Блюмин С.Л., Шуйкова И.А. Введение в математические методы принятия решений
Подождите немного. Документ загружается.
81
A
n
−
1
èç ïåðâîãî ðåçóëüòàòà âî âòîðîé äàåò
A
n
A
k
k
=
−
1
.
Òåîðåìà 24. Ëþáîé ñòîëáåö ìàòðèöû
A
w
w
i
j
=
(
/
)
ÿâëÿåòñÿ ðå-
øåíèåì çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè Àw=nw,
w
w
w
n
=
(
,
.
.
.
,
)
1
/
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ëþáîé ñòîëáåö ìàòðèöû èìååì âèä
w
w
w
w
w
w
j
j
n
j
T
1
2
/
,
/
,
.
.
.
,
/
, òî îí ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî êðàòíûì w è, ñëå-
äîâàòåëüíî, ðåøåíèåì çàäà÷è.
Èç ïîñëåäíåé òåîðåìû ïîëó÷àåòñÿ ïðåäûäóùàÿ òåîðåìà, òàê êàê åñëè
îáîçíà÷èòü ñòîëáöû À ÷åðåç
(
,
,
.
.
.
,
),
a
a
a
n
1
2
òî
A
A
=
(
⋅==
a
a
a
na
na
na
nA
n
n
1
2
1
2
,
,
.
.
.
,
)
(
,
,
.
.
.
,
)
.
Òåîðåìà 25. Ëþáàÿ ñòðîêà ìàòðèöû
A
w
w
i
j
=
(
/
)
åñòü ðåøåíèå
çàäà÷è vA=nv.
Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî.
Ñëåäñòâèå. Êîìïîíåíòû ïðàâîãî è ëåâîãî ñîáñòâåííûõ âåêòîðà, w è
v, ÿâëÿþòñÿ îáðàòíûìè âåëè÷èíàìè ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæè-
òåëÿ. (Áóäåì íàçûâàòü èõ äâîéñòâåííûìè âåêòîðàìè).
Îïðåäåëèì íîðìó ìàòðèöû A êàê
A
e
Ae
T
=
(ò.å. îíà ÿâëÿåòñÿ
ñóììîé âñåõ ýëåìåíòîâ À).
Êàê èçâåñòíî, äëÿ ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû À
lim
/
max
k
k
k
A
e
A
cw
→∞
=
e
j
, ãäå ñ ïîñòîÿííàÿ,
w
max
íîðìàëèçî-
âàííûé ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð À. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ óï-
ðîùåííîé âåðñèåé ýòîé òåîðåìû äëÿ ñîãëàñîâàííûõ ìàòðèö.
Òåîðåìà 26. Åñëè À ïîëîæèòåëüíàÿ ñîãëàñîâàííàÿ (nxn)-ìàòðèöà,
Àe=Cw, ãäå Ñ>0 ïîñòîÿííàÿ è w óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó Àw=nw.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âåêòîð Àå ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñòðîê À è, î÷åâèäíî
ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì ëþáîãî ñòîëáöà. Ïîýòîìó îí ÿâëÿåòñÿ ðåøåíè-
åì çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè.
Äðóãîé âàðèàíò äîêàçàòåëüñòâà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî À èìååò åäè-
íè÷íûé ðàíã òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò âåêòîðû õ è y, òàêèå,
÷òî
A
xy
T
=
. Îòñþäà
82
Aw
y
w
x
nw
y
w
y
w
y
w
n
n
== =++
(
,
)
,
(
,
)
.
.
.
1
1
, è ñëåäîâàòåëüíî,
Ae
y
e
x
y
e
n
y
w
Cw
== =
(
,
)
(
,
)
(
,
)
.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè
A
w
w
i
j
=
(
/
)
, òî
Cw
w
w
i
i
i
i
n
=
=
∑
/
1
.
Ñëåäñòâèå 2.
A
e
e A
e
n
Ae
n
e
Ae
Ae
e
Ae
C
w
w
C
k
T
k
k
k
T
T
n
=== >
−
−
1
1
1
0
(
,
.
.
.
,
),
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå ñîãëàñîâàííûõ ìàò-
ðèö êîìïîíåíòû ñîáñòâåííîãî âåêòîðà èçìåíÿþòñÿ ìîíîòîííî ñ èçìåíå-
íèÿìè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ.
Òåîðåìà 27. (Î ìîíîòîííîñòè). Ïóñòü
A
a
ij
=
(
)
ïîëîæèòåëüíàÿ
ñîãëàñîâàííàÿ ìàòðèöà ñ ãëàâíûì ñîáñòâåííûì âåêòîðîì
w=
(
,
.
.
.
,
)
w
w
n
1
. Çàìåíèì îäèí ýëåìåíò
a
xy
íà
a
xy
+>
ε
0
è, èñïîëü-
çóÿ ñòðîêó õ, ïîñòðîèì íîâóþ ñîãëàñîâàííóþ ìàòðèöó
A
a
ij
*
*
(
)
=
.
Ïóñòü
w
w
w
n
*
*
*
(
,
.
.
.
,
)
=
1
ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû
A
*
.
Òîãäà
w
w
x
x
*
>
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê è À, è
A
*
ñîãëàñîâàííû, ëþáîé íîðìàëè-
çîâàííûé ñòîëáåö äàåò ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð. Ðàññìîòðèì ñòîë-
áåö, ñîäåðæàùèé
1/ a
xy
â ìàòðèöå À, è ñîîòâåòñòâóþùèé ñòîëáåö, ñîäåð-
æàùèé
1/ (
)
a
xy
+
ε
â ìàòðèöå
A
*
. Äâà ñòîëáöà èäåíòè÷íû çà èñêëþ÷å-
íèåì ýòîãî åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà. Ñóììà ýëåìåíòîâ ñòîëáöà â
A
*
ìåíü-
øå, ÷åì ñóììà ýëåìåíòîâ ñòîëáöà â À. Ïîýòîìó, íîðìàëèçóÿ äàííûé ñòîë-
áåö, ïîëó÷àåì áîëüøåå îòíîøåíèå äëÿ âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå íå
ìåíÿþòñÿ â îáåèõ ìàòðèöàõ.  ÷àñòíîñòè, ýòî âåðíî äëÿ
w
x
*
, ïîýòîìó
w
w
x
x
*
>
.
83
Òåîðåìà 28. Åñëè À ïîëîæèòåëüíàÿ ñîãëàñîâàííàÿ ìàòðèöà è
A
/
ïîëó÷åíà èç À âû÷åðêèâàíèåì i-é ñòðîêè è i-ãî ñòîëáöà, òî
A
/
ñîãëàñî-
âàííà è åå ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð ïîëó÷àåòñÿ èç À, åñëè
ïîëîæèòü
w
i
=
0
è íîðìàëèçîâàòü êîìïîíåíòû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîé çàäàííîé ñòðîêè À, íàïðèìåð, äëÿ ïåð-
âîé, èìååì
a
a
a
ji
i
j
=
1
1
/
, j=1, ..., n, è i-ÿ ñòðîêà À çàâèñèò îò ýëåìåíòà
i-ãî ñòîëáöà â åãî ïåðâîé ñòðîêå. Àíàëîãè÷íîå ñëåäóåò èç
a
a
a
jk
k
j
=
1
1
/
.
Ïîýòîìó íè îäèí ýëåìåíò â
A
/
íå çàâèñèò îò i-é ñòðîêè èëè i-ãî ñòîëáöà À
è, ñëåäîâàòåëüíî,
A
/
òàêæå ñîãëàñîâàííà. Òàê êàê èõ ýëåìåíòû ñîâïàäàþò
çà èñêëþ÷åíèåì i-é ñòðîêè èëè i-ãî ñòîëáöà À è ðåøåíèå çàäà÷è î ñîá-
ñòâåííîì çíà÷åíèè ïðè ñîãëàñîâàííîé ìàòðèöå ïîëó÷àåòñÿ èç ëþáîãî
íîðìàëèçîâàííîãî ñòîëáöà, ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Çàìå÷àíèå.  îáùåì ñëó÷àå, åñëè
A
a
ij
=
(
)
ìàòðèöà ïàðíûõ ñðàâ-
íåíèé, à
A
a
ij
/
(
)
=
′
ïðè
′
== ≠≠
′
==
a
a
i
j
n
i
k
j
k
a
i
k
ij
ij
ij
,
,
,
.
