Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Возьмем математическое ожидание случайной величины рЬ

где — нормированная ошибка.

Поэтому

(р8

)=р

Л/

В § 14 показано, что дисперсия Б (I)

.и «2)=1.

Следовательно,

ц«=Д/(рв«). (1УУ.6)

Для практического применения напишем

-1

(IV. '.7)

Формула (IV.47) имеет исключительно важное значение в прак-

тике геодезических работ, так как позволяет наиболее надежно ха-

рактеризовать точность измерений.

В качестве истинных ошибок 0, чаще всего используют невязки,

т. е. истинные ошпбкп функций, теоретические значения которых

известны.

Пусть х, у, . . ., и — измеренные значения величин, истинные

значения которых Л', У V функционально связаны между

собой следующим образом:

ф(А', Г, . . ., Г)=0. (IV.48)

Для истинной ошпбкп бд, ;>той же функции с измеренными зпаче-

виямп. т. е. для ср (я, р, . . ., ц), напишем

Оф=Ф (*•

• • . ")—?(-*» I', . . V).

Как впдпо, если какая-либо функция ф приведена к виду (1У.48),

т. е. к равенству, в котором все его члены — в левой части, а в пра-

вой частп — нуль, то значение этой функции с измеренными значе-

ниями аргументов будет ее истиппой ошибкой, называемой в геоде-

зии невязкой и обозначаемой обычно буквой т. е.

(*,

= И'

Вес Р

функции <р находят по правилам, изложенным в § 44.

Если имеется п функций, т. е. п значений невязок 1Р, то по фор-

муле (ТУ.47) можно вычислить среднюю квадратпческую ошибку

единицы веса и, т. е.

„./.ЕЕ!.. „V,,)

151)

В качестве функций

<р

необходимо брать такие, которые не содер-

жат исходных данных. В противном случае невязки будут функ-

циями не только результатов измерений, но и исходных данных,

и на образование невязок будут действовать не только ошибки из-

мерений, но и ошибки исходных данных. Так, например, для оценки

точности измеренного угла в триангуляции следует использовать

невязки суммы углов треугольников, но пе рекомепдуется пользо-

ваться азимутными и координатными условными уравнениями.

В качестве примера использования формулы (IV.49) приведем вы-

вод формулы итальянского геодезиста Ферреро, общепринятой для

оценки точности измерения углов в триангуляции.

Обозначив через

углы сферического треугольника, иапишем для

любого /-го треугольника

И'*

= ч*(Р„ Р,,

Рз)

= (р1-ЬРг-гРз)«— г,—180

где г,-— сферический избыток треугольника (1=1. 2 п).

Счптая углы равпоточными с весом измеренного значения угла

р = 1, т. е. счптая ошибкой единицы веса значение средней квадра-

тпческой ошибки измеренного угла, находим вес Р

{

функции <р,-

-^-=1 +

+ 1=3,

Польв\ясь формулой (1У.49), находим

Р5Г г/ Т1«

л окончательно

где тр — искомая средняя квадратпческая ошибка измерения углов.

Формулу (IV.50) называют формулой Ферреро.

Используя формулы (1У.49) и (1У.5), можно получить характери-

стику систематических влияний для тех случаев, когда все из-

меренные величины однородны, измерялись одинаковым числом

приемов п, делившихся на примерпо одинаковое число групп К.

В таких случаях значение р, полученное по формуле (IV.49), будет

в формуле (1У.5) величиной М, э именно

т\ тг

Г+-Т-

Зная М. среднюю квадратическую ошибку одного приема тд

(но внутренней сходимости приемов), п и К, нетрудно получить

из (1У.5) величину т^. Чаще всего пенользуют именно такой путь

получения характеристики та.

4. В ы ч и с л е н и е р н о внутренней с х о д п м ости

результатов измерений. Рассмотрим случаи, когда из-

вестны только результаты измерепий и их веса, полученные косвен-

ным путем; средние квадратичеекпе ошибки измерении неизвестны.

Напишем два равенства

8*=XI—Л,

где Л' — истинное значение измеренной величины, х

(

— результат

измерения одним приемом их — среднее весовое пз п приемов (* =

= 1, 2 п).

Сложим эти равенства

где 0^ — истинная ошибка среднего весового.

