Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

число ошибок

1—10

11-20

'21-30

31—40

41-50

В со г о

106

103

107

500

II. По знакам оишбки округлений распределялись следующем образом:

положительных (включай и пулевые) .... 238

отрицательных 202

III. Сумма положительных ошибок . . .+5011 ед. 7-го знака

Сумма отрицательных ошибок . .—6517 сд. 7-го знака

Алгебраическая сумма: —606 ед. 7-го знака

Среднее арифметическое из алгебраической суммы ошибок—1,2 ед. 7-го

знака.

IV. Далее все ошибки округлении сгруппированы в 17 групп, в шестнад-

цати во 30 ошибок и н одцой 20 ошибок. Для каждой группы вычислена сред-

няя квадратическая ошибка округления (табл. 14).

Таблица 14

М группы

Сумма квадратов

ошибок по группам

[Ч]

Число

ошибок в

группе

Средняя квадратиче-

скаи ошибка

округлсимл тп

Вес групп

21 837 30

1,0

24 247

1,0

23 618

1,0

31 006

1,0

30 674

1,0

20 547

30 30

1,0

29 044

1,0

22 830

28 1,0

22 556

28 1.0

21 272

1.0

32 205

1,0

21 009

1,0

25 295

1,0

26 963

30 1.0

24 904

1.0

24 740

1,0

12 511

0.7

421 258

500

123

Средняя квадратическая ошибка округления, полученная по группам, как

несение средпее 29,0 од. 7-го знака.

Теоретическое (точпос) значение средней квпдратяческон ошибки . . . ,

а Г>0

•р- = т-г — РД-

г0

знака.

I 3 I

Средпяя кнадрат!пескаа ошибка округления, иолучепная без подразделе-

ния на группы. 29,0 ед. 7-го знака.

V. Нетрудно доказать, что копффнцнены А-, и А-

перехода от средне!! и веро-

ятной ошибок округления к сроднен квадратпческой должны быть равны между

собой и А-

1(оК11)

= А-.,

(окр)

= 1,15.

В данном примере получена средпяя ошибка округления 2-'«,9 ед. 7-го зпака

(теоретическое значение ошибки округления равно 25) *. Из опыта коэффициент

А",

(окр)

= 5||-«=»1Л7 (должен быть 1,45).

Для отыскании вероятпой ошибки все ошибки были расположены в ряд

но возрастанию их абсолютной величины. В середине этого ряда оказалась

ошибка, равная 25 ед. 7-го зиака. Таким образом, вероятная ошибка округле-

ния из опыта г = 25 ед. 7-го знака (теоретическое зиачеиие также равно 25 ед.

7-го знака). Соответствующий коэффициент А» из опыта

(окр)

—

§ 37. ВЛИЯНИЕ ОШИБОК ОКРУГЛЕНИЙ АРГУМЕНТОВ

НА ТОЧНОСТЬ ФУННЦИЙ

Пусть имеем функцию

/ у, г, ..., «).

Подсчет ошибки функции обусловленной ошибками округле-

ний аргументов А

, Д

,. ... Д

, может быть произведен но изве-

стной формуле Тейлора

Заметим, что вопроса о коррелнрованности аргументов для оши-

бок округлений не возникает.

Пример. Дана ф\

икция

причем // = 278,53 м, П = 0371,11 км, 5 = 15 785,784 м,

где Я — средняя высота линии пад уровнем моря,

Н — средппй радиус Земли,

•V — расстояние между двумя точками, приведенное к горизонту,

Р — поправка за приведение длппи линии 5 к уровню моря.

• Теоретическое значение средней ошибки округления \>

подсчитаем как

сумму членов числового ряда О, 1,2, 3, . . ., 50, деленпую на число ошибок,

равное 51, т. с.

П «Т-2Н-3 +

• . + 50 (Г)0-г 1) • 50

О ==• ~ 7751

1=8

25 од. 1-го зпака.

124

Определим ошибку функций /\ еслп Я. Я и X округлены до заачеиий:

// 279 м (Л„ = +0,47 м);

л* С370 км {Д

= —1,11

ки

)

;

8 ^ 15 800 м

- +14,216 м).

1' о ш о и ц с. Но формуле (111.52) наишлем

Н //

Подставляя зпачеиня II, К, 8 п ошибки округлений, получаем

0,279

15,8 , , . 15,8 0.279

= —03705—<-

111и

м)--^( + 0И7м)--

ШГ

(+14,22 »);

—

—0,12—

1,17 —

0,02= —1,9 мм.

При помощи расчетов, аналогичных приведенным в примере,

можно установить необходимое число значащих цифр, что обеспечит

вычисления конечного результата с заданной точностью. Еслп

ошибки округлений неизвестны, то расчет по формуле (111.52) можно

выполнить, задаваясь их средними кьадратнческими ошибками, и

вычислить среднюю квадратическую ошибку функции но формуле

где /м

, т

, . . тп

— средине квадратнческие ошибки округлений

аргументов.

Рассмотрим влияние ошибок округления аргументов на функции

для некоторых наиболее часто встречающихся в практике случаев.

1. Алгебраическое сложение

Нрц суммировании слагаемых, округленных одинаково (т. о ."до

одиого итого же десятичного знака), средняя квадратпческая ошибка

суммы Л/т, обусловленная ошибками округлений слагаемых, полу-

чается

Л/

=0,5 (в единицах носледпего удерживаемого знака). (111.54)

где п — число слагаемых.

При суммировании слагаемых, округленных до разных десятич-

ных знаков, в большинстве случаев нет смысла сохранять как в сла-

гаемых, так и в сумме больше одного липшего десятичного зпака по

сравнению с наиболее грубо округленными слагаемыми. Пусть, на-

пример, сумма состоит из двух групп слагаемых: к слагаемых, округ-

ленных до некоторого десятичного зпака, п I слагаемых, округлен-

ных точнее на один знак. Средиюю квадратическую ошибку суммы

подсчитаем по формуле

Поставив условие

1 з '

|<г

* ' Гз

1 А

ПОЛУЧИМ

(111.55)

Следовательно, более точно округленные слагаемые необходимо

принимать во внимание при подсчете ошибки суммы лишь в то.м слу-

чае, еслп пх количество в четыре раза больше числа менее точных

слагаемых.

2. Умножение и деление

Имеется функция

1-*'г • • • 'и

... 2/,

Прологарифмировав и применив затем (111.49), получим

Для ошибок округлений формула (111.50) примет вид

где а обозначает предельные ошибки округлений.

3. Возвышение в степень

Имеется функция

V —X .

Прологарифмировав, легко найдем

Р т

— = • С П.58)

Предельная относительная ошибка округления

( Ьр \ <*х

У—Упред^"—' I»

)

где а

— предельная ошибка округления х.

Прп п = 2, т. е. для

126

цОЧУ

ЧаеТ1

"Н"

" оииИСШЮСТЬ

^ Г '

п;>ея

- 2ха

Если а

= 0,5 единицы удерживаемого десятичного знака, то

(

г)пгсд=* <!".<»>

единицах последнего десятичного знака основания степени.

Например, предельная ошибка округления числа, равного (0,14>

полученного с предельной ошибкой округления <х

— 0.005. равна

2*0.14-0,005 -= 0,0014, т. е. 0,14-0,01 = 0,0014. Если же Р = то

(Дг)нрсд — №.

4. Извлечение корня

Писем функцию

По формуле (III.58), учитывая, что п — у, получаем

{П

Р ТП

— =~Г- (111.61)

Предельная ^ошибка округления равна

(Ыф^пйп

*' <

Шб2

5. Предельная ошибка потенцирования

Да» х, требуется найти ошибку Дя в чпсле х, еслп х содер-

жит ошибку Л1& х.

Имеем

Д.т д т.

— = > (III.63)

0,43 •

причем Д1ог х выражена в единицах п-го знака мантиссы логарифма.

Для ошибок округления (Д|о; .г)

1|рсд

= 0,5 единицы последнего

знака мантпссы. Следовательно, для ошпбок округления прибли-

женно

(Дг)

прС

д^-^г' (Ш.С1)

где п — число табличных знаков .мантиссы логарифма.

Например, предельная ошибка числа х, полученного по шести-

значным таблицам логарифмов, равна х-Ю~

§ 38. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Влияние систематических ошибок

на точность результатов измерений

Закономерности возникновения случайных и енстсматичеекн х

ошибок измерений существенно различаются между собой. Случайные

ошибки измерении подчиняются так называемой статистической за-

кономерности. Что касается систематических ошибок измерений, то

пх закономерности зависят от источников возникновения ошибок

и могут быть обнаружены из специальных исследований.

Выяпнть закономерности возникновения систематических ошибок

непросто, однако существенное повышенно точности измерений воз-

можпо лишь прп соответствующей борьбе с влиянием этих ошибок.

Следует различать влияние систематических ошибок на точность

отдельных результатов измерении п иа точность фупкцпй результа-

тов измерений.

Рассмотрим сначала действие систематических ошибок па отдель-

ные результаты измерений.

При наличии систематических ошибок общую ошибку измере-

ния 0 можпо представить в виде суммы

е=Л+6. (111.65)

где

А —

случайная часть ошибки 0, б — систематическая часть.

(Здесь 0, Д н 6 рассматриваются как случайные величины).

Возведем обе части этого равенства в квадрат и возьмем матема-

тические ожидания

(6=)=Л/ (Л-)+Л/ (62)+2Л/

(А -

6).

Так как Л/[(Д5) = М (Д)-М (б) и М (А) = 0. то для искомой

общей средней квадратпческой ошибки т получим

/и2

= т

+т

(

(Ш.С6)

где /Пд

—

средняя квадратическая случайная ошибка;

—

средняя квадратическая систематическая ошибка.

В геодезии принято считать, что еслп один из двух источников

ошибок характеризуется средней квадратпческой ошибкой, не пре-

вышающей

з средней квадратическон ошибки, характеризующей

другой источник, то первым источником ошибок можно пренебречь

при оцеике точности результатов измерений.

Действительно, положим

Тогда

1 [ т^

т= у —<р=т

К|,11^1,05т

т. е. значение то, если пренебречь систематической ошибкой, умень-

гп/ п т,

ннггся на 5%. Прп = — значепне т уменьшится всего лишь

на 2%.

128

Таким образом, 14ми систематические влияния характеризуются

„ц

й квадратическон величиной,не превышающей

—

среднего

Этического значения случайных ошибок, то такие систематиче-

влияния препебрегаемы для оценки точности отдельных

з у л ь т а т о в и з м е р е н н и.

рассмотрим совместное действие случайных и систематических

фрибок на функции результатов измерений.

2. Средняя квадратическая ошибка

функции результатов измерений,

отягощенных случайными и систематическими ошибками

Средняя квадратическая ошибка функции в случае совместного

действия случайных п систематических ошибок измерений будет

= \

и1+м1

Для Л/д получена формула (Ш.41).

Вывести общую формулу для систематической части средней

квадратпческой ошибки функции, т. е. для невозможно, так как

закономерности ВЛИЯНИЯ систематических ошибок могут быть, в от-

лично от случайных ошибок, самые различные. Поясним эту мысль.

Истинные ошибки функции Р = / (л\ у м). обусловленные

систематическими ошибками аргументов, можно выразить так же,

«К и случайные части ошибок. — в виде дифференциала

Средняя квадратическая систематическая ошибка функции

В отлпчпе от действия только случайных ошибок, члены, содер-

я.лщне математические ожидания произведений систематических

ошибок, т. с. 16,-5*1, отбрасывать нельзя, так как эти суммы свой-

пвом компенсации не обладают.

Рассмотрим действие систематических: ошибок иа точность не-

которых функций.

Действие систематических ошибок на точ-

ность среднего значения многократно из-

р о ц и о н в е л и ч и н ы. При наличии систематических оши-

бок в отдельных результатах измерений можпо написать

Д =2-!

——6ц

Л =х

—Л

—6

— Ля—йщ

9 ^ОГ'П • • Г

120

где

Л*

— точное значение измеренной величины, а х

— результат

1-го измерения.

Сложив левые и правые части этих равенств и разделпв суммы

на п. получим

И [Л1 _ КМ

7Г п '

или

Дер-бег- (И 1.03)

Порядок- величины Л

ср

характеризуется, как известно, формулой

Ял

р Т~="'

1 п

где — среднее квадратическое зпачеппе случайной ошибки од-

пого измерения. Последнее равенство показывает, что случайная

ошибка простого среднего арифметического уменьшается с увеличе-

нием числа измерений.

Что касается 6

ср

, то в каждом конкретном случае структура

этой величины может быть разная. В частпости. если систематиче-

ская ошпбка постоянна и равна 6

, то формула (II Г.68) принимает

вид

Х—х— Д

р—6

откуда впдно, что увеличение числа приемов измерений будет давать

реальпое повышение точности лишь до тех пор, пока значение

. «А

Дср^-ТТ^-

) П

не станет пренсбрегаемо малым но сравнению с 6

. Дальпейшее

увеличение числа приемов не будет иметь смысла.

Средняя квадратпческая ошпбка суммы

равноточно измеренных слагаемых прп сов-

местном действии случайных и системати-

ческих ошпбок. Пусть слагаемые суммы у = х

+ х.

-{-

... -г х„ измерены с одинаковой средней квадрагической ошиб-

кой Год и постоянной систематической ошибкой 6

. Тогда в формуле

значения .1/

п будут

л/

д=

а средняя квадратпческая ошибка суммы у будет

=У «т* + (111.69)

Сравним влияние случайных и систематических ошибок в рас-

смотренном случае.

151)

р современном высокоточном геометрическом нивелировании ги-

сТ

слатнческая часть общей ошибки нивелирования 1 км составляет

„рйморпо 1 сродного квадратического значения случайных ошибок.

ь\-1И

эта

систематическая часть будет постоянна, то на основании

Крмулы (III-69) для средней квадратнческой ошибки .1/ превыше-

ния','полученного из нивелирного хода, можпо написать

л, = ]/'.'

— протяженность нивелирного хода в километрах; т

— сред-

няя квадратпческая ошпбка нивелирования 1 км.

Вычислим случайную и систематическую части квадрата срод-

ней квадратическон ошибки нивелирования ходов разион протяжен-

ности:

1) па Ю км 5т= Юш^.

„

100 -'"л-"'^

д па 100 км 5'»%— ШОго^,

1йо ""л"

100,И

3) из 300 км 300"»2.

Из приведенных подсчетов видпо. что если в ходе протяжен-

ностью 10 км систематическая часть нренебрегасма по сравнению

со

случайной, то уже прп нивелирном ходе в 100 км систематическое

влияние становится равным случайному, а если протяженность хода

300 км — меньшим становится случайное влияние.

Значения б остаются постоянными лишь на ограниченных участ-

ках ходов, протяженность которых в среднем 200—300 км. При

большей длине ходов эти значения будут другими и б могут стать

случайными для всех ходов такого протяжения в совокупности

§ 39. НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО УМЕНЬШЕНИЮ ВЛИЯНИЯ

СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

Для уменьшения ВЛИЯНИЯ систематических ошибок в практике

геодезических измерении чаще всего применяют следующие способы:

1) устанавливают закон появления систематической ошибки,

после чего ошибку уменьшают введением поправки в результаты

измерений;

9* 131

2) применяют соответствующую методику измерений, рассчитан-

ную таким образом, чтобы систематические ошибки действовали пе

односторонне, а изменяли знаки;

.*•>) используют определенную методику обработки результатов

измерений.

В качестве иллюстрации 1-го способа, паправлепного на умень-

шение влияния систематических ошибок, можпо привести следу-

ющие. примеры:

а) эталонирование мерпого линейного нрпбора и введение затем

поправок за его длину и температуру прп измерепип длин линий;

б) исследование отсчетного прибора для отсчптыпаппя по угло-

мерному кругу и введение соответствующих поправок в отсчеты (по-

правок за длину верньера, поправок за рен отсчетпого микроскопа

н т. п.).

Примерами 2-го способа ослабления влияния систематических

ошибок могут служить:

а) отсчитыванне по диаметрально противоположным штрихам

лимба при измерении теодолитом горизонтальных направлений, чем

исключают влияние эксцентриситета алидады;

180°

б) перестановка лимба между приемами на угол ——, где п

—

число приемов; при этом ослабляется влияние систематических оши-

бок штрихов лимба;

в) распределение программы наблюдений при высокоточных из-

мерениях горизонтальных направлений примерно поровну на днев-

ное и вечернее время и на длительный период, в результате чего

наблюдения производят в различных атмосферных условиях, чем

н ослабляется влияние боковой рефракции;

г) определение прямых и обратных превышений точек при три-

гонометрическом нивелировапии; в результате ослабляется влияние

систематических ошибок, обусловленных неточным значением коэф-

фициента вертикальной рефракции и систематическими ошибками

измерения вертикальных углов.

Приведем пример 3-го способа, также уменьшающего влияние

систематических ошибок измерений.

Обычный порядок вычислений, прн котором углы и координаты

вытянутого теодолитного хода уравппвают раздельно, упрощая вы-

числения, ведет к ослаблению влияния систематических ошибок

угловых и линейных измерений. Предварительное распределение

угловой невязки поровну па углы поворота ослабляет влняипо си-

стематических ошибок измерений углов на поперечный сдвиг хода;

распределение па втором этапе уравнивания продольного сдвига

пропорционально длинам сторон ослабляет влияпие систематических

ошибок линейных измерений на точность положения точек хода.

Рассмотрим еще одни пример борьбы с влиянием систематических

ошибок.

Если определяемую величину получают как функцию результа-

тов измерений, можно иногда установить закономерность системати-

ческих ошибок измерений по характеру изменений значений фу и к-