.
.
,
,
,
,
,
1
0
èëè j=k, è åñëè
íîðìàëèçîâàííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû óðàâíåíèé
Aw
w
=
λ
max
è
′′
=
′
A w
w
λ
max
ñîîòâåòñòâåííî
w w,
′
, òî
′
=
w
k
0
, îäíàêî
′′
≠
w
w
w
w
αβ αβ
/
/
äëÿ âñåõ
α
è
β
. Äðóãèìè ñëîâàìè, èñêëþ÷åíèå îä-
íîé ñòðîêè èç ìàòðèöû ïàðíûõ ñðàâíåíèé íå âûçûâàåò ïðîïîðöèîíàëüíî-
ãî ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ âåñîâ ñðåäè äðóãèõ ñòðîê.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà ìåæäó îò-
äåëüíûìè
a
ij
è
w
w
i
j
/
äîâîëüíî ñëîæíûì îáðàçîì çàâèñÿò îò âñåé ìàò-
ðèöû À è åå ñòåïåíåé.
Òåîðåìà 29. Äëÿ ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû À èìååì, ÷òî
a
a
ij
kl
≥
, òîã-
äà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
w
w
w
w
i
j
k
l
/
/
≥
, ïðè óñëîâèè, ÷òî
84
lim
(
)
(
)
lim
(
)
(
)
m
ip
m
p
p
j
m
j
m
kq
m
q
q
l
m
l
a
A
e
A
e
a
A
e
A
e
→∞
≠
→∞
≠
∑∑
≥
( ( .)
p
îçíà÷àåò ð-þ êîìïîíåíòó âåêòîðà).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç ðàâåíñòâà
a
w
w
ij
j
i
j
n
=
=
∑
λ
1
èìååì
a
w
w
w
a
w
a
w
w
w
a
w
ij
i
j
j
ip
p
p
j
kl
k
l
l
kq
q
p
l
=−
=−
≠
≠
∑
∑
λ
λ
/
(
/
)
/
(
/
)
1
1
Ïîýòîìó
a
a
ij
kl
≥
òîëüêî ïðè
λλ
w
w
w
w
w
a
w
w
a
w
i
j
k
l
j
ip
p
p
j
l
kq
q
p
l
/
/
(
/
)
(
/
)
≥+ −
≠≠
∑∑
1
1
.
Ñëåäîâàòåëüíî, òåîðåìà âåðíà, åñëè èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå íåðà-
âåíñòâî:
( /
)
(
/
)
1
1
w
a
w
w
a
w
j
ip
p
p
j
l
kq
q
p
l
≠≠
∑∑
≥
.
Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ïðåäåëå äëÿ ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû, çàìåíèì
êàæäûé
w
s
íà
lim
(
)
m
m
s
T
m
A
e
e
A
e
→∞
, ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
Òåîðåìà 30. (Ñòåïåííîé çàêîí ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ).
Åñëè ìàòðèöà À=
a
w
w
ij
i
j
(
/
)
ïîðÿäêà n óäîâëåòâîðÿåò îáîá-
ùåííîìó óñëîâèþ ñîãëàñîâàííîñòè, òî çàäà÷à î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè
a
w
w
q
w
nq
w
i
n
ij
i
j
j
n
j
j
i
i
(
/
)
(
)
(
),
,
.
.
.
,
=
∑
==
1
1
èìååò ðåøåíèå â
âèäå ñîáñòâåííîãî âåêòîðà
85
(
,
.
.
.
