Блюмин С.Л., Шуйкова И.А. Введение в математические методы принятия решений
Подождите немного. Документ загружается.
51
Îïðåäåëåíèå 1. Óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî S ñ
áèíàðíûì îòíîøåíèåì
≤
, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò çàêîíàì
ðåôëåêñèâíîñòè, àíòèñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçíòèâíîñòè:
Ðåôëåêñèâíîñòü: äëÿ âñåõ õ, õ
≤
õ.
Àíòèñèììåòðè÷íîñòü: åñëè õ
≤
ó è ó
≤
x, òî õ=ó.
Òðàíçèòèâíîñòü: åñëè õ
≤
ó è ó
≤
z, òî x
≤
z.
Äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ õ
≤
ó (÷èòàåòñÿ: õ ïðåäøåñòâóåò ó) òàêîãî
òèïà ìîæíî îïðåäåëèòü õ<ó, ÷òî îçíà÷àåò õ
≤
ó è õ
≠
ó.
Ãîâîðÿò, ÷òî ó ïîêðûâàåò (äîìèíèðóåò) õ, åñëè õ<ó è åñëè x<t<y
íåâîçìîæíî íè äëÿ êàêîãî t.
Óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ ìîãóò
áûòü óäîáíî ïðåäñòàâëåíû íàïðàâëåííûì ãðàôîì. Êàæäûé ýëåìåíò ñèñ-
òåìû ïðåäñòàâëåí âåðøèíîé òàê, ÷òî äóãà íàïðàâëåíà îò à ê b, åñëè b<à.
Îïðåäåëåíèå 2. Âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (òàêæå íàçûâàåìîå
öåïüþ) åñòü óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ñî ñëåäóþùèì äî-
ïîëíèòåëüíûì ñâîéñòâîì: åñëè
x y
S
,
∈
, òî èëè õ
≤
ó èëè
ó
≤
x. (Ò.å. â äàííîì ìíîæåñòâå íåò ïîâòîðÿþùèõñÿ ýëå-
ìåíòîâ)
Îïðåäåëåíèå 3. Ïîäìíîæåñòâî Å óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà S íàçûâà-
þò îãðàíè÷åííûì ñâåðõó, åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò
s
S
∈
,
÷òî
x
s
≤
äëÿ ëþáîãî
x
E
∈
. Ýëåìåíò s íàçûâàþò âåðõ-
íåé ãðàíèöåé Å.
Ãîâîðÿò, ÷òî Å èìååò ñóïðåìóì èëè íàèìåíüøóþ âåðõíþþ ãðàíè-
öó â S, åñëè Å èìååò âåðõíèå ãðàíèöû è ó ìíîæåñòâà âåðõíèõ ãðàíèö U
èìååòñÿ ýëåìåíò u
1
òàêîé, ÷òî
u
u
1
≤
äëÿ âñåõ
u
U
∈
. Ýëåìåíò u
1
åäèí-
ñòâåííûé è íàçûâàåòñÿ ñóïðåìóìîì Å â S.
Ñèìâîë sup èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñóïðåìóìà. Àíàëîãè÷-
íûå îïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü äàíû äëÿ ìíîæåñòâ, îãðàíè÷åííûõ ñíèçó,
íèæíÿÿ ãðàíèöà è èíôèìóì.  ýòîì ñëó÷àå èñïîëüçóþò ñèìâîë inf.
Ñóùåñòâóåò ìíîãî ñïîñîáîâ îïðåäåëåíèÿ èåðàðõèè. Îñòàíîâèìñÿ
ëèøü íà îäíîì èç íèõ.
Âîñïîëüçóåìñÿ îáîçíà÷åíèåì õ
-
={ó | õ ïîêðûâàåò ó} è õ
+
= {ó | ó
ïîêðûâàåò õ} äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà õ â óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå.
52
Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü Í êîíå÷íîå ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî
ñ íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì b.
Í åñòü èåðàðõèÿ, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.
1. Ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå Í íà ïîäìíîæåñòâà L
k
, k=1,2...h, ãäå L
1
={b}.
2. Èç
x
L
k
∈
ñëåäóåò, ÷òî
x
L
k
h
k
−
+
⊂=−
1
1
1
,
,
.
.
.
,
.
3. Èç
x
L
k
∈
ñëåäóåò, ÷òî
x
L
k
h
k
+
−
⊂=
1
2
,
,
.
.
.
,
.
Äëÿ êàæäîãî x
∈
H ñóùåñòâóåò âåñîâàÿ ôóíêöèÿ (ñóùíîñòü åå çàâèñèò
îò ÿâëåíèÿ, äëÿ êîòîðîãî ñòðîèòñÿ èåðàðõèÿ)
w
x
w
y
x
x
y
x
:
[
,
],
(
)
.
−
∈
→=
−
∑
0
1
1
ãäå
Ìíîæåñòâà L
k
ÿâëÿþòñÿ óðîâíÿìè èåðàðõèè, à ôóíêöèÿ
w
x
åñòü
ôóíêöèÿ ïðèîðèòåòà ýëåìåíòà îäíîãî óðîâíÿ îòíîñèòåëüíî öåëè õ.
Çàìåòèì, ÷òî äàæå åñëè
x
L
k
−
+
≠
1
(äëÿ íåêîòîðîãî óðîâíÿ L
k
), òî
w
x
ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ L
k
, åñëè ïðèðàâíÿòü åå ê íóëþ äëÿ âñåõ
ýëåìåíòîâ â L
k+1
, íå ïðèíàäëåæàùèõ õ
-
-
.
Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì èåðàðõèþ Í, ïîñòðîåííóþ äëÿ çàäà÷è âûáî-
ðà ðóêîâîäèòåëÿ èç òðåõ êàíäèäàòîâ (ñì. ðèñ. 1, ñòð. 89). Ýëåìåíòàìè ìíî-
æåñòâà Í â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ öåëü çàäà÷è è ôàêòîðû, íà íåå âëèÿþ-
ùèå, à òàêæå êàíäèäàòû íà äîëæíîñòü ðóêîâîäèòåëÿ.
Í={ðóêîâîäèòåëü, îðãàíèçàöèîííûå ñïîñîáíîñòè, ïðîôåññèîíà-
ëèçì, ëè÷íàÿ àêòèâíîñòü, êîììóíèêàáåëüíîñòü, âíèìàíèå ê ïîä÷èíåííûì,
àâòîðèòåò ñðåäè ïîä÷èíåííûõ, êàíäèäàò 1, êàíäèäàò 2, êàíäèäàò 3}.
Äëÿ èåðàðõèè âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ îïðåäåëåíèÿ 4.
1. Ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà Í íà ïîäìíîæåñòâà L
1
, L
2
, L
3
(h=3), ãäå L
1
={Ðóêîâîäèòåëü}, L
2
={îðãàíèçàöèîííûå ñïîñîáíîñòè, ïðî-
ôåññèîíàëèçì, ëè÷íàÿ àêòèâíîñòü, êîììóíèêàáåëüíîñòü, âíèìàíèå ê ïîä-
÷èíåííûì, àâòîðèòåò ñðåäè ïîä÷èíåííûõ}, L
3
={êàíäèäàò 1, êàíäèäàò 2,
êàíäèäàò 3}.
2. Ðàññìîòðèì õ=Ðóêîâîäèòåëü
∈
L
1
, â ýòîì ñëó÷àå x
-
= L
2
. (àíàëî-
ãè÷íûå âûâîäû ñïðàâåäëèâû è äëÿ âñåõ äðóãèõ õ).
3. Ðàññìîòðèì õ=êàíäèäàò 1
∈
L
3
, â ýòîì ñëó÷àå x
+
= L
2
. (àíàëîãè÷-
íûå âûâîäû ñïðàâåäëèâû è äëÿ âñåõ äðóãèõ õ).
53
Îïðåäåëèì âåñîâóþ ôóíêöèþ äëÿ ýëåìåíòà õ=Ðóêîâîäèòåëü. Ýòà
ôóíêöèÿ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êà÷åñòâàì ðóêîâîäèòåëÿ (ýëåìåíòàì óðîâ-
íÿ L
2
.) çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà [0, 1] è îïðåäåëÿåò ïðèîðèòå ýòèõ êà÷åñòâ
îòíîñèòåëüíî öåëè "Ðóêîâîäèòåëü". Âåñîâàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ñóáúåê-
òèâíî ýêñïåðòàìè. Ê ïðèìåðó, îíà ìîæåò áûòü òàêîé
w
ðóêîâîäèòåëü
(îðã. ñïîñîá.)=0,3; w
ðóêîâîäèòåëü
(ïðîôåñ.)=0,2;
w
ðóêîâîäèòåëü
(ëè÷í.àêòèâ.)=0,1; w
ðóêîâîäèòåëü
(êîììóíèêàáåëüíîñòü)=0,1;
w
ðóêîâîäèòåëü
(âíèìàíèå ê ïîä.)=0,1; w
ðóêîâîäèòåëü
(àâòîðèòåò)=0,2.
Óñëîâèå
w
y
x
y
x
(
)
=
∈
−
∑
1
âûïîëíÿåòñÿ.
Îïðåäåëåíèå 5. Èåðàðõèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè äëÿ âñåõ
x
L
k
∈
ìíî-
æåñòâî
x
L
k
h
k
+
−
==
1
2
,
,
.
.
.
,
.
Òàê â ïðåäûäóùèõ ïðèìåðàõ îáå èåðàðõèè ÿâëÿëèñü ïîëíûìè.
Îñíîâíàÿ çàäà÷à. Êàê îïðåäåëèòü äëÿ ëþáîãî çàäàííîãî ýëåìåíòà
x
L
∈
α
è ïîäìíîæåñòâà
S
⊂<
L
β
αβ
,
(
)
ôóíêöèþ
w
S
x
S
,
:
[
,
]
→
0
1
,
÷òîáû îíà îòðàæàëà ñâîéñòâà ôóíêöèé ïðèîðèòåòîâ
w
x
, íà óðîâíÿõ
L
k
k
,
,
.
.
.
,
=−
αβ
1
.  ÷àñòíîñòè, ÷òî ýòî çà ôóíêöèÿ
w
L
b
L
h
h
,
:
[
,
]
→
0
1
.
Èñïîëüçóÿ ìåíåå ôîðìàëüíóþ òåðìèíîëîãèþ, çàäà÷ó ìîæíî ïåðå-
ôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ðàññìîòðèì ñîöèàëüíóþ (èëè ýêîíîìè÷åñêóþ) ñèñòåìó ñ ãëàâíîé
öåëüþ b è ìíîæåñòâîì îñíîâíûõ âèäîâ äåéñòâèé
L
h
. Ïóñòü ýòó ñèñòåìó
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê èåðàðõèþ ñ ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì b è íèæ-
íèì óðîâíåì
L
h
. Êàêîâû ïðèîðèòåòû ýëåìåíòîâ óðîâíÿ
L
h
ïî îòíîøå-
íèþ ê b?
Èçëîæèì ìåòîä ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
Y
y
y
L
X
x
x
L
mk
k
mk
k
=⊂= ⊂
++
{
,
.
.
.
,
}
,
{
,
.
.
.
,
}
1
1
1
1
(Çàìåòèì, ÷òî â ñî-
îòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì, ñëåäóþùèì çà îïðåäåëåíèåì 4, ìîæíî ïðåäïî-
ëîæèòü, ÷òî Y=L
k
, Õ =L
k+1
.) Ïóñòü òàêæå ñóùåñòâóåò ýëåìåíò
z
L
k
∈
−
1
,
òàêîé, ÷òî
y
z
∈
−
1
. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè ïðèîðèòåòîâ
w
Y
w
X
j
n
z
y
k
j
:
[
,
],
:
[
,
],
,
.
.
.
,
→→=
0
1
0
1
1
54
Îáîçíà÷èâ ÷åðåç
w w
X
,
:
[
,
]
→
0
1
ôóíêöèþ ïðèîðèòåòà ýëåìåíòîâ
èç Õ îòíîñèòåëüíî z, çàäàäèì åå ñëåäóþùèì îáðàçîì:
w x
w
x
w
y
i
n
i
y
i
z
j
k
j
n
j
k
(
)
(
)
(
),
,
.
.
.
,
.
==
+
=
∑
1
1
1
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî íå ÷òî èíîå, êàê ïðîöåññ âçâåøèâàíèÿ ïîêàçàòåëÿ
âëèÿíèÿ ýëåìåíòà ó
i
, íà ïðèîðèòåò ýëåìåíòà õ
i
, ïóòåì óìíîæåíèÿ ýòîãî
ïîêàçàòåëÿ íà âàæíîñòü ýëåìåíòà ó
i
, îòíîñèòåëüíî z.
Ñîîòâåòñòâóþùèå àëãîðèòìû óïðîñòÿòñÿ, åñëè èç
w
x
y
i
j
(
)
îáðàçî-
âàòü ìàòðèöó Â, ïîëîæèâ
b
w
x
ij
y
i
j
=
(
)
. Åñëè îáîçíà÷èòü äàëåå
W
w
x
W
w
y
i
i
j
z
i
==
(
),
(
)
/
, òî ïðèâåäåííàÿ âûøå ôîðìóëà ïðèìåò âèä.
W
b
W
i
n
i
ij
j
n
j
k
==
=
+
∑
1
1
1
/
,
,
.
.
.
,
.
 ðåçóëüòàòå èìååì îêîí÷àòåëüíóþ ôîðìóëó
W
BW
=
/
.
Êîìïîçèöèÿ ïðèîðèòåòîâ âêëþ÷àåò âçâåøèâàíèå è ñóììèðîâàíèå.
Ýòî òðåáóåò íåçàâèñèìîñòè êðèòåðèåâ íà êàæäîì ýòàïå, â ïðîòèâíîì ñëó-
÷àå îäèí ýëåìåíò ìîæåò ïîëó÷èòü íåêîòîðûé ïðèîðèòåò îòíîñèòåëüíî íå-
êîòîðîãî ïðèçíàêà è äîïîëíèòåëüíûé ïðèîðèòåò, âûçâàííûé ïåðåêðûâà-
íèåì ýòîãî ïðèçíàêà ñ äðóãèì ïðèçíàêîì, ÷òî âûçîâåò äâîéíîé ó÷åò. Â
ïðîñòûõ òåðìèíàõ ìíîæåñòâî ïðèçíàêîâ èëè êðèòåðèåâ íàçûâàþò íåçàâè-
ñèìûì, åñëè âîçìîæíà âçàèìîçàìåíÿåìîñòü ëþáîé ïàðû áåçîòíîñèòåëü-
íî âëèÿíèÿ äðóãèõ. Èíûìè ñëîâàìè, êðèòåðèè íåçàâèñèìû, åñëè ìåæäó
íèìè íåò âçàèìîäåéñòâèÿ.
5.1.2. Ïðèíöèï èåðàðõè÷åñêîé êîìïîçèöèè: àääèòèâíîñòü âçâåøèâàíèÿ
Çàäàíî äâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâà S è T. Ïóñòü S ìíîæåñòâî íåçàâè-
ñèìûõ ñâîéñòâ è Ò ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, êîòîðûå â êà÷åñòâå õàðàêòåðè-
ñòèê îáëàäàþò ýòèìè ñâîéñòâàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëåííûé âåñ, ïðè-
îðèòåò, èëè èíäåêñ îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè, w
i
àññîöèèðóåòñÿ ñ êàæäûì
s
j
∈
S, òàê ÷òî
w
j
j
n
=
=
∑
1
1
. Ïóñòü w
ij
≥
0, j=1,...,m, óäîâëåòâîðÿþùèå óñ-
55
ëîâèþ
w
ij
i
m
=
=
∑
1
1
, åñòü âåñà, àññîöèèðóåìûå ñ
t
T
i
m
i
∈=
,
,
.
.
.
,
1
, îòíî-
ñèòåëüíî s
j
. Òîãäà âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ wij, j=1,..,n -
w
w
i
m
ij
j
j
n
=
∑
=
1
1
,
,
.
.
.
,
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëåííûé ïðèîðèòåò èëè îò-
íîñèòåëüíóþ âàæíîñòü t
i
îòíîñèòåëüíî S. Çàìåòèì, ÷òî ïðèíöèï ðàñïðîñ-
òðàíÿåòñÿ íà öåïü ìíîæåñòâ.
Çàìå÷àíèå.
"Èåðàðõè÷åñêîå èçìåðåíèå" åñòü ïðîöåññ âçâåøèâàíèÿ "ëèíåéíûõ"
ïåðåìåííûõ, àññîöèèðóþùèé êàæäûé óðîâåíü ñ íåëèíåéíûìè êîýôôè-
öèåíòàìè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè è ñóììàìè ïåðåìåííûõ,
ñâÿçàííûõ ñ âåðõíèìè óðîâíÿìè.
Äîêàæåì, ÷òî ïîðÿäêîâûå ïðåäïî÷òåíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ ïðè êîìïîçè-
öèè.
Îïðåäåëåíèå 6. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ êàæäîé ïîäöåëè èëè âèäà äåÿòåëü-
íîñòè e
j
â L
k
ñóùåñòâóåò ïîðÿäêîâàÿ øêàëà o
j
íàä âèäàìè
äåÿòåëüíîñòè å
α
(
α
=1,...,n
k+1
) â L
k+1
. Îïðåäåëèì ÷àñòè÷-
íûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå L
k+1
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
å
α
≥
e
β
òîãäà è òîëüêî òîãäà, åñëè äëÿ j=1,..., n
k
, o
α
j
≥ο
β
j
.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü (w
1j
,...,
w
n
j
k
+
1
) âåêòîð ïðèîðèòåòîâ äëÿ L
k+1
îòíîñèòåëüíî e
j
è ïðåäïîëîæèì, ÷òî îí ñîõðàíÿåò ïîðÿäîê o
α
j
. Ïóñòü W
1
,....,
W
n
k
+
1
(ñîñòàâíîé) âåêòîð ïðèîðèòåòîâ äëÿ L
k+1
. Òîãäà èç å
α
≥
e
β
ñëåäóåò,
÷òî W
α
≥
W
β
. Òàêèì îáðàçîì, èåðàðõè÷åñêàÿ êîìïîçèöèÿ ñîõðàíÿåò ïî-
ðÿäêîâîå ïðåäïî÷òåíèå.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü Í ïîëíàÿ èåðàðõèÿ ñ íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì b
è h óðîâíÿìè. Ïóñòü äàëåå B
k
ìàòðèöà ïðèîðèòåòîâ k-ãî óðîâíÿ,
k=2,...,h. Åñëè W
/
âåêòîð ïðèîðèòåòîâ p-ãî óðîâíÿ îòíîñèòåëüíî íåêî-
òîðîãî ýëåìåíòà z â (ð-1) - ì óðîâíå, òî âåêòîð ïðèîðèòåòîâ W q-ãî óðîâ-
íÿ (p<q) îòíîñèòåëüíî z îïðåäåëÿåòñÿ êàê
W
B
B
B
W
q
q
p
=
′
−+
1
1
.
.
.
.
Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð ïðèîðèòåòîâ ñàìîãî íèçêîãî óðîâíÿ îòíîñè-
56
5.1.3. Èíòåðïðèòàöèÿ ïðèîðèòåòîâ ñ ïîìîùüþ òåîðèè ãðàôîâ
Îïðåäåëåíèå 7. Îáîçíà÷èì óçëû íàïðàâëåííîãî ãðàôà G ÷åðåç 1, 2, 3,...,
n. Ñ êàæäîé íàïðàâëåííîé äóãîé õ
ij
îò óçëà i äî óçëà j
àññîöèèðóåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî,
0
1
<<
q
ij
, íàçû-
âàåìîå èíòåíñèâíîñòüþ äóãè. (Ïåòëè è êðàòíûå äóãè ðàç-
ðåøåíû).
Îïðåäåëåíèå 8. Ìàðøðóò â íàïðàâëåííîì ãðàôå åñòü ÷åðåäóþùàÿñÿ ïîñ-
ëåäîâàòåëüíîñòü óçëîâ è äóã, ïðè êîòîðîé êàæäûé óçåë ÿâ-
ëÿåòñÿ êîíöîì äóãè, íàõîäÿùåéñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä íèì, è èñòî÷íèêîì ïîñëåäóþùåé
çà íèì äóãè. Îáå êîíöåâûå òî÷êè êàæäîé äóãè íàõîäÿòñÿ â
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äëèíà ìàðøðóòà åñòü ÷èñëî äóã â ïîñ-
ëåäîâàòåëüíîñòè. Ìàðøðóò äëèíû k íàçûâåì "k-ìàðøðó-
òîì".
Îïðåäåëåíèå 9. Èíòåíñèâíîñòü ìàðøðóòà äëèíû k îò óçëà i äî óçëà j åñòü
ïðîèçâåäåíèå èíòåíñèâíîñòåé äóã â ìàðøðóòå.
Îïðåäåëåíèå 10. Îáùàÿ èíòåíñèâíîñòü âñåõ k-ìàðøðóòîâ îò óçëà i äî
óçëà j åñòü ñóììà èíòåíñèâíîñòåé ìàðøðóòîâ.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ îáùåé èíòåíñèâíîñòè 1-ìàðøðóòîâ (ïåðâûõ ìàð-
òøðóòîâ) áåðåòñÿ ñóììà èíòåíñèâíîñòåé âñåõ 1-ìàðøðóòîâ îò i äî j. Âñå
èíòåíñèâíîñòè âäîëü äóãè i, j ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè. Ïîýòîìó îáùàÿ èíòåí-
ñèâíîñòü îò i äî j ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
t
p
q
ij
ij
ij
=
, ãäå
p
ij
÷èñëî äóã îò i
òåëüíî ýëåìåíòà b
W
B
B
B
W
h
h
=
′
−
1
2
.
.
.
.
Îáû÷íî L
1
ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà,
′
W
ïðîñòî ñêà-
ëÿð; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
′
W
âåêòîð.
Äëÿ ïîëíîé èåðàðõèè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ïðè-
îðèòåò ýëåìåíòà ëþáîãî óðîâíÿ ðàâåí ñóììå åãî ïðèîðèòåòîâ â êàæäîì
ïîäìíîæåñòâå ñðàâíåíèÿ, êîòîðûì îí ïðèíàäëåæèò; èíîãäà êàæäûé èç
ïðèîðèòåòîâ âçâåøèâàåòñÿ ëèøü ÷àñòüþ ýëåìåíòîâ óðîâíÿ, êîòîðûå ïðè-
íàäëåæàò äàííîìó ïîäìíîæåñòâó, è ïðèîðèòåòîì ïîäìíîæåñòâà. Ïîëó-
÷àþùååñÿ ìíîæåñòâî ïðèîðèòåòîâ ýëåìåíòîâ ýòîãî óðîâíÿ çàòåì íîðìà-
ëèçóþòñÿ ïîñðåäñòâîì äåëåíèÿ íà ñóììó ïðèîðèòåòîâ ýëåìåíòîâ. Ïðè-
îðèòåò ïîäìíîæåñòâà íà óðîâíå ðàâåí ïðèîðèòåòó äîìèíèðóþùåãî ýëå-
ìåíòà íà ñëåäóþùåì óðîâíå.
57
äî j, à
q
ij
èíòåíñèâíîñòü êàæäîé äóãè.
Îïðåäåëåíèå 11. Äëÿ çàäàííîãî íàïðàâëåííîãî ãðàôà D ìàòðèöà èíòåí-
ñèâíîñòè-èíöèäåíòíîñòè U=(u
ij
) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàò-
ðèöà, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ u
ij
=t
ij
äëÿ âñåõ i è j.
Ïðèìåð 2. Íà ðèñóíêå ÷èñëî ðÿäîì ñ êàæäîé äóãîé ïîêàçûâàåò åå
èíòåíñèâíîñòü. Ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòè-èíöèäåíòíîñòè U=(u
ij
), àññî-
öèèðóåìàÿ ñ ýòèì ãðàôîì, áóäåò
U
=
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
1
3
2
2
2
3
1
3
3
2
1
/
/
. Îáùàÿ èíòåí-
ñèâíîñòü 1-õ ìàðøðóòîâ îò i äî j ïðåä-
ñòàâëåíà (i,j)-ì ýëåìåíòîì ýòîé ìàò-
ðèöû.
Îáùàÿ èíòåíñèâíîñòü ìàðøðó-
òà äëèíû 2 îò óçëà 1 äî óçëà 3 ðàâíà
ñóììå ñëåäóþùèõ òðåõ âåëè÷èí âìå-
ñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ìàðøðóòîì,
èçîáðàæåííûì ñïðàâà:
Ïðè ýòîì êàæäàÿ äóãà ìåæäó ïåðâûìè äâóìÿ óçëàìè áåðåòñÿ ïî
îäíîìó ðàçó ñ êàæäîé äóãîé ìåæäó äâóìÿ âòîðûìè óçëàìè. Ñóììà ýòèõ
âåëè÷èí ðàâíà 17/2. Ýòî åñòü ýëåìåíò (1,3) ìàòðèöû U
2
. Òàêèì îáðàçîì
ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñåõ i è j îáùàÿ èíòåíñèâíîñòü 2-ìàðøðóòîâ îò
óçëà i äî óçëà j áóäåò (i,j)-ì ýëåìåíòîì ìàòðèöû
U
2
8
7
17
2
31
3
8
22
3
22
3
17
2
13
=
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
/
/
/
/
/
. Îáîáùèì ðåçóëüòàò.
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1/2
1/2
1/2
1/3
1/3
3 1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
12
23
11
13
13
33
(
/
)
(
/
)
(
/
)
:
,
(
)
:
,
(
)
:
,
×+ ×+ ×
×
×
x
x
x
x
x
x
58
Òåîðåìà 3.
u
k
i
j
ij
(
)
(
,
)
−
-é ýëåìåíò ìàòðèöû U
k
ÿâëÿåòñÿ îáùåé
èíòåíñèâíîòñüþ k-ìàðøðóòîâ îò óçëà i äî óçëà j.
Ñëåäñòâèå. Åñëè
q
ij
=1 äëÿ âñåõ i è j, òî
( ,
)
i
j
-é ýëåìåíò â U
k
ÿâëÿ-
åòñÿ ÷èñëîì k-ìàðøðóòîâ îò i äî j.
Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïðîáëåìû âàæíà îáðàòíàÿ çàäà÷à èíòåðïðå-
òàöèè ñòåïåíåé ìàòðèöû äëÿ ïîäñ÷åòà èíòåíñèâíîñòè ìàðøðóòîâ.
Áóäåì àññîöèèðîâàòü ñ êàæäûì èç n âèäîâ äåÿòåëüíîñòè íàøåé ïðî-
öåäóðû ïàðíûõ ñðàâíåíåèé óçåë íàïðàâëåííîãî ãðàôà D.  ýòîì ñëó÷àå
ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòè-èíöèäåíòíîñòè U åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ìàòðèöà
ñóæäåíèé. ×èñëèòåëü pij (i,j)-ãî ýëåìåíòà òàêîé ìàòðèöû (ïîëàãàÿ, ÷òî îí
äàí â ñðàâíèòåëüíî ïðîñòîé äðîáíîé ôîðìå) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî
äóã, íàïðàâëåííûõ îò âåðøèíû i ê âåðøèíå j. Èíòåíñèâíîñòü êàæäîé äóãè
îò i äî j îäíà è òà æå è ðàâíà îáðàòíîé âåëè÷èíå
q
ij
çíàìåíàòåëÿ ýëåìåí-
òà. Ýòî åñòåñòâåííûé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ãðàôà, òàê
êàê äëÿ
q
ij
=1 îí ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîé ìàòðèöå âåðøèí, k-àÿ ñòåïåíü
êîòîðîé äàåò ÷èñëî ìàðøðóòîâ äëèíû k.
Èíòåðïðåòèðîâàòü (i,j)-é ýëåìåíò ìàòðèöà À ìîæíî êàê ïðÿìîå
ïðåâîñõîäñòâî, èëè èíòåíñèâíîñòü âàæíîñòè âèäà äåÿòåëüíîñòè i îòíîñè-
òåëüíî âèäà äåÿòåëüíîñòè j. Îí âûðàæàåò îòíîñèòåëüíûé âêëàä, êîòîðûé
âèä äåÿòåëüíîñòè i âíîñèò â äîñòèæåíèå îïðåäåëåííîé öåëè ïî ñðàâíåíèþ
ñ âêëàäîì, âíîñèìûì âèäîì äåÿòåëüíîñòè j. Íîðìàëèçîâàííûå ñóììû
ñòðîê ìàòðèöû À ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðîâåíü âêëàäà ñîîòâåòñòâóþùèõ
âèäîâ äåÿòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî âñåõ äðóãèõ âèäîâ äåÿòåëüíîñòè, à ìàò-
ðèöà À
2
èíäåêñ îíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ïðåâîñõîäñòâà ñ ó÷åòîì âñåõ 2-
ìàðøðóòîâ. Ïîñëåäíèé îáåñïå÷èâàåò êîñâåííîå ñðàâíåíèå ïàð ÷åðåç îäíó
ïðîìåæóòî÷íóþ âåðøèíó. Ñëåäîâàòåëüíî, óðîâåíü âàæíîñòè âèäà äåÿ-
òåëüíîñòè ïîâûøàåòñÿ èëè ñíèæàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ åãî âçàèìîñâÿçüþ ñ
äðóãèìè âèäàìè äåÿòåëüíîñòè.  îáùåì ñëó÷àå ýôôåêò ïðåâîñõîäñòâà ìåæ-
äó âèäàìè äåÿòåëüíîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü, âû÷èñëÿÿ ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå
ñóììû ñòðîê A
k
ìàòðèöà À k-îé ñòåïåíè. Êàæäîå ÷èñëî, íîðìàëèçîâàí-
íîå ïîñðåäñòâîì ñóììû ýòèõ âåëè÷èí, ñëóæèò îáùèì èíäåêñîì ïðåâîñ-
õîäñòâà, èëè ïðèîðèòåòîì, ñðåäè âèäîâ äåÿòåëüíîñòè.
Ôîðìàëüíîå ïîíÿòèå îòíîñèòåëüíîãî ïðåâîñõîäñòâà âèäà äåÿòåëü-
59
íîñòè i íàä âèäîì äåÿòåëüíîñòè j çà k-øàãîâ ìîæíî ðàçúÿñíèòü â òåðìè-
íàõ îáùåé èíòåíñèâíîñòè âñåõ k-ìàðøðóòîâ îò óçëà i äî óçëà j. Îòíîñè-
òåëüíîå ïðåâîñõîäñòâî âèäà äåÿòåëüíîñòè i íàä äðóãèì âèäîì äåÿòåëüíîñ-
òè j ïðÿìî è êîñâåííî, ÷åðåç ïðîìåæóòî÷íûå âèäû äåÿòåëüíîñòè, çà k-
øàãîâ ïðåäñòàâëåí (i,j)-ì ýëåìåíòîì ìàòðèöû A
k
. Èç-çà íàëè÷èÿ ïåòëè
íà êàæäîé âåðøèíå ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî êàæäûé âõîä ìàòðèöû A
k
ÿâëÿåòñÿ
ñóììîé âñåõ ìàðøðóòîâ äëèíû, ìåíüøåé èëè ðàâíîé k. Ñêîëüêî ðàç âêëþ-
÷åí êàæäûé ìàðøðóò çàâèñèò îò åãî äëèíû è îò ÷èñëà ïðåñòàíîâîê åãî
ïåòåëü ïðè ïîëó÷åíèè èñêîìîé äëèíû ìàðøðóòà. Ïåòëÿ ñàìà ïî ñåáå ïðè-
äàåò åäèíè÷íóþ èíòåíñèâíîñòü ìàðøðóòó. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùàÿ èíòåí-
ñèâíîñòü ìàðøðóòà íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðîõîæäåíèè âäîëü ïåòëè íåñêîëüêî
ðàç.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü A=(a
ij
) (nxm)-ìàòðèöà ñðàâíåíèé; a
ij
(k)
(i,j)-é ýëåìåíò ìàòðèöû A
k
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòíîñèòåëüíîå ïðåâîñõîä-
ñòâî (èëè âàæíîñòü) âèäà äåÿòåëüíîñòè i íàä âèäîì äåÿòåëüíîñòè j çà k-
øàãîâ.
Îïðåäåëåíèå 12. Èíäåêñ ïðåâîñõîäñòâà w
i
(k) âèäà äåÿåòëüíîñòè i íàä
âñåìè äðóãèìè âèäàìè äåÿòåëüíîñòè çà k-øàãîâ îïðåäåëÿ-
åòñÿ êàê
w
k
a
k
a
k
i
ij
ij
j
n
i
n
j
n
(
)
(
)
/
(
).
=
===
∑∑∑
1
1
1
Òàêèì îáðà-
çîì, w
i
(k) ñóììà i-îé ñòðîêè A
k
, äåëåííàÿ íà ñóììó
ñòðîê.
Îïðåäåëåíèå 13. Îáùèé èíäåêñ ïðåâîñõîäñòâà w
i
âèäà äåÿòåëüíîñòè i íàä
âñåìè äðóãèìè âèäàìè äåÿòåëüíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ êàê
w
w
k
a
k
a
k
i
k
i
k
ij
j
n
ij
j
n
i
n
==
F
H
G
I
K
J
→∞ →∞
===
∑∑∑
lim
(
)
lim
(
)
/
(
)
1
1
1
.
Îïðåäåëåíèå 14. Èíäåêñ ïðèîðèòåòà, àññîöèèðóìûé ñ âèäîì äåÿòåëüíîñòè
i, ÿâëÿåòñÿ îáùèì èíäåêñîì åãî ïðåâîñõîäñòâà w
i
.
5.1.4. Ïîëîæèòåëüíûå îáðàòíîñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû è èõ ñîáñòâåí-
íûå çíà÷åíèÿ
Êâàäðàòíûå ìàòðèöû À=(à
ij
), äëÿ êîòîðûõ à
ij
>0, i, j = 1,2 ...n,
à
ij
=1/ à
ij
, i,j= 1,2 ...n, áóäåì íàçûâàòü ïîëîæèòåëüíûìè, îáðàòíîñèì-
ìåòðè÷íûìè ìàòðèöàìè.
60
Ïîëîæèòåëüíûå îáðàòíîñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû À=(à
ij
), äëÿ ýëå-
ìåíòîâ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå a
ik
=a
ij
a
jk
, i,j,k = 1,2,...,n
ÿâëÿþòñÿ ñîãëàñîâàííûìè.
5.1.5. Íåïðèâîäèìûå ìàòðèöû
Îáðàòíîñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû ïîïàðíîãî ñðàâíåíèÿ íå ñîäåðæàò
íóëåé, ñëåäîâàòåëüíî îíè âñåãäà íåïðèâîäèìû.
Îïðåäåëåíèå 15. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà íåïðèâîäèìàÿ, åñëè îíà íå ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
A
A
A
1
2
3
0
L
N
M
O
Q
P
, ãäå À
1
è À
3
êâàä-
ðàòíûå ìàòðèöû, 0 íóëåâàÿ ìàòðèöà. Â ïðîòèâíîì ñëó-
÷àå ìàòðèöó íàçûâàþò ïðèâîäèìîé.
Ïðèìåð 3. Ìàòðèöà
A
=
−
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
2
0
1
1
3
4
3
0
2
ïðèâîäèìà.
Ãðàô, ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîé ìàòðèöå èìååò äóãó èç ïåðâîé â ïåð-
âóþ è òðåòüþ âåðøèíû è àíàëîãè÷íî èç òðåòüåé â ïåðâóþ è òðåòüþ âåðøè-
íû, íî ïåðåõîä âî âòîðóþ âåðøèíó íåâîçìîæåí. Ñî âòîðîé âåðøèíû ìîæíî
ïåðåéòè âî âñå òðè âåðøèíû.
Òàêèì îáðàçîì, ïåðâàÿ è òðåòüÿ âåðøèíû îáðàçóþò íåïðèâîäèìóþ
êîìïîíåíòó, à âòîðàÿ ñâÿçàíà ñ íèìè.
1
2
3
-2
1
1
3
4
3
2
Çàìåòèì, ÷òî êîìïëåêñíàÿ ìàòðèöà À íåïðèâîäèìà â òîì è òîëüêî
â òîì ñëó÷àå, åñëè åå íàïðàâëåííûé ãðàô D(À) ñèëüíî ñâÿçíûé.
Òåîðåìà 5. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà èëè íåïðèâîäèìà, èëè íå ìîæåò
áûòü ïðèâåäåíà ïóòåì ïåðåñòàíîâîê èíäåêñîâ ê âèäó: