при выполнении измерительной

процедуры. Причинами таких погрешностей могут быть также значительные отличия условий

измерений от нормальных, не замеченные из-за невнимательного отношения оператора.

Невыявленные систематические погрешности, превосходящие случайные составляющие, могут

привести к существенному искажению результатов измерений, что особенно опасно при

выполнении прецизионных измерений со сравнительно малыми случайными составляющими

погрешностей. В грамотно организованных измерениях значимые невыявленные систематические

погрешности не имеют права на существование, они подлежат обязательному выявлению

(переводу в определенные погрешности) и оценке либо исключению.

Неисключенные остатки систематических погрешностей имеют место при любом, даже

самом тщательном выявлении и исключении систематических составляющих. Поскольку далеко

не всегда удается выявить вид зависимости аргумент-погрешность, а в ряде случаев неизвестными

остаются и сами значения аргументов, в результатах измерений всегда присутствуют

неисключенные систематические погрешности, которые в соответствии с предлагаемой

классификацией относятся к погрешностям неопределенным.

В принципе эти погрешности могут быть выявлены и исключены (как систематические),

однако иногда они остаются невыявленными из-за сложности технического решения такой задачи

(малые значения погрешностей, сложные закономерности их изменения и ограниченность

информации). В подобных случаях необходимо оценивать предельные значения этих

погрешностей или их порядок. Если измерения характеризуются наличием нескольких

неисключенных остатков систематических погрешностей, для расчета результирующего

(«суммарного») значения неисключенных систематических погрешностей применяют аппарат

теории вероятностей и математической статистики, в силу сходства механизмов формирования

ансамбля этих погрешностей и случайных величин (допущение о самопроизвольной

рандомизации).

Применение этого математического аппарата тем более оправдано в случаях, когда

систематическая погрешность отдельной реализации является случайной величиной в ансамбле

однородных событий. Например, систематическая погрешность конкретной меры массы (гири)

является случайной для партии мер одного номинала и одного класса точности. Предельное

значение (граница) такой погрешности может быть определена как граница поля допуска меры.

Проведенный анализ позволяет оценить правомочность применения стохастического

подхода к таким детерминированным величинам, как неисключенные систематические

погрешности. Статистическая обработка ансамбля неисключенных систематических

составляющих приводит к появлению таких парадоксальных оценок, как значение среднего

квадратического отклонения систематической составляющей погрешности и связанные с

ним предельные значения или доверительные границы неисключенных остатков систематической

погрешности с указанием доверительной вероятности, а также качественные оценки (принятая

аппроксимация) закона распределения. Методы выявления и оценки таких погрешностей описаны

в соответствующем модуле. Если полученные оценки значений неисключенных систематических

погрешностей соизмеримы со случайными составляющими, расчет «суммарного» значения

неисключенных остатков систематических погрешностей и учет их совместного со случайными

составляющими влияния на результаты измерений должен осуществляться с применением

специального аппарата математической обработки, который приведен в ГОСТ 8.207.

Неисключенными систематическими составляющими, значения которых существенно

меньше случайных погрешностей (

< 0,8



), пренебрегают. Такие погрешности относят к

пренебрежимо малым составляющим погрешности измерения (правомерно не исключенным

остаткам систематических погрешностей). Принято считать, что их наличие не вносит

существенных искажений в результаты статистической обработки экспериментальных данных. В

подобных случаях результаты измерений, содержащие наряду со случайными составляющими

неисключенные остатки систематических погрешностей, часто подвергают обычной

статистической обработке, не отделяя погрешности друг от друга.

Общеприняты и практически непротиворечивы классификации погрешностей измерений по

используемым формам выражения (рисунок 5.7). Фактически это классификация не самих

погрешностей измерений, а именно форм их выражения.

Абсолютные погрешности выражают в единицах измеряемой величины, а

относительные, которые представляют собой отношение абсолютной погрешности  к значению

измеряемой величины, могут быть рассчитаны в неименованных относительных единицах (или в

именованных относительных единицах, например в процентах или в промилле). Формальное

выражение относительной погрешности (

отн

) может быть представлено в виде:



отн

= /Q,

а при использовании именованной относительной погрешности, выраженной в процентах



отн

= (/Q)  100 %.

где  – абсолютная погрешность измерения;

Q – истинное значение физической величины.

Либо, принимая во внимание незначительное для данного выражения различие между

истинным значением физической величины Q и результатом ее измерения X, можно записать



отн





/X,

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ И СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Абсолютные

погрешности

 = X – Q

Относительные погрешности



отн

= /Q  /X или



отн

= (/Q)  100 %  (/X)  100

Приведенные погрешности



прив

=  /Q

норм

Рисунок 5.7 – Классификация форм выражения погрешностей

а также



отн

 (/X)  100 %.

Для характеристики средств измерений иногда используют такой специфический класс

относительных погрешностей, как приведенные погрешности средств измерений (

прив

), то есть

отношение абсолютной погрешности к некоторой нормирующей величине (Q

норм

)



прив

=  /Q

норм

В качестве нормирующей величины могут использоваться верхний предел измерений, либо

больший из модулей пределов измерений, если нулевое значение находится внутри диапазона

измерений, а верхний и нижний пределы не одинаковы по модулю, и другие величины,

оговоренные ГОСТ 8.401.

Формы оценок погрешностей, используемые в метрологии и в технических измерениях,

весьма разнообразны. Они включают качественные характеристики и количественные оценки

погрешностей измерений.

Качественные характеристики погрешностей в простейшем случае ограничиваются

указанием их детерминированного или стохастического характера. Для систематических

погрешностей дополнительно может быть указан характер зависимости (постоянная,

прогрессирующая, периодическая), а при более полной информации – функция, описывающая

изменение погрешности.

Для случайных погрешностей качественной характеристикой может быть аппроксимация

функции плотностей распределения вероятностей. В метрологии приняты и наиболее часто

применяются для аппроксимации нормальное распределение (распределение Гаусса),

равновероятное, трапециевидное и распределение Релея. При необходимости используют и другие

аппроксимации.

Случайная составляющая погрешности вызывает рассеяние результатов измерений,

которое обычно обусловлено проявлением множества случайных причин и носит вероятностный

характер. Рассеяние результатов в ряду измерений – несовпадение результатов измерений

одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием

случайных погрешностей. Количественными оценками рассеяния результатов в ряду измерений

могут быть:

 размах результатов,

 средняя арифметическая погрешность (по модулю),

 средняя квадратическая погрешность или стандартное отклонение (среднее квадратическое

отклонение, экспериментальное среднее квадратическое отклонение),

 доверительные границы погрешности (доверительная граница или доверительная

погрешность).

Размах результатов измерений (размах) – оценка Rn рассеяния результатов единичных

измерений физической величины, образующих ряд (или выборку из п измерений). Размах

результатов измерений Rn (рисунок 5.8) определяют из зависимости

= X

max

– X

min

где X

max

и X

min

– наибольшее и наименьшее значения результатов измерений в серии.

Размах отклонений R

от среднего или произвольно выбранного значения, который равен

размаху результатов измерений определяют из зависимости

= e

max

– e

min

где e

max

и e

min

– наибольшее и наименьшее отклонения результатов от некоторого фиксированного

значения.

Более строгими в математическом смысле оценками погрешностей можно считать среднее

арифметическое значение погрешности в серии результатов, значение средней квадратической

погрешности (среднее квадратическое отклонение результата измерения от фиксированного

значения точечной оценки), границы погрешности.

Средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду

измерений (средняя квадратическая погрешность измерений; средняя квадратическая

погрешность; СКП) – оценка рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных

измерений одной и той же физической величины около среднего их значения. В метрологической

практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение (СКО) единичных

результатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения. Это отклонение иногда

называют стандартной погрешностью измерений. Если в результаты измерений введены поправки

для устранения систематических погрешностей, то отклонения от среднего арифметического

значения можно рассматривать как случайные погрешности. В РМГ 29 – 99 предлагается для

упорядочения совокупности терминов, родовым среди которых является термин «погрешность

измерения», применять термин «средняя квадратическая погрешность». При обработке ряда

результатов измерений, свободных от систематических погрешностей, СКП и СКО представляют

собой одну и ту же оценку рассеяния результатов единичных измерений.

Границы погрешности могут быть определены как предельные значения или как

доверительные границы с указанием вероятности попадания погрешности в указанный интервал.

В качестве предельных значений или границ могут рассматриваться нижняя и верхняя границы

(н и в либо – и +), значение модуля погрешности  (в случае если – = +) или значение

модуля погрешности, равное большему из абсолютных значений – и +.

Доверительные границы погрешности результата измерений (доверительные границы

погрешности; доверительные границы) – наибольшее и наименьшее значения погрешности

измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится

искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.

Доверительные границы результата измерений при симметричном распределении

вычисляются как

tS

, где

– средние квадратические погрешности,

соответственно, единичного и среднего арифметического результатов измерений; t – коэффициент,

зависящий от доверительной вероятности Р и числа измерений п. При симметричных границах

термин может применяться в единственном числе – доверительная граница. Иногда вместо

термина доверительная граница применяют термин доверительная погрешность или

погрешность при данной доверительной вероятности.

Термин средняя квадратическая погрешность результата измерений среднего

арифметического (средняя квадратическая погрешность среднего арифметического; средняя

* * * * *

* *

* * * R

* * *

* * * *

Рисунок 5.8 – Точечная диаграмма результатов многократных измерений одной ФВ:

– результат измерения, n

– номер измерения, R

– размах результатов измерений

квадратическая погрешность; СКП) введен вместо ранее применявшегося термина среднее

квадратическое отклонение результата измерений. Значение этой оценки погрешности

рассчитывается как СКО случайной погрешности среднего арифметического значения результата

измерений одной и той же величины в данном ряду измерений по формуле

 











где S — средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений, полученная из

ряда равноточных измерений; п — число единичных измерений в ряду.

Предельная погрешность измерения в ряду измерений (предельная погрешность) –

максимальная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной

задачи. За предельную погрешность часто принимают значение 3S, то есть



пр= ±3S.

Для оценки погрешности с учетом неисключенных систематических составляющих

погрешностей их оценки объединяют с оценками случайных составляющих. Комплексную оценку

называют суммарная средняя квадратическая погрешность результата измерений (суммарная

погрешность результата; суммарная погрешность) – погрешность результата измерений,

состоящая из суммы случайных и неисключенных систематических погрешностей, принимаемых

за случайные.

Комплексную оценку вычисляют по формуле



 SSS

где







– средняя квадратическая погрешность суммы неисключенных

систематических погрешностей при равновероятном распределении (принимаемых за случайные).

Доверительные границы суммарной погрешности (





могут быть вычислены по формуле

 



 Stx

где











;

 – граница суммы неисключенных систематических погрешностей результата измерений,

вычисляемая по формулам







при числе неисключенных систематических погрешностей слагаемых N ≤ 3, или, при числе

слагаемых погрешностей N ≥4







где К – коэффициент зависимости отдельных неисключенных систематических погрешностей от

выбранной доверительной вероятности Р при их равновероятном распределении.

Одной из современных характеристик точности измерений является неопределенность

измерений (неопределенность) – параметр, связанный с результатом измерений и

характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине. К

определению по РМГ 99, которое взято из VIM—93, приведены примечания, из которых следует,

что параметром может быть стандартное отклонение (или число, кратное ему) или половина

интервала, имеющего указанный доверительный уровень. Неопределенность, по мнению авторов

документа, состоит (в основном) из многих составляющих. Некоторые из этих составляющих

могут быть оценены экспериментальными стандартными отклонениями в статистически

распределенной серии результатов измерений. Другие составляющие, которые также могут быть

оценены стандартными отклонениями, базируются, на данных эксперимента или другой

информации. Проблемы неопределенности измерений рассмотрены в отдельном модуле.

МОДУЛЬ 6. МЕТОДЫ ВЫЯВЛЕНИЯ И ИСКЛЮЧЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Выявление и оценка погрешности измерения физической величины («суммарной

погрешности» или интегральной погрешности) и ее составляющих являются традиционными

задачами метрологии. Все методы выявления и оценки погрешностей можно разделить на

аналитические (теоретические), экспериментальные и смешанные. Кроме того, в ряде случаев

успешно используют оценки погрешностей, взятые из информационных источников. Очевидно,

что данные о погрешностях, включенные в эти источники, получены с помощью теоретических

расчетов или экспериментов.

Нахождение значения погрешности в информационных источниках применимо как к

погрешности измерения в целом, так и к отдельным составляющим. Инструментальные

погрешности средств измерений приведены в документации (включая стандарты, паспорта,

аттестаты) и в справочниках. Источниками информации о погрешностях измерений могут быть

такие документы, как стандартизованные или аттестованные методики выполнения измерений.

Можно использовать в качестве информационных источников также отчеты о научно-

исследовательских работах, монографии и другую научно-техническую литературу при

достаточной степени доверия к ее авторам.

Базой аналитических методов выявления и оценки погрешностей является

функциональный анализ методики выполнения измерений. Для расчетов погрешностей строят

специальные аналитические модели. Моделирование обычно применяют для расчета

составляющих инструментальных и методических погрешностей, а также погрешностей из-за

несоответствия условий измерений нормальным. Возможно также моделирование некоторых

субъективных составляющих погрешности.

Аналитические расчеты средств измерений на точность (расчет инструментальных

погрешностей) могут проводиться для оценки теоретических погрешностей преобразования

измерительной информации, а также для нахождения допустимых технологических погрешностей

изготовления и сборки деталей. При проектировании средств измерений такие расчеты

обязательны.

Погрешности из-за отличия условий измерений от номинальных в общем случае

должны учитывать воздействие влияющих величин и на средства измерений, и на измеряемые

объекты. Рассмотрим, например, температурные погрешности. Для расчета воздействия

влияющей величины  на объект измерения, нужно знать функцию f() изменения измеряемой

физической величины при изменении аргумента (влияющей величины ) и значение аргумента .

Изменение линейного размера (длины, толщины, диаметра, высоты измеряемой детали) под

воздействием температуры обычно связывают с так называемой «стержневой моделью» и

рассчитывают с использованием элементарной зависимости





– t

где 

– приращение длины (положительное или отрицательное),



– температурный коэффициент линейного расширения;

– температура при измерении;

– номинальное значение нормальной температуры при измерении.

Для оценки влияния температуры на возникновение «дополнительной инструментальной

погрешности» необходимо проанализировать действие температуры на измерительную цепь

средства измерения. Следует выявить те элементы, воздействие на которые приведет к искажению

функции измерительного преобразования, и определить характер искажения. Затем, используя

измененные аргументы, можно рассчитать изменившееся значение результата измерения. Этот

длинный и сложный путь часто оказывается непродуктивным потому, что для построения

аналитической модели измерительной цепи прибора приходится задаваться множеством