,
)
(
),
.
.
.
,
(
)
w
w
q
w
q
w
n
n
n
1
1
1
αα
≡
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûðàæåíèå
a
w
w
g
w
g
w
ij
i
j
i
i
j
j
(
/
)
(
)
/
(
)
=
èìå-
åò ìåñòî ïðè ðåøåíèè
g
w
i
i
(
)
, i=1,..,n, çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè.
Åñëè ïîäñòàâèì åãî â óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè, òî ïîëó÷èì
f g
w
g
w
f
g
w
g
w
f
g
w
g
w
f
g
w
g
w
i
i
j
j
j
j
k
k
i
i
j
j
j
j
k
k
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
.
=
o
t
Èëè, åñëè ïîëîæèì
x
g
w
g
w
i
i
j
j
=
(
)
/
(
)
,
y
g
w
g
w
j
j
k
k
=
(
)
/
(
)
,
òî ïîëó÷èì f(x)f(y)=f(xy). Ýòî ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå èìååò îá-
ùåå ðåøåíèå
f x
x
(
)
=
α
.
Òàêèì îáðàçîì, îáîáùàÿ óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè äëÿ À íàõîäèì,
÷òî îáîáùåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè (ñ
λ
max
=
n
) âîçìîæíî, åñëè çàìåíèì
a
ij
íà ïîñòîÿííóþ ñòåïåíü a åãî
àðãóìåíòà. Îäíàêî,
a
w
w
ij
i
j
=
/
ïðè à=1, ïîýòîìó, âîîáùå ãîâîðÿ,
a
w
w
ij
i
j
=
(
/
)
α
, èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî
g
w
g
w
w
w
i
i
j
j
i
j
(
)
/
(
)
(
/
)
=
α
,
i, j =1,..,n,
g
w
w
g
w
i
n
i
i
i
i
(
)
(
),
,
.
.
.
,
== =
α
1
.
Ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷å-
íèè, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ ñîãëàñîâàííîñòè, äàåò îöåíêè â ñòåïåí-
íîé øêàëå.
Çàìå÷àíèå. Ðàçëè÷íûå ìàòðèöû ïîïàðíûõ ñðàâíåíèé ìîãóò äàâàòü
îäèí è òîò æå ñîáñòâåííûé âåêòîð. Ýòî äîâîëüíî óäà÷íîå îáñòîÿòåëüñòâî,
òàê êàê ïîçâîëÿåò çàìåíÿòü ïðèçíàêè è âñå æå ïîëó÷àòü òîò æå ñàìûé ñîá-
ñòâåííûé âåêòîð â êà÷åñòâå îòâåòà. Ïîýòîìó ìîæíî ïîëó÷èòü îäèí è òîò
æå ðåçóëüòàò ñ ðàçëè÷íûõ òî÷åê çðåíèÿ è âûáðàòü òå ìàòðèöû, êîòîðûå ìû
ïðåäïî÷èòàåì.
Òåîðåìà 31. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîñèììåò-
ðè÷íîé ìàòðèöû óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ:
λλ
i
k
i k
i
k
=
≠
∑
0
,
.
86
Äîêàçàòåëüñòâî.
λλ λ λ
1
1
2
2
2
2
++ = = ++ = =
.
.
.
(
)
,
.
.
.
(
)
n
n
tr
A
n
tr
A
n
, òàê êàê
λ
i
2
ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
A
2
. Ïîýòîìó
λλ λλ λ λλ
1
2
1
2
2
1
++ = = = ++ = +
=
≠
∑∑
.
.
.
(
)
(
.
.
.
)
,
n
n
i
i
i
k
i
k
i
k
tr
A
n
,
èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå ñïðàâà ðàâíî íóëþ.
Òåîðåìà 32. Ïóñòü
A
a
ij
=
(
)
åñòü (nxn)-ìàòðèöà ïîëîæèòåëüíûõ
ýëåìåíòîâ ñ
a
a
ij
ji
=
−
1
. À ñîãëàñîâàííà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
λ
max
=
n
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óðàâíåíèÿ
λ
=
−
=
∑
a
w
w
ij
j
i
j
n
1
1
ïîëó÷àåì
n
n
a
w
w
a
w
w
w
w
a
ij
j
i
i
j
i
j
n
ij
j
i
i
j
ij
i
j
n
λ
−= = +
−
=
≠
−−
≤≤ ≤
∑∑
1
1
1
1
1
,
(
/
)
.
Èç ðàâåíñòâà
a
w
w
ij
i
j
=
/
ïîëó÷èì
λ
=
n
, à òàêæå
λ
max
=
n
, òàê
êàê ñóììà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ðàâíà n, ñëåäó ìàòðèöû À.
×òîáû äîêàçàòü îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, çàìåòèì, ÷òî ïðåäûäóùåå
âûðàæåíèå ñîäåðæèò òîëüêî äâà ÷ëåíà, âêëþ÷àþùèõ
a
ij
, à èìåííî,
a w
w
ij
j
i
−
1
è
w w
a
i
j
ij
−
1
/
. Èõ ñóììà èìååì âèä y+(1/y). ×òîáû óáåäèòü-
ñÿ â òîì, ÷òî n ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå
λ
max
, äîñòèãàåìîå åäèíñòâåí-
íûì îáðàçîì ïðè
a
w
w
ij
i
j
=
/
, îòìåòèì, ÷òî äëÿ âñåõ ýòèõ ÷ëåíîâ
y+(1/y)>=2. Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî â ïðåäïîëîæåíèè y=1, ò.å.
a
w
w
ij
i
j
=
/
. Ïîýòîìó, êîãäà
λ
max
=
n
, èìååì
87
n
n
n
n
i
j
i
j
n
2
1
2
2
−≥ =−
=
≠
∑
,
, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
a
w
w
ij
i
j
=
/
.
Åñëè À íåñîãëàñîâàííà, òî ìîæíî îæèäàòü, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ
èç íåðàâåíñòâà
a
a
ij
kl
≥
íå ñëåäóåò
w w
w
w
i
j
k
l
≥
. Îäíàêî, ïîñêîëüêó
w
i
,
i=1,...,n, îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ñòðîêè ìàòðèöû À, ñëåäóåò îæèäàòü,
÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 33. (Ñîõðàíåíèå ïîðÿäêîâîé ñîãëàñîâàííîñòè).
Åñëè
(
,
.
.
.
,
)
o
o
n
1
ïîðÿäêîâàÿ øêàëà îáúåêòîâ
C
C
n
1
,
.
.
.
,
, ãäå èç
o
o
i
k
≥
ñëåäóåò, ÷òî
a
a
ij
kj
≥
, j=1,...,n, òî èç
o
o
i
k
≥
ñëåäóåò, ÷òî
w
w
i
k
≥
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, èç Àw=
λ
max
w ñëåäóåò, ÷òî
λλ
max
max
w
a
w
a
w
w
i
ij
j
kj
j
j
n
j
n
=≥=
==
∑∑
1
1
, è ïîýòîìó
w
w
i
k
≥
.
Òåîðåìà 34. Ëþáàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ îáðàòíîñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà
ïîðÿäêà 2x2 ñîãëàñîâàííà.
Òåîðåìà 35. Êîìïîíåíòû íîðìàëèçîâàííîãî ëåâîãî ñîáñòâåííîãî
âåêòîðà îáðàòíîñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíîé ìàòðèöû ïîðÿäêà 3x3
ÿâëÿþòñÿ îáðàòíûìè âåëè÷èíàìè êîìïîíåíò ïðàâîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà.
88
5.2 Ïðèìåíåíèå ÌÀÈ íà ïðàêòèêå
5.2.1. Îñíîâíûå âèäû èåðàðõèé
Ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòü âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòåé.
Ïðè àíàëèçå ðåàëüíîé ñèñòåìû ÷èñëî ýëåìåíòîâ è èõ âçàèìîñâÿçåé
íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî ïðåâûøàåò ñïîñîáíîñòü ýêñïåðòîâ âîñïðèíèìàòü
èíôîðìàöèþ â ïîëíîì îáúåìå.  ýòîì ñëó÷àå ðåàëüíîñòü ïîäðàçäåëÿåòñÿ
íà ñîñòàâíûå ÷àñòè (êëàñòåðû) ïðè ïîìîùè èåðàðõèè.
Èåðàðõèÿ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííûì òèïîì ñèñòåìû, îñíîâàííûì íà
ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ýëåìåíòû ñèñòåìû ìîãóò ãðóïïèðîâàòüñÿ â îòäåëü-
íûå ìíîæåñòâà. Ýëåìåíòû êàæäîé ãðóïïû íàõîäÿòñÿ ïîä âëèÿíèåì ýëå-
ìåíòîâ íåêîòîðîé âïîëíå îïðåäåëåííîé ãðóïïû è, â ñâîþ î÷åðåäü, îêàçû-
âàþò âëèÿíèå íà ýëåìåíòû äðóãîé ãðóïïû, íî ýëåìåíòû â êàæäîé ãðóïïå
íåçàâèñèìû.
Èåðàðõèÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç ïîäñèñòåì, ôóíêöèîíèðóþùèõ
êàê öåëîå íà îäíîì óðîâíå è ÿâëÿþùèõñÿ ÷àñòÿìè ñèñòåìû áîëåå âûñîêî-
ãî óðîâíÿ, ñòàíîâÿñü ïîäñèñòåìàìè ýòîé ñèñòåìû.
 íàèáîëåå ýëåìåíòàðíîì âèäå èåðàðõèÿ ñòðîèòñÿ ñ âåðøèíû (öåëåé
ñ òî÷êè çðåíèÿ óïðàâëåíèÿ), ÷åðåç ïðîìåæóòî÷íûå óðîâíè (êðèòåðèè,
îò êîòîðûõ çàâèñÿò ïîñëåäóþùèå óðîâíè) ê ñàìîìó íèçêîìó óðîâíþ (êî-
òîðûé îáû÷íî ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷íåì àëüòåðíàòèâ). Íàïðèìåð, ïðè âûáîðå
ðóêîâîäèòåëÿ ïðåäïðèÿòèÿ, ñëåäóåò ó÷åñòü íàëè÷èå ó êàíäèäàòîâ ïðîôåñ-
ñèîíàëüíûõ è ëè÷íûõ êà÷åñòâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ èçáðàíèÿ íà âàêàíòíóþ
äîëæíîñòü. Ýòîìó ïðèìåðó ñîîòâåòñòâóåò èåðàðõèÿ (ðèñ. 1), íà ïåðâîì
(âûñøåì) óðîâíå êîòîðîé íàõîäèòñÿ öåëü "Ðóêîâîäèòåëü", íà âòîðîì
øåñòü ôàêòîðîâ, óòî÷íÿþùèõ öåëü, è íàêîíåö, íà ïîñëåäíåì óðîâíå òðè
êàíäèäàòà (Ê1, Ê2, Ê3), êîòîðûå äîëæíû áûòü îöåíåíû ïî îòíîøåíèþ ê
êðèòåðèÿì âòîðîãî óðîâíÿ.
Ñóùåñòâóþò íåñêîëüêî âèäîâ èåðàðõèé.
Äîìèíàíòíûå èåðàðõèè èåðàðõèè ñ îñíîâîé â âåðøèíå (ïîõîæè íà
ïåðåâåðíóòîå äåðåâî. ñì. ðèñ. 1).
Õîëëàðõèè äîìèíàíòíûå èåðàðõèè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ.
Êèòàéñêèé ÿùèê (èëè ìîäóëÿðíûå èåðàðõèè) èåðàðõèÿ, ðàñòóùàÿ
â ðàçìåðàõ îò ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòîâ (âíóòðåííèå ÿùèêè) êî âñå áîëåå
êðóïíûì ñîâîêóïíîñòÿì (âíåøíèå ÿùèêè).
Èåðàðõèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè êàæäûé ýëåìåíò çàäàííîãî óðîâ-
íÿ ôóíêöèîíèðóåò êàê êðèòåðèé äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ íèæåñòîÿùåãî óðîâíÿ
(ðèñ. 1), â ïðîòèâíîì ñëó÷àå èåðàðõèÿ íåïîëíàÿ.
89
5.2.2. Ïîñòðîåíèå èåðàðõèè
Ïîñòðîåíèå èåðàðõèè èñõîäèò èç åñòåñòâåííîé ñïîñîáíîñòè ëþäåé
äóìàòü ëîãè÷åñêè è òâîð÷åñêè, îïðåäåëÿòü ñîáûòèÿ è óñòàíàâëèâàòü îòíî-
øåíèÿ ìåæäó íèìè è îïèðàåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, íà ïðèíöèï èäåíòè÷íîñ-
òè è äåêîìïîçèöèè. Íà ïðàêòèêå íå ñóùåñòâóåò óñòàíîâëåííîé ïðîöåäóðû
ãåíåðèðîâàíèÿ öåëåé, êðèòåðèåâ è âèäîâ äåÿòåëüíîñòè äëÿ âêëþ÷åíèÿ â
èåðàðõèþ.
Ïðè ïîñòðîåíèè èåðàðõèè ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî îñíîâíûå öåëè óñ-
òàíàâëèâàþòñÿ íà âåðøèíå èåðàðõèè, èõ ïîäöåëè íåïîñðåäñòâåííî íèæå
âåðøèíû, ñèëû, îãðàíè÷èâàþùèå àêòîðîâ (äåéñòâóþùèõ ëèö) åùå íèæå.
Ñèëû äîìèíèðóþò íàä óðîâíåì ñàìèõ àêòîðîâ, êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü,
äîìèíèðóþò íàä óðîâíåì ñâîèõ öåëåé, íèæå êîòîðûõ áóäåò óðîâåíü èõ
âîçìîæíûõ äåéñòâèé, è â ñàìîì íèçó íàõîäèòñÿ óðîâåíü ðàçëè÷íûõ âîç-
ìîæíûõ èñõîäîâ.
Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè òèïàìè èåðàðõèé ÿâëÿþòñÿ äîìèíàí-
òíûå èåðàðõèè, ïîäðàçäåëÿþùèåñÿ íà äâà òèïà:
èåðàðõèÿ ïðÿìîãî ïðîöåññà, ïðîåöèðóþùàÿ ñóùåñòâóþùåå ñîñòî-
ÿíèå ïðîáëåìû íà íàèáîëåå âåðîÿòíîå èëè ëîãè÷åñêîå áóäóùåå (óñ-
ëîâèÿ "ñåãîäíÿøíåãî" äíÿ ïðåäñêàçûâàþò òî, ÷òî áóäåò "çàâòðà"),
èåðàðõèÿ îáðàòíîãî ïðîöåññà, îïðåäåëÿþùàÿ ïîëèòèêè óïðàâëåíèÿ
äëÿ äîñòèæåíèÿ æåëàåìîãî áóäóùåãî (òî, ÷òî ìû õîòèì âèäåòü "çàâ-
òðà", îïðåäåëÿþò íàøó ïîëèòèêó "ñåãîäíÿ").
Äëÿ òàêèõ âèäîâ èåðàðõèé îïðåäåëåí íàèáîëåå îáùèé ïîðÿäîê èõ
îðãàíèçàöèîíí.
ñïîñîáíîñòè
àâòîðèòåò ñðåäè
ïîä÷èíåííûõ
âíèìàíèå ê
ïîä÷èíåííûì
ïðîôåññèîíàëèçì
ëè÷íàÿ àêòèâíîñòü
êîììóíèêàáåëüíîñòü
Ð
óêîâîäèòåëü
Ðèñ. 1
Ê 1
Ê2
Ê3
90
ïîñòðîåíèÿ.
