Черный С.Г., Чирков Д.В. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах

Подождите немного. Документ загружается.

îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòüþ

F( )uv,

, ïîýòîìó âàðèàöèÿ ñðåäèííîé

ïîâåðõíîñòè îñóùåñòâëÿëàñü ïóòåì âàðèàöèè òîëüêî ôóíêöèè

F( )uv,

ïðè ñîõðàíåíèè RZ-ïðîåêöèè è çàäàííîãî èçíà÷àëüíî ðàñïðåäåëå

íèÿ òîëùèíû

du v(),

. Ïóñòü

F( )

uv,

— ôóíêöèÿ óãëîâîé êîîðäèíàòû

èñõîäíîé ëîïàñòè, à

F( )uv,

— ôóíêöèÿ óãëîâîé êîîðäèíàòû âîçìó

ùåííîé ëîïàñòè. Íàìè äëÿ âàðüèðîâàíèÿ ôîðìû ëîïàñòè èñïîëüçî

âàëñÿ “îòíîñèòåëüíûé” ïîäõîä, ò.å. ïàðàìåòðèçàöèè ïîäëåæàëà íå

ñàìà çàâèñèìîñòü

F)(,uv

, à îòêëîíåíèå

FF)F

′

=−(, ) (, (, )uv uv uv

(ðèñ. 5.4). Âàðèàöèÿ

′

(, )uv

îñóùåñòâëÿëàñü ïóòåì âàðèàöèè 16 êî

ýôôèöèåíòîâ

áèêóáè÷åñêîãî ïîëèíîìà, ïðåäñòàâëåííîãî â ôîð

ìå Áåðíøòåéíà:

′

=ϕ

∑∑

(, ) () ()uv BuB v

ij i j

ji 0

, (5.2)

ãäå

Bw w

() ( )

!( )!

=−

−

. Äîñòîèíñòâîì ðàññìîòðåííîé “îò-

íîñèòåëüíîé” ïàðàìåòðèçàöèè ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî èñõîäíàÿ ëî-

ïàñòü, êîòîðàÿ èìååò ñëîæíóþ ôîðìó, âñåãäà ëåæèò â ìíîæåñòâå

äîïóñòèìûõ ïàðàìåòðèçàöèåé ôîðì (ïðè

ϕ=

). Äëÿ óäîáñòâà ãåî-

ìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû

â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àþòñÿ

Äëÿ ðåàëüíûõ ëîïàñòåé ôóíêöèÿ óãëîâîé êîîðäèíàòû

F)(,uv

îáû÷íî ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ïî ïåðåìåííîé v:

uv(, )< 0

(íåáîëüøîå íàðóøåíèå óñëîâèÿ ìîíîòîííîñòè ìî-

æåò èìåòü ìåñòî ëèøü âáëèçè âõîäíîé êðîìêè). Äëÿ âûïîëíåíèÿ

ýòîãî óñëîâèÿ íà ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû íàêëàäûâàþòñÿ ñîîòâåò

ñòâóþùèå îãðàíè÷åíèÿ. Êðîìå òîãî, äëÿ êàæäîãî ïàðàìåòðà

çàäà

åòñÿ äèàïàçîí åãî èçìåíåíèÿ (òàê íàçûâàåìûå ôàçîâûå îãðàíè

÷åíèÿ):

xxx

Lj j Rj,,

≤≤

Îïòèìèçàöèÿ ôîðìû ëîïàñòè ãèäðîòóðáèíû 171

Ðèñ. 5.4. Îòíîñèòåëüíàÿ ïàðàìåòðè

çàöèÿ ôîðìû ñðåäèííîé ïîâåðõíî

ñòè ëîïàñòè.

1 — íà÷àëüíàÿ ñðåäèííàÿ ïîâåðõíîñòü;

2 — ìîäèôèöèðîâàííàÿ.

Ïðèìåð âëèÿíèÿ, êîòîðîå îêàçûâàþò íà ôîðìó ëîïàñòè äâà èç 16

îïðåäåëåííûõ ïàðàìåòðîâ, ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 5.5.

§ 5.3. ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈß

Ïîìèìî ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé íà ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû,

ñòàâèëèñü òàêæå îãðàíè÷åíèÿ íà íàïîð â ðàáî÷åì êîëåñå è êàâèòà-

öèîííîå.

5.3.1. Îãðàíè÷åíèå íà íàïîð

×òîáû ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå îïòèìèçàöèè êîëåñî ñîîòâåòñò

âîâàëî çàäàííîìó èçíà÷àëüíî ðåæèìó ðàáîòû, íåîáõîäèìî, ÷òîáû

ðàçíîñòü ïîëíûõ ýíåðãèé ïîòîêà íà âõîäå â ñïèðàëüíóþ êàìåðó

ãèäðîòóðáèíû è íà âûõîäå èç îòñàñûâàþùåé òðóáû ñîâïàäàëà ñ íà

ïîðîì

, îáåñïå÷èâàåìûì ñòàíöèåé äëÿ äàííîãî ðåæèìà ðàáîòû.

Îäíàêî â ïðîöåññå îïòèìèçàöèè ðàññ÷èòûâàåòñÿ òå÷åíèå òîëüêî â

ðàáî÷åì êîëåñå. Äëÿ ñîõðàíåíèÿ çàäàííîãî íàïîðà ñòàíöèè îãðàíè

÷åíèå íàêëàäûâàëîñü íà òàê íàçûâàåìûé íàïîð â ðàáî÷åì êîëåñå

, êîòîðûé, èñõîäÿ èç îöåíêè ïîòåðü â ýëåìåíòàõ ðåàëüíîé ãèäðî

òóðáèíû, ñîñòàâëÿåò îêîëî 95 % îò ïîëíîãî íàïîðà. Òàêèì îáðàçîì,

îãðàíè÷åíèå íà íàïîð èìååò âèä

|,|HH

−≤095 e

, (5.3)

ãäå

— ìàëûé ïàðàìåòð.

172 Ãëàâà 5

Ðèñ. 5.5. Âëèÿíèå íà ôîðìó ëîïàñòè âàðüèðîâàíèÿ äâóõ ïàðàìåòðîâ, îïðå-

äåëÿþùèõ óãëîâóþ êîîðäèíàòó òî÷åê âõîäíîé êðîìêè íà ñòóïèöå è îáîäå.

5.3.2. Êàâèòàöèîííîå îãðàíè÷åíèå

Îäíîé èç âàæíåéøèõ õàðàêòåðèñòèê ðàáîòû ãèäðîòóðáèíû ÿâ

ëÿþòñÿ åå êàâèòàöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè. ßâëåíèå êàâèòàöèè

âîçíèêàåò â ñëó÷àå, åñëè ñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå â òî÷êå ïîòîêà ñòà

íîâèòñÿ ìåíüøå, ÷åì äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ïðè äàííîé

òåìïåðàòóðå:

ñv

≤

. (5.4)

Ïðè ðàñ÷åòå òå÷åíèÿ â ðàáî÷åì êîëåñå ïî óðàâíåíèÿì Ýéëåðà ïîëå

äàâëåíèÿ â ïîòîêå îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî äàâ

ëåíèÿ

, çàäàííîãî â âûõîäíîì ñå÷åíèè ðàñ÷åòíîé îáëàñòè. Äëÿ

ïîëó÷åíèÿ àáñîëþòíîãî äàâëåíèÿ â ïîòîêå, èñïîëüçóåìîãî â óñëî

âèè (5.4), íåîáõîäèìî îöåíèòü àáñîëþòíîå äàâëåíèå

. Ýòî îñó-

ùåñòâëÿëîñü ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè, çàïèñàííîãî äëÿ

ëèíèè òîêà, èäóùåé îò òî÷êè 0 ê ïîâåðõíîñòè íèæíåãî áüåôà

(ðèñ. 5.6).

