Брюшикин В.Н. Логика
Подождите немного. Документ загружается.
181
или нет. На месте преступления ведь были и свидетели, и, наконец, жертва. Но мы
видим, что умозаключение нашего незадачливого следователя происходит по той же
самой схеме, что и наше умозаключение (2). Действительно, обозначим суждение
"Этот человек преступник" через p, "Этот человек был на месте преступления" через
q. Тогда мы получим следующую схему:
p q, q ├ p.
Очевидно, что это – конкретизация схемы умозакйючения (2). Наш пример
показывает, что (2) – это схема такого умозаключения, которое от истинных посылок
может вести к ложному заключению, а значит, это умозаключение неправильно.
Решая эту задачу, мы столкнулись с одним из видов условно-категорических
умозаключений. Дадим их общее определение.
Условно-категоричес кими называются умозаключения, в которых одна
посылка — условное суждение, а вторая посылка и заключение — суждения
категорические.
Терминология "условно-категорические" умозаключения – дань традиции. То, что
здесь называется категорическим суждением, совпадает с традиционным понятием
категорического суждения (т. е. включает в себя как утвердительные простые суждения,
так и отрицательные простые суждения) и несколько отличается от тех простых
суждений, которые мы изучали в теме "Суждение". Однако использования языка логики
суждений для формализации таких умозаключения вносит некоторые изменения в наш
подход к понятию категорического суждения в данном контексте. Говоря об
умозаключениях логики суждений, мы под термином "категорическое суждение"
всегда будем иметь в виду простые утвердительные суждения в смысле §1 главы 6 или
их отрицания (т. е. любое суждение p и суждение
p
мы будем считать категорическим
суждением
1
). До сих пор мы рассмотрели один вид условно-категорических
умозаключений, схема которых выглядит так:
А В, А ├ В
Умозаключения, совершаемые по схеме А В, А ├ В назовем умозаключениями
о т у т в е р ж д е н и я о с н о в а н и я к у т в е р ж д е н и ю с л е д с р в и я
В классической традиции он еще называется латинским термином modus ponendo
ponens или проще – modus ponens (что означает способ утверждающе утверждающий,
или проще – способ утверждающий).
Вместе с тем запомним, что такой вид умозаключений, как
А В, В ├ А,
называемый: от утверждения следствия к утверждению основания, является
неправильным.
1
И даже, как показывают ниши схемы с метазнаками, любые сложные суждения или их отрицания.
182
Проверить правильность умозаключения от утверждения основания к
утверждению следствия можно при помощи таблиц. Мы помним, что нам для этого
следсет объединить посылки при помощи союза "и" и проверить, имеется ли отношение
логического следования между получившимся сложным суждением и заключением.
А
В
А В
(А В) А
В
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
Л
Мы видим, что в таблице нет такого случая, когда первое суждение истинно, а
второе ложно, следовательно, между ними имеется отношение логического следования
и наше умозаключение правильно.
Умозаключения от утверждения основания к утверждению следствия являются
весьма простыми и на примерах выглядят тривиально. Рассмотрим несколько примеров.
П р и м е р . Если каждый день пить кофе, то рано или поздно в голову придет
хорошая идея. Этот человек каждый день пьет кофе. Следовательно, ему рано или
поздно в голову придет хорошая идея.
П р и м е р . Если человек каждый день смотрит телевизор, то он становится
глупее. Этот человек каждый день смотрит телевизор. Следовательно, он становится
глупее.
Пояснение. По этой схеме вы сами можете придумать сколь угодно много
примеров. Однако дело не в этих примерах. Существенен следующий вопрос: почему,
несмотря на тривиальность этого вида умозаключений, логики им охотно пользуются, и
во многих формализованных системах логики modus ponens является единственным
правилом вывода? Дело в том, что умозаключения от утверждения следствия к
утверждению основания являются хорошим средством поиска доказательства тех
суждений, которые мы хотим обосновать. Они нам подсказывают, что для того, чтобы
доказать суждение В, нужно найти друбое суждение А, которое не только было бы
истинным, но и составленная из А и В импликация А В также была бы истинной. В
этом смысле modus ponens является составляющей частью закона достаточного
основания. Действительно, чтобы доказать суждение В согласно рассматриваемому
способу умозаключения, нужно найти другое суждение, которое было бы достаточным
основанием истинности В. Однако изолированное суждение не может быть
достаточным основанием. Чтобы получить А необходимо так связать суждения А и В,
чтобы А было условием для В, а это и есть импликация А В.
183
Допустим, нам надо доказать, что данное тело расширяется. Достаточным
основанием для этого будет тот факт, что это тело нагревается. Но для того, чтобы
полностью обосновать доказываемое утверждение, нам еще необходимо привести
импликацию "Если тело нагревается, то оно расширяется". Обозначим суждение
"Тело нагревается" через р, тело расширяется – через q. Тогда наш вывод будет
выглядеть следующим образом:
p q, p├ q.
В этом выводе нельзя не узнать частный случай нашего умозаключения "от
утверждения основания к утверждению следствия".
Ав: Теперь, я думаю, вам не доставит труда справиться со следующей задачей: условия
те же самые, что и в предыдущей задаче, только суждения несколько другие:
а) Если 2 внизу, то 1 в середине.
б) Если 1 в середине, то 3 внизу.
в) 1 наверху.
Ст: Да, но здесь ничего не получается. Я заметил, что в предыдущем умозаключении у
нас получался вывод, потому что в посылках было одно общее суждение. А здесь у нас
общего суждения нет.
Сс: Значит, надо его сделать!
Ст: Как это ―сделать‖?
Сс: Ну, получить или еще что-нибудь там.
Ав: Попытайтесь!
Сс: Я думаю, мы можем сказать, что если 1 наверху, то 1 не в середине.
Ст: Ага, правильно! Теперь мы получили общее суждение.
Ав: Получить-то получили, а что дальше?
Сс: Дальше так. Из того, что 1 не в середине, и суждения (а) мы можем получить, что 2
не внизу, т.е. 2 в середине. А из того, что 1 не в середине, и суждения (б) – что 3 не
внизу, р.е. 3 в середине.
Ст: У тебя опять получились два объекта в одном квадрате.
Сс: Теперь мы знаем, что делать. Это означает, что одно из умозаключений, которые я
применил, правильное, а другое – нет. Осталось только решить, какое именно.
Ст: Давайте попробуем, как в прошлый раз. Обозначим суждение "2 внизу" через р, "1
в середине" – через q, "3 внизу" – через r . Тогда "1 не в середине" будет
q
. Отсюда
твое первое умозаключение будет выглядеть следующим образом:
1) p q,
q
├
p
,
2) q r,
q
├
r
.
Теперь осталось составить таблицы. Сначала для первого умозаключения:
p
q
p q
q
(p q)
q
p
184
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
И
Л
И
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
И
И
Так, здесь есть отношение логического следования между (p q)
q
и
p
. Для
второго умозаключения таблица будет выглядеть следующим образом:
q
r
q r
q
(q r)
q
r
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Здесь в третьей строке суждение (q r)
q
истинно, а суждение
r
ложно. Значит,
между этими суждениями нет отношения логического следования, а это означает, что
второе умозаключение неправильно. Следовательно, 2 в середине, а 3 внизу.
Ав: Что же у вас уже сформировался систематический метод проверки умозаключений.
Таким образом, в диалоге наших героев мы встретились с двумя типами
умозаключений. Приведем их общие схемы с метапеременными:
1) А В,
B A|
.
2) А В,
A
├
B
Из диалога нам стало ясно, что умозаключения по первой схеме правильные, а по
второй – неправильные.
Покажем, что аторая схема неправильная, при помощи контрпримера, т.е.
умозаключения, совершаемого по указанной форме, но в котором посылки явно
истинны, а заключение может быть и ложным.
К о н т р п р и м е р . В качестве контрпримера рассмотрим умозаключение, которым
часто пользуются врачи, когда решают, выписать больничный лист или нет:
Если у человека повышена температура, то он болен.
У этого человека температура не повышена.
Следовательно, он не болен.
Мы видим, что в этом умозаключении, происходящим по схеме (2), посылки
мобут быть истинными, а заключение ложным. Следовательно, это умозаключение
неправильно.
185
П р и м е р . Рассмотрим умозаключение по схеме (1). Однажды была
сформулирована гипотеза о том, что известный персонаж российской истории
Лжедмитрий 1 учился в коллеже иезуитов. Тогда же было сформулировано следующее
умозаключение: Лжедмитрий 1 не был воспитанником иезуитов, потому что он плохо
знал латынь.
Развернем это умозаключение в полную форму:
Если бы Лжедмитрий 1 был учеником иезуитов, то он хорошо знал бы латынь.
Неверно, что Лжедмитрий 1 хорошо знал латынь.
Следовательно, Лжедмитрий 1 не был учеником иезуитов.
Мы видим, что в данном случае наше умозаключение было использовано для
опровержения выдвинутой гипотезы. В этом и заключается главная роль такого типа
умозаключений в познании и общении.
Умозаключения, совершаемые по схеме А В,
B A|
назовем умозаключениями
о т о т р и ц а н и я с л е д с т в и я к о т р и ц а н и ю о с н о в а н и я .
В традиции, идущей от средневековой логики, эти умозаключения назывались
modus tollendo tollens, или проще modus tollens, что означает способ отрицающе-
отрицающий или просто – способ отрицающий.
Умозаключения от отрицания следствия к отрицанию основания часто
используются в аргументации и в ораторской практике.
П р и м е р . Рассмотрим, каким образом использовал эти умозаключения
знаменитый античный оратор Демосфен. В "Третьей речи против Филиппа" Демосфен
говорил следующее: "... если кто-нибудь за мир считает такое положение, при
котором тот человек [Филипп] получит возможность покорить всех остальных..., то
он... не в своем уме". Очевидно, что Демосфен предполагает, что его слушатели
считают, что они в своем уме. Отсюда следует заключение: "Нельзя считать за мир
такое положение, при котором тот человек [Филипп] получит возможность
покорить всех остальных". Ораторский эффект применения умозаключения от
отрицания следствия ("мы в своем уме") к отрицанию основания ("нельзя считать...")
заключается в том, что одна посылка и заключение остаются не высказанными, но столь
очевидны, что любой слушатель получит необходимое заключение сам.
Схема этого рассуждения такова: обозначим суждение "Если кто-нибудь за мир
считает... остальных" через p, суждение "Он в своем уме" – через q.
Тогда получается следующая схема:
pqqp |,
.
Нетрудно заметить, что это одна из модификаций нашего умозаключения от
отрицания следствия к отрицанию основания. Только здесь, поскольку в консеквенте
импликации стоит отрицательное суждение, его отрицание представлено суждением
утвердительным.
186
П р и м е р . В том же рексте Демосфена встречаем следующее рассуждение: "...
если мы хотим дожидаться того времени, когда он сам признается, что ведет войну,
тогда мы самые глупые люди...". Очевидно, что его слушатели не считают себя
самыми глупыми людьми, а следовательно, они не должны дожидаться того времени,
когда он сам признается, что ведет войну.
Обозначим
суждение "Мы хотим дожидаться того времени и т.д." через p,
суждение "Мы самые глупые люди" – через q.
Тогда наше умозаключение будет выглядеть так:
p q q p, |
Это в точности совпадает с нашей схемой умозаключения от отрицания
следствия к отрицанию основания.
П р и м е р . Еще один более сложный случай применения этого рода
умозаключений уже не в ораторской прозе, а в ученом трактате дает нам знаменитый
"Князь" Никколо Макиавелли. Там мы встречаем следующее рассуждение: "Он [Чезаре
Борджиа] превозмог бы любые трудности, если бы его не теснили с двух сторон
враждебные армии или не донимала болезнь". Слово "бы" в консеквенте импликации
означает, что это утверждение на самом деле не истинно, т.е. истинно его отрицание.
Что же получается в таком случае?
Обозначим сложное суждение "Его не теснили с двух сторон враждебные армии
или не донимала болезнь" через А, а суждение "Он превозмог любые трудности" – через
В. Тогда наше рассуждение будет иметь следующую форму:
А В,
B A|
Таким образом, при помощи нашего умозаключения от отрицания следствия к
отрицанию основания мы получаем следующее заключение: "Неверно, что его не
теснили с двух сторон враждебные армии, и не донимала болезнь". Это последнее
суждение само имеет форму
qp
, что по законам логики суждений эквивалентно
суждению
qp
. Следовательно, окончательный вывод будет таков: "Его теснили с
двух сторон враждебные армии и донимала болезнь". Таким образом, наши
умозаключения позволили сформулировать точный вывод, который только
предполагается в тексте Макиавелли, но не был сформулирован явным образом. Отсюда
мы можем сделать общий вывод: знание умозаключений позволяет точно
анализировать неявную информацию, содержащуюся в тексте.
Чисто условные умозаключения
Это довольно простой вид умозаключений. Из самого названия видно, что в такие
умозаключения входят только условные суждения. Точнее,
Чи с т о у с л о в н ы м и называются умозаключения, в которых обе посылки и
заключение представляют собой условные суждения.
187
Схема условного умозаключения будет тогда выглядеть следующим образом:
А В, В С├А С.
П р и м е р , Если студент хорошо занимается в течение семестра, то он хорошо
сдает сессию. Если студент хорошо сдает сессию, то он получает стипендию.
Следовательно, если студент хорошо занимается во время семестра, то он получает
стипендию.
Вы видите, что чисто условные умозаключения по своей форме и по
фактическому совершению в мышлении совершенно элементарны и мы их, как
правило, делаем, не замечая этого. Однако при реконструкции умозаключений в логике
нельзя обойтись без такого рода умозаключений и для этого их приходится изучать. В
символической логике формула, соответствующая чисто условным умозаключениям
(если заменить знак выводимости "├" на импликацию, а запятые – на конъюнкцию,
получается ((A→B) (B→C))→(A→C)), называется законом транзитивности
импликации.
П р и м е р . Чтобы увидеть, каким образом применяются условно-категорические
и чисто условные умозаключения, рассмотрим решение одной из задач о рыцарях и
лжецах.
На нашем острове мы встретили трех туземцев.
X сказал: "Y — рыцарь".
Y сказал: "Если X — рыцарь, то Z — рыцарь".
Кто такие X, Y и Z?
Начнем рассуждать. Предположим, что X — лжец. Тогда суждение, которое
высказывает X, ложно, и следовательно, Y — лжец, но тогда и его суждение ложно, а
следовательно, в силу ложности импликации (см. таблицу истинности для импликации)
получается, что X – рыцарь, а Z – лжец. Но из нашего предположения следует, что X –
не рыцарь. Следовательно, мы получили противоречие. Получилось, что туземец X –
одновременно рыцарь и не рыцарь. Следовательно, наше предполмжение неверно и X не
является лжецом, т.е. он — рыцарь.
Теперь частично реконструируем ход нашего рассуждения.
Обозначим суждения:
"X – лжец" через р.
"X – рыцарь" через q.
"Y – лжец" через r.
Тогда получим следующее рассуждение:
1. Мы предположили, что X – лжец, т.е. р.
2. Далее по определению мы получили, что если X – лжец, то он не рыцарь, т. е.
p
q
.
3. Далее мы доказали, что если X – лжец, то Y – лжец, т.е. p r.
188
4. Затем мы доказали, что если Y – лжец, то X – рыцарь, т.е. r q.
5. Теперь из 3 и 4 мы можем получить при помощи чисто условного
умозаключения, что если X – лжец, то X – рыцарь, т.е. p q.
6. Но из 1 и 5, т.е. из того, что X – лжец, и того, что если X – лжец, то он
рыцарь, мы можем при помощи условно-категорического умозаключения
получить, что X — рыцарь: p q, p├q.
7. Но из 1 и 2, т.е. из того, что X – лжец и если X — лжец, то X — не рыцарь, мы
получим, что X – не рыцарь:
p q p q, |
.
8. Таким образом, мы доказали, что X – одновременно рыцарь и не рыцарь, т.е.
получили противоречие:
q q
.
9. Противоречие означает, что наше предположение ложно, т.е. неверно, что X
лжец, а следовательно, X – рыцарь.
Нетрудно заметить из нашего анализа, что на шаге 5 нашего рассуждения мы
применили чисто условное умозаключение, а на шагах 6 и 7 мы применили
умозаключение от утверждения основания к утверждению следствия.
Без этих умозаключений данное рассуждение проведено быть не могло, а значит
эта задача осталась бы нерешенной.
Заметим, что в нашем первоначальном рассуждении эти шаги не фигурировали
явно. Для того, чтобы заметить их, нам пришлось провести логический анализ
рассуждения. Зачем? Мы знаем, что ошибки по большей части скрываются не в том, что
высказано явно, а в том, что явно не сказано, что умалчивается при рассуждении.
Поэтому реконструкция рассуждений в таком более полном виде показывает нам,
что может открыться в рассуждении внимательному уму, и где возможны ошибки.
Мы уже убедились на примере из Макиавелли, что знание логических
умозаключений позволяет нам анализировать неявную информацию, содержащуюся в
тексте.
Умозаключение, похожее на чисто условное, возможно и для такой логической
связи, как эквивалентность. Действительно, если в схеме чисто условного
умозаключения заменить импликацию на эквивалентность, мы опять получим
правильное умозаключение:
А В, В С ├ А С
Это умозаключение соответстаует известной вам арифметической аксиоме: если
две величины порознь равны третьей, то они равны между собой.
((a=b) (b=с)) ├ (а = с)
§ 2. Разделительно-категорические умозаключения
Разделительно-категорические умозаключения широко применимы в научном и
обычном мышлении, а также в ораторской практике.
189
П р и м е р . Рассмотрим следующую ситуацию. На заседании совета директоров
фирмы "Экалогика" генеральный директор произносит следующую фразу: "Нам
предстоит согласиться на условия банка или стать банкротами. Но мы, ведь, не
допустим банкротства". Ясно, что генеральный директор стремится убедить
остальных в том, что совету следует принять условия банка. Как он это делает? Он
ставит перед советом альтернативу, т.е. говорит о том, существует ровно две
возможности, но одна из них явно неприемлема, следовательно, необходимо выбрать
другую. Это и есть один из видов разделительно-категорических умозаключений.
Ра з д е л и т е л ь н о - к а т е г о р и ч е с к и м и у м о з а к л ю ч е н и я м и называются
умозаключения, в которых одна посылка – разделительное суждение, а другая посылка
и заключение — суждения категорические.
Мы видим, что в речи нашего генерального директора сначала сформулировано
разделительное суждение: "Нам предстоит согласиться на условия банка или стать
банкротами", а затем высиазано категорическое
1
суждение "Мы не допустим
банкротства". Заключение здесь опущено, но мы его легко реконструируем: "Нам
предстоит согласиться на условия банка". Это означает, что схема разделительно-
категорических умозаключений также живет в нашей душе, как и другие логические
понятия и схемы. Мы ее сейчас только выявим и будем впредь относиться к ней
сознательно.
Если обозначить суждение "Нам предстоит согласиться на условия банка" через
р, суждение "Мы не допустим банкротства" через q, то получится сйедующее
умозаключение:
p q,
q
├ p.
Или, обобщая его до схемы умозаключения:
А В,
B
├А
Этот способ умозаключения называется отрицающе-утверждающим или по
латыни modus tollendo ponens.
Обратите внимание, что в этом умозаключении и в его схеме фигурирует обычная
дизъюнкция, обычное "или". Действительно, ведь если рассмотреть первую фразу
нашего генерального директора изолированно, то может случиться и так, что фирма
согласится на условия банка и при этом потерпит банкротство, т.е. два составляющих ее
простых суждения окажутся истинными одновременно.
Вместе с тем эта схема умозаключения останется правильной и при
использовании в ней строгой дизъюнкции:
А В,
B
├А.
П р и м е р . Теперь рассмотрим ситуацию на митинге. Оратор, убеждая своих
избирателей голосовать за его партию, говорит: "Либо мы победим, либо все пойдет ко
всем чертям! Но мы победим!"
1
С той оговоркой, которую мы сформулировали в предыдущем параграфе.
190
Конечно, он хочет навести своих слушателей на мысль о том, что в случае победы
его партии, все не пойдет ко всем чертям, а, наоборот, будет благоденствие и
процветание. Иначе говоря, пропущенное заключение будет следующим: "Все не
пойдет ко всем чертям".
Здесь мы также сталкиваемся с разделительно-категорическим умозаключением, к
существованию которого в душах слушателей и обращается оратор. Давайте
реконструируем это рассуждение. Обозначим суждение "Мы победим" через р,
суждение "Все пойдет ко всем чертям" – через q. Тогда рассуждение нашего оратора
бсдет выглядеть следующим образом:
p q p q, |
.
Или в более общей форме:
A B A B, |
.
Этот способ умозаключения назовем способом утверждающе-отрицающим, или
по-латыни – modus ponendo tollens.
Разделительно-категорические умозаключения широко применяются в практике
рассуждений. Рассмотрим несколько примеров.
П р и м е р . В "Государе" Макиавелли встречается следующее рассуждение: "...
войско, которым государь защищает свою страну, бывает либо собственным, либо
союзническим, либо наемным, либо смешанным. Наемные и союзнические войска
бесполезны и опасны".
Реконструируем это рассуждение. Макиавелли утверждает, что в принципе
государь может защитить свою страну или при помощи собственных (р), или при
помощи союзнических (q), или при помощи наемных (r), или при помощи смешанных (s)
войск. Но при помощи наемных и союзнических государь не может защитить свою
страну (
q r
). Следовательно, он может защитить свою страну только при помощи
собственных или смешанных войск (p s).
Таким образом, наше рассуждение имеет следующую форму:
p q r s,
q r
├ p s.
Если же заменить наши суждения метапеременными, то мы увидим, что
рассуждение проходило по нашей схеме разделительно-категорического
умозаключения, способ отрицающе-утверждающий. Действительно, перегруппируем
члены дизъюнкции p q r s как (p s) (q r) (смысл утверждения от этого не
изменится), заменим суждение p s на А, а с суждением
q r
проведем следующую
операцию: по одному из законов логики это суждение эквивалентно суждению ,
заменим в последнем суждении q r на В. В таком случае будет обозначаться как
B
Тогда получится
А В,
B
├А