Èåðàðõèÿ ïðÿìîãî ïðîöåññà.
1. Ìàêðîîãðàíè÷åíèÿ îêðóæàþùåé ñðåäû.
2. Ñîöèàëüíûå è ïîëèòè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ.
3. Ñèëû.
4. Öåëè.
5. Àêòîðû.
6. Öåëè àêòîðîâ.
7. Ïîëèòèêè àêòîðîâ.
8. Êîíòðàñòíûå ñöåíàðèè.
9. Îáîáùåííûé ñöåíàðèé.
Èåðàðõèÿ îáðàòíîãî ïðîöåññà
1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñöåíàðèè.
2. Ïðîáëåìû è âîçìîæíîñòè.
3. Àêòîðû è êîàëèöèè.
4. Öåëè àêòîðîâ.
5. Ïîëèòèêè àêòîðîâ.
6. Îòäåëüíûå ïîëèòèêè óïðàâëåíèÿ, âëèÿþùèå íà ðåçóëüòàò.
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà èåðàðõèþ îáðàòíîãî ïðîöåññà. Äî-
ïóñòèì, òðåáóåòñÿ âûáðàòü ñöåíàðèé (à èñõîäÿ èç ýòîãî è ïîëèòèêè óïðàâ-
ëåíèÿ) äëÿ äàëüíåéøåãî óñïåøíîãî ðàçâèòèÿ èíñòèòóòà. Íà ïðåäâàðèòåëü-
íûé ñöåíàðèé (îáùóþ öåëü áëàãîñîñòîÿíèÿ ó÷ðåæäåíèÿ) âëèÿþò ðàçëè÷-
íûå ïðîáëåìû è ñèëû: àäìèíèñòðàöèÿ èíñòèòóòà è ãîðîäà, ïðîôåññîðñêî-
ïðåïîäàâàòåëüñêèé ñîñòàâ, ñòóäåíòû, øåôñêèå îðãàíèçàöèè è ò.ä. Ýòè ñèëû
îïðåäåëÿþòñÿ ðàçëè÷íûìè àêòîðàìè, ó êîòîðûõ èìåþòñÿ ñâîè ñîáñòâåí-
íûå öåëè. Íàêîíåö, èìååòñÿ íåñêîëüêî âîçìîæíûõ ñöåíàðèåâ, îïðåäåëÿþ-
ùèõ ïîëèòèêè óïðàâëåíèÿ äëÿ äîñòèæåíèÿ áëàãîñîñòîÿíèÿ ó÷ðåæäåíèÿ. Â
âèäó ýòîãî ïîëó÷àåòñÿ èåðàðõèÿ ðèñ. 2.
Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì èåðàðõèÿ äîëæíà áûòü óòî÷íåíà è ïðè
íåîáõîäèìîñòè èçìåíåíà è äîïîëíåíà. Îïûò ïîêàçûâàåò: ÷åì òî÷íåå áûëà
ñîñòàâëåíà èåðàðõèÿ, òåì ìåíüøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ òðåáóþòñÿ äëÿ äîïîë-
íåíèÿ åå íîâûìè ýëåìåíòàìè.
5.2.3. Ìàòðèöû ñðàâíåíèé
 ÌÀÈ ýëåìåíòû çàäà÷è ñðàâíèâàþòñÿ ïîïàðíî ïî îòíîøåíèþ ê èõ
âîçäåéñòâèþ ("âåñó" èëè "èíòåíñèâíîñòè") íà îáùóþ äëÿ íèõ õàðàêòåðèñ-
òèêó. Ïîëó÷åííûå ïàðíûå ñðàâíåíèÿ ñîñòàâëÿþò ìàññèâ ÷èñåë, êîòîðûé
îôîðìëÿåòñÿ â âèäå ìàòðèöû. Ñðàâíèâàÿ íàáîð ñîñòàâëÿþùèõ ïðîáëåìû
äðóã ñ äðóãîì, ïîëó÷àåì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó. Ýòî îáðàòíîñèììåòðè÷-