Далее напишем

р,е! =/>,Е|-ЗО-РЛ-,-;

[рвч -е|

[р]

+ - 2в- [р. ]. (IV.51)

В последнем равенстве сумма [рг>1 равна нулю. Действительно,

1'1=Х—Х1,

Р11Ч

= Р1Х—Р{Ц,

[Р1]=х \р) — [рх]

;

принимая во внимание (1У.23), получаем

[рг]=0. (IV. 52)

Теперь равенство (1У.51) можно написать так:

[Рв81=,[рг81

+ в|[р]. (IV. 53)

Рассмотрим математическое ожидание левой и правой частей ра-

венства (IV. 53)

ЛГ

(И*]) =2 М (р.Вг) -лл/ (р62).

1-1

На основании (IV.46) напишем

л/Щ>е

1)«л|А (

,у

Далее с учетом (1У.53)

м ([/»*])+[/>! и (е|)=«л/ (0|). (^'.55)

155

Так как 8; — истинная ошпбка х то, очевидно.

где Л/ — средняя квадратпческая ошибка весового средиего х.

Следовательно, на осповашга формулы (IV.35)

Принимая во внпмапие равенства (1У.53). (1У.54). (IV 55) н (1\

,5Ь),

получаем

или

= Л/

откуда

« 1

Величину Л/ ([&-) заменим приближенно на Тогда

[Р

г5

1 _ 1Р"

П. наконец.

Формула (IV.53) решает поставленную задачу. Эту формулу назы-

вают формулой Бссселя.

Сравнительная характеристика различных способов

вычисления ошибки единицы веса

Наиболее просто ошибку едппицы веса можно определить по

формуле (1\

.43), когда известпы средние квадратические ошибки

результатов измерений.

Надежно величину р можно получить по формуле (1У.49). по пе-

вязкям IV, ие отягощенным ошибками неходпых данных, и еслп

число невязок достаточно большое.

Сравним формулы (1У.58) и (1\\49). Каждая из них имеет своп

достоинства и недостатки. Еслп число невязок большое, например

порядка нескольких сотен, т.о доверительные Гранины для оигабкп

единицы веса, иолучеппой по формуле (IV.49), будут достаточно

тесвыми. Однако доверительные интервалы будут относиться к не-

которому средиему комплексу условий п не будут отражать разли-

чие условий, т. е. конкретность разных комплексов. В этом отвоше-

пий формула (IV.58) имеет преимущество, так как она отражает

конкретные условия измерении. Недостатком этой формулы является

обычно малый объем используемой информации. Следует учесть еще

о обстоятельство, что на оценке точности по внутренней сходи-

мости неблагоприятно отражаются односторонне действующие ошиб-

ки измерений, уменьшающие получаемые ошпбкп единицы веса. Но,

с другой сторопы, указанное обстоятельство позволяет выполиять

анализ различных источников ошибок. Отсюда следует, что ири

наличии ошибки едиппцы веса, определенной по формуле (IV.49).

необходимо применять и формулу (IV.о?) с целью получения материа-

ла для апалпза систематических влияний и влияния ошибок исход-

ных данных.

§ 47. УСТАНОВЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ

ПРИ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Доверительные границы для истинного значения измеренной ве-

личины и ее средней квадратпческой ошибки устанавливают также

в зависимости от заданной доверительной вероятности и закона

распределения ошибок. В свою очередь, закон распределения при-

нимается в зависимости от числа «степеней свободы», использован-

ных при получении ошибки единицы веса. Обозначим это число

через г.

При оценке точности по внутренней сходимости г = « — I.

При оценке точности по формуле (1\

.49) число степеней свободы

равно числу независимых певязок. Независимыми невязками явля-

ются ошибки независимых функций, т. е. таких функции, ни одна из

которых не может быть получепа как следствие остальных. Так. на-

пример, в двух смежных замкнутых нивелирных полигонах г = 2.

Еслп эти полигоны имеют общую границу, то невязка по внешнему

замкнутому контуру этих полигонов пе является независимой, так

как может быть получена как сумма двух певязок смежных полиго-

нов. Одпако для вычисления ошпбкп единицы веса следует [Исполь-

зовать все возникающие невязкп.

§ 48. ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИИ

ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Рекомендуется следующий порядок вычислений (табл. 19).

1. В графу 2 выписывают результаты измерений х

и в графу

3 — пх веса р,-. Вычисляют [р].

2. Выбирают пекоторое приближенное значение измеренной ве-

личины л:

и вычисляют разности х

{

— х

= е

{

, записывая пх

в графу 4. Значение аг

выбпраюг так, чтобы все разности е

{

были

положительными.

3. В графе б вычисляют произведения и сумму 1ре].

4. Вычисляют

№

151)

ошибку округления Д,-?.-*, ^-точное (неокругленное)

значение. _

5. В графе 5 вычисляют у? =

лг„

- ** "

в г

е 1

Разводе-

''"^Вычисляют сумму !/>*/>] и проверяют контрольное равенство

[рЬ Таблица 19

(Форма)

реппя

Ч 1

(

е2

Р; V?'

[Ре]

\Р\

[Р]

|Р«]

[р)

[ре

]

[ре!

[Р)

[р ^О')^

\р ер

*о

Ао

7. В графе 8 вычисляют сумму

1-1

л в графе 9 — сумму

1-1

8. Проверяют контрольное равенство

но

Следовательно,

г®

=х

-х,=г

-Ь-^- — х, = (х

-х,) + -М

ШГ'

плн

151)

*о—**

—«I-

о (Р

[рр}

<>. Вычисляют ошибку единицы веса

Пример. На геополнгоно МИНГАнК одна и та же лшпш н™™^ лп^

дальномером ИС-2 15 раз (табл. 20) в разное «реия раз^" "З ирпсмов

!„,). Принимая веса отдельных измерений вропорпвональны^ вд лрпТмГ

вычисляют сроднее весовое и его среднюю квадратаяеекую ошибку (?нр?дол^

характеристику систематических влияний не удалось). * определить

Таблица 20

736,30

736.25

736,37

736,48

730.26

736,48

736.39

736,37

736.36

736,48

736,50

736,52

736.37

736.40

736.50

•г

736.25

[р*1

1Р1

= + 14.5 см

736.395 м

До =

-г

0.005

см

а.

0,6

1,0

0,5

1,0

0,6

1,0

1,2

0,3

1,2

0,6

0.3

I к

И .

-4-12

+23

-4-23

+14

+12

+11

+23

+25

+27

+12

+15

+25

" к

О «м |

» I

+9,5

+14,5

+2,5

-8,5

+13,5

—8,5

+0,5

+2,5

+3,5

—8,5

—10,5

-12,5

+2,5

-0,5

—10.5

+3,0

+12,0

+11,5

+1,0

+23,0

+8,4

+12,0

+13,2

+6,9

+30,0

+16,2

+7,2

+9,0

с.

+5,7

+8,7

+2,5

-4,2

+13,5

-8.5

+0,3

+2.5

+4,2

-2,6

-12,6

—7,5

+1,5

-0,3

-3.2

(/>]

= 11.1

= + 160.9

-38.9

+38.9

М=0

[ре=} =

- + 3115.3

ГР!

=2332.3

=783.5

Контроль:

{р1-о

] = =

13.3 -2332,3 = 783.0.

[рг°]

[р1

0.005

см -11,1

.5 см.

УФ"-

/.О

М =

=2.3 см.

151)

§ 49. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ

РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В практике геодезических измерений нередко приходится изме-

рять большое число однородных величин, причем каждую величину

измеряют для контроля только два раза. Удовлетворительно оцс-

ивть точность каждой измеренной величины при числе измерений

п = 2 невозможно. Легко показать, что применение распределения

Стьюдента при п

—

2 для установления доверптсльпых интервалов

с принятой выше (0,99) надежностью дает лишь формальный ответ.

Возппкает вопрос, нельзя ли, пользуясь всеми разностями двой-

ных пзмерепин однородных величии, оценить точность измерений?

Пусть некоторые однородные величины X,, А'

, . . ., А'„ изме-

рены каждая дважды и получено в результате измерений

* " I *

аг

» • •

)

первого

(П".59)

второго ~ '

Пользуясь рядами (1У.59), можно вычислить разности двойных

измерении

(Я.бО)

и использовать эти разности для опенки точности.

В практике обычно встречаются два случая: все измерения

и х" равноточны и случай, когда измерения в парах равноточны,

по пары между собой перавпоточпы.

Рассмотрим первый случай.

Пусть все всличппы х\ н х" в рядах (IV.59) равноточны. Если бы

измерения были безошибочными, то, очевидно, разности х'

{

— х]

в правой части каждого равенства (IV.60) были бы равны нулю.

Следовательно, каждая разность есть истинная ошпбка самой

разности п для средней квадратпческой ошибки т

разности с/ можно

иаиисать

т* = и {&)

и приближенно

где п — число всех разностей.

Обозначим среднюю квадратическую ошибку одного измерения

через т

и по правилу для средней квадратпческой ошибки алге-

браической суммы равноточных слагаемых напишем

т</=т

Следовательно,

151)

откуда

ь-У^БГ' (IV.®)

Наиболее надежные значения а-, величин Х„ каждая из кото-

рых измерена два раза, вычисляют как средине арифметические из

соответствующих результатов измерений х\ и

х"

{

т. е.

~ '

2 '

Так как т

' = т*» = то на основании формулы (IV.62) для

средней квадратпческой ошпбкп т- вычисленных значении вели-

чин А', паппшем

=ТТ

Т> Цг-

Если имеем два равноточных результата измерений одной и той же

величины, выполненных одинаково, то можно полагать, что пх си-

стематические ошибки близки одна к другой п систематическое

влияние разности таких результатов будет в значительной мерс по-

гашаться. Поэтому систематические ошибки в разностях двой-

ных результатов измерений называют остаточными систе-

матическими ошибками.

При достаточпо большом числе п двойных нзмереппи среднюю

величину б

ср

остаточной систематической ошибки в разностях г/,-

па основании компенсационного свойства случайных ошибок нахо-

дят как среднее арифметическое нз этих разпостей, т. е.

Величину 6

ср

прп обработке двойных измерений исключают

из разпостей и находят велпчипы е

{

. = б

ср

. (П'.Гм)

По свойству уклонений отдельных чисел от пх средпего ариф-

метического будем иметь

[е] =0, (IV. Г,6)

в чем на основапип равенства (1\

.64) легко убедиться:

Так как величины <1

(

получены из измерений, то уклонения ь

{

можно рассматривать как уклонение от средней разностей и по

известной формуле Бесселя (IV.581 для средпей квадратическсй

ошибки та любой разпости д; написать

151)

для средней квадратпческой ошиокн одного измерения отсюда

Л«Ч'КО ПОЛУЧИМ

т<{ -I / |Т2)

тдг=

"?Г

2 (п — 1)

•

Вычисление суммы (е

1 контролируется по формуле

И = (|\\

с>)

вывод которой аналогичен выводу формулы (IV. 11).

Для вычисления средней квадратпческой ошпбкп одного из-

мерения мы получили формулы (1\\62) н (IV.68). Поэтому возникает

вопрос: прп каком систематическом влиянии б

ср

следует пользо-

ваться формулой (1\

.68)?

Еслп в качестве условия, прп котором можно не применять фор-

мулы (1\\65) и (1У.63). принять неравенство

то на оспованин соотношения между средней и средней квадратпче-

ской ошибками напишем

>< . ^о-ЛШ-

ллп

!{<*] | ^ 0.2Г. ([ в Л, (П

.70)

где 1И1«|«М + |<7-|+ ••• +К1-

Если условие (I\

.70) окажется выполненным, то для получения

характеристики случайных влиянии на одно измерение следует

пользоваться формулой (IV.62).

Заметим, что еслп |б

ср

|^4- т

, т. е. если |

^ 0,25 [|

то причины ноявлепия такого значения систематических влияний

и способы их учета необходимо специально исследовать. Можно от-

метить также, что но величине 6

ср

нельзя судить о систематических

ошибках измерений х и х". так как б

ср

представляет собой среднее

8вачепие лишь остаточных систематических ошпбок.

Таким образом, но двойным измерениям можно нолучить оценку

лишь случайных влияний, т. е. только

§ 60. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ

ДВОЙНЫХ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Пусть каждая пз однородных величии А\ И — I, . . п) из-

мерена дважды и независимо, причем измерения в каждой паре рав-

ноточны. а пары между собой нсравноточпы. Вычислим разности <7,

в каждой паре измерений

I » т