Чернов В.П. Математические модели и методы в экономике и менеджменте

Подождите немного. Документ загружается.

189

Средняя доля рабочего (занятого) времени узла обслуживаня d

раб

равна

раб

= М

зан

/ N.

Средняя доля свободного времени узла обслуживаня d

св

равна

св

= М

св

/ N.

Конечно,

раб

+ d

св

= 1.

СО с отказами: характеристики работы

для 1 узла обслуживания

Рассмотрим полученные характеристики СО с отказами для важ-

ного частного случая, когда в системе имеется единственный узел об-

служивания:



Формулы для этого случая получаются из приведенных выше фор-

мул подстановкой в них



с последующими простыми преобразова-

ниями.

Формула Эрланга принимает при этом вид:







Отсюда получаем вероятность отсутствия требований в системе P

равна





Вероятность занятости (единственного) узла обслуживания P

рав-

на







Сумма этих вероятностей равна 1:

+ P

= 1.

Вероятность P

совпадает с вероятностью отказа в обслуживании

отк

190







отк

Величина относительной пропускной способности  определяется

формулой:

 =





Величина абсолютной пропускной способности A определяется

формулой:

A =







Среднее число занятых узлов обслуживания М

зан

равно









зан

отк

Среднее число свободных узлов М

св

равно









зансв

М1M .

Средняя доля рабочего (занятого) времени узла обслуживаня d

раб

равна

раб

= М

зан

= P

отк

Средняя доля свободного времени узла обслуживания d

св

равна

св

= М

св

= α.

Задания 4.1

1. Менеджер в офисе принимает заказы по телефону. В среднем за

час звонят 5 клиентов, а разговор с клиентом занимает в среднем 4

мин. Интервалы между заказами и продолжительность приема заказов

распределены по экспоненциальному закону. Требуется определить:

 Процент времени простоя менеджера.

 Процент обслуженных клиентов и среднее число обслуженных

клиентов в час.

191

2. Предположим, что интенсивность потока звонков увеличилась с

5 до 10 в час. Определите в этих условиях прежние характеристики ра-

боты системы:

 Процент времени простоя менеджера.

 Процент обслуженных клиентов и среднее число обслуженных

клиентов в час.

3. Предположим, что интенсивность потока звонков увеличилась

дополнительно и составляет теперь 15 звонков в час. Определите в но-

вых условиях прежние характеристики работы системы:

 Процент времени простоя менеджера.

 Процент обслуженных клиентов и среднее число обслуженных

клиентов в час.

4. Клиент, не сумевший дозвониться в фирму, делает заказ в дру-

гих аналогичных фирмах. Упущенная прибыль, связанная с потерей

клиента, оценивается в 10 руб. Руководство фирмы решает поставить

на прием заказов еще одного менеджера. Связанные с этим дополни-

тельные затраты составляют 20 руб./час. Определите эффективность

такого решения для трех вариантов потока.

Решение таких задач рекомендуется проводить средствами Excel.

Можно создать универсальную расчетную схему с выделенными ячей-

ками для исходных данных и для результатов. Такая схема позволяет

легко проводить вариантные расчеты и оперативно сравнивать резуль-

таты для различных вариантов управленческих решений.

Пример реализации такого рода расчетов для системы обслужива-

ния с отказами приведен на рис. 4.2–4.4. Строка 11 «Слагаемые» соот-

ветствует отдельным слагаемым в знаменателе формулы Эрланга. Ве-

роятности состояний получаются делением соответствующего слагае-

мого на их общую сумму – сумму всех ячеек строки 11.

В 9, 11, 13 и 14 строке условными форматами автоматически вы-

деляются цветом доступные состояния, то есть те, номера которых не

превосходят число узлов обслуживания N.

Можно сравнить характеристики работы системы с отказами

при различном числе узлов обслуживания и выбрать наилучший вари-

ант.

192

В приведенном ниже примере рассчитан показатель общих потерь,

учитывающий как потери прибыли, связанные с вынужденными отка-

зами в обслуживании, так и затраты на работу узлов обслуживания.

Этот показатель принимает значения 280.75; 270.96 и 326.14 (руб./час),

соответственно, при 2, 3 и 4 узлах обслуживания.

Наилучшим вариантом в условиях примера является вариант с 3

узлами обслуживания.

193

A B C D E F G H I J K L M

Система обслуживания с отказами - универсальная расчетная схема

Технические исходные данные Экономические исходные данные

Число узлов обслуживания

100

Потери прибыли из-за отказа в обслуж. (руб. / треб.)

Интенсивность вход. потока (треб. / час)

Затраты на работу узла обслуживания (руб. / час)

n= 10

Интенсивность обслуживания (треб. / час)

Расчеты r=

80%

Номера состояний

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Слагаемые

1,000 0,800 0,320 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Вероятности состояний

0,472 0,377 0,151 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Технические результаты работы системы Экономические результаты работы системы

0,472

Вероятность отсутствия требований

120,75

Поток упущенной прибыли от отказов (руб. / час)

0,528

Вероятность наличия требований

160,00

Поток затрат на процесс обслуживания (руб. / час)

отк

0,151

Вероятность отказа

280,75

Итоговые потери (руб. / час)

85%

Относительная пропускная спрсобность (%)

6,792

Абсолютная пропускная способность (треб. / час)

зан

0,679

Среднее число занятых узлов (ед)

раб

34%

Доля рабочего времени узла (%)

св

1,321

Среднее число свободных узлов (ед)

св

66%

Доля свободного времени узла (%)

Рис. 4.2. Характеристики работы системы с отказами с 2 узлами обслуживания

191

194

A B C D E F G H I J K L M

Система обслуживания с отказами - универсальная расчетная схема

Технические исходные данные Экономические исходные данные

Число узлов обслуживания

100

Потери прибыли из-за отказа в обслуж. (руб. / треб.)

Интенсивность вход. потока (треб. / час)

Затраты на работу узла обслуживания (руб. / час)

n= 10

Интенсивность обслуживания (треб. / час)

Расчеты r=

80%

Номера состояний

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Слагаемые

1,000 0,800 0,320 0,085 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Вероятности состояний

0,453 0,363 0,145 0,039 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Технические результаты работы системы Экономические результаты работы системы

0,453

Вероятность отсутствия требований

30,96

Поток упущенной прибыли от отказов (руб. / час)

0,547

Вероятность наличия требований

240,00

Поток затрат на процесс обслуживания (руб. / час)

отк

0,039

Вероятность отказа

270,96

Итоговые потери (руб. / час)

96%

Относительная пропускная спрсобность (%)

7,690

Абсолютная пропускная способность (треб. / час)

зан

0,769

Среднее число занятых узлов (ед)

раб

26%

Доля рабочего времени узла (%)

св

2,231

Среднее число свободных узлов (ед)

св

74%

Доля свободного времени узла (%)

Рис. 4.3. Характеристики работы системы с отказами с 3 узлами обслуживания

192

195

A B C D E F G H I J K L M

Система обслуживания с отказами - универсальная расчетная схема

Технические исходные данные Экономические исходные данные

Число узлов обслуживания

100

Потери прибыли из-за отказа в обслуж. (руб. / треб.)

Интенсивность вход. потока (треб. / час)

Затраты на работу узла обслуживания (руб. / час)

n= 10

Интенсивность обслуживания (треб. / час)

Расчеты r=

80%

Номера состояний

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Слагаемые

1,000 0,800 0,320 0,085 0,017 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Вероятности состояний

0,450 0,360 0,144 0,038 0,008 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Технические результаты работы системы Экономические результаты работы системы

0,450

Вероятность отсутствия требований

6,14

Поток упущенной прибыли от отказов (руб. / час)

0,550

Вероятность наличия требований

320,00

Поток затрат на процесс обслуживания (руб. / час)

отк

0,008

Вероятность отказа

326,14

Итоговые потери (руб. / час)

99%

Относительная пропускная спрсобность (%)

7,939

Абсолютная пропускная способность (треб. / час)

зан

0,794

Среднее число занятых узлов (ед)

раб

20%

Доля рабочего времени узла (%)

св

3,206

Среднее число свободных узлов (ед)

св

80%

Доля свободного времени узла (%)

Рис. 4.4. Характеристики работы системы с отказами с 4 узлами обслуживания

193

194

Характеристики работы СО с ожиданием

СО с ожиданием: общие условия

Базовый вариант системы обслуживания с ожиданием удовлетво-

ряет следующим условиям.

1. Если в момент поступления требования имеется хотя бы один

свободный узел обслуживания, то требование сразу начинает

обслуживаться (любым из свободных узлов).

2. Если все узлы заняты, то поступившее требование становится в

очередь за уже имеющимся в накопителе требованиями.

3. Если в момент освобождения узла имеется хотя бы одно требо-

вание в накопителе, то первое из них по очереди сразу поступа-

ет на обслуживание.

4. Каждый узел в любой момент времени обслуживает не более

одного требования.

5. Каждое требование обслуживается одним узлом.

6. Обслуживание не прерывается.

7. По окончании обслуживания требование покидает систему.

Из второго и третьего условий следует, что очередь в накопителе

упорядочена естественным образом. Требования являются одинаковы-

ми, в частности, одни требования не обладают приоритетом в обслужи-

вании перед другими. Кроме того, любой узел доступен непосредст-

венно из накопителя, то есть узлы работают не последовательно, а па-

раллельно. Из этих же условий следует, что свободные узлы могут быть

только при пустом накопителе. Из четвертого, пятого и шестого усло-

вий вытекает, что требования обслуживаются независимо и узлы рабо-

тают независимо: организация обслуживания не предусматривает их

группировку. Седьмое свидетельствует о разомкнутости системы.

Если величина загрузки системы  слишком велика, то система не

успевает справляться с обслуживанием входящего потока требований.

Очередь в такой системе обслуживания с ожиданием растет лавинооб-

разно. Чтобы система обслуживания успевала справляться с входящим

потоком требований, необходимо, чтобы величина загрузки системы 

была меньше числа узлов обслуживания N, то есть необходимо выпол-

нение условия

 < N.

В приводимых ниже формулах для СО с ожиданием предполагает-

ся, что это условие выполнено.

195

СО с ожиданием: характеристики работы

для N узлов обслуживания

Вероятность отсутствия требований в системе обслуживания P

определяется формулой:

















1Nk

)N(!N!k

P .

В дальнейших расчетных формулах характеристик работы систе-

мы обслуживания с ожиданием участвует полученная вероятность P

Вероятность наличия очереди в системе обслуживания P

оч

есть

вероятность того, что число требований в системе больше числа узлов

обслуживания:

)N(!N

оч











Вероятность того, что все узлы обслуживания заняты, Р

зан

равна:

зан

)N()!1N(

P 





 .

Среднее число требований, находящихся в системе, М

тр

равно:































0тр

)N()!1N(

)1N(

PМ .

Средняя длина очереди M

оч

определяется формулой:

0оч

)N()!1N(

PМ









Среднее число занятых узлов обслуживания, М

зан

равно:

































)N()!1N(

)!1k(

0зан

Среднее число свободных узлов обслуживания М

св

можно найти по

формуле:

зан

св

MNM





а также непосредственно по формуле:

196











0св

)!kN(

kPM .

Разумеется, последние две формулы дают одинаковые результаты.

Среднее время ожидания начала обслуживания Т

ож

для требования,

поступившего в систему, равно:

0ож

)N()!1N(

PТ





 .

Общее время

ож

, которое проводят в очереди все требования, по-

ступившие в систему за единицу времени, определяется формулой:

0ож

)N()!1N(









Среднее время Т

тр

, которое требование проводит в системе обслу-

живания, складывается из среднего времени ожидания и среднего вре-

мени обслуживания:





ТT

ожтр

Суммарное время

тр

, которое в среднем проводят в системе все

требования, поступившие за единицу времени:



ожтр

тр

Функция распределения времени ожидания начала обслуживания

для требования, прибывшего в систему, является существенно более

информативной вероятностной характеристикой, связанной с временем

ожидания, чем просто среднее время ожидания.

Вероятность q(t) того, что требование, поступившее в систему,

прождет в очереди больше, чем время t, определяется формулой:

(N )t

зан

q(t) P e

 

  .

СО с ожиданием: характеристики работы

для 1 узла обслуживания

Рассмотрим полученные характеристики СО с ожиданием для

важного частного случая, когда в системе имеется единственный узел

обслуживания: