Черный С.Г., Чирков Д.В. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах

Подождите немного. Документ загружается.

ãîðèòìà ÏÎÈÑÊ íà ôóíêöèîíàëàõ

èñïîëüçîâàëàñü îäíà

ñòàðòîâàÿ òî÷êà, ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå ýòîò àëãîðèòì íàõîäèò

ìèíèìóì íåçàâèñèìî îò ñòàðòîâîé òî÷êè, ÷òî ÿñíî èç îïèñàíèÿ ìå-

òîäà è âèäà ôóíêöèîíàëîâ.

Â ñëó÷àå íàëè÷èÿ ó ôóíêöèîíàëà åäèíñòâåííîãî ÿðêî âûðàæåí-

íîãî ìèíèìóìà ÏÎÈÑÊ óâåðåííî íàõîäèò ýòîò ìèíèìóì ìåíåå

÷åì çà 1500 èòåðàöèé, ïðè÷åì îïðåäåëÿåò åãî ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ÏÎÈÑÊ ñêëîíåí ê íàõîæäåíèþ ëîêàëüíûõ

ìèíèìóìîâ ïðè íåóäà÷íîì âûáîðå ñòàðòîâîé òî÷êè. Ãåíåòè÷åñêèé

àëãîðèòì BGA ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ ñõîäèòñÿ ê ãëîáàëüíîìó

ìèíèìóìó ïðè

d = 07,

, ïðè ýòîì òðåáóåò ñóùåñòâåííî áîëüøåãî êî

ëè÷åñòâà âû÷èñëåíèé öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà, íåæåëè ÏÎÈÑÊ. Äëÿ

ôóíêöèîíàëà

ðàññ÷èòàíî 40 ïîêîëåíèé, äëÿ

— 80. Îò

ìåòèì, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè àëãîðèòìà BGA çà÷àñòóþ òðåáóåòñÿ

ðàññ÷èòàòü ëèøü 20–30 ïîêîëåíèé, ñ äàëüíåéøèì óâåëè÷åíèåì

÷èñëà ïîêîëåíèé ðåçóëüòàò ïðàêòè÷åñêè íå óëó÷øàåòñÿ.

Â ðàáîòå [2] ðåêîìåíäîâàí ñëåäóþùèé íàáîð ïàðàìåòðîâ BGA:

d = 025,

p = 40

60=

m = 01,

Tr = 03,

, ïðè ýòîì ôóíêöèîíàë çàâè

ñèò îò 27 ïåðåìåííûõ. Îäíàêî íè äëÿ îäíîãî èç ðàññìîòðåííûõ òåñ

òîâûõ ôóíêöèîíàëîâ òàêîé íàáîð íå ïîçâîëÿåò íàéòè ãëîáàëüíûé

ìèíèìóì. Îòñóòñòâèå ñõîäèìîñòè ê ãëîáàëüíîìó ìèíèìóìó ïðè ìà

ëûõ

ìîæíî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïàðàìåòð

îïðåäåëÿ

åò âåëè÷èíó “îòñêîêà” èíäèâèäóóìà, ïåðåõîäÿùåãî â ñëåäóþùåå

ïîêîëåíèå, îò ðîäèòåëåé-èíäèâèäóóìîâ èç òåêóùåãî ïîêîëåíèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ðåêîìáèíàöèè,

Îïòèìèçàöèÿ ôîðìû ëîïàñòè ãèäðîòóðáèíû 181

Ðèñ. 5.9. Ôóíêöèÿ

gx()

è èçîëèíèè ôóíêöèè

++gx gx() ()

íàïðèìåð ïðè

d = 025,

, ïîèñê îñóùåñòâëÿåòñÿ â îêðåñòíîñòè îñòàâ

øèõñÿ ïîñëå îòáîðà èíäèâèäóóìîâ íà÷àëüíîé ïîïóëÿöèè. Êàê ïî

êàçàëè äîïîëíèòåëüíûå ðàñ÷åòû, ñ óâåëè÷åíèåì íà÷àëüíîé ïîïóëÿ

öèè äî

200 500 5000= ,,

ïðè

d = 025,

äîñòè÷ü ñõîäèìîñòè ê ãëî

áàëüíîìó ìèíèìóìó íå óäàëîñü. Áîëüøèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà

ðåêîìáèíàöèè

()

d = 15,

òàêæå íå îáåñïå÷èâàþò ñõîäèìîñòü ýâîëþ

öèîííîãî ïðîöåññà ê ãëîáàëüíîìó ýêñòðåìóìó.

Íà îñíîâàíèè ïðîâåäåííûõ òåñòîâûõ ðàñ÷åòîâ ìîæíî çàêëþ

÷èòü, ÷òî õîòÿ ÷èñëî îïòèìèçàöèîííûõ øàãîâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ íà

õîæäåíèÿ ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà ó àëãîðèòìà ÏÎÈÑÊ, â áîëüøèí

ñòâå ñëó÷àåâ ìåíüøå, ÷åì ó BGA, ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì áîëåå ïðè

ìåíèì ê çàäà÷å îïòèìèçàöèè ëîïàñòè, òàê êàê ïðè ñëîæíîì âèäå

öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà îí ñ áîëüøåé âåðîÿòíîñòüþ îñóùåñòâëÿåò ïî

èñê ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà.

§ 5.6. ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ÐÀÑ×ÅÒÎÂ

ÎÄÍÎÖÅËÅÂÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ

Â êà÷åñòâå îáúåêòà îïòèìèçàöèè âûáðàíî ðàäèàëüíî-îñåâîå ðà-

áî÷åå êîëåñî ãèäðîòóðáèíû Áðàòñêîé ÃÝÑ (ñì. ðèñ. 5.2). Ñåòêà â

ìåæëîïàñòíîì êàíàëå èìåëà ðàçìåðû 40 ´ 20 ´ 20. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ

ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ

Err ≤

−

íà ýòîé ñåòêå òðåáó-

åòñÿ îò 1000 äî 4000 øàãîâ, ÷òî ñîñòàâëÿåò ñîîòâåòñòâåííî îò 1 äî

4 ìèí âðåìåíè ðàáîòû ïðîöåññîðà Athlon 2500+. Ïîèñê ìèíèìóìà

öåëåâîé ôóíêöèè îñóùåñòâëÿëñÿ ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà BGA ñ ïà

ðàìåòðàìè

d = 07,

p = 70

200=

m = 01,

Tr = 03,

. Íàõîæäåíèå îï

òèìàëüíîãî ðåøåíèÿ òðåáóåò ïîñòðîåíèÿ

Gen

ïîêîëåíèé, ÷òî

ñîîòâåòñòâóåò ïåðåáîðó è ðàñ÷åòó 2–3 òûñ. êîíôèãóðàöèé. Òàêèì

îáðàçîì, ïðîöåññ ïîèñêà îïòèìàëüíîé ôîðìû çàíèìàåò îêîëî

3 ñóò. Äàëåå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû îïòèìèçàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ, ïî

ëó÷åííûå ïðè ìèíèìèçàöèè êàæäîãî èç ðàññìîòðåííûõ â § 5.4

ôóíêöèîíàëîâ.

Íà ðèñ. 5.10 ïðåäñòàâëåíû íà÷àëüíàÿ ëîïàñòü è ëîïàñòü, ïîëó

÷åííàÿ ïóòåì ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà (5.6) ïðè îãðàíè÷åíèè íà

íàïîð (5.3) è êàâèòàöèîííîì îãðàíè÷åíèè (5.5). Çäåñü æå ïîêàçàíû

ñîîòâåòñòâóþùèå ðàñïðåäåëåíèÿ ìåðèäèîíàëüíîé ïðîåêöèè âåêòîðà

ñêîðîñòè íà âûõîäå èç ðàñ÷åòíîé îáëàñòè. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü,

äëÿ îïòèìàëüíîé ëîïàñòè ïîëå ñêîðîñòè ñóùåñòâåííî áîëåå ðàâíî

ìåðíîå, ïðè ýòîì êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîòîêà â âûõîäíîì ñå÷åíèè

óìåíüøåíà â 1,5 ðàçà.

182 Ãëàâà 5

Íà ðèñ. 5.11 èçîáðàæåíû ðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ íà òûëüíîé

ïîâåðõíîñòè äëÿ íà÷àëüíîé ëîïàñòè è äëÿ ëîïàñòè, ïîëó÷åííîé

â ðåçóëüòàòå ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà (5.7), îòâå÷àþùåãî çà

êàâèòàöèþ, ïðè åäèíñòâåííîì îãðàíè÷åíèè íà íàïîð (5.3). Çà-

øòðèõîâàííàÿ îáëàñòü — çîíà êàâèòàöèè, ãäå âûïîëíÿåòñÿ óñëî-

âèå (5.4). Â ðåçóëüòàòå îïòèìèçàöèè ïëîùàäü çîíû êàâèòàöèè

óìåíüøèëàñüñ5äîïðèìåðíî 1 % îò ïëîùàäè âñåé òûëüíîé ïî-

âåðõíîñòè ëîïàñòè.

Îïòèìèçàöèÿ ôîðìû ëîïàñòè ãèäðîòóðáèíû 183

Ðèñ. 5.10. Ìèíèìèçàöèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè íà âûõîäå èç ðàñ÷åòíîé îá

ëàñòè. Âèä ëîïàñòè ñî ñòîðîíû âõîäíîé êðîìêè è ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé

íà âûõîäå.

à — íà÷àëüíàÿ ëîïàñòü; á — îïòèìàëüíàÿ.

Ðèñ. 5.11. Ìèíèìèçàöèÿ êàâèòàöèè íà òûëüíîé ñòîðîíå ëîïàñòè.

à — íà÷àëüíàÿ ëîïàñòü; á — îïòèìàëüíàÿ.

Ðåçóëüòàòû ìèíèìèçàöèè îòêëîíåíèÿ ëèíèé òîêà îò “îñåñèììåò-

ðè÷íîãî” ïîòîêà ïðèâåäåíû íà ðèñ. 5.12. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è îïòèìè-

çàöèè ñòàâèëèñü îãðàíè÷åíèÿ íà íàïîð (5.3) è ðàçìåð îáëàñòè êàâèòàöèè

(5.5). Âûïîëíåíî äâà ðàñ÷åòà íà ìèíèìèçàöèþ ôóíêöèîíàëà

, â ïåð-

âîì

, âî âòîðîì

10=

. Âèäíî, ÷òî ïðè

ëèíèè òîêà íà ïî-

âåðõíîñòè ëîïàñòè ñòàëè ñóùåñòâåííî áëèæå ê îñåñèììåòðè÷íûì ëèíè-

ÿì òîêà, îäíàêî ïðè ýòîì ëèíèÿ ðàñòåêàíèÿ óäàëèëàñü îò ïåðåñå÷åíèÿ

ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè ñ âõîäíîé êðîìêîé ëîïàñòè. Ïðè

10=

ëèíèè

184 Ãëàâà 5

Ðèñ. 5.12. Ëèíèè òîêà íà ðàáî÷åé ñòîðîíå ëîïàñòè.

a — íà÷àëüíàÿ; á — îïòèìàëüíàÿ ïðè

; â — îïòèìàëüíàÿ ïðè

10=

Ðèñ. 5.13. Ëèíèè òîêà â îêðåñòíîñòè âõîäíîé êðîìêè.

a — íà÷àëüíàÿ; á — îïòèìàëüíàÿ ïðè

; â — îïòèìàëüíàÿ ïðè

10=

; 1 — ëèíèÿ ïå

ðåñå÷åíèÿ ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè è âõîäíîé êðîìêè ëîïàñòè; 2 — ëèíèÿ ðàñòåêàíèÿ.

òîêà ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíèëèñü ïî ñðàâíåíèþ ñ èñõîäíîé ëîïàñòüþ,

íî ëèíèÿ ðàñòåêàíèÿ ïîëíîñòüþ ñîâïàëà ñ ëèíèåé ïåðåñå÷åíèÿ ñðå

äèííîé ïîâåðõíîñòè ñ âõîäíîé êðîìêîé ëîïàñòè. Íà ðèñ. 5.13, ãäå â

äðóãîì ðàêóðñå ïîêàçàíà îêðåñòíîñòü âõîäíîé êðîìêè, âèäíî, ÷òî ïðè

10=

óäàëîñü ïîëíîñòüþ óñòðàíèòü ïåðåòåêàíèå æèäêîñòè ñ ðàáî÷åé

ñòîðîíû íà òûëüíóþ â îêðåñòíîñòè âõîäíîé êðîìêè è òåì ñàìûì îáåñ

ïå÷èòü íóëåâîé óãîë àòàêè è ñíèçèòü óäàðíûå ïîòåðè â ðàáî÷åì êîëåñå.

Òàêèì îáðàçîì, âûáîðîì êîíñòàíòû

â ôóíêöèîíàëå

ìîæíî âëèÿòü

íà ðåçóëüòàò îïòèìèçàöèè: ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ

áóäóò âûðàâíè

âàòüñÿ ëèíèè òîêà íà âñåé ïîâåðõíîñòè ëîïàñòè, íî ïðè ýòîì ïîëî

æåíèå ëèíèè ðàñòåêàíèÿ áóäåò ó÷èòûâàòüñÿ ñëàáî, è íàîáîðîò.

§ 5.7. ÌÍÎÃÎÖÅËÅÂÀß ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß

ÔÎÐÌÛ ËÎÏÀÑÒÈ ÃÈÄÐÎÒÓÐÁÈÍÛ

Íåäîñòàòêîì îäíîöåëåâîé îïòèìèçàöèè ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü

îïòèìèçèðîâàòü ëîïàñòü ëèøü ïî îäíîìó èç ðàññìîòðåííûõ ôóíê-

öèîíàëîâ. Äðóãèå ôóíêöèîíàëû ëèáî íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå,

ëèáî èõ çíà÷åíèå êîíòðîëèðóåòñÿ â âèäå îãðàíè÷åíèé îïòèìèçàöè-

îííîé çàäà÷è. Â ñâÿçè ñ ýòèì õîòåëîñü áû èìåòü àëãîðèòì, ïîçâî-

ëÿþùèé óëó÷øàòü ñðàçó íåñêîëüêî êðèòåðèåâ êà÷åñòâà (öåëåâûõ

ôóíêöèîíàëîâ). Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî èñïîëüçîâàíèå â ïðîöåñ-

ñå îïòèìèçàöèè òðóäîåìêèõ òóðáóëåíòíûõ ðàñ÷åòîâ ïîçâîëèò ðàñ-

ñ÷èòàòü ïîòåðè â ÿâíîì âèäå è òåì ñàìûì ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî

ôóíêöèîíàëîâ. Îäíàêî è â ýòîì ñëó÷àå æåëàòåëüíî ó÷èòûâàòü äðóãèå

ôóíêöèè êà÷åñòâà, òàêèå êàê êàâèòàöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè ðàáî

÷åãî êîëåñà, åãî âçàèìîäåéñòâèå ñ îòñàñûâàþùåé òðóáîé, à òàêæå ýô

ôåêòèâíîñòü ðàáîòû òóðáèíû â äðóãèõ ðåæèìàõ.

Â äàííîì ïàðàãðàôå ïðåäëàãàåòñÿ ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì ìíî

ãîöåëåâîé îïòèìèçàöèè (ÌÎ), îñíîâàííûé íà ðàáîòàõ Ôîíñåêè —

Ôëåìèíãà [3] è Õîðíà [4]. Ðàáîòîñïîñîáíîñòü ïîñòðîåííîãî àëãî

ðèòìà ïðîäåìîíñòðèðîâàíà íà ðÿäå ñòàâøèõ ñòàíäàðòíûìè òåñòî

âûõ çàäà÷ ñ ÷èñëîì âàðüèðóåìûõ ïåðåìåííûõ îò 2 äî 30 è äâóìÿ èëè

òðåìÿ öåëåâûìè ôóíêöèîíàëàìè [5–8]. Äàëåå àëãîðèòì ïðèìåíÿåò

ñÿ äëÿ ìíîãîöåëåâîé îïòèìèçàöèè ôîðìû ëîïàñòè ÐÊ Áðàòñêîé

ÃÝÑ. Êàê è â ñëó÷àå îäíîöåëåâîé îïòèìèçàöèè, ðàñ÷åòû òå÷åíèÿ â

ìåæëîïàñòíîì êàíàëå ðàáî÷åãî êîëåñà ïðîâîäÿòñÿ â ðàìêàõ óðàâíå

íèé Ýéëåðà. Â êà÷åñòâå öåëåâûõ ôóíêöèîíàëîâ ðàññìàòðèâàþòñÿ

êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ íà âûõîäå èç ÐÊ, ðàçìåð îáëàñòè êàâèòàöèè,

îòêëîíåíèå ïîòîêà â ìåæëîïàñòíîì êàíàëå îò “îñåñèììåòðè÷íîãî”

ïîòîêà. Ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû îïòèìèçàöèè ëîïàñòè ïî äâóì è

òðåì ôóíêöèîíàëàì.

Îïòèìèçàöèÿ ôîðìû ëîïàñòè ãèäðîòóðáèíû 185

5.7.1. Îïèñàíèå àëãîðèòìà

ìíîãîöåëåâîé îïòèìèçàöèè

Çàäà÷à ÌÎ ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Íàéòè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ

,,...

, îáåñïå÷èâàþùèõ ìèíè

ìàëüíûå çíà÷åíèÿ

ôóíêöèîíàëîâ:

min( )ff

( ) ... ( )xx,,

xXE=,, ∈⊆( ... )xx

NN1

, (5.17)

ïðè íàëè÷èè ôàçîâûõ îãðàíè÷åíèé

Xx=≤≤{: }

xxx

Li i Ri

(5.18)

è öåëåâûõ îãðàíè÷åíèé

ϕ≤

()x 0

jm= 1,...,

. (5.19)

Âñëåäñòâèå òîãî ÷òî ìèíèìèçèðóåìûå ôóíêöèîíàëû íåçàâèñè

ìû, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñóùåñòâóåò îäíîãî ðåøåíèÿ, äàþùåãî ìèíè-

ìóì ñðàçó âñåõ q öåëåâûõ ôóíêöèîíàëîâ. Ðåøåíèåì òàêîé çàäà÷è ÿâ-

ëÿåòñÿ öåëîå ñåìåéñòâî òî÷åê, íàçûâàåìîå ìíîæåñòâîì (ôðîíòîì)

Ïàðåòî. Êàæäàÿ òî÷êà ôðîíòà Ïàðåòî — îïòèìàëüíà â òîì ñìûñëå,

÷òî ïóòåì åå âîçìóùåíèÿ íåâîçìîæíî óëó÷øèòü êàêîé-ëèáî öåëåâîé

ôóíêöèîíàë áåç óõóäøåíèÿ îñòàëüíûõ êðèòåðèåâ êà÷åñòâà. Òàêèì

îáðàçîì, ôðîíò Ïàðåòî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ

ðåøåíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ëó÷øå ëþáîãî äðóãîãî ïî êðàéíåé ìåðå

ïî îäíîìó öåëåâîìó ôóíêöèîíàëó. Êîìïðîìèññíîå ðåøåíèå (çîëî-

òàÿ ñåðåäèíà) íà ôðîíòå Ïàðåòî âûáèðàåòñÿ ÷åëîâåêîì âðó÷íóþ èñ-

õîäÿ èç âèäà ïîâåðõíîñòè ôðîíòà â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèîíàëîâ è

ïðåäïî÷òåíèé, îòäàâàåìûõ êàêîìó-ëèáî ôóíêöèîíàëó.

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (5.17), (5.18) èñïîëüçóåòñÿ ãåíåòè÷åñêèé àë

ãîðèòì (ÃÀ). Ðàáîòà ÃÀ íà÷èíàåòñÿ ñ ôîðìèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûì îá

ðàçîì íà÷àëüíîé ïîïóëÿöèè, ñîñòîÿùåé èç

èíäèâèäóóìîâ-ëîïà

ñòåé. Ïîñëå ýòîãî äëÿ êàæäîãî èíäèâèäóóìà ïîñòðîåííîé ïîïóëÿöèè

âû÷èñëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ öåëåâûõ ôóíêöèîíàëîâ è

îãðàíè÷åíèé. Ðàññìàòðèâàþòñÿ òðè öåëåâûõ ôóíêöèîíàëà: êèíåòè

÷åñêàÿ ýíåðãèÿ íà âûõîäå èç ÐÊ, îòêëîíåíèå ëèíèé òîêà íà ïîâåðõ

íîñòè ëîïàñòè îò îñåñèììåòðè÷íûõ, ðàçìåð è ðàñïîëîæåíèå çîíû

êàâèòàöèè íà òûëüíîé ñòîðîíå ëîïàñòè.

Ñëåäóþùèé ýòàï ðàáîòû ÃÀ — îòáîð. Çäåñü âûáèðàåòñÿ îïðåäå

ëåííàÿ äîëÿ

Tr ()01<<Tr

íàèëó÷øèõ èíäèâèäóóìîâ äëÿ ñêðåùèâà

íèÿ. Â ñëó÷àå îäíîöåëåâîé îïòèìèçàöèè

()q = 1

ëó÷øèì áóäåò èíäè

âèäóóì, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò íàèìåíüøåå ïî ïîïóëÿöèè çíà÷åíèå

öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà. Òî åñòü êðèòåðèåì êà÷åñòâà èíäèâèäóóìà áó

äåò çíà÷åíèå öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà. Ïðè ïðîâåäåíèè ìíîãîöåëåâîé

îïòèìèçàöèè â êàæäîì ïîêîëåíèè, êàê ïðàâèëî, èìååòñÿ íåñêîëüêî

186 Ãëàâà 5

èíäèâèäóóìîâ, íå ñðàâíèìûõ äðóã ñ äðóãîì ïî ñîâîêóïíîñòè öåëå

âûõ ôóíêöèîíàëîâ. Ïîýòîìó âûïîëíÿåòñÿ ïðîöåäóðà, â êîòîðîé íà

îñíîâå ðàññ÷èòàííûõ çíà÷åíèé öåëåâûõ ôóíêöèîíàëîâ âû÷èñëÿåòñÿ

âåëè÷èíà, íàçûâàåìàÿ ðàíãîì, õàðàêòåðèçóþùàÿ êà÷åñòâî èíäèâè

äóóìîâ [3]. Ïî îïðåäåëåíèþ, èíäèâèäóóìó, äëÿ êîòîðîãî íè îäèí èç

èíäèâèäóóìîâ ïîïóëÿöèè íå ëó÷øå åãî ïî âñåì ôóíêöèîíàëàì, ïðè

ñâàèâàåòñÿ ðàíã, ðàâíûé 1. Ðàíã îñòàëüíûõ èíäèâèäóóìîâ âû÷èñëÿ

åòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

rank a

()x =+1

ãäå

— ÷èñëî èíäèâèäóóìîâ òåêóùåé ïîïóëÿöèè, ëó÷øèõ ïî âñåì

ôóíêöèîíàëàì èíäèâèäóóìà

[]3

. ×åì áîëüøå ðàíã, òåì áîëüøå

ðàññòîÿíèå äî ôðîíòà Ïàðåòî. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ðåøåíèè çàäà÷è

(5.17) èíäèâèäóóìû äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îãðàíè÷åíèÿì (5.19), îä

íàêî ïðè ñîçäàíèè ïîïóëÿöèè íå âñå èíäèâèäóóìû èì óäîâëåòâîðÿ-

þò. Ðàíã òàêèì èíäèâèäóóìàì íàçíà÷àåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî,

íàñêîëüêî ñèëüíî íå âûïîëíÿþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ. Ðàíã ëó÷øåãî èç

ãðóïïû ðåøåíèé, äëÿ êîòîðûõ íå âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç îãðà-

íè÷åíèé, áîëüøå, ÷åì ñàìûé âûñîêèé èç ãðóïïû èíäèâèäóóìîâ, äëÿ

êîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿ âûïîëíåíû.

Çàòåì äëÿ êàæäîãî èíäèâèäóóìà ïîïóëÿöèè

âû÷èñëÿåòñÿ êðè-

òåðèé êà÷åñòâà, îñíîâàííûé íà ðàíãå

rank

() ()

()

−

∑

ãäå

h)(k

— ÷èñëî èíäèâèäóóìîâ ðàíãà

. Ïîñëå ýòîãî ïðîâîäèòñÿ ïðî

öåäóðà, ïðåäëîæåííàÿ Ãîëäáåðãîì è Ðè÷àðäñîíîì [9]. Öåëü ïðîöåäó

ðû — ðàñïðåäåëèòü ïîïóëÿöèþ îêîëî íåêîòîðîãî ÷èñëà ðàçëè÷íûõ

ïèêîâ â ïðîñòðàíñòâå ïîèñêà, ïðè÷åì âîçëå êàæäîãî ïèêà ñîñðåäîòî

÷èâàåòñÿ ÷àñòü ïîïóëÿöèè, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ âûñîòå ïèêà [4]. Èíà

÷å ãîâîðÿ, ïðîöåäóðà ïðîâîäèòñÿ âî èçáåæàíèå ïðåæäåâðåìåííîé

ñõîäèìîñòè èëè ñõîäèìîñòè ê êàêîìó-ëèáî ïîäìíîæåñòâó òî÷åê

ôðîíòà Ïàðåòî, à òàêæå äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

òî÷åê âäîëü ôðîíòà Ïàðåòî. Äëÿ ýòîãî êðèòåðèé êà÷åñòâà èíäèâèäóó

ìà, îñíîâàííûé íà ðàíãå

, óìíîæàåòñÿ íà íèøåâîå ÷èñëî

, âû÷èñ

ëÿåìîå äëÿ êàæäîãî èíäèâèäóóìà. Íèøåâîå ÷èñëî

— ýòî îöåíêà

òîãî, êàê ìíîãî èíäèâèäóóìîâ ïîïóëÿöèè ðàñïîëàãàåòñÿ â îêðåñòíî

ñòè (íèøå) èíäèâèäóóìà

. Ýòî ÷èñëî âû÷èñëÿåòñÿ ïî âñåé ïîïóëÿ

öèè, âêëþ÷àÿ

-é èíäèâèäóóì

mShij

jPop

∈

∑

((,))r

Îïòèìèçàöèÿ ôîðìû ëîïàñòè ãèäðîòóðáèíû 187

ãäå

r)(,ij

— ðàññòîÿíèå ìåæäó èíäèâèäóóìàìè

,à

Sh()r

—

ôóíêöèÿ ðàçäåëåíèÿ òàêàÿ, ÷òî

Sh()01=

Sh()rs≥=

. Â äàííîé

ðàáîòå èñïîëüçîâàëàñü

()

Sh r

rs rs

−<

≥

⎧

⎨

⎩

/, ,

share share

ãäå

— ïàðàìåòð ðàçäåëåíèÿ, êîòîðûé ïîäáèðàåòñÿ ýìïèðè÷åñêè.

Èíäèâèäóóìû, íàõîäÿùèåñÿ íà ðàññòîÿíèè

óõóäøàþò (óâåëè÷è

âàþò) ôóíêöèè êà÷åñòâà

FFm

=⋅

äðóã äðóãà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäè

ìîñòü ïðîèñõîäèò â íèøå ðàäèóñà

, íî ñõîäèìîñòè âñåé ïîïóëÿ

öèè óäàåòñÿ èçáåæàòü. Ïîñêîëüêó öåëåâûå ôóíêöèîíàëû ìîãóò ïðè

íèìàòü çíà÷åíèÿ íà îòðåçêàõ ðàçíîé äëèíû, îíè ïðåäâàðèòåëüíî

íîðìèðóþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îòîáðàæàòü îáëàñòü ïîèñêà

â ãèïåðêóá ñ åäèíè÷íûì ðåáðîì

[, ]01

. Ðàññòîÿíèå ìåæäó èíäèâè

äóóìàìè âû÷èñëÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèîíàëîâ ïî ôîðìóëå

r( )ij f f

,()()

,...,

=−

max

Îòáîð èíäèâèäóóìîâ ïðîâîäèòñÿ èñõîäÿ èç çíà÷åíèÿ ôóíêöèè

êà÷åñòâà

. Çàòåì îñóùåñòâëÿþòñÿ ðåêîìáèíàöèÿ, ìóòàöèÿ, êëîíè-

ðîâàíèå. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ íîâîå ïîêîëåíèå, çàìåíÿþùåå

ïðåäûäóùåå, è ýòîò ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò

ðàññ÷èòàíî çàäàííîå ÷èñëî ïîêîëåíèé

Gen

Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåññ ïîèñêà ðåøåíèÿ ñîñòîèò èç ñëåäóþ-

ùèõ øàãîâ.

1. Ôîðìèðîâàíèå íà÷àëüíîé ïîïóëÿöèè, ñîñòîÿùåé èç

èíäèâè

äóóìîâ. Êàæäûé èíäèâèäóóì — íàáîð ïàðàìåòðîâ

()

x =,,xx

îïðåäåëÿþùèé îáúåêò îïòèìèçàöèè, ïðè ýòîì

xxx

LiiRi,,

≤≤

.Íà

÷àëüíàÿ ïîïóëÿöèÿ ñîçäàåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì ïðèìåíèòåëüíî

êî âñåì ïàðàìåòðàì.

2. Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé öåëåâûõ ôóíêöèîíàëîâ

,,K

äëÿ êàæäî

ãî èíäèâèäóóìà ïîïóëÿöèè.

3. Âû÷èñëåíèå ðàíãà

rank

êàæäîãî èíäèâèäóóìà ïîïóëÿöèè.

4. Âû÷èñëåíèå êðèòåðèÿ êà÷åñòâà

, îñíîâàííîãî íà ðàíãå, äëÿ

êàæäîãî èíäèâèäóóìà.

5. Âû÷èñëåíèå ðàññòîÿíèé

ìåæäó èíäèâèäóóìàìè.

6. Âû÷èñëåíèå íèøåâûõ ÷èñåë

äëÿ êàæäîãî èíäèâèäóóìà.

7. Âû÷èñëåíèå ôóíêöèè êà÷åñòâà

8. Îòáîð. Âûáèðàåòñÿ îïðåäåëåííàÿ äîëÿ

Tr ()01<<Tr

íàèëó÷øèõ

èíäèâèäóóìîâ äëÿ ñêðåùèâàíèÿ. Â äàííîì ñëó÷àå ýòî áóäóò èíäè

âèäóóìû, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò íàèìåíüøèå çíà÷åíèÿ

188 Ãëàâà 5

19. Ïîñòðîåíèå íîâîé ïîïóëÿöèè. Íà äàííîì ýòàïå ñòðîèòñÿ íîâàÿ ïî

ïóëÿöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç p èíäèâèäóóìîâ, ïóòåì ðåêîìáèíàöèè. Ïîñëå

ýòîãî êàæäûé èç èíäèâèäóóìîâ ñëåãêà ìåíÿåòñÿ â ïðîöåññå ìóòàöèè.

10. Êëîíèðîâàíèå. Êîïèðîâàíèå áåç èçìåíåíèÿ âñåõ èíäèâèäóóìîâ

ðàíãà 1, óäîâëåòâîðÿþùèõ îãðàíè÷åíèÿì, èç ïðåäûäóùåãî ïîêî

ëåíèÿ â íîâîå ïîêîëåíèå. Ïîñëå êëîíèðîâàíèÿ ðàçìåð íîâîãî ïî

êîëåíèÿ áóäåò ðàâåí

, ãäå

— ÷èñëî êëîíèðîâàííûõ èíäè

âèäóóìîâ.

11. Ïåðåõîä íà øàã 2, ïîêà íå áóäåò ðàññ÷èòàíî çàäàííîå ÷èñëî ïîêî

ëåíèé

Gen

5.7.2. Òåñòîâûå ðàñ÷åòû

Ðàáîòîñïîñîáíîñòü àëãîðèòìà ïðîâåðÿëàñü íà ñëåäóþùèõ òåñòî

âûõ çàäà÷àõ (çäåñü ïðèâîäÿòñÿ îáùåïðèíÿòûå íàçâàíèÿ):

ZDT

[5],

DTLZ

[6],

TNK

[7],

OSY

[8]. Â çàäà÷å

DTLZ

÷èñëî ìèíèìèçè-

ðóåìûõ ôóíêöèîíàëîâ

ðàâíÿëîñü òðåì, â îñòàëüíûõ òåñòîâûõ çàäà-

÷àõ — äâóì; ÷èñëî âàðüèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ

ðàâíÿëîñü 30 â

ZDT

10 â

ZDT

,12â

DTLZ

,2â

TNK

è6â

OSY

. Â çàäà÷àõ

TNK

OSY

íàêëàäûâàëèñü îãðàíè÷åíèÿ. Â òàáë. 5.1 ïðèâåäåíû ôóíêöèîíàëû,

îáëàñòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ è îãðàíè÷åíèÿ äëÿ òåñòîâûõ çàäà÷.

Êðèòåðèÿìè êà÷åñòâà àëãîðèòìà, îñóùåñòâëÿþùåãî ìíîãîöåëå-

âóþ îïòèìèçàöèþ, ÿâëÿþòñÿ:

— ìèíèìèçàöèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïîëó÷åííûì ñ ïîìîùüþ àëãî-

ðèòìà ìíîæåñòâîì ðåøåíèé è äåéñòâèòåëüíûì ôðîíòîì Ïàðåòî;

— ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íàéäåííûõ ðåøåíèé âäîëü ôðîíòà

Ïàðåòî;

— ìàêñèìèçàöèÿ îõâàòà ïîëó÷åííûìè ðåøåíèÿìè ôðîíòà, ò.å. íàé

äåííûå ðåøåíèÿ äîëæíû ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ èç øèðîêîãî äèà

ïàçîíà çíà÷åíèé ïî êàæäîìó èç öåëåâûõ ôóíêöèîíàëîâ.

Ïðè ðåøåíèè âñåõ òåñòîâûõ çàäà÷ èñïîëüçîâàëèñü ñëåäóþùèå

çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà: ïàðàìåòð ðàçäåëåíèÿ

= 001,

äîëÿ îòáèðàåìûõ äëÿ ðåêîìáèíàöèè èíäèâèäóóìîâ

Tr = 03,

, ïàðàìåòð

ðåêîìáèíàöèè

d = 07,

, ìóòàöèîííûé ïàðàìåòð

m = 01,

. ×èñëî èíäèâè

äóóìîâ â íà÷àëüíîé ïîïóëÿöèè

è â ïîñëåäóþùèõ

áðàëîñü îäèíà

êîâûì. Â çàäà÷àõ áåç îãðàíè÷åíèé

70==

, ñ îãðàíè÷åíèÿìè

100==

. ×èñëî ïîêîëåíèé

Gen

â çàäà÷àõ

ZDT

ðàâíÿëîñü 150, â

TNK N

Gen

= 50

, â îñòàëüíûõ 100. Íà ðèñ. 5.14 èçîáðàæåíû ôðîíòû

Ïàðåòî äëÿ òåñòîâûõ çàäà÷, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå îïòèìèçàöèè

(îáîçíà÷åíû êðóæêàìè) è òî÷íûå (ñïëîøíûìè ëèíèÿìè). Âèäíî,

÷òî ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîãî àëãîðèòìà óäàåòñÿ ïîëó÷èòü êà÷åñò

âåííûå ðåøåíèÿ.

Îïòèìèçàöèÿ ôîðìû ëîïàñòè ãèäðîòóðáèíû 189

190 Ãëàâà 5

Òàáëèöà 5.1

Çàäà÷à Öåëåâûå ôóíêöèîíàëû Îãðàíè÷åíèÿ è ÷èñëî ïàðàìåòðîâ

ZDT

()x =

fg fg f

11 1

110

()

(/(/)())

x =×

×− − sin p

gx x x n

( ... ) /( )

19 1,, =+ −

∑

01≤≤x

n = 30

ZDT

fxx

146() exp( )sin( )x =− − p

fgfg

1() ( ( / ))x =−

gx x x n

( ... ) /( )

025

19 1,, =+ −

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

∑

01≤≤x

n = 10

DTLZ

() ( )x =+

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

cos cos

() ( )x =+

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

cos sin

() ( )x =+

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

sin

gx x x

( ... ) ( , )

05,, = −

∑

a = 100

01≤≤x

n = 12

TNK f x

()x =

0 ≤≤x

ϕ=+

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

101 16() ,x cos arctan

−−≤xx

ϕ=− +

05() ( ,)x x

+− −≤(,),x

05 05 0

n = 2

OSY

fxx

xx x

25 2 2

141

() ()()

()( )()

x =− −+−+

+−+−+−

()x =

∑

010

126

≤≤xxx,,

≤≤xx,

≤≤x

ϕ =−−≤

112

20()x xx

ϕ=+−≤

212

60()x xx

ϕ=−+−≤

312

20()x xx

ϕ=−−≤

412

320()x xx

ϕ=−+−≤

340() ( )x xx

ϕ=−−−≤

43 0() ( )x xx

n = 6