Èçâåñòíî, ÷òî íàèáîëåå ïîäâåðæåíû êàâèòàöèè òûëüíûå ïî-

âåðõíîñòè ëîïàñòåé. Â ñëó÷àå, êîãäà îáëàñòü êàâèòàöèè çàíèìàåò

ïëîùàäü áîëåå 15 % ïëîùàäè âñåé òûëüíîé ïîâåðõíîñòè ëîïàñòè,

íàáëþäàåòñÿ ðåçêîå ïàäåíèå ìîùíîñòè è ÊÏÄ òóðáèíû, ÷òî êðàéíå

íåæåëàòåëüíî. Ïðåäâàðèòåëüíûå îïòèìèçàöèîííûå ðàñ÷åòû ðàáî÷å-

ãî êîëåñà Áðàòñêîé ÃÝÑ ïîêàçàëè, ÷òî ïóòåì âàðüèðîâàíèÿ òîëüêî

óãëîâîé êîîðäèíàòû

F)(,uv

â ðàìêàõ 16-ïàðàìåòðè÷åñêîãî åå çàäà

íèÿ ïîëíîñòüþ èçáàâèòüñÿ îò êàâèòàöèè íà äàííîì ðåæèìå íåâîç

ìîæíî, îäíàêî óäàåòñÿ ñíèçèòü ïëîùàäü îáëàñòè êàâèòàöèè äî çíà

÷åíèé, ìåíüøèõ äîïóñòèìîãî

015, S

suc

, ãäå

suc

— ïëîùàäü òûëüíîé

Îïòèìèçàöèÿ ôîðìû ëîïàñòè ãèäðîòóðáèíû 173

Ðèñ. 5.6. Ê îöåíêå äàâëåíèÿ

ïîâåðõíîñòè ëîïàñòè. Ïîýòîìó îãðàíè÷åíèå ïî êàâèòàöèè ñòàâèëîñü

â ñëåäóþùåì âèäå:

cav

suc

≤ 015,

, (5.5)

ãäå

cav

— ïëîùàäü çîíû íà òûëüíîé ïîâåðõíîñòè ëîïàñòè, ãäå âû

ïîëíÿåòñÿ (5.4).

§ 5.4. ÖÅËÅÂÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ

Êàê óæå óïîìèíàëîñü, â èäåàëå îïòèìèçàöèÿ ãåîìåòðèè òóðáî

ìàøèíû äîëæíà ñâîäèòüñÿ ê ìàêñèìèçàöèè ÊÏÄ íà çàäàííîì ðåæè

ìå ðàáîòû, èëè, ÷òî òî æå, ê ìèíèìèçàöèè ïîòåðü ýíåðãèè â ïðîòî÷

íîì òðàêòå.

Â ñëó÷àå ðàñ÷åòà îäíîãî ðàáî÷åãî êîëåñà â ðàìêàõ ìîäåëè íåâÿç-

êîé æèäêîñòè ÿâíûé ðàñ÷åò ïîòåðü íåâîçìîæåí, ïîýòîìó íåîáõîäè-

ìî ñôîðìóëèðîâàòü öåëåâîé ôóíêöèîíàë, êîñâåííî ó÷èòûâàþùèé

ïîòåðè ýíåðãèè â ïðîòî÷íîì òðàêòå. Ïðè ýòîì íåîöåíèìóþ ïîìîùü

îêàçûâàåò îïûò ñïåöèàëèñòîâ-ïðîåêòèðîâùèêîâ. Íèæå ïðåäñòàâëå-

íû ôîðìóëèðîâêè íåêîòîðûõ öåëåâûõ ôóíêöèîíàëîâ.

5.4.1.

— êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ

â âûõîäíîì ñå÷åíèè ðàáî÷åãî êîëåñà

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîòîêà íà âûõîäå èç

ðàáî÷åãî êîëåñà òåðÿåòñÿ. Òîãäà íàèáîëüøàÿ ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû

ãèäðîòóðáèíû äîñòèãàåòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïîòîê ïîêèäàåò ðàáî÷åå

êîëåñî ñ ìèíèìàëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì

â êà÷åñòâå ìèíèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà ëîãè÷íî âçÿòü êèíåòè÷å

ñêóþ ýíåðãèþ ïîòîêà â âûõîäíîì ñå÷åíèè

ðàñ÷åòíîé îáëàñòè:

()

=⋅

∫

||vvS

. (5.6)

Çäåñü

— âåêòîð àáñîëþòíîé ñêîðîñòè,

— âåêòîð íîðìàëè ê ýëå

ìåíòàðíîé ïëîùàäêå

âûõîäíîãî ñå÷åíèÿ, ðàâíûé ïî ìîäóëþ

ïëîùàäè ýòîãî ñå÷åíèÿ è íàïðàâëåííûé âîâíå ðàñ÷åòíîé îáëàñòè.

Ïðè ôèêñèðîâàííîì ðàñõîäå ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà (5.6) ñîîòâåò

ñòâóåò ðàâíîìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ îñåâîé êîìïîíåíòû

è íóëå

âîé îêðóæíîé êîìïîíåíòå

àáñîëþòíîé ñêîðîñòè â âûõîäíîì

ñå÷åíèè

174 Ãëàâà 5

5.4.2.

— îòíîñèòåëüíûé ðàçìåð

îáëàñòè êàâèòàöèè

Â êà÷åñòâå ìèíèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà áåðåòñÿ îòíîñèòåëü

íàÿ ïëîùàäü îáëàñòè êàâèòàöèè íà òûëüíîé ñòîðîíå ëîïàñòè

cav

suc

. (5.7)

Îïðåäåëåíèÿ

cav

suc

äàíû â ðàçä. 5.3.2.

5.4.3.

— îòêëîíåíèå ëèíèé òîêà

îò “îñåñèììåòðè÷íîãî” ïîòîêà

Èíòóèöèÿ îïûòíûõ ïðîåêòèðîâùèêîâ ïîäñêàçûâàåò, ÷òî áîëåå

êà÷åñòâåííîé ÿâëÿåòñÿ òà ëîïàñòü, íà ïîâåðõíîñòè êîòîðîé ïðåäåëü-

íûå ëèíèè òîêà áëèæå ê ëèíèÿì òîêà “îñåñèììåòðè÷íîãî” ïîòîêà.

Ñîîòâåòñòâóþùèé öåëåâîé ôóíêöèîíàë ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëå-

äóþùèì îáðàçîì:

−

∫

1(() )

sb bcos

(5.8)

ãäå

— ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ëîïàñòè;

— óãîë ìåæäó ïðåäåëüíîé

ëèíèåé òîêà è ëèíèåé òîêà îñåñèììåòðè÷íîãî ïîòîêà (ðèñ. 5.7), à âå-

ñîâàÿ ôóíêöèÿ

èìååò âèä

s(b)

sbp

≥

⎧

⎨

⎩

,/,

,/.

Çà ñ÷åò âûáîðà ïîäõîäÿùåãî âåñîâî

ãî êîýôôèöèåíòà

ìèíèìèçàöèÿ

öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà ïîçâîëÿåò

òàêæå âûïîëíèòü îäíî èç îñíîâíûõ

òðåáîâàíèé ê ëîïàñòíîé ñèñòåìå —

îòñóòñòâèå óãëà àòàêè ïðè îáòåêàíèè

ëîïàñòè (ñîâïàäåíèå ëèíèè ðàñòåêà

íèÿ æèäêîñòè ñ ëèíèåé âõîäíîé

êðîìêè ëîïàñòè).

Îïòèìèçàöèÿ ôîðìû ëîïàñòè ãèäðîòóðáèíû 175

Ðèñ. 5.7. Ïðåäåëüíûå ëèíèè òîêà íà ðà

áî÷åé ñòîðîíå ëîïàñòè.

§ 5.5. ÀËÃÎÐÈÒÌÛ ÏÎÈÑÊÀ ÌÈÍÈÌÓÌÀ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÀ

5.5.1. Ïîñòàíîâêà îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è

Ìàòåìàòè÷åñêè çàäà÷à îïòèìèçàöèè ôîðìû ëîïàñòè ôîðìóëè

ðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

íàéòè

min F()x

xX=,, ∈( ... )xx

ïðè îãðàíè÷åíèÿõ

Xx=≤≤{: }

xxx

LiiRi

, (5.9)

ϕ≤

()x 0

jm= 1,...,

, (5.10)

ϕ≤

()x 0

km Q=+1,...,

, (5.11)

ãäå

— âåêòîð ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ãåîìåòðèþ ëîïàñòè;

—

öåëåâîé ôóíêöèîíàë; (5.9) — ôàçîâûå, (5.10) — ãèäðîäèíàìè÷åñêèå,

(5.11) — ãåîìåòðè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ.

Ðàññìîòðåíû äâà îïòèìèçàöèîííûõ àëãîðèòìà: ÏÎÈÑÊ [1] è

ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì Breeder Genetic Algorithm (BGA) [2]. Îãðàíè-

÷åíèÿ ïðè ðåøåíèè îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è â îáîèõ ñëó÷àÿõ ó÷è-

òûâàëèñü ìåòîäîì øòðàôíûõ ôóíêöèé ïóòåì ââåäåíèÿ ñîñòàâíîãî

ôóíêöèîíàëà

5.5.2. Äåòåðìèíèðîâàííûé àëãîðèòì ÏÎÈÑÊ

Äàííûé àëãîðèòì ÿâëÿåòñÿ ñèìáèîçîì äåòåðìèíèðîâàííûõ è

ñëó÷àéíûõ ìåòîäîâ ïîèñêà ñ ýëåìåíòàìè ñàìîîáó÷åíèÿ. Îí ðåàëèçî

âàí â âèäå ñïåöèàëèçèðîâàííîãî êîìïëåêñà ïðîãðàìì ÏÎÈÑÊ, ñèí

òåçèðîâàííîãî íà îñíîâå ìîäèôèöèðîâàííûõ ìåòîäîâ âðàùàþùèõñÿ

êîîðäèíàò, íàïðàâëÿþùåãî êîíóñà è ìàòðè÷íîãî ñïóñêà [1]. Ñîñòàâ

íîé ôóíêöèîíàë èìååò ñëåäóþùèé âèä:

FF K

=+ +

⏐

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

ϕϕ

∑

, (5.12)

ãäå

— çàäàâàåìàÿ òî÷íîñòü âûïîëíåíèÿ îãðàíè÷åíèé;

— êîýô

ôèöèåíòû øòðàôà, íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ êîòîðûõ çàäàþòñÿ è óòî÷íÿ

þòñÿ â ïðîöåññå ðàáîòû ïðîãðàììû. Äëÿ íàñòðîéêè ïðîãðàììû

ÏÎÈÑÊ ïîëüçîâàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü çàäàòü òî÷

íîñòü âûïîëíåíèÿ îãðàíè÷åíèé, òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ìèíèìóìà

ïî ïàðàìåòðàì, òî÷íîñòü ïî ôóíêöèîíàëó. Òàê êàê öåëåâîé ôóíê

öèîíàë è îãðàíè÷åíèÿ íåëèíåéíûì îáðàçîì çàâèñÿò îò îïðåäåëÿþ

176 Ãëàâà 5

ùèõ ïàðàìåòðîâ çàäà÷è

( ... )xx

, ðåøåíèå, ïîëó÷àåìîå àëãîðèò

ìîì ÏÎÈÑÊ, çàâèñèò îò âûáðàííîé íà÷àëüíîé òî÷êè â ïðîñòðàíñò

âå âàðüèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ, îò òðåáóåìîé òî÷íîñòè âûïîëíåíèÿ

îãðàíè÷åíèé, êðèòåðèåâ ïðåêðàùåíèÿ ðàáîòû ïðîãðàììû è ò.ä.

5.5.3. Ñòîõàñòè÷åñêèé àëãîðèòì BGA

Â îñíîâó BGA ïîëîæåíà òåîðèÿ åñòåñòâåííîãî îòáîðà Äàðâèíà,

ñîãëàñíî êîòîðîé ïîïóëÿöèÿ èíäèâèäóóìîâ ìåíÿåòñÿ â òå÷åíèå íå

ñêîëüêèõ ïîêîëåíèé ïóòåì ðåêîìáèíàöèè (ñêðåùèâàíèÿ) è ìóòàöèè

îòäåëüíûõ èíäèâèäóóìîâ, ïîä÷èíÿÿñü ïðè ýòîì çàêîíàì åñòåñòâåí

íîãî èëè èñêóññòâåííîãî îòáîðà îòíîñèòåëüíî ïðåäïèñàííîãî êðè

òåðèÿ. Ïðèìåíèòåëüíî ê ïðîåêòèðîâàíèþ ëîïàñòè ðàáî÷åãî êîëåñà

ãèäðîòóðáèíû èíäèâèäóóìîì ÿâëÿåòñÿ ðàáî÷åå êîëåñî ñ ëîïàñòüþ êà

êîé-òî êîíêðåòíîé ôîðìû. Òàêæå èíäèâèäóóìîì ìû áóäåì íàçûâàòü

íàáîð ïàðàìåòðîâ

x =,,( ... )xx

, îïðåäåëÿþùèõ ýòó ëîïàñòü. Âåðî-

ÿòíîñòü ïåðåõîäà äàííîãî èíäèâèäóóìà â ñëåäóþùåå ïîêîëåíèå çà-

âèñèò îò òîãî, íàñêîëüêî õîðîøî îí óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì ïðî-

åêòèðîâùèêà. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðåàëèçîâàí âàðèàíò BGA, ñõîä-

íûé ñ îïèñàííûì â [2]. Ñîñòàâíîé ôóíêöèîíàë ó÷èòûâàåò òîëüêî

ãèäðîäèíàìè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ è èìååò âèä

FF C

cjjj

=+ ϕ+ϕ

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

∑

(||)

, (5.13)

ãäå

— âåñîâûå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå çàäàþòñÿ ïðè çàïóñêå

ïðîãðàììû è â ïðîöåññå îïòèìèçàöèè íå èçìåíÿþòñÿ.

Ïðîöåññ îïòèìèçàöèè ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ øàãîâ (ðèñ. 5.8).

1. Ôîðìèðóåòñÿ íà÷àëüíàÿ ïîïóëÿöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç

èíäèâèäóó

ìîâ. Êàæäûé èíäèâèäóóì — ýòî íàáîð ïàðàìåòðîâ

x =,,( ... )xx

,îï

ðåäåëÿþùèõ îáúåêò, ïîäëåæàùèé îïòèìèçàöèè, ïðè÷åì

xx x

iLiRi

∈[, ].

Íà÷àëüíàÿ ïîïóëÿöèÿ ñîçäàåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì ïðèìåíèòåëüíî êî

âñåì ïàðàìåòðàì òàê, ÷òîáû êàæäûé èíäèâèäóóì óäîâëåòâîðÿë ãåîìåò

ðè÷åñêèì îãðàíè÷åíèÿì. Â íà÷àëüíóþ ïîïóëÿöèþ âêëþ÷àåòñÿ èíäè

âèäóóì, ñîîòâåòñòâóþùèé íà÷àëüíîé ãåîìåòðèè ëîïàñòè.

2. Äëÿ êàæäîãî èíäèâèäóóìà â ïîïóëÿöèè âû÷èñëÿåòñÿ ñîîòâåò

ñòâóþùåå çíà÷åíèå ñîñòàâíîãî ôóíêöèîíàëà

3. Îòáîð (selection). Íà ýòîì ýòàïå âûæèâàåò îïðåäåëåííàÿ äîëÿ

()01<<T

íàèëó÷øèõ èíäèâèäóóìîâ. Â äàííîì ñëó÷àå ýòî áóäóò

èíäèâèäóóìû, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò íàèìåíüøèå çíà÷åíèÿ ñî

ñòàâíîãî ôóíêöèîíàëà. Îñòàëüíûå èíäèâèäóóìû îòáðàñûâàþòñÿ.

Îïòèìèçàöèÿ ôîðìû ëîïàñòè ãèäðîòóðáèíû 177

4. Ïîñòðîåíèå íîâîé ïîïóëÿöèè, ñîñòîÿùåé èç èíäèâèäóóìîâ,

ñîãëàñíî ñëåäóþùåé ñõåìå:

a) ðåêîìáèíàöèÿ (recombination). Èç âûæèâøèõ

⋅

èíäèâè

äóóìîâ ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáèðàþòñÿ äâà èäèâèäóóìà-ðîäèòåëÿ

x =,,( ... )xx

y =,,( ... )yy

, êîòîðûå ïðîèçâîäÿò íîâûé èíäè

âèäóóì

w =,,( ... )ww

. Ýòî ðåàëèçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

wx yx

ii iii

=+ −a ()

, ãäå

— ñëó÷àéíîå ÷èñëî ìåæäó

−d

1 + d

.Ïà

ðàìåòð

íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì ðåêîìáèíàöèè. Íåîáõîäèìî îòìå

òèòü, ÷òî

ìîæåò áûòü áîëüøå åäèíèöû è ìåíüøå íóëÿ, òàê ÷òî

ðåêîìáèíàöèÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ ýëåìåíò ýêñòðàïîëÿöèè. Íà ýòàïå ðå

êîìáèíàöèè ÷èñëî èíäèâèäóóìîâ âîññòàíàâëèâàåòñÿ äî

;

á) ìóòàöèÿ (mutation). Íà ýòîì ýòàïå âñå èíäèâèäóóìû ñëåãêà

ìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

ww w w

ii LiRi

=± −md()

ãäå

m ∈[, ]01

— ìóòàöèîííûé ïàðàìåòð;

−

, à ÷èñëî

— ñëó÷àé

íîå ìåæäó0è1;

178 Ãëàâà 5

Ðèñ. 5.8. Ñõåìà àëãîðèòìà

BGA.

â) êëîíèðîâàíèå (cloning). Äëÿ òîãî ÷òîáû íàèëó÷øèé èíäèâè

äóóì â êàæäîì ïîêîëåíèè íå ïîòåðÿëñÿ â ðåçóëüòàòå ìóòàöèè è ðå

êîìáèíàöèè, îí êîïèðóåòñÿ íåèçìåííûì â ñëåäóþùåå ïîêîëåíèå.

5. Ïåðåõîä íà øàã 2, ïîêà íå áóäåò ðàññ÷èòàíî

Gen

ïîêîëåíèé.

Â çàäà÷å îïòèìèçàöèè ôîðìû ëîïàñòè äëÿ íàõîæäåíèÿ ãëîáàëüíîãî

ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà îáû÷íî òðåáóåòñÿ ðàññ÷èòàòü ÷èñëî ïîêîëå

íèé

Gen

Âûïîëíåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ îãðàíè÷åíèé ëåãêî ïðîâåðèòü, òàê

êàê îíè ìîãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàíû ÿâíî â òåðìèíàõ

x =,,( ... )xx

Íîâàÿ ïîïóëÿöèÿ ñòðîèòñÿ òàê, ÷òîáû ýòè îãðàíè÷åíèÿ çàâåäîìî âû

ïîëíÿëèñü. Äàëåå îïèñûâàåòñÿ îäèí èç ñïîñîáîâ ðåàëèçàöèè ýòîãî

ïîäõîäà. Ïóñòü

DX∈

— îáëàñòü ïàðàìåòðîâ, â êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ

ãåîìåòðè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ. Ïðè íåâûïîëíåíèè õîòÿ áû îäíîãî èç

ãåîìåòðè÷åñêèõ îãðàíè÷åíèé äëÿ èíäèâèäóóìà

èç âíîâü ïîñòðîåí

íîé i-é ïîïóëÿöèè (ò.å. ïðè

xXD∈ \

) îí çàìåíÿåòñÿ èíäèâèäóóìîì

, ëåæàùèì íà ãðàíèöå îáëàñòè

, êîòîðûé ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îá-

ðàçîì:

wx x x D=+ − ∈∂a

()

a ∈[, ]01

. Â êà÷åñòâå

èñïîëüçóåòñÿ

èíäèâèäóóì èç (i–1)-ãî ïîêîëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé ìèíèìàëüíîìó

çíà÷åíèþ ñîñòàâíîãî ôóíêöèîíàëà

è ëåæàùèé â äîïóñòèìîé ãåî-

ìåòðè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè îáëàñòè

5.5.4. Ìåòîäè÷åñêîå èññëåäîâàíèå îïòèìèçàöèîííûõ

àëãîðèòìîâ

Ãëàâíûì êðèòåðèåì êà÷åñòâà îïòèìèçàöèîííîãî àëãîðèòìà ÿâ

ëÿåòñÿ ãàðàíòèÿ ïîèñêà ãëîáàëüíîãî, à íå ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà

ôóíêöèîíàëà. Äðóãîå öåííîå êà÷åñòâî — ñêîðîñòü ïîèñêà, ò.å. ÷èñëî

êîìáèíàöèé ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå òðåáóåòñÿ ïåðåáðàòü, ÷òîáû íàéòè

ìèíèìóì öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà.

Â äàííîì ðàçäåëå ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ àëãîðèòìîâ

ÏÎÈÑÊ è BGA íà òðåõ òåñòîâûõ ôóíêöèîíàëàõ. Îäíîé èç öåëåé èñ

ñëåäîâàíèÿ áûëî îòûñêàíèå òàêîãî íàáîðà âíóòðåííèõ ïàðàìåòðîâ

àëãîðèòìà BGA

(, , , , )dpp Tr

, êîòîðûé ïîçâîëÿåò îñóùåñòâëÿòü ïî

èñê ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé

ñêîðîñòüþ.

Ïðåäâàðèòåëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî íà ðàáîòó àëãî

ðèòìà BGA îêàçûâàþò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå äâà ïàðàìåòðà: ïàðà

ìåòð ðåêîìáèíàöèè

è ÷èñëî èíäèâèäóóìîâ â ïîïóëÿöèè

. Â äàí

íîì èññëåäîâàíèè çíà÷åíèå

âàðüèðîâàëîñü â äèàïàçîíå [0, 2], ïà

ðàìåòð

ïðèíèìàë çíà÷åíèÿ 40, 50, 60, 70, à îñòàëüíûå ïàðàìåòðû, â

ñèëó èõ ñëàáîãî âëèÿíèÿ, ôèêñèðîâàëèñü è ïðèíèìàëè çíà÷åíèÿ

Îïòèìèçàöèÿ ôîðìû ëîïàñòè ãèäðîòóðáèíû 179

60=

m = 01,

Tr = 03,

. Íåîáõîäèìî, îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå

ñëîæíîãî âèäà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà ñ ìíîæåñòâîì ëîêàëüíûõ ìè

íèìóìîâ êîëè÷åñòâî èíäèâèäóóìîâ â íà÷àëüíîé ïîïóëÿöèè

òàêæå

áóäåò èãðàòü ñóùåñòâåííóþ ðîëü.

Ïîñêîëüêó àëãîðèòì BGA ñòîõàñòè÷åñêèé, äëÿ èññëåäîâàíèÿ åãî

ðàáîòîñïîñîáíîñòè ïðîâîäèëñÿ ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ñåðèè çàïóñ

êîâ. Òàê, íà êàæäîì òåñòîâîì ôóíêöèîíàëå, äëÿ êàæäîãî íàáîðà ïàðà

ìåòðîâ

(, , , , )dpp Tr

, âûïîëíÿëîñü 70 çàïóñêîâ, ïîñëå ÷åãî îïðåäå

ëÿëàñü âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ àëãîðèòìîì ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà.

Ðåçóëüòàò ðàáîòû ïðîãðàììû ÏÎÈÑÊ, õîòÿ è èìåþùåé ýëåìåíò

ñëó÷àéíîñòè, ïðè ôèêñèðîâàííûõ âíóòðåííèõ ïàðàìåòðàõ àëãîðèò

ìà, êàê ïðàâèëî, íå ìåíÿåòñÿ îò çàïóñêà ê çàïóñêó. Â ýòîì ñìûñëå

ÏÎÈÑÊ áëèçîê ê äåòåðìèíèðîâàííûì àëãîðèòìàì. Ïðåäâàðèòåëü

íûå ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè íàëè÷èè â ôóíêöèîíàëå ëîêàëüíûõ

ìèíèìóìîâ ðåçóëüòàò ÏÎÈÑÊà çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíîé òî÷êè.

Ïîýòîìó ïðè èññëåäîâàíèè ïðîãðàììû ÏÎÈÑÊ âàðüèðîâàëàñü òàê-

æå íà÷àëüíàÿ òî÷êà.

Òåñòîâûå ôóíêöèîíàëû çàâèñÿò îò 20 íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ,

ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â îáëàñòè

Xx=−≤≤{: }10 10x

201()x =+

∑

, (5.14)

1()x =+

∑

, (5.15)

Fgxgxx

1() ( ) ( )x =+ + +

∑

, (5.16)

ãäå ôóíêöèÿ

gx()

èìååò ñëåäóþùèé âèä (ðèñ. 5.9):

()

(), [,],

() , [,],

()

+∈−

−− + ∈

−+

3100

318 05

710

,[,].x ∈

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

510

Ôóíêöèîíàëû (5.14) è (5.15) èìåþò åäèíñòâåííûé ãëîáàëüíûé

ìèíèìóì. Ôóíêöèîíàë (5.16) èìååò ãëîáàëüíûé ìèíèìóì â òî÷êå

( , , ,..., )−−330 0

è òðè ëîêàëüíûõ ìèíèìóìà â òî÷êàõ

( , , ,..., )−370 0

( , , ,..., )730 0−

( , , ,..., )770 0

(ñì. ðèñ. 5.9).

Ïðîâåäåíû ïîèñêè ìèíèìóìîâ òåñòîâûõ ôóíêöèîíàëîâ ïî àëãî

ðèòìàì ÏÎÈÑÊ è BGA ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ

äëÿ BGA è

ðàçëè÷íûõ ñòàðòîâûõ òî÷êàõ äëÿ ÏÎÈÑÊ. Â ñëó÷àå èññëåäîâàíèÿ àë

180 Ãëàâà 5