Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

обо»о внимания и оолыпоп осторожности, так как ценность каж-

результата при этом значительно повышается — ои может

'?сс№ иснпую информацию.

Ти\ательний анализ результатов измерений общих аргументов

^допустимых иевязок и сопоставление этих невязок поможет обна-

ружить сомнительные измерения, которые иеобходимо повторить.

В заключение заметим, что наиболее надежный путь установления

допусков как для внутренней сходимости, так и для певязок — до-

статочно обширный производственный материал и вывод нп ОСНОВА

этого соответствующих характеристик случайных ц систематических

влияний. При малом опыте применения новых измерительных средств

установление допусков — задача, которую можно выполнить только

вриближетю. Если процент забракованпых результатов спльио от-

личается от 1 %, то это признак неудачного установления допусков.

Последовательным уточнением допусков необходимо добиваться,

чтобы средний процент отсеянных результатов приближался к 1%,

поскольку принято Р =± 0,99.

Часть вторая

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Г лава V

ОСНОВЫ МЕТОДА

НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

§ 63. СУЩНОСТЬ ЗАДАЧИ СОВМЕСТНОГО УРАВНИВАНИЯ

НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

Теория ошпбок измерений дает правила математической обра-

ботки многократных измерений одной величины. По этим правилам

задача обработки измерений решалась бы полностью, если бы для

достижения пели измеряли только необходимые величины (напри-

мер. в треугольнике с одной известной стороной измерены только два

угла). Однако в геодезической практике, кроме необходимых, изме-

ряют всегда избыточные величины, связанные математическими со-

отношениями с необходимыми (например, в треугольнике измеряют

трп угла). Избыточные измерения повышают точность определяемых

величин и позволяют производить наиболее падежную оценку их

точности иа основании математических связей между измеренными

величинами. Кроме тою. получаемые невязки обеспечивают надеж-

ный контроль измерении и их отбраковку.

Правила теорпп ошибок для получения папболее надежных значе-

нии пз многократных измерений отдельных величин не учитывают ма-

тематических связен между этими величинами. Поэтому вычисленные

по формулам теории ошибок значения измеренных величин прихо-

дится прп совместной их обработке исправлять, учитывая прп этом

математические связи между шиш. В этом п заключается основная

задачи второй части данного курса.

Заметим, что отыскание значении измеренных величин но пра-

вилам второй части курса и называется уравнивание м.

иногда «уравновешиванием», но этот термин представляется

веудачпым, так как после «уравновешивания» даже равноточно

измеренные величины почти всегда становятся перавноточнымп.

Естественно, возникает вопрос: нельзя ли задачи, решаемые пер-

вой и второй частями курса, объединить? Это сделать можно, но за-

дача значительно усложнится, п выгоды пе получим никакой. Дело

заключается в том. что принятый раздельный порядок уравнивания.

весьма существенно упрощающий задачу, дает нрп :>тп.м такие же

окончательные результаты, как при совместной обработке всех ре-

зультатов измерении (см. § 56 и 77). Учитывая сказанное, во всех

последующих рассуждениях, кроме указанных § 56 и 77, будем

предполагать дли каждой измеренной величины только по одному

результату измерений, в качестве, которого рассматриваются сред-

ние весовые (чаще всего просто средние арифметические) значения

из многократных измерений.

Наиболее важно для математической обработки измерении то,

что между измеренными величинами существуют математические со-

отношения. которые в результате обработки должны быть удовле-

творены. В противном случае избыточные измерения окажутся бес-

полезными. Таким образом, в математическом смысле задача совме-

стного уравнивания нескольких измеренных величин заключается

ь следующем.

Пусть для решения некоторой задачи измерено п величии, истин-

ные значения которых обозначим через X,. . . Л

„. Результаты

измерений х

от их величии получены соответственно с ве-

сами р

. . ., р

. По условию задачи известно, что измеренные

величины связаны уежду собой уравнениями

Ф1(Х\ Л*

)«0 |

(V.!)

Фг(А'

Л"в)=0 1

Математические соотношения между измеренными величинами,

учитывая при этом исходные данные, обычно можно выразить раз-

личных и уравнениями, зависимыми между собой. Пз таких уравне-

нии можно образовать несколько систем, состоящих из независимых

уравнении. После выбора одной из этих систем остальные уравне-

ния будут следствием уравнений выбранной системы п поэтому не

должны приниматься во вппмаиие.

В системе (\М) предполагаются только независимые между собой

уравнения, число которых раьпо числу избыточно измеренных вели-

чии г. Заметим, что эти уравпеппя называются «у слов н и м п

у р а в н е и и я м п». Так как число избыточно измеренных величия

есть только часть числа всех измеренных величии, то всегда

г<п.

Следовательно, система условных уравнений (V. I) является не-

определенном, т. е. содержит уравпений меньше, чем неизвестных,

и поэтому допускает бесконечное множество решений.

Получив результаты измерений, прежде всего следует проверить,

нисколько онп удовлетворяют условным уравнениям (У.1). С изме-

ренными значениями величин получим

<М*1 *л)-—

(•*•,. . • И','

17".

Так как измерения содержат ошибки, то в правых пастях ра-

венств (У.2). как правило, будут получены величины, отличающиеся

от нуля. т. е. н о в я з к и И'.. . . ., IV,.

Первое, что должно быть выполнено при уравнивании, — окон-

чательиая отбраковка измерении, для чего проверяют допустимость

всех невязок в соответствии с

52. Результаты, отягощенные гру-

быми ошибками, выявляют путем сопоставления недопустимых не-

вязок и их бракуют и перепаблюдают.

Главная задача, которая должна быть решена при уравнива-

нии. — устранение всех невязок, для чего, очевидно, необходимо

исправить результаты измерении. Другая задача — оценка точности

но материалам уравнивания.

Обозначая исправленные результаты измерении через

г/+17 (|'=»1, .. л),

где е

{

—

искомые поправки, получаем

Заметим, что значения х

+ называют уравненными

значениями измеренных величин. Система равенства (У.З)

так же. как система (\М), содержит п неизвестных п г уравнении

и, поскольку г < п. она представляет собой неопределенную систему

уравнений, допускающую множество решений.

Очевидно, что задачу ликвидации иеьязок можно решить мно-

гими путями. Какому же из всех возможных путей отдать предпоч-

тение? Идеальным решением задачи было бы получение поправок

равных по абсолютной велпчпис ошибкам измерений и противополож-

ных пм ло знаку. Однако такая задача неразрешима.

Итак, поправки V

должны, во-цервых, устранять невязки н, во-

вторых, по абсолютной величине должны быть возможно ближе

к истинным ошибкам измерений. Нетрудно понять, что прп выполне-

нии второго требования первое требование обеспечит тенденцию

поправок иметь знаки, в большинстве своем противоположные зна-

ки м ошибок.

Сделаем еще некоторые дополнительные замечания.

Условием и причиной возникновения за-

дачи уравнивания является наличие избыточно измерен-

ных величин п неизбежность малых ошибок измерении. Прп отсут-

стьпп избыточно измеренных величин пе было бы надобности в этой

задаче, так как каждая искомая величина находилась бы однократно,

нельзя было бы составить условные уравнения (\

.1) и не возника-

ла бы речь о невязках. Однако без избыточно измеренных величин

нет надежного контроля наблюдений и вычислении, а также одного

из эффективных путей повышения точиости определений.

Цель у р а в и и в а и п я — найти такие поправки к изме-

ренным зиачепиям которые позволили бы ликвидировать пе-

176

вязки И'/ в уравпепиях (У.2). Следствием устрапепня повязок будет

однозначность, т. е. равенство между собой значении каждой ИСКО-

МОЙ величины, безошибочно вычисляемой различными путями, чем

объясняется и само название задачи. Кроме ликвидации невязок,

цель уравнительных вычислении — повышение точности определя-

емых значений всех искомых величии.

§ Б4. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Для решения поставленной выше задачи выясним некоторые

вероятностные свойства абсолютных значений ошибок измерении,

которые можно использовать прп нахождении системы искомых по-

правок. При этом будем учитывать только случайные ошибки из-

мерений.

Найдем вероятность некоторой совокупности ошибок ..., Д„.

Согласно теореме умножения вероятностен, искомая вероятность

равна

р/д, Д)

1*0. (V/,)

/ . . Ьп) - (уГ^П

"<п

Спрашивается, какая из всего множества возможных совокуп-

ностей ошибок, образующих данную систему иевязок, будет наибо-

лее вероятной? Из равенства (У.4) нетрудно получить ответ на по-

ставленный вопрос: наибольшему значению величины Р (Д

. . Д„)

соответствует наименьшее абсолютное зиачепие показатели степени

в правой части равенства (У.4), т. е. соответствует соблюдение ус-

ловия

л"

7,—-=ппп. (У.о)

тг

1-1

Учитывая полуденное условие (У.э), приходим к таколгу реше-

нию: если для поправок поставить условие

Я .2

(У.6)

то можно ожидать, что совокупность абсолютных значений попра-

вок у, в вероятностном отношении будет паплучшпм образом при-

ближаться к совокупности абсолютных зпаченнй ошибок. А так как

по условиям (У.З) поправки должны ликвидировать невязки, явля-

ющиеся истинными ошибками функций ф,-. то можно ожидать, что

и по знаку поправки в большинстве своем должны быть противопо-

ложны нстипным ошибкам соответствующих результатов измерений.

Условие (У.6) удобнее представить и следующем виде, умножив

•»

все величины — па р

,П

= (У.7)

12 Зш.'пз 1140

177

Умножение функции на постоянную величину не изменит коордп-

нат точки минимума. Как известно, величины= ^ называются

тт

веса м и и з м е репных в е л и ч и н.

Условие (У.7) является математическим выражением н р и ц.

дина наименьших квадратов.

Итак, пз всего множества возможных решений системы уравне-

ний (У.З) мы выбрали решение, удовлетворяющее условию (У.7),

т. е. удовлетворяющее принципу наименьших квадратов. Принцип

наименьших квадратов дает однозначное решение уравнений (У.З)

и обладает рядом преимуществ. К обоснованию этого принципа мы

вернемся в §60. Здесь же отметпм следующие его достоинства:

1) паличне в условии минимума вторых степеней I?,- ограничивает

круппые поправки, поэтому при равноточно измеренных велнчппах

поправки более пли менее равномерно распределяются между ре-

зультатами измерений;

2) при нерявноточных результатах измерений веса р

{

при у;

уменьшают поправки к более точным и, наоборот, увеличивают

поправки к менее точным результатам.

Оба отмеченных свойства вполне согласуются с требованиями

здравого смысла, что, несомненно, есть убедительный довод в пользу

принципа наименьших квадратов.

Простейшей иллюстрацией того, что отыскание уравненных зна-

чений неизвестных по принципу наименьших квадратов приводит

к иаилучпшм результатам, может служить следующий вывод фор-

мулы весового среднего, полученной в нервои части книги па оспова-

вии других соображений (см. § 42).

Пусть пекоторая величина А' измерена п раз п получены резуль-

таты х„ . . ., х

с весами соответственно . . ., р„. Найдем наи-

более

надежное зпачепне

л-

по принципу наименьших квадратов, т. е.

под условием \риЦ = тт.

Так как

VI =х — 27,

то условие (У.7) можно представить так:

/ И =21

Р1

(* —Х/)

«11».

1-1

Как известно, для выполнения этого услоиня необходимо, чтобы

или

151)

V 2М'-*«)*=0.

1-1

Теперь нетрудно получить

Я 11

2-е V к-2 V ,

ЧХ1

т. е. формулу для весового среднего.

Как впднм, к преимуществам метода наименьших квадратов

можно отнести еще его общность.

Важиое достоинство метода наименьших киидраюв еще в том,

что задача уравнивания решается на его основе наиболее просто

по сравнению с другими методами уравнивания.

§ 65. ОСНОВНЫЕ ПУТИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ УРАВНИВАНИЯ

Итак, совместное уравнивание измерении нескольких величин

по методу наименьших квадратов является задачей иа условный

экстремум.

Требуется пайти минимум функции

(р1-21=Ш1П,

если переменные связаны независимыми условными уравнениями

(У.З).

Для решения этой задачи применяют два основных способа:

способ Лаграпжа с неопределенными множителями и способ абсолют-

ного экстремума, для применения которого все измеренные величппы

Х{ представляют в виде функции некоторых независимых неизвест-

ных параметров.

Существуют и комбинированные способы.

Первый способ уравнивания, основанный на способе Лаграпжа,

будем называть к о р р е л а т и ы м. Этот способ ранее называли

в литературе еще способом условий.

Сущность второго способа заключается в следующем.

Выбирают такие независимые неизвестные 7\, . . ., Г* — пара-

метры *, функциями которых могут быть выражены все измеренные

величины А\- (г = 1, . . .. п). Пусть указанными функциями будут

Д'/=/|<Л Тк)

(»

"). (У.8)

Тогда можпо паппсать

('и . - 'а) («=

")• (

-9)

где

. — нзмереппое значение величины X,; Л, — уравненные (не

истинные!) значеппя выбранных параметров (V = 1, 2, . . ., А).

Далее напишем

ьч

=/.•('!

)

- и =

п).

(V. Ю)

* Независимость неизвестных Т

. . . ., 7* следует понимать в тон смысле,

что он» по связаны между собой НИКАКИМИ математическими соотношениями.

12*

179

Таким образом, все искомые поправки зависимые между со-

бой. можно злмоншь функциями независимых неизвестных /. Тогда

условие 1рг

] — пш. учитывая равенства (\\10), можно записать

в виде

Л (Л С1- Ып.

<-1

т. е. задачу на условный экстремум сведем к задаче на абсолютный

экстремум.

Лторой способ уравнивания будем называть и а р а .метри-

ческим. Этот снособ в геодезической литературе встречается

еще под пазванпем «способ необходимых н с и з в е с т-

и ы х» *. Названия «способ условий» и «способ необходимых неизвест-

ных» предложены были Б. С. Кузьминым.

Так как оба основных способа уравнивания эквивалентны н

являются лишь двумя вычислительными приемами решения одной

и тип ж« задачи, то равенства (У.8) должны выражать существующие

между измеренными величинами Л" зависимости (V. 1). Поэтому пз

равенств (У.8) должны как следствие получаться равенства (V. П.

Покажем, что для этого должно быть удовлетворено равепство

и—Л- = г.

где п — число пзмереиных величин Л":

к — чпело необходимых неизвестных Т;

г — число условных уравнений ГУ.1).

Напишем систему равепств (У.8) в впде двух групп:

1-я группа

) ]

-V

= /*('/' 1. т

2-я группа

Л'*.1=/АМ Т.з, . . ., Т

А'я — /я

(7*1,

, . . ., 'Гц). ,

Все неизвестные Т пз 1-й группы равенств (У.11) можно выра-

зить в виде функций неизвестных Л"|, . . Х*

I-

(>'

2, . . ., к). (У.12)

* В геодезической литературе применяли еще следующие пазвапия ука-

занных двух основных способов уравнивания: первым — «способ условных из-

мерений» и второй — «способ посредственных измерении», которые были заим-

ствованы пз переводных трудов немецких геодезистов 150-летней давности. Но

эти названия нельзя призвать удовлетворительными, так как:

1) объективно существуют просто измерения, а не «условные» пли «посред-

ственные» нзмерешш;

2) результаты любых измерений можно уравнивать любым па этих способов,

поэтому связывать способы уравнивания с «видами измерении» неправильно.

130

Подставляя во 2-ю группу равенств (У.11) вместо Т

найденные в (\

.12) их выражении /\.. получаем п — к уравнений,

связывающих между со Поп неизвестные А"

. По в § ЬЗ установлено,

что число независимых условных уравнений, включаемых г. сислг-му

(V.!), должно быть р^вно числу избыточно измеренных величин,

т. е. г.

Поэтому

= (V. 13)

что и требовалось доказать.

Вывод, полученный в равенстве (\'.13). можно сформулировать

и таким образом: число необходимых неизвестных Т, независимо

от того, выбирают их из числа измеренных или неизмеренных вели-

чин, должно быть равно числу величин X. которые необходимо из-

мерить, чтобы однократио найти значения всех искомых величин.

Пусть, например, требуется определить на плоскости ио.тожеипе

пункта относительно двух пунктов, зада иных плоскими прямоуголь-

ными координатами х

1л

</, и х

, у». В этом случае могуг быть изме-

рены пять элементов треугольника — три угла и две стороны, пз

которых, очевидно, необходимо измерить любые два элемента. В ка-

честве необходимых неизвестных Т можно выбрать любые два эле-

мента треугольника, но можпо выбрать, например, искомые абс-

циссу х

н ординату у.

определяемой вершины треугольника, т. е.

тоже две величины.

Как указывалось в первой частп курса, в измерительной прак-

тике никогда ис ограничиваются измерениями необходимых вели-

чин, а всегда измеряют п избыточные. Так. в геодезических работах

стремятся в треугольнике измерить три угла, хотя для его решения

при наличии одной известной стороны достаточно двух: теодолитные,

высотные и ппвелирные ходы всегда опираются ис менее чем па два

опорных пункта; ирямую засечку осуществляют не менео че.ч тремя

направлениями, хотя достаточно двух; обратная засечка осуще-

ствляется не менее чем четырьмя направлениями, в то время как

достаточно трех; в сплошной сети триангуляции выполняют вдвое

больше необходимых измерении и т. д.

Разумеется, число необходимых и чпело избыточных величин

зависят от условий и постановки задачи, от того, что требуется

получить в результате уравнивания.

Многократные измерения отдельных величии, как известно, по-

вышают их точность лишь до известной стеиепи, после чего измере-

ния становятся .малоэффективными из-за того, что влияние некото-

рых источников систематических ошибок полностью исключить или

компенсировать невозможно. Измерение же избыточных величин

является следующим существенным шагом в повышении точности

определяемых величпн, так как оно позволяет использовать для

определения искомых величин результаты измерений, выполненных

в других условиях. Например, измерение третьего угла в треуголь-

нике существенно повышает точность всех углов, если учесть, что

для каждого угла моишо получить два значения: непосредственно

измеренное н вычисленное как дополнение до 180° к сумме осталь-

ных двух углов плоского треугольника. Рассмотрим подробнее ос-

новные способы уравнивания.

§ 66. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ УРАВНИВАНИЯ

Выбирают необходимые неизвестные 7*,, . . 7'*, через которые

выражают измеренные величины Л', Х

в виде функции

=П(Т

, Т

)

= 1, 2 «). (V. 14)

Равенства такого вида называют п а р а м с т р н ч е с к и м и

уравнениями связи.

Выбор необходимых неизвестных — важный момент в этом спо-

собе уравнивания, так как от него зависит степень сложности ре-

шаемых уравнений, я следовательно, и объем вычислительных работ.

Обозначим уравненные значения намеренных величин через х\ =

—

(

+ у,, где г,- — поправки к измеренным значениям х

{

, получен-

ные лз уравнивания, а уравненные значения необходимых неизвест-

ных — через I п напишем

*1+«'|-Л(/|. • • <*) 0'.15)

или

Щ=П ('!> • • '*)-*«

(«

= 1. 2 и). (У.1С)

Теперь условие

[/"•'-] = П1111

можно предегашпь в виде

2! Л {/» ('1

«*)

-*,}= =

пип.

(V. 17)

В левой части выражения (\\17) неизвестны точько величины I

поэтому его можно написать в впде некоторой функции/* (/, 1

т. с.

^(/х

1*)

= тт. (У.40

Таким образом, решение задачи уравнивания по способу услов

ного экстремума свелось путем введения необходимых неизвестных 7

к задаче иа абсолютный экстремум. Для этого нужно, как известно,

составить определенную систему уравнений

дР

-^- =

(\"=

,4),

(V. 10)

и« которой могут быть получены неизвестные I 1

Однако, если уравнения (У.

19)

имеют нелинейный вид. то реше-

ние их иочти всегда оказывается практически невозможным. По-

этому задачу решают следующим образом.

Для параметров находят тем или иным путем приближенные

значения причем с такой точностью, чтобы можно было привести

функции /, 1

) = х

к линейному виду путем разло-

жения в ряд Тейлора, в котором ыожио пренебречь членами разло